1.2导数的计算 教学设计 教案
江苏省铜山县高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算(第3课时)教案 新人教A版选修2-2
导数的计算（第3课时）一、教学目标：1．掌握两个函数的商的求导法则．2．能正确运用已学过的导数公式和导数四则运算法则，求某些简单函数的导数．3．能运用导数的几何意义与物理意义，解决有关的曲线、直线问题及物体运动问题．二、教学重点：掌握商的求导法则，灵活运用求导的四则运算法则；教学难点：商的求导法则与积的求导法则联系与区别的理解．三、教学用具：投影仪四、教学过程1．复习引入（1）复习两个函数的和（差）的求导法则：v u v u '±='±)(（2）学生练习：求函数x x y sin 2+=的导数．（3）复习两个函数的积的求导法则：.)(v u v u uv '+'='（4）学生练习：求函数x x y sin 2⋅=的导数． （5）问题：如何求函数xx y sin 2=的导数？ 2．新授1．法则3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．)0( 2≠'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛v v v u v u v u 回顾导数定义：x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim)(00 证明：设.0)(,)()()(≠==x v x v x u x f y 则 )()()()()()()()()()(x v x x v x x v x u x v x x u x v x u x x v x x u y ∆+∆+-∆+=-∆+∆+=∆[][])()()()()()()()(x v x x v x v x x v x u x v x u x x u ⋅∆+-∆+--∆+= ∴)()()()()()()()(x v x x v x x v x x v x u x v x x u x x u x y ⋅∆+∆-∆+⋅-⋅∆-∆+=∆∆ 因为)(x v 在点x 处可导，所以)(x v 在点x 处连续．于是当0→∆x 时，).()(x v x x v →∆+ 从而[]20)()()()()(lim x v x v x u x v x u x y x '-'=∆∆→∆．即.2v v u v u v u y '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛=' 说明： ①.v u v u ''≠'⎪⎭⎫ ⎝⎛ ②类比：v u v u uv '+'=')(， 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛ ③.2v v u v u v u '+'≠'⎪⎭⎫ ⎝⎛ ④若两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的情况下分母不为0）必可导．若两个函数必不可导，则它们的和、差、积、商不一定可导． 例如，设xx x g x x x f 1cos )(1sin )(-=+=、，则)()(x g x f 、在0=x 处均不可导，但它们的和x x x g x f cos sin )()(+=+在0=x 处可导．2．范例①判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正．222sin )cos 1(2cos 1x x x x x x x ++='⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 答案：不正确．应为322cos 2sin cos 1x x x x x x ---='⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 注：.2v v u v u v u '-'≠'⎪⎭⎫ ⎝⎛ ②求.sin cos sin 2sin )(sin sin 22222xx x x x x x x x x y -='⋅-'=③求332++=x x y 在点3=x 处的导数． 解：.)3(36)3(2)3()3(1222222++--=+⋅+-+⋅='x x x x x x x y .6114424)39(318923-=-=++--='=x y ④求x y tan =的导数． 解：x x x x x x x x y x x x y 22cos 1cos )(cos sin cos )(sin cos sin ,cos sin tan ='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛='∴== ∴.sec 2x y ='变式练习：求x y cot =的导数．（答案：.csc 2x y -='） ⑤求xx y 2sin sin 12+=的导数． 解：将函数变形为：.cot 21tan cos sin 2sin cos sin 2sin sin 12222x x x x x x x x x y +=++=+= ∴.csc 21sec )(cot 21)(tan 22x x x x y -='+'=' ⑥求xx x x x y 9532-+-=的导数． 解：2123953--+-=xx x y ∴23212123)21(901233)(95)(3---⋅-+-⋅='-'+'-'⋅='x x x x x y .1)11(292-+=xx 注：有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导．