小升初几何图形部分(教师版)

时间：15分钟满分5分姓名_________ 测试成绩_________

1 （05年101中学考题）

求下图中阴影部分的面积：

2 （06年清华附中考题）

从一个长为8厘米，宽为7厘米，高为6厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表面积是_________平方厘米.

3 （06年三帆中学考试题）

有一个棱长为1米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成为60个小长方体(见左下图).这60个小长方体的表面积总和是______平方米.

4 （06年西城八中考题）

右上图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是_______厘米.（ ＝3.14）

5 (05年首师附中考题)

一千个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是多少个？

【附答案】

1 【解】如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

所以阴影面积：π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

2 【解】最大正方体的边长为6，这样剩下表面积就是少了两个面积为6×6的，所以现在的面积为(8

×7+8×6+7×6) ×2-6×6×2=220.

3 【解】原正方体表面积：1×1×6＝6（平方米），一共切了2＋3＋4＝9（次），每切一次增加2个面：2平方米。所以表面积： 6＋2×9＝24（平方米）．

4 【解】可见大圆的半径是小圆的3倍，所以半径为3，那么阴影部分的周长就等于7的小圆的周长加

上1个大圆的周长，即7×π×2+π×6=20π。

5 【解】：共有10×10×10＝1000个小正方体，其中没有涂色的为(10－2)×(10－2)×(10－2)＝512个，所以至少有一面被油漆漆过的小正方体为1000－512＝488个。

第二讲小升初专项训练几何篇（二

1 与圆和扇形有关的题型

【例1】（★★）如下图，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等。求扇形所在的圆面积。

【解】：等腰三角形的角为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍。而扇形面积为等腰三角形面积：

S＝1/2×10×10＝50。则：圆的面积为400。

【例2】（★★★）草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？

【解】：（此题十分经典）如右上图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，

所以羊活动的范围是

【例3】（★★）在右图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差。

【解】：我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解。左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形。则为：π/4×4×4－π/4×2×2－4×2＝3×3.14－8＝1.42。

【例4】（★★★）如图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积。（取π＝3）

【解】：先看总的面积为1/4的圆，加上一个正方形，加上一个等腰直角三角形，然后扣除一个等腰直角三角形，一个1/4圆，一个45度的扇形。那么最终效果等于一个正方形扣除一个45度的扇形。为1×1－1/8×3×1＝5/8

【例5】（★★★）如下图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15厘米，

【解】：225平方厘米

＝225（平方厘米）

与立体几何有关的题型

小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。见下图。

在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。

2 求不规则立体图形的表面积与体积

【例6】（★★）用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？

【解】：

[方法一]：

[思路]：整体看待面积问题。

解：不管叠多高，上下两面的表面积总是3×3；再看上下左右四个面，都是2×3+1，

所以，总计9×2+7×4=18+28=46。

[方法二]：

[思路]：所有正方体表面积减去粘合的表面积

解：从图中我们可以发现，总共有14个正方体，这样我们知道总共的表面积是：6×14=64，但总共粘合了18个面，这样就减少了18×1=18，所以剩下的表面积是64-18=46。

[方法三]：直接数数。

[思路]：通过图形，我们可以直接数出总共有46个面，每个面面积为1，这样总共的表面积就是46。

【例7】（★★★）在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如下图）．

求挖洞后木块的表面积和体积．

【解】：提示：大正方体的边长为4厘米，挖去的小正方体边长为1厘米，说明大正方体木块没被挖通，因此，每挖去一个小正方体木块，大正方体的表面积增加“小洞内”的4个侧面积。

6个小洞内新增加面积的总和： 1×1×4×6＝24（平方厘米），

原正方体表面积：42×6＝96（平方厘米），挖洞后木块表面积：96＋24＝120（平方厘米），体积：43－13×6＝58（立方厘米）．

答：挖洞后的表面积是120平方厘米，体积是58立方厘米．

【例8】（★★★）如图是一个边长为2厘米的正方体。在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1/4厘米。那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？