有限与无限的问题 65页PPT文档

给出了一万个、又一万个的空房间
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全面、深刻地揭示本质的回答 是容易推广的。
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2. 客满后又来了一个旅游团，旅游团 中有无穷个客人
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空下了奇数号房间
共两个这样的旅游团，所以把房间两个一份、两个一 份地分，可以让两个旅游团的1号客人、2号客人、。。。 分别入住。
《The Time Machine》
《The Matrix》
一、芝诺悖论---由无限引出的
芝诺（前490？—前430？）是（南意大利的）爱 利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该 学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可分 的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的；运 动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝 诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。
空出了1号房间
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2. 客满后又来了一个旅游团，旅游团 中有无穷个客人
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3
↓↓ ↓
2
4
6
空下了奇数号房间
4┅ ↓┅ 8┅
k┅ ↓┅ 2k ┅
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3. 客满后又来了一万个旅游团，每个团
中都有无穷个客人
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10001 20002 30003 40004 ┅
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10001×k ┅
芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐 地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引 起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能不 说是巨大的贡献。
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book.huihoo/paradox-box/
从惊讶到思考——数学悖论奇景
二、“有无限个房间”的旅馆
1. “客满”后又来1位客人（“客满”？）
1 2 3 4┅ k ┅ ↓ ↓ ↓ ↓┅↓ ┅ 2 3 4 5 ┅ k+1 ┅
2. 症结——“有限与无限”的矛盾
无限段长度的和，可能是有限的； 无限段时间的和，也可能是有限的。
3. 芝诺悖论的意义：
1）促进了严格、求证数学的发展 2）较早的“反证法”及“无限”的思想 3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：
空间和时间有没有最小的单位？
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芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连 续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离 散的”。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所 以，“运动只是假象，不动不变才是真实”。
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例如：“甲 是 乙”与
“甲 不是 乙” 这两个命题中总有一个是错的；
但 “本句话 是 七个字”与 “本句话 不是 七个字”
又均是对的，这就是悖论。
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再如：“万物皆数”学说认为“任何数 都可表为整数的比”；但以1为边的正方形 的对角线之长却不能表为整数的比，这也 是悖论。
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1. 外祖母悖论 我会穿梭时空，回到过去，把我自己的外祖母杀了。我外 祖母没了，我妈就没了，我也就没了。而我没了，就没有人杀 我外祖母，我外祖母就不会死，那我又有了。而有了我，外祖 母就没了，我也就没了……这就是悖论，自己与自己就有矛盾。
一支飞行的箭是静止的： 由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而
是静止的，因此箭就不能处于运动状态。
4）“操场或游行队伍”
A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静 止的C看来，比如说，A、B都在1小时内移 动了2公里；可是，从A看来，则B在1小时内 就移动了4公里。由于B保持等速移动，所以 移动2公里的时间应该是移动4公里时间的一 半。因而一半的时间等于两倍的时间。
该旅馆客满后又来了10亿个旅游团，每个团 中都有无穷个客人，如何安排？
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是否有人想提什么问题？
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4. 该旅馆客满后又来了无穷个旅游 团，每个团中都有无穷个客人，还能 否安排？
“无穷大！任何一个其他问题都不曾如此 深刻地影响人类的精神；任何一个其他观点都 不曾如此有效地激励人类的智力；然而，没有 任何概念比无穷大更需要澄清……”---Hilbert
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3. 客满后又来了一万个旅游团，每个团
中都有无穷个客人
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↓↓↓ ↓┅
10001 20002 30003 40004 ┅
k
┅
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10001×k ┅
给出了一万个、又一万个的空房间
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全面、深刻地揭示本质的回答 是容易推广的。
该旅馆客满后又来了9857个旅游团，每个团 中都有无穷个客人，如何安排？
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1）两分法
向着一个目的地运动的物体，首先要先走完 路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走 完剩下的1/2如此类推，以至无穷，永远不能 到达终点。
结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动永远 不可能开始的。
2）阿基里斯(Achilles)悖论：
阿基里斯追不上乌龟。
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3）飞矢不动悖论
高等数学则更多地在“无限”的领域 里讨论，更多地以“无限”为手段和工具 进行讨论。
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什么是悖论
所谓正确
悖论：从“正确”的前提出发，经过 “正确”的逻辑推理，得出荒谬的结论。
悖论（paradox）具体是指：由一个被承认 是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推 理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B； 反之，以非B为前提，亦可推得B。那么命题B就 是一个悖论。
有限与无限的问题
《数学文化》课程组
1
高等数学与初等数学的区别？
2
更加全面； 更加深刻； 更加细微； 更加本质； 更加理论化； 更加系统化； …………
3
高等数学与初等数学的区别？
从 研究“常量”发展到研究“变量” 从 研究“有限”发展到研究Βιβλιοθήκη Baidu无限”
初等数学更多地在“有限”的领域里 讨论，更多地以“有限”为手段和工具进 行讨论；
2.说谎者悖论——自指引发的悖论 “我正在说谎”
有克利特人中的一个本地中先知说：“克利特人常说谎话，乃是恶兽， 又馋又懒”(《圣经·提多书》第一章)
3.“说谎者循环” A说：“下面是句谎话。 B说：“上面是句真话。”
物理学中“平行宇宙”
这一理论中，世界不是只有一个，而是有许多平行 的世界存在，按照如今的历史过程：罗马帝国时代、大 英帝国时代、工业时代、第一次世界大战、第二次世界 大战、电脑网络……如果将整个工业时代去掉，那至此 以后的历史轨迹将会得到巨大的改变，或者两次世界大 战都不会出现，又或者世界大战将会在我们的另外一个 平行的世界里存在，也就是说另外一个世界如今的我们 可能正在遭受着战争的阴影。这个时候“外祖母悖论” 就有了合理的解释：一个人可以回到过去杀死自己的外 祖母，但这将导致世界进入两个不同的轨道，一条中有 那个人（原先的轨道），而另一条中没有那个人。