2015级数学物理方程期末试题A-2015
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
武汉大学2015—2016 学年度第 一 学期
《数学物理方法》试卷（A ）
学院 专业 班 学号 姓名 分数
一、（本题10分）写出下列物理问题的定解问题
1. 一散热片的横截面为矩形，边长分别为a 和b 。它的一边处于较高的温度0T ，其它三边处于绝热状态，初始温度分布为220(,,)t u x y t x y ==-，写出该横截面上的温度分布满足的定解问题。
2. 一内外半径分别为1R 和2R 的薄圆环，若圆环的上下面绝热，圆盘边缘的温度分布为，
1
2(,)
cos R u ρρϕϕ==，2
(,)
cos R
u ρρϕϕ==，试写出圆环上稳定的温度分布的定解问题。
二、（本题10分）定解问题 00()(0,0),0()t xx x x l t u Du f x x l t u At u u x ϕ===⎧-=<<>⎪
==⎨⎪
=⎩，若要使边界条件齐次化，
求其辅助函数，并写出边界条件齐次化后相应的定解问题。
三、（本题10分）求解一维无界波动问题 001(,0)2sin 2cos tt xx t t t u u x t u x
u x
==⎧-=-∞<<+∞>⎪⎪
=⎨⎪=-⎪⎩
四、（本题15分）利用分离变量法求解下列定解问题：两端固定弦的波动问题。
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧====><<=-====x
u
u u u t x u u t t t x x xx tt 2sin 200
)
0,0(04000ππ
五、（本题15分）1.（5分）证明:若),(t x u 是方程0=-xx t
u u 的解，则)
,(2
βα++t k kx u （其中βα,,k 为任意常数）仍然是方程0=-xx t u u 的解。
2.（10分） 设a 为常数，求解下列定解问题
1) 00(,0)()t x t u au x t u x ϕ=-=-∞<<∞>⎧⎨=⎩ 2)0
(,)(,0)()t x t u au f x t x t u x φ=+=-∞<<∞>⎧⎨=⎩
六、（本题20分）1. （5分）计算积分⎰-+=1
1
12)(dx x P x I l
2. （15分）一内、外半径分别为a 和2a 的均匀球壳，球壳内外均无电荷，球壳内表面上 的电势分布为0，球壳外表面上的电势分布为0cos u θ，求：1)球壳内(2)a r a <<的电势分布；2）将单位正电荷从球壳外表面移到a r 3=的球面电场力所做的最小和最大功是多少？
七、（本题20分）1.（5分）计算积分 1
300()I x J kx dx =⎰
若0m k x =，0
m x 是零阶Bessel 函数)(0x J 的零点，则积分值为多少？
2.（15分）半径为1的圆形膜，边缘固定，初始形状为20),(ρρ==t t u ，初始速度为零。试：1）写出膜的振动的定解问题；2）定解问题的本征值和本征值函数；3）分离变量后，关于)(t T 满足的方程的解；4）求出该问题的解。
参考公式 (1) 球坐标中算符2∇的表达式22222222
sin 1sin sin 11ϕθθθθθ∂∂+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∇r r r r r r 柱坐标中算符2∇的表达式222222
11z
∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∇ϕρρρρρ (2) Legendre 方程 0)()1(])
()
1[(2=++-x y n n dx
x dy x dx d (3)Legendre 多项式 k
l l k l
k
l x k l k l k k l x P 220
)!2()!(!2)!22()1()(-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=∑----= (4) Legendre 多项式的递推公式 0)()()12()()1(11=++-+-+x lP x xP l x P l l l l ，)0(≠l
(5) Legendre 多项式的正交关系 kl l k l x P x P δ1
22
)()(11+=
⎰- (6) 整数阶Bessel 函数
∑
∞
=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=022)!
(!)1()(m n
m m
n x n m m x J ∑∞
=--⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=n m n
m m n x n m m x J 22)!(!)1()( (7) Bessel 函数的递推关系
[]
)()(1x J x x J x dx
d n n n n -= []
)()(1x J x x J x dx d n n n n
+---= (8) 广义 Fourier 展开 ∑∞==1
)()(m n
m n m k J C f ρρ 20211()()()2
a n m n m n n m C J k f d a J x ρρρρ+=⎰