有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．3．应用 ①求曲线122+=x x y 在点（1，1）处的切线方程． 回顾导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率．解：2222222)1(22)1(22)1(2,12+-=+⋅-+='∴+=x x x x x x y x x y .04221=-='=x y 即曲线在点（1，1）处的切线斜率.0=k 因此曲线122+=x x y 在点（1，1）处的切线方程为.1=y ②曲线运动方程为2221t t t s +-=，求3=t 时的速度． 回顾导数的物理意义：瞬时速度是位移函数)(t s 对时间t 的导数：).()(x s x v '=解：运动物体在3=t 时的速度即是函数)(t s 在3=t 时的导数．.21121212222222t tt t t t t t t t s +-=+-=+-= ∴.2726111227291 .4121332=++-='+⋅+-='=t s t t t s即运动物体在3=t 时的速度为.272611（三）小结（纳入知识体系）1．综合上节与本节可知：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．曲线的切线问题及物体的运运速度问题均均可借助于导数的几何意义及物理意义转化为简单函数的求导问题得到解决．（四）练习五、布置作业。
江苏省铜山县高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算(第2课时)教案新人教A版选修2-2
导数的计算(第2课时）一、教学目标：1．了解函数的和、差、积的导数公式的推导；2．掌握两个函数的和、差、积的求导法则;3．能正确运用两个函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数．二、教学重点：掌握函数的和、差、积的求导法则;教学难点：对积的求导法则的理解及运用．三、教学用具：投影仪 四、教学过程(一）导入新课1．复习：.2)(,3)(,)(2231x x x x nx x n n ='='='-2．提出问题：求函数23x x y +=的导数．3．回顾导数的定义: x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00 4．学生尝试，利用导数定义求23)(x x x f +=的导数．xx x x x x x x x f x x f x f x x ∆+-∆++∆+=∆-∆+='→∆→∆)()()(lim )()(lim )(232300.23)2)(33(lim )(2)()(33lim 222023220x x x x x x x x xx x x x x x x x x x +=∆++∆+∆⋅+=∆∆+∆⋅+∆+∆+∆⋅=→∆→∆5．探究：.23)(,2)(,3)(223223x x x x x x x x +='+='='结论：.)()()(2323'+'='+x x x x6．猜想：[][]).()()()(),()()()(x v x u x v x u x v x u x v x u '-'='-'+'='+（二）新授1．学生尝试猜想的证明:[]).()()()(x v x u x v x u '±'='±．证明：令).()()(x v x u x f y ±==[][])()()()(x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆[][].)()()()(v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+= ∴.x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆ .lim lim lim lim0000x v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆即[]).()()()(x v x u x v x u '±'='± 2．法则1 两个函数的和(或差）的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即： .)(v u v u '±'='±3．范例:①求x x y sin 3+=的导数．解:由两个函数的和的求导法则，可得：.cos 3)(sin )(23x x x x y +='+'='②求324+--=x x x y 的导数．解：由两个函数的和(或差）的求导法则，可得：.1243--='x x y4．法则 2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即：.)(v u v u uv '+'='指导学生尝试法则2的证明：令).()()(x v x u x f y ⋅==)()()()(x v x u x x v x x u y -∆+⋅∆+=∆),()()()()()()()(x v x u x x v x u x x v x u x x v x x u -∆+⋅+∆+-∆+⋅∆+=.)()()()()()(xx v x x v x u x x v x x u x x u x y ∆-∆+⋅+∆+⋅∆-∆+=∆∆ 因为)(x v 在点x 处可导，所以它在点x 处连续，于是当0→∆x 时,)()(x v x x v →∆+．从而x x v x x v x u x x v x x u x x u x y x x x ∆-∆+⋅+∆+⋅∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆)()(lim )()()()(lim lim000 ).