20172018学年度圆锥曲线测试题

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2017-2018学年度圆锥曲线测试题
理科
考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明
一、单选题
1．已知抛物线2
:4C y x =的焦点F ，直线l 与C 交于A B 、两点，且2BF FA =，则直线l 的斜率可能为（ ）
A. B.
C. 1
D.
4
2．已知椭圆22
22:1x y E a b
+=的左右焦点分别为12,F F ，过右焦点2F 作x 轴的垂线，交
椭圆于,A B 两点.若等边1ABF ∆的周长为 ）
A. 22132x y +=
B. 22136x y +=
C. 22123x y +=
D. 22
194x y +=
3．设双曲线221x y m n +=的离心率为，且一个焦点与抛物线28x y =的焦点
相同，则此双曲线的方程是（ ）
A. 2213y x -=
B. 221412x y -=
C. 22
13x y -= D. 221124
x y -=
4．若中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线离心率为，则此双曲线的渐近线
方程为（ ）
A. y x =±
B. y x =
C. y =
D. 1
2
y x =± 5．设点12,F F 分别是双曲线()22
2102
x y C a a -
=>：的左、右焦点，过点1F 且与x 轴垂
直的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点．若2ABF ∆的面积为线方程为
A. y =
B. y x =
C. y =
D. 2
y x =± 6．若点P 到点()4,0F 的距离比它到直线50x +=的距离小于1，则P 点的轨迹方程是（ ）
A. 2
16y x =- B. 2
32y x =- C. 2
16y x = D. 2
32y x =
7．一个椭圆中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上， (P 是椭圆上一点，且
1122PF F F PF 、、成等差数列，则椭圆方程为（ ）
A. 22186x y +=
B. 221166x y +=
C. 22184x y +=
D. 22
1164x y += 8．设12,F F 是椭圆
22
11612
x y +=的两个焦点， P 是椭圆上的一点，且P 到两焦点的距离之差为2，则12PF F ∆是（ ）
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 斜三角形
D. 钝角三角形 9．双曲线2
2
1x y -=的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A. 1
B.
C. 2
D.
10．如果椭圆22
142
x y +=的弦被点()1,1平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A. 230x y +-= B. 230x y --= C. 230x y +-= D. 230x y ++=
第II 卷（非选择题）
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二、填空题
11．过点()1,1M 的直线与椭圆22
143x y +=交于,A B 两点，且点M 平分弦AB ，则直线AB 的方程为__________．
12．已知圆()2
2:34C x y ++=及点()3,0A ， Q 为圆周上一点， AQ 的垂直平分线交直线CQ 于点M ，则动点M 的轨迹方程为__________．
13．若椭圆两焦点为()14,0F -， ()24,0F ，点P 在椭圆上，且12PF F ∆的面积的最大值为12，则此椭圆的方程是__________．
三、解答题
14．已知抛物线的标准方程是2
6y x =. （1）求它的焦点坐标和准线方程；
（2）直线l 过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为A B 、，求AB 的长度.
15．已知椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的一个焦点为
)
，点P 为圆2
2
13M x y +=：上任意一点， O 为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切， l 与圆M 相交于另一点A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，证明：直线PB 与椭圆C 相切.
16．设F 为抛物线2
2C y x =：的焦点， ,A B 是抛物线C 上的两个动点. （Ⅰ）若直线AB 经过焦点F ，且斜率为2，求AB ；
（Ⅱ）若直线40l x y -+=：，求点A 到直线l 的距离的最小值. 17．（本小题满分14分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>过点()2,0A ，且离心率为
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线y kx =C 交于,M N 两点．若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．
18．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ， 若椭圆上一点P 满
足124PF PF +=，且椭圆C 过点31,2⎛
⎫
-- ⎪⎝⎭
，过点()4,0R 的直线l 与椭圆C 交于两点,E F ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若点E '是点E 在x 轴上的垂足，延长EE '交椭圆C 于N ，求证： 2,N F F 三点共线．
19．如图， ,A B 是椭圆2
2:14
x C y +=长轴的两个端点， ,P Q 是椭圆C 上都不与,A B 重合的两点，记直线,,BQ AQ AP 的斜率分别是,,BQ AQ AP k k k .
（1）求证： 1•4
BQ AQ k k =-
； （2）若4AP BQ k k =，求证：直线PQ 恒过定点，并求出定点坐标. 20．设
分别是双曲线的左、右焦点.若点在双曲线上，且
，求
的值.
参考答案
1．A
【解析】设A 、B 两点坐标分别为()()1122,,A x y B x y
2BF FA =
()()221121,1,x y x y ∴--=- ， ()1212121,2x x y y -=-=-
由题意，设直线AB 的方程为()1y k x =-，代入抛物线方程得： 2
440ky y k --= ，因
为直线与抛物线有两个交点，所以0k ≠， 2=16160k ∆+>， 12124
,4y y y y k
+==-，
把122y y =-代入即可解得k =± A. 2．A
【解析】 由题意可得等边1ABF ∆，则AB =，
由椭圆的定义可得12233
a AF AF =+=
+=a =
由1222F F c ==
=，即有1c =，则b == 则椭圆的方程为22
132
x y +=，故选A ． 3．A
【解析】由已知得抛物线的焦点为()0,2,所以0,0n m ><, 2,
c c a ==,所以,双曲线的方程是2
213
y x -=.故选A. 4．B
【解析】因为离心率c
e a ==，所以222b a =，又焦点在y 轴上，所以渐近线方程为
2
y x =±
，故选B ． 5．D
【解析】设()()10,0,,F c A c y --，则2
20212
y c a -=，
∴2222202222
212y c c a b a a a a -=-===， ∴2024
y a
=
， ∴042AB y a
==。

