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第六章 管系静应力分析

管道力学是压力管道技术的又一重要分支，它是研究管道系统元件在受力情况下强度可靠性的一门技术。工程上在研究管道强度可靠性的同时，尚应符合工程特点，并应做到经济合理。根据管道所受的外力是否随时间变化可将管道力学研究分为管道系统静应力分析和管道系统动应力分析两大类。根据工程上实用的内容和专业上的分工，又常将管道力学研究的内容分为管道及其元件强度计算、管道系统应力分析（包括静应力分析和动应力分析）和管道支撑三部分。管道及其元件的强度计算按惯例归属管道材料专业，并已在第四章中进行了介绍。管道的支撑设计一般由管道设计专业完成（个别大型管道支撑除外），并将在第八章中介绍。管道系统应力分析一般由管道机械专业来完成，并将在本章和第七章中介绍。本章介绍管道系统的静应力分析，并着重从有关的基础知识、计算方法以及设计方法等方面进行介绍。

其实，有关管道力学方面的知识在一些手册和专著中都有不失为详细的介绍。但对于目前众多的压力管道设计人员来说，这些手册和专著对管道力学基础知识方面的介绍显得不够，而工程应用方面又介绍的较为琐碎，既不便于他们对有关知识的掌握，又不便于对有关的工程规定进行更深的理解。本书则试图在克服上述两个不足方面做些工作，力求给读者一个简单明了又便于理解的介绍。对于不太常用的内容或在常用手册和专著中已经有详细介绍的内容，本书则进行了简略，有兴趣深入研究的读者可参阅有关专著和手册。

第一节 静力分析的基础知识

静力是指不随时间而变化的力。在压力管道所承受的众多载荷中，大多数都属于静载荷（即静力）。工程上实际应用的压力管道所承受的静载荷种类是比较多的，常见的有介质的内压、管道元件的自重、管道内的介质重量、管道外的隔热材料重量、管道的热胀和位移载荷等。这些载荷作用于管道上的特点和方式是不同的，因此它们对管道强度的影响特点也不同，由此也导致了管道力学研究的复杂性。为了便于理解，本节中在介绍几个力学基本概念之后，先从简单情况下的受力变形及强度计算开始介绍，然后再切入复杂应力状况下的受力变形及强度计算的介绍。

一、基本概念

管子及其元件若受到外部载荷的作用，当外部载荷较小时，它能够正常工作，但若受到的外部载荷较大且超出某一极限值时，管子及其元件可能发生断裂、爆破或较大的变形而不能正常工作。管子及其元件因受载荷过大而导致的断裂、爆破等损坏称之为强度破坏。换句话说管子及其元件的强度是指它在载荷的作用下抵抗断裂、爆破的能力。同理，管子及其元件因受载荷过大而导致的过度变形使其不能正常工作，通常称之为刚度破坏。换句话说，管子及其元件的刚度是指它在载荷的作用下抵抗变形的能力。管道力学研究的任务就是寻找使管子及其元件不发生强度破坏或刚度破坏时能承受的最大载荷，并在保证满足强度和刚度要求的前提下，以最经济为原则来选择合适的管子元件材料、壁厚、空间结构等。在实际的工程设计中，管子及其元件因刚度不够而破坏（失效）的情况较少，故这里不作重点介绍。

众所周知，管道及其元件能够承受的最大载荷除与材料本身的物理性能（如材料的强度和刚度）有关外，还与其规格尺寸、壁厚、结构形状、空间布置等有关。而管道及其元件的破坏实质上是反映了材料物理性能的破坏，即受力超出了材料的强度或刚度指标。那么如何将管道元件的受力与材料的物理性能指标挂上钩呢？即如何来消除管道元件的规格尺寸、壁厚、结构形状等因素的影响而直接以材料的性能指标（σb 、σs 、Φ、δ、A k 等）作为设计判据呢？为此我们引入应力的概念。应力是指材料单位面积上的力。它避开了管子及其元件规格尺寸、壁厚等因素的影响，只要外部载荷使材料产生的应力超出材料本身的强度指标，即认为管子及其元件将发生强度破坏。

对于一个平面或空间管道来说，在载荷的作用下，其各点的应力是不相同的，即使在管道的同一个截面上，不同的点其应力值也有差别。这些概念在下面的介绍中将会看到。为了求解出各点的应力，不妨假想用一个截面将管子及其元件剖开，那么剖切截面上所受的力称之为内力。内力是反映材料内部各部分因相对位置改变而引起的相互作用力。根据力学的基本原理，对于理想弹性体，其内力与外力是平衡的。根据这个平衡关系，可以求解管子及其元件（以下为了简化叙述，仅以管子为例）各截面上的内力。求解出这个内力后，应力则随之可以求出，即：

σ平= F/A

式中：σ平----管子中某截面上的平均应力，MPa ；

F ----管子某截面上所承受的内力，N ；

A ----管子某截面的受力面积，mm 2。

为了进一步消除面积的影响，将所取面积无限缩小，当面积A 趋于零时，即可得到某点的应力σ： dA

dF A F A =∆∆=→∆0lim σ

通常所说的应力一般是指某点的应力。

因为力F 是一个矢量，故应力σ也是一个矢量。常将垂直于截面的应力叫做正应力，用σ表示。平行于截面的应力叫剪应力，用τ表示。正应力和剪应力引起材料破坏的形式是不相同的。

为了便于研究，假想从管子上的任一部分取出一个边长为△X 的正方体，当△X 趋于零时，可认为在单元体上各点的力和应力是均匀分布的，通常将这样的几何体叫做微型单元体（简称微元）。微元在应力的作用下，会发生变形。通常将微元各边的单位变形量叫做线应变（简称应变），即有：

dx

du X U o X =∆∆=→∆lim ε

式中：ε----管子中某微元上在某一方向上的线应变；

ΔU----管子中某微元上在某一方向上的总变形量，mm ；

ΔX----管子中某微元的边长，mm ；

同理，通常将微元某角度的改变量γ

叫做剪应变或角应变。一般情况下，正应力引起微元的线应变，剪应力引起微元的角

应变。

如果微元仅发生弹性变形，即将微元上的应力控制在材料的比例极限内，那么根据虎克定律可以得到应力与应变的关系为：

σ=E .ε， τ=G .r

式中：σ和τ分别表示微元的正应力和剪应力，MPa ；

ε和r 分别表示微元的线应变和角应变；

E 和G 分别表示材料的拉伸弹性模量（简称弹性模量）和剪切弹性模量，MPa ；。

对一般的弹性材料来说，在它受拉伸变形的同时，往往会伴随着横向收缩变形。以一根园棒为例，当它受拉伸长时，模截面会缩小。试验证明，园棒的拉伸伸长量和横向收缩量在材料的比例极限内成正比，而且二者的比值是一常数，通常称这个常数为材料的泊松比。即：

ε

εμ'

=

式中：μ----材料的泊松比。对于工程上常用的材料，其μ≈0.33；

ε’----微元的横向应变；

ε----微元的轴向应变；

对于各向同性材料来说，可以证明（证明略）E 、G 、μ三个弹性常数之间存在如下关系：