()()()(x v x u x v x u '+'=即：v u v u uv y '+'='=')(说明：1．学生尝试证明法则2时可能存在一定障碍．教师应及时指导学生注意导数定义的形式．2．.)(v u uv ''≠'3．若C 为常数,则.0)(u C u C u C u C Cu '='+='+'='即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数．.)(u C Cu '='5．应用①求453223-+-=x x x y 的导数．解:由函数的和(差）与积的求导法则,可得.5662+-='x x y②求)23)(32(2-+=x x y 的导数．解:3)32()23(4)23)(32()23()32(222⋅++-='-++-'+='x x x x x x x y 98182+-=x x解的变化：6946)23)(32(232-+-=-+=x x x x x y∴.98182+-='x x y注：在可能的情况下，求导时应尽量少用甚至不用乘积的求导法则．③求)11(32xx x x y ++=的导数． 解：.23,113223xx y x x y -='∴++= ④求)11)(1(-+=xx y 的导数．解:先化简，2121111-+-=-+-⋅=x x xx x x y ∴.112121212321⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--='--x x x x y ⑤求2cos 2sin x x x y -=的导数． 解:先使用三角公式进行化简．x x x x x y sin 212cos 2sin -=-= ().cos 211sin 21sin 21x x x x x y -='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='∴ 注：在求导之前，应利用代数、三角恒等变形对函数进行化简,然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．(三）小结（纳入知识体系）在导数的概念一节中，我们求函数的导数时，利用导数的定义和极限式．当我们在推导未知的求导法则（如本课时的法则1与法则2）时，我们仍然只能使用导数的定义．导数的极限式．但对于一些简单函数的求导，上节课我们已经得到了常函数、幂函数、正弦函数、余弦函数的求导公式,本课时我们又得出了函数的和、差、积的求导法则．因此，对于由常函数、幂函数、正弦函数、余弦函数，利用加、减、乘运算得到的一些简单函数的求导，我们均能利用这两节课学习的求导法则与求导公式很快地求出,而不必每一问题均回到导数定义．(四）练习：五、布置作业尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
1.1.2导数的概念(教学设计)
3.1变化率与导数（教学设计）（2）3．1．2导数的概念教学目标：1、知识与技能：通过对课本实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，让学生知道瞬时变化率就是导数。
2、过程与方法：①通过动手计算（作图）培养学生观察、分析、比较和归纳能力，并结合物理学中的知识进行对比。
②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣. 教学重点、难点重点：导数概念的形成，导数内涵的理解，由瞬时变化率过度到导数的概念难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点教学过程：一、创设情景，引入新课：1、回顾上节课留下的思考题：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.计算运动员在6549t≤≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。
为什么会产生这样的情况呢？二、师生互动、新课讲解：问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？问题二：请大家继续思考，当Δt取不同值时,尝试计算(2)(2)h t ht+∆-=∆v的值？学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，所以我让学生利用计算器，分组完成问题二，问题三：当Δt 趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？让学生分组讨论，板演，展示计算结果，同时口答：在t=2时刻,Δt 趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度，体会逼近思想；另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳，通过逼近思想，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆问题四：运动员在某个时刻0t 的瞬时速度如何表示呢？运动员在某个时刻0t 的瞬时速度如何表示? 学生意识到将0t 代替2,可类比得到000()()lim t h t t h t t∆→+∆-∆（1）气球在体积v 0时的瞬时膨胀率如何表示呢？类比之前学习的瞬时速度问题,引导学生得到瞬时膨胀率的表示000()()limv r v v r v v∆→+∆-∆（2）如果将这两个变化率问题中的函数用()f x 来表示，那么函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率如何呢？