又2ABF S ∆=，
∴
11442222c c AB c a a ⨯⨯=⨯⨯==
∴
c a =，
∴2
b a ==。

∴该双曲线的渐近线方程为y x =。

选D 。

点睛：
双曲线的渐进线是双曲线的重要性质之一，也是高考的常考点，题型一般以选择题或填空题为主。

求双曲线的渐近线方程时，可利用222c a b =+转化为关于,a b 的方程或不等式，其
中常用到双曲线渐近线的斜率与离心率的关系，即b k a a
=±=±
==。

6．C
【解析】 因为点P 到点()4,0的距离比它到直线50x +=的距离少1， 所以将直线50x +=右移1个单位，得到直线40x +=，即4x =-， 可得点P 到直线4x =-的距离等于它到点()4,0的距离，
根据抛物线的定义，可得点P 的估计是以点()4,0为焦点，以直线4x =-为准线的抛物线， 设抛物线方程为2
2y px =，可得
42
p
=，得216p =， 所以抛物线的方程为2
16y x =，即为P 点的轨迹方程，故选C ． 7．A
【解析】 因为1122,,PF F F PF 成等差数列， P 是椭圆上的一点，
所以121222F F PF PF a =+=，所以2a c =，
设椭圆的方程为
22
221(0)x y a b a b
+=>>，则222
2
22{ 431a c
a b c a b
==++=，
解得2
6a c b ===，故椭圆的方程为22
186
x y +=，故选A ． 点睛：本题考查了椭圆的标准方程的求解及其几何性质的应用，对于求椭圆的标准方程的
基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据,,a b c 的关系，求出,a b 的值，同时解答中注意椭圆定义的应用，其中利用待定系数求解圆锥曲线的方程是常见的一种求解轨迹方程的重要方法． 8．A
【解析】 由椭圆的方程，可得2
2
16,12a b ==，所以22216124c a b =-=-=， 则()()122,0,2,0F F -，
由椭圆的定义得1228PF PF a +==，又P 到两焦点的距离之差为2， 不妨设12PF PF >，则122PF PF -=，解得125,3PF PF ==， 又1224F F c ==，所以2
2
2
1221F F PF PF +=，
所以12PF F ∆是直角三角形，故选A ．
点睛：本题主要考查了椭圆定义及标准方程的应用，三角形形状的判断问题，解答的关键在于运用椭圆的定义列出方程组，得到三角形三边的长度，即可确定三角形的形状． 9．A
【解析】根据双曲线的方程得到焦点为
)
，渐近线为： y x =±，根据点到直线的距
离得到焦点到渐近线的距离为 1.d == 故答案为：A 。

