陕西省黄陵中学(高新部)2018届高三下学期第一次大检测数学(文)试题及答案

2018届陕西省黄陵中学（高新部）高三下学期第一次大检测数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,3A =，集合{}3,4,5B =，则集合()U A C B ⋂=（ ） A ．{}1,2,3,6 B ．{}1 C ．{}1,2 D ．{}1,3,4,52.设i 为虚数单位，a R ∈，若()()11i ai --为纯虚数，则复数1ai -的模是（ ） A．2 C ．1 D ．03.已知命题():0,,sin p x x x ∀∈+∞>，命题121:,log 2xq x R x ⎛⎫∃∈= ⎪⎝⎭，则下列命题中的真命题为（ ）A ．q ⌝B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∨⌝4.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点在抛物线216y x =的准线上，且双曲线的—条渐近线过点)，则双曲线的方程为（ ）A ．221420x y -=B ．221124x y -=C ．221412x y -=D ．221204x y -=5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，执行如图所示的 程序框图，则输出的M 一定满足A ．2n nM S =B ．n S nM =C ．n S nM ≥D ．n S nM ≤6．设函数()sin()cos()(0,2f x x x πωϕωϕωϕ=+++>< 的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则A ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 C ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减A ．]38,512[ B ．]35,53[C ．]38,58[D ．]512,58[8．,A B 是圆22:1O x y +=上两个动点，1AB =u u u r，32OC OA OB =-u u u r u u u r u u u r ，M 为线段AB 的中点，则OC OM ⋅u u u r u u u u r的值为A ．32B ．34C ．12D ．149. 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲 说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”； 丙 说 ： “甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人 中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可 判断罪犯是 A . 甲 B . 乙C .丙D .丁10 . 函数2cos ()([2,2])1x xf x x x =∈-+的大致图像是11. 如 图 ， 过 抛 物 线 22y px = （p ＞ 0）的 焦 点 F 的 直 线 l 交 抛 物 线 于 点 A , B ，交 其 准 线 于 点 C ， 若 2BC BF = ， 且3AF = ， 则 此 抛物 线 的 方 程 为 A . 232y x = C . 292y x =B . 23y x = D . 29y x =12. 已 知13＜k ＜1 ， 函数()=3-1x f x k -的 零 点 分 别 为1x ，2x ，1x 2x p ，函 数()=3-121x kg x k -+的 零 点 分 别 为3x ，4x ，3x 3x 4x p ，则 4x 2+x -3x +（1)x 的 最 小 值 为 A ．1B ． log 2 3 C. log 26 D ．3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组3330330x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为．14．设函数31()2320x e x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--≤⎩，，(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是．15．在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝1，BC ＝4，CD ＝2，DA ＝3，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为．16．已知a 为常数，函数22()1f x a x x =---的最小值为23-，则a 的所有值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*4(1),3n n S a n N =-∈． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）令n n a b 2log =，记数列1(1)(1)n n b b ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：21<n T ．18．（本小题满分12分）据统计，2017年国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%.旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：（Ⅰ）求,a b 的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?（Ⅱ）若导游的奖金y （单位：万元），与其一年内旅游总收入x （单位：百万元）之间的关系为 1 202 20403 40x y x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，求甲公司导游的年平均奖金；（Ⅲ）从甲、乙两家公司旅游收入在[)50,60的总人数中，用分层抽样的方法随机抽取6人进行表彰，其中有两名导游代表旅游行业去参加座谈，求参加座谈的导游中有乙公司导游的概率.分组频数1849245[)10,20[)20,30[)30,40[)40,50[)50,60b19．（本小题满分12分）已知某班的50名学生进行不记名问卷调查，内容为本周使用手机的时间长，如表：（Ⅰ）时间长为的7名同学中，从中抽取两名，求其中恰有一个女生的概率；（Ⅱ）若时间长为被认定“不依赖手机”，被认定“依赖手机”，根据以上数据完成列联表：能否在犯错概率不超过0.15的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系？20．（本小题满分12分）已知椭圆（）的两个焦点，，点在此椭圆上.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于两点，设点，记直线的斜率分别为，求证：为定值.21．(12分)设函数ax ax e x x f x -+-=221)2()(. (1) 讨论)(x f 的单调性；(2) 设1=a ，当0≥x 时，2)(-≥kx x f ，求k 的取值范围.