导数的概念：从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()limlim x x f x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-例1：求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2再求6f x x∆=+∆∆再求0lim 6x f x ∆→∆=∆解：222211113313(1)|limlim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 变式训练1： 一条水管中流过的水量y （单位：m 3）是时间x （单位：s ）的函数y= f(x)=3x.求函 数y= f(x)在x=2处的导数，并解释它的实际意义.例2：求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)limlim(3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 变式训练2：利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数例3（课本P6例1）：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。
高中数学1.2.2导数的运算法则教案新人教版选修2_2
课题：§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法 则教学目标： 教学重点：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求 简单函数的导数 基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程与设计：详细过程一．创设情景四种常见函数 y c 、 y x 、 y x2 、 y 1 的导数公式及应用 x二．新课讲授函数导数（一）基本初等函数的ycy' 0导数公式表函数 y x y c y x2 y f (x) xn (nyQ1*)x yy sfin(xx) xn (n Q*) y cos xy' 1 导数y' 2x y' 0y'1 x2y'nxn1y' nx yn1' cos xy' sin xy f (x) axy' ax ln a (a 0)y f (x) exy' ex（二）导数的运 算法则f (x) loga xf(x)logaxf' ( x)1 x lna(a0且a 1)f (x) ln xf '(x) 1 x导数运算法则1． f (x) g(x)' f '(x) g'(x)2． f (x) g(x)' f '(x)g(x) f (x)g'(x)'3． f (x) g(x) f'(x)g(x) f ( g ( x)2x)g'(x)(g(x)0)（2）推论：cf (x)' cf '(x)（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 三．典例分析例 1．假设某国家在 20 年期间的年均通货膨胀率为 5% ，物价 p（单位：元）与时间 t（单位：年）有如下函数关系 p(t) p0 (1 5%)t ，其中 p0 为 t 0 时的物价．假定某种商品 的 p0 1 ，那么在第 10 个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到 0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有 p' (t) 1.05t ln1.05所以 p' (10) 1.0510 ln1.05 0.08（元年）因此，在第 10 个年头，这种商品的价格约为 0.08 元年的速度上涨． 例 2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1） y x3 2x 3（2）y ＝ 1 1 ； 1 x 1 x（3）y ＝x · sin x · ln x； （4）y ＝ x ；4x （5）y ＝ 1 ln x ．1 ln x （6）y ＝（2 x2－5 x ＋1）ex（7） y ＝ sin x x cosx cosx x sin x【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例 3 日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将 1 吨水净化到纯净度为 x% 时所需费用（单位：元）为 c(x) 5284 (80 x 100) 100 x求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1） 90% （2） 98%解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．c' ( x)( 5284 )' 100 x5284' (100 x) 5284 (100 (100 x)2x)'0 (100 x) 5284 (1) (100 x)25284 (100 x)2（1）因为c' (90)5284 (100 90)252.84，所以，纯净度为90% 时，费用的瞬时变化率是 52.84 元吨．（2）因为c' (98)5284 (100 90)21321，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是 1321 元吨．