10．A
【解析】 设过点()1,1A 的直线与椭圆相交于两点()()1122,,,E x y F x y ， 由中点坐标公式可得
1212
1,122
x x y y ++==，
则22
1122
22
1
42
{ 142
x y x y +=+=，两式相减得()()()()12121212044x x x x y y y y +-+-+=， 所以
121212
y y x x -=--，所以直线EF 的斜率1
2121
2y y k x x -==--， 所以直线EF 的方程为()1
112
y x -=--，整理得230x y +-=，故选A ． 11．3470x y +-=
【解析】设()11,A x y ， ()22,B x y ，根据中点坐标公式， 122x x +=， 122y y +=，且
2211143x y +=， 2222143x y +=，两式相减，化简可得()()()()1212121234y y y y x x x x -+=--+，所以121234y y x x -=--，即直线的斜率为3
4
-，根据点斜式，得到直线AB 的方程为3470x y +-=.
点睛：过点()00,M x y 的直线与椭圆22
221x y a b
+=交于,A B 两点，且点M 平分弦AB 。

求
直线方程，常用的方法是点差法：分别设出交点的坐标： ()11,A x y 、()22,B x y ，带入椭
圆方程得到一个方程组221122
22
22221{1x y a b x y a b
+=+=，作差得到直线斜率和中点的关系：
2021
2210b x y y x x a y -=--，即2020
AB b x k a y =-,进而求出直线方程。

12．2
2
18
y x -= 【解析】 由AQ 的垂直平分线交直线CQ 于点M ，得MA MQ =，圆的半径为2， 所以26MC MA AC -=<=，故点M 的轨迹是以,C A 为焦点的双曲线， 所以由题意的22,26a c ==，所以2
2
2
1,38a c b c a ==⇒=-=，
焦点在x 轴上，故所求方程为2
2
18
y x -=．
点睛：本题考查了定义法求解双曲线的标准方程，要注意挖掘所给条件的几何性质进行分析，对于轨迹方程的求解；直线过定点问题，常用方法有：(1)直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系(),0F x y =．(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．(4)代入(相关点)法：动点(),P x y 依赖于另一动点()00,Q x y 的变化而运动，常利用代入法求动点(),P x y 的轨迹方程．
13．
22
1259
x y += 【解析】 设P 点的坐标为(),x y ，则12121
42
PF F S F F y y ∆=
==， 显然y 取最大时，三角形面积最大，因为P 点在椭圆上，所以P 在y 轴上，此时y 最大， 所以P 点的坐标为()0,3±，所以3b =，因为222a b c =+，所以5a =，
所以椭圆的方程为
22
1259
x y +=． 14．(1)焦点为3,02F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，准线方程： 32x =-；(2)12.
【解析】试题分析：
（1）抛物线的标准方程为2
6y x =，焦点在x 轴上，开口向右， 26p =，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）现根据题意给出直线l 的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦
半径公式求解即可． 试题解析：
（1）抛物线的标准方程是y 2
=6x ，焦点在x 轴上，开口向右，2p=6，∴= ∴焦点为F （，0），准线方程：x=﹣，
（2）∵直线L 过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°， ∴直线L 的方程为y=x ﹣，
代入抛物线y 2
=6x 化简得x 2﹣9x+=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=9， 所以|AB|=x 1+x 2+p=9+3=12． 故所求的弦长为12． 点睛：本题考查了直线与怕西安的位置关系中的弦长公式的应用，本题的解答中根据直线过
抛物线的焦点，根据抛物线的定义，抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．同时如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
15．（Ⅰ）22
194
x y +=（Ⅱ）见解析 【解析】试题分析：（1）
根据椭圆的几何性质得到c =
3
c a =，进而求得方程；（2）由点P 的坐标写出直线PA ，由相切关系得到(
)
2
2
2
100001449240x k x y k y ⎡⎤∆=---+-=⎣⎦
，
同理，由直线PB 与椭圆C 也得到： (
)2
22000
02
1
11449
24x x y y k k ⎡
⎤∆=--++-⎢⎥⎣
⎦
，再由22
0013y x =-，可化简得到20∆=.
解析：
（Ⅰ）解：由题意，知c =
c a =， 所以3a =，
2b ==，
所以椭圆C 的标准方程为22194
x y +=. （Ⅱ）证明：由题意，点B 在圆M 上，且线段AB 为圆M 的直径，
所以PA PB ⊥.
当直线PA x ⊥轴时，易得直线PA 的方程为3x =±， 由题意，得直线PB 的方程为2y =±，
显然直线PB 与椭圆C 相切. 同理当直线//PA x 轴时，直线PB 也与椭圆C 相切. 当直线PA 与x 轴既不平行也不垂直时，
设点()00,P x y ，直线PA 的斜率为k ，则0k ≠，直线PB 的斜率1k
-， 所以直线PA ： ()00y y k x x -=-，直线PB ： ()001
y y x x k
-=-
-， 由()0022
,
{
1,94
y y k x x x y -=-+= 消去y ，
得()
()()2
2
2
000094189360k x y kx kx y kx ++-+--=.
因为直线PA 与椭圆C 相切，
所以()()
()2
2210000184949360y kx k k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--+--=⎣⎦⎣⎦
， 整理，得(
)
2
2
2
100001449240x k x y k y ⎡⎤∆=---+-=⎣⎦
（1）
同理，由直线PB 与椭圆C 的方程联立， 得(
)
2
2
200002111449
24x x y y k k ⎡
⎤∆=--++-⎢⎥⎣
⎦
.（2） 因为点P 为圆2
2
13M x y +=：上任意一点，
所以22
0013x y +=，即220013y x =-.
代入（1）式，得()()
222
00009290x k x y k x --+-=，
代入（2）式，得()()
222
200002144924x x y k y k k
⎡⎤∆=-
-++-⎣⎦ ()()
222
00002144929x x y k x k k
⎡⎤=--++-⎣⎦ ()()
222
00002144929x k x y k x k
⎡⎤=--+-⎣⎦ 0=.
所以此时直线PB 与椭圆C 相切. 综上，直线PB 与椭圆C 相切.
点睛：这个题目考查的是直线和圆锥曲线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值。