（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22. ]在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）设点，直线与曲线相交于，两点，且，求实数的值．23已知，，且．（1）若恒成立，求的取值范围； （2）证明：．参考答案1-4.BABC 5-8.CDCB 9-12.BABA13．22(1)4x y -+=14．()1+∞，15．10 16．144，17解：（I ）当1=n 时，有1114(1)3a S a ==-，解得41=a . 当2≥n 时，有)1(3411-=--n n a S ，则 1144(1)(1)33n n n n n a S S a a --=-=---整理得：41=-n na a ∴ 数列}{n a 是以4q =为公比，以41=a 为首项的等比数列．∴ 1*444(n n n a n N -=⨯=∈）即数列}{n a 的通项公式为：*4()n n a n N =∈． ………………………6分 （II ）由（I ）有22log log 42nn n b a n ===，则11111=(1)(1)(21)(21)22121n n b b n n n n ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭∴ n T )12)(12(1751531311-++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n )]121121()7151()5131()3111[(21+--+⋅⋅⋅+-+-+-=n n 111(1)2212n =-<+ 故得证. ………………………………………12分18.解：（I ）由直方图知：()0.010.0250.0350.01101a ++++⨯=，有0.02a =， 由频数分布表知：1849245100b ++++=，有4b =．∴ 甲公司的导游优秀率为：()0.020.0110100%30%+⨯⨯=；乙公司的导游优秀率为：245100%29%100+⨯=； 由于30%29%>, 所以甲公司的影响度高． ………………………4分 （II ）甲公司年旅游总收入[)10,20的人数为0.011010010⨯⨯=人；年旅游总收入[)20,40的人数为()0.0250.0351010060+⨯⨯=人； 年旅游总收入[)40,60的人数为()0.020.011010030+⨯⨯=人； 故甲公司导游的年平均奖金1106023032.2100y ⨯+⨯+⨯==（万元）． ……8分 （III ）由已知得，年旅游总收入在[)50,60的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人．按分层抽样的方法甲公司抽取106415⨯=人，记为,,,a b c d ；从乙公司抽取56215⨯=人，记为1,2．则6人中随机抽取2人的基本事件有：()()()()()()()()()()()(),,,,,,,1,,2,,,,,,1,,2,,,,1,,2,a b a c a d a a b c b d b b c d c c()()(),1,,2,1,2d d 共15个.参加座谈的导游中有乙公司导游的基本事件有：(),1a ,(),2a ,(),1b ,(),2b ,(),1c ,(),2c ,(),1d ,(),2d ,()1,2共9个．设事件A 为“参加座谈的导游中有乙公司导游”，则()93155p A == ∴ 所求概率为35． …………………………………………………12分19．（1）时间长为的有7人，记为、、、、、、，其中女生记为、、、，从这7名学生中随机抽取两名的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个．设事件表示恰有一位女生符合要求的事件有：，，，，，，，，，，，共12个． 所以恰有一个女生的概率为． （2），不能在犯错概率不超过0.15的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系． 20．（Ⅰ）依题意知：，∴椭圆方程为；（Ⅱ）∵直线AB 过点M(1，0)，∴设直线AB 的方程为x=my +1，再设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由，消x 得：（m 2+3）y 2+2my ﹣2=0，∴，∵N （3，2），∴， 为定值.21解：（I ）R x ∈Θ,))(1()(a e x x f x+-=' 1ΛΛ分 当0≥a 时，)1,(-∞∈x ，0)(<'x f ；当),1(+∞∈x 时，0)(>'x f ；所以f (x )在)1,(-∞单调递减，在),1(+∞单调递增 3ΛΛ分当0<a 时，令0)(='x f 得x =1 ，x =)ln(a -（1） 当e a -<时，)1,(-∞∈x ，0)(>'x f ；当))ln(,1(a x -∈时，0)(<'x f ；当)),(ln(+∞-∈a x 时，0)(>'x f ；所以f (x )在)1,(-∞，)),(ln(+∞-a 单调递增，在))ln(,1(a -单调递减 4ΛΛ分 （2）当e a -=时，0)(≥'x f ，所以f (x )在R 单调递增 5ΛΛ分 (3) 当0<<-a e 时， ))ln(,(a x --∞∈，0)(>'x f ； 当)1),(ln(a x -∈时，0)(<'x f ； 当),1(+∞∈x 时，0)(>'x f ；所以f (x )在))ln(,(a --∞，),1(+∞单调递增，在)1),(ln(a -单调递减 6ΛΛ分 （II ）令221)2(2)()(2+--+-=+-=kx x x e x kx x f x g x 有k x e x x g x--+-='1)1()( 7ΛΛ分 令k x e x x h x--+-=1)1()(，有1)(+='xxe x h 当0≥x 时，01)(>+='xxe x h ，)(x h 单调递增，所以k h x h --=≥2)0()(，即k x g --≥'2)( 9ΛΛ分 （1）当2k ,02-≤≥--即k 时，0)(≥'x g ，)(x g 在),0(+∞单调递增，0)0()(=≥g x g ，不等式2)(-≥kx x f 恒成立 10ΛΛ分（2）当2k ,02-〉<--即k 时，0)(='x g 有一个解，设为0x 根所以有),0(0x x ∈，0)(<'x g ，)(x g 单调递减；当),(0+∞∈x x 时，0)(>'x g ；)(x g 单调递增，所以有0)0()(0=<g x g ，故当0≥x 时，2)(-≥kx x f 不恒成立；综上所述，k 的取值范围是]2,(--∞ 12ΛΛ分 22.【答案】（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为；（2）或或．【解析】试题分析：（1）写普通方程，则只需消去参数和根据极坐标变换公式即可轻松求得故曲线的普通方程为.直线的直角坐标方程为.（2）由题可知,所以联立和得，代入韦达定理即得答案解析：（1），故曲线的普通方程为.直线的直角坐标方程为.（2）直线的参数方程可以写为（为参数）.设两点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入曲线的普通方程可以得到，所以或，解得或或.23.【答案】（1）；（2）见解析．【解析】试题分析：(1)由，可得，对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；(2) 由柯西不等式，可得.试题解析：(1)设，由，得.故.所以.当时，，得；当时，，解得，故；当时，，解得，故；综上，.(2).另解：由柯西不等式，可得.。