函数 f (x) 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，c' (98) 25c' (90) ．它表示纯净度为 98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度 为 90%左右时净化费用的瞬时变化率的 25 倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快． 四．课堂练习 1．课本 P92 练习 2．已知曲线 C：y ＝3 x 4－2 x3－9 x2＋4，求曲线 C 上横坐标为 1 的点的切线方程；（y ＝－12 x ＋8） 五．回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则 六．布置作业。
江苏省铜山县高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算(第4课时)教案新人教A版选修2-2
导数的计算(第4课时）一、教学目标：1．了解复合函数的概念；2．会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合;3．理解复合函数的求导法则，并会简单的运用;4．提高辨析事物本质的能力．二、教学重点：复合函数的求导法则的应用； 教学难点：复合函数的求导法则的证明．三、教学用具:投影仪四、教学过程 1．复习旧知识（1)初等函数在定义域内每一点都是连续的．（2）如果函数)(x f y =在点0x 处可导,那么函数)(x f y =在点0x 处连续．（3）如果函数)(x f y =在点0x x =处及其附近有定义，而且)()(lim 00x f x f x =→∆，就说函数)(x f 在点0x 处连续． 令x x x ∆+=0，则00→∆⇔→x x x ，又y x f x x f x f x f ∆=-∆+=-)()()()(000,上述连续性理解为0→∆x 时,0→∆y ．（4)若23,2-==x u u y ，则.________,='='x u u y2．学习新知识（1）介绍复合函数的概念（1)由2u y =与23-=x u 复合得.)23(2-=x y像.)23(2-=x y 这样由几个函数复合而成的函数就是复合函数．一般地，由)()(x u u f y ϕ==与得复合函数()[].x f y ϕ=（2）增例1 指出下列函数的复合关系：Ⅰ．32)2(x y -= Ⅱ．2sin x y = Ⅲ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 4cos π Ⅳ．)13sin(ln -=x y 解：Ⅰ．32)2(x y -= 由232,x u u y -==复合而成．Ⅱ．2sin x y =由2,sin x u u y ==复合而成．Ⅲ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 4cos π由x u u y -==4,cos π复合而成． Ⅳ．)13sin(ln -=x y 由13,sin ,ln -===x v v u u y 复合而成．(3)增例2 写出由下列函数复合而成的函数：Ⅰ．21,cos x u u y +==Ⅱ．x u u y ln ,ln ==解：Ⅰ．)1cos(2x y += Ⅱ．).ln(ln x y =（2）复合函数的求导法则通过对2)23(-=x y 展开求导及按复合关系求导，直观地得到x u x u y y '⋅'='．给出复合函数的求导法则,并指导学生阅读法则的证明．注意,不深究此证明的严谨性．（3）复合函数的求导法则的应用讲解教科书例1,要求步骤规范，首先设中间变量，再对几个简单函数分别求导，最后应强调把中间变量换成自变量的函数．（4)归纳小结请一个学生归纳这节课所学知识，必要时教师适当指导．（1)形如()[].x f y ϕ=的函数称为复合函数．(2)复合函数求导步骤：分解—-求导——回代．3．反馈练习教科书练习．教科书习题3。
1.2导数的计算-教学设计-教案
I教学准备1.教学目标(1)用导数定义，求函数的导数•(2 )能用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数(3)理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题，培养学生的应用意识2.教学重点/难点【教学重点】：能用导数定义，求函数的导数•【教学难点】：能用基本初等函数的导数公式和导数加减运算法则求简单函数的导数3.教学用具多媒体4.标签1.2.1几个常见函数的导数教学过程教学活动1、 导数概念及其几何意义;2、 求函数的导数的方法是：（1）求函数的改变量3 = /（时呵-/（力・⑵求平均变化率包=十乂一仏）.Ax &（3）取极限,得导数y = f©= tm 垒• 工* Ax 1. ®S> =/（x ）=C ft^根据导数定义，因为企二竺竺二型 = £Z£ = o Ax 心 &所以 V = lim — = lim 0 = 0Ax 公*函数导数y = cy=oy =0表示函数p=c 图像（图321）上毎一点处的切线的 斜率都为0 .若P C 表示路程关于呵间的国数，则F = 0可 以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止 状态.2. 囲心=加=的导数因为 * 二 /（x+Ax ）_/（力二 K + A X _K 二］Ax Ax Ax卩=1表示函数y = rS^ 3.2-2）上毎一点处的切线的斜率都为1.