16．（Ⅰ）5
2
AB =
（Ⅱ）4.
【解析】试题分析：（1）联立直线和曲线得到二次方程，由弦长公式得到AB 长度；（2）用
点线距离公式得到d =， A 是抛物线C 上的动点，得2
002y x =，二元化一元，
求值域即可。

解析：
（Ⅰ）由题意，得1,02F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则直线AB 的方程为122y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.
由212,
{ 22,
y x y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭= 消去y ，得24610x x -+=.
设点()11,A x y ， ()22,B x y ，
则0∆>，且1232x x +=， 121
4
x x =，
所以1252
AB x =-==.
（Ⅱ）设()00,A x y ，
则点A 到直线l 距离d =
.
由A 是抛物线C 上的动点，得2
002y x =，
所以)2
2000417d y y y =
-+=-+，
所以当01y =时， min 4
d =
.
即点A 到直线l 的距离的最小值
4
. 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
17．（1）2214
x y +=（2）k = 2k =±
【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆22
22:1x y C a b +=过点()2,0A ，可得2a =，再由离心率为
222a b c =+，可求得1b =，从而可得椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线PA 的方程为
()2y k x =-，则()3,P k ，
PA =，由2
2
{
44,
y kx x y =++= 得
()
2
24180k
x +++=，由韦达定理、弦长公式结合PA MN =，可得
421656330k k -+=，解方程即可求得的值.
试题解析：（Ⅰ）由题意得 2a =， c e a ==， 所以 c =
因为 222a b c =+， 所以 1b =，
所以 椭圆C 的方程为 2
214
x y +=． （Ⅱ）若四边形PAMN 是平行四边形， 则 //PA MN ，且 PA MN =. 所以 直线PA 的方程为()2y k x =-， 所以 ()3,P k ，
PA =
．
设()11,M x y ， ()22,N x y ． 由
22{
44,
y kx x y =++= 得(
)224180k x +++=，
由0∆>，得 212
k >
．
且12x x +=， 122
8
41
x x k =+． 所以
MN =
=
因为 PA MN =， 所以
=
整理得 421656330k k -+
=， 解得
2k =±
，或 2
k =±．
经检验均符合0∆>，但k =时不满足
PAMN 是平行四边形，舍去． 所以
k =
2
k =± 18．（1）22
:143
x y C +=（2）见解析
【解析】试题分析：（1）由椭圆定义可得1224PF PF a +==，再通过点在椭圆上求得
23b =，进而得椭圆方程；
（2）由题知直线l 的斜率必存在，设l 的方程为()4y k x =-，点
()()()
112211,,,,,E x y F x y N x y -，直线与椭圆联立得
(
)
2222343264120k x k x k +-+-=，由题可得直线FN 方程为()21
1121
y y y y x x x x ++=
--，
由
()()
11224,4y k x y k x =-=-化简直线
FN
方
程
为
()()()
()211121