若y = x^示路程关于时间的函数〉则）—1可 以解释为某物体俶瞬时速度为1的匀速运动.（以教师计算演示为主,说明根抿定义求导数这种方法的具体操作过程■〉所次》'=Hm — = lim 1 = 1 人 y AX-*O函数导数v = Xv r = l■教学环节-X复习 引入让学生模仿，根据具体步菠亲自尝试求导过程. 3・ 2^4 v =/(x) =x2因为垒=/(x+Ar)_/(X)= (“3』Ax Ax Ax疋+2 乂&+(Ar)2-兀‘A= -------------------------- =2x+AxAx所叹# = lim — = lim(2x+Ax)二2xAr->0 /\y 0函数导数y=ixV二2x表示函数y = x2厨像（厠3.2-3）上点（x5 y）处的切线的斜率都为2x,说明随着x的变化，切线的斜率也在变化.另一•方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明；当"0时，随着x的増加，函数＞=，减少得越来越慢；当Q0时，随看x的增加，函数增加得越来越快.若$ = x滦示路程关于时间的函数，则y' = 2乂可以解释为某物体俶变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x •1 _ 1 因为叟二/（卄心）-/（力=工十山一匚X dx -Ax工_(兀+Ar) __ 1所以 y = lim. — = lim,(----- ) = \-M 3Ax MT O x-Ax x函数导数1, 1 V =—J' =-— XX5- OSj = /(x) = & 的导数推广：若>-/(x)=A^eO 4),则Ar)=^\ 说明:请注意公式中的条件是応Q ；但根据我们所拿握的知 识只能就” e V 的情况加以证明•这个公式称为黑国数的导数公式事实卜用可以杲仟育实数.因为空=空込竺AxAxJ ：X 十 Nr -y/x(X + zlx) 一 XAx( J JC +Ax +扳) 1 7x+Ax 十五= lim 空 Ax =lim (ix-K>)=1探究I:在同一平面直角坐标系中』画出函数 v = 2^y=3^y =4x 的图却 并根据导数的定5G 求它1门 的导数一 (1讽團象上看，它们的导數分別表示什么？〔泌三个函数中」那一个増加^最快？哪一个摺抑得最慢？(3涌数尸砕询増〔减》的快慢2什么有关？ 教师指导学生分织进行探究性学习，分别展示探究结论'教 师给予分析、评价并总结- 探究2=画出函数―丄的團象一根据團象，描述它的变化情X况，并求出曲线在点(L1)处的切线方程■ 练习L 求下别血数的导数一Ob * ⑵(3) y = jc*(x>0)1(4) y = ^(x>0)练习2.求三次曲线严/在点(2⑻处的切线方程.课堂小结(1滋函數F = /«的导锁的一股万法： <0求函数的改变量Av = f(x 十Ax)-f{jd ・② 求平均变化率—=nw 一心.Ay Ar③ 取根限"得翱”=门刀二^—- ⑵常见函数的导数公式：c*=0i (刊=叱三、师生互动，编 四、运属1知，1*。
高中数学第一章1.2导数的运算1.2.1常见函数的导数教学案苏教版选修27
1.2.1 常见函数的导数已知函数(1)f (x )＝c ，(2)f (x )＝x ，(3)f (x )＝x 2， (4)f (x )＝1x，(5)f (x )＝x .问题1：函数f (x )＝x 的导数是什么？ 提示：∵Δy Δx＝fx ＋Δx －f x Δx ＝x ＋Δx －xΔx＝1，∴当Δx →0时，ΔyΔx →1，即x ′＝1.问题2：函数f (x )＝1x的导数是什么？提示：∵Δy Δx ＝fx ＋Δx －f x Δx ＝1x ＋Δx －1x Δx＝x －x ＋Δx x x ＋Δx Δx ＝－1x 2＋x ·Δx，∴当Δx →0时，Δy Δx →－1x 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2.1．(kx ＋b )′＝k (k ，b 为常数)； 2．C ′＝0(C 为常数)； 3．(x )′＝1； 4．(x 2)′＝2x ； 5．(x 3)′＝3x 2； 6.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′＝－1x2；7．(x )′＝12x.1．(x α)′＝αxα－1(α为常数)；2．(a x)′＝a xln_a (a >0，且a ≠1)； 3．(log a x )′＝1xlog a e ＝1x ln a(a >0，且a ≠1)； 4．(e x )′＝e x； 5．(ln x )′＝1x；6．(sin x )′＝cos_x ； 7．(cos x )′＝－sin_x .函数f (x )＝log a x 的导数公式为f ′(x )＝(log a x )′＝1x ln a，当a ＝e 时，上述公式就变形为(ln x )′＝1x，即f (x )＝ln x 是函数f (x )＝log a x 当a ＝e 时的特殊情况．类似地，还有f (x )＝a x 与f (x )＝e x.[对应学生用书P7][例1] (1)y ＝x 8； (2)y ＝1x3；(3)y ＝x x ； (4)y ＝log 2x .[思路点拨] 解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导． [精解详析] (1)y ′＝(x 8)′＝8x 7； (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x3′＝(x －3)′＝－3·x －4＝－3x4；(3)y ′＝(x x )′＝(x 32)′＝32·x 12＝3x2；(4)y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.