444k x k x y k x x x x x -+-+-=
--，令0y =，可得直线FN 过点()1,0，进而
得证.
试题解析：
（1）依题意， 1224PF PF a +==，故2a =，将31,2⎛
⎫-- ⎪⎝⎭代入
22214x y b +=中， 解得2
3b =，故椭圆22
:143
x y C +=； （2）由题知直线l 的斜率必存在，设l 的方程为()4y k x =-， 点()()()112211,,,,,E x y F x y N x y -，联立()224{
3412
y k x x y =-+=得()2
2234412x k x +-=，
即(
)
222
2
2
2
121222
326412
343264120,0,,3434k k k
x k x k x x x x k k -+-+-=∆>+==++，
由题可得直线FN 方程为()21
1121
y y y y x x x x ++=
--，
又∵()()11224,4y k x y k x =-=-， ∴直线FN 方程为()()()
()211121
444k x k x y k x x x x x -+-+-=
--，
令0y =，整理得()212
1212211
11212244488
x x x x x x x x x x x x x x x -+--+=+=+-+-
22222
222
22
64123224243434341323224328
3434k k k k k k k k
k k --⨯-⨯
+++===---++，即直线FN 过点()1,0， 又∵椭圆C 的右焦点坐标为()21,0F ， ∴三点2,,N F F 在同一条直线上． 19．(1)见解析(2) 直线PQ ： 65x ty =+
恒过定点605⎛⎫
⎪⎝⎭
， 【解析】试题分析：（1）用坐标表示,BQ AQ k k ，利用点在椭圆上易得结果；（2）由（Ⅰ）知：
1
·14
BQ AP AP AQ k k k k =
⇒=-．设PQ ：
x ty m =+，联立方程得：
()
2
224240t
y mty m +++-=，借助韦达定理表示·
1AP AQ k k =-，从而得到6
5
m =，故直线PQ ： 65x ty =+恒过定点605⎛⎫
⎪⎝⎭
，
. 试题解析：
（Ⅰ）设()11Q x y ，， ()20B -，， ()20A ，，
2
12111221111114··22444
BQ AQ
x y y y k k x x x x -
∴====-+---． （Ⅱ）由（Ⅰ）知： 111
··1444
BQ AP AP AQ AP AQ k k k k k k =
⇒=-⇒=-． 设()22P x y ，，直线PQ ： x ty m =+，
代入2
2
44x y +=，得()
2224240t y mty m +++-=，
122
24mt
y y t -∴+=+， 212244m y y t -=+， 由·
1AP AQ k k =-得： ()()1212220x x y y --+=， ()
()()()2
212121220t y y m t y y m ∴++-++-=，
()()
()()()()
2
2221422240t m m t mt m t ∴+-+--+-+=，
2m ≠，∴上式解出： 6
5
m =，
∴直线PQ ： 65x ty =+恒过定点605⎛⎫
⎪⎝⎭
，
．
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
20．
【解析】试题分析：根据双曲线的定义。

因为，则，所以焦点三角形为直角三角形，根据勾股定理得：，
在由可求.
试题解析：由双曲线知：，
∵，∴，
∴，
∴.
点睛：双曲线:上任意一点与双曲线的左右焦点构成焦点三角形，在
解焦点三角形的相关问题时，常有技巧：(1)双曲线的定义：；(2)三角形的余弦定理：.。