[一点通] 用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时应根据所给函数的特征，恰当地选择求导公式，有时需将题中函数的结构进行调整，如根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x 的导数是________．解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ，所以y ′＝－sin x . 答案：－sin x2．下列结论中不正确的是________． ①若y ＝3，则y ′＝0； ②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3； ③⎝⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x； ④若y ＝x ，则y ′＝1.解析：①正确；②sin π3＝32，而(32)′＝0，不正确；对于③，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝(－x －12)′＝12x －32＝12x x，正确；④正确． 答案：②3．求下列函数的导函数． (1)y ＝10x；(2)y ＝log 12x ；(3)y ＝4x 3；(4)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1.解：(1)y ′＝(10x)′＝10xln 10； (2)y ′＝(log 12x )′＝1x ln12＝－1x ln 2；(3)∵y ＝4x 3＝x 34，∴y ′＝(x 34)′＝34x －14＝344x ；(4)∵y ＝(sin x 2＋cos x2)2－1＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .[例2] 求函数f (x )＝6x 5在x ＝1处的导数．[思路点拨] 先求导函数，再求导数值． [精解详析] ∵f (x )＝16x 5＝x －56，∴f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －56′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x －116，∴f ′(1)＝－56.[一点通] 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解．4．若函数f (x )＝3x ，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝(3x )′＝(x 13)′＝13x －23，∴f ′(1)＝13.答案：135．若函数f (x )＝sin x ，则f ′(6π)＝________. 解析：∵f ′(x )＝(sin x )′＝cos x . ∴f ′(6π)＝cos 6π＝1.答案：1 6．已知f (x )＝1n x且f ′(1)＝－12，求n .解：f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n x ′＝(x －1n )′＝－1n x －1n －1＝－1n x －n ＋1n ，∴f ′(1)＝－1n，由f ′(1)＝－12得－1n ＝－12，得n ＝2.[例3] (1)曲线在点A (1,1)处的切线方程； (2)过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程．[思路点拨] (1)点A 在曲线上，故直接求导数，再求直线方程；(2)B 点不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程．[精解详析] (1)y ′＝2x ，当x ＝1时，y ′＝2，故过点A (1,1)的切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)∵B (3,5)不在曲线y ＝x 2上，∴可设过B (3,5)与曲线y ＝x 2相切的直线与曲线的切点为(x 0，y 0)． ∵y ′＝2x ，∴当x ＝x 0时，y ′＝2x 0.故切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)． 又∵直线过B (3,5)点， ∴5－x 20＝2x 0(3－x 0)． 即x 20－6x 0＋5＝0. 解得x 0＝1或x 0＝5.故切线方程为2x －y －1＝0或10x －y －25＝0. [一点通](1)求切线方程是导数的应用之一，有两种情况： ①求曲线在点P 处的切线方程，P 为切点，在曲线上；②求过点P 与曲线相切的直线方程，P 不一定为切点，不一定在曲线上． (2)求曲线上某点(x 0，y 0)处的切线方程的步骤： ①求出f ′(x 0)，即切线斜率； ②写出切线的点斜式方程； ③化简切线方程．(3)求过点P 与曲线相切的直线方程的步骤： ①设出切点坐标为(x 0，y 0)；②写出切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)； ③代入点P 的坐标，求出方程．7．已知直线y ＝x ＋a 与曲线y ＝ln x 相切，则a 的值为________．解析：设切点为P (x 0，y 0)，∵y ′＝1x ，由题意得1x 0＝1，∴x 0＝1，∴点P 的坐标为(1,0)，把点P 的坐标代入直线y ＝x ＋a ，得a ＝－1.答案：－18．求曲线y ＝2x 2－1的斜率为4的切线的方程．解：设切点为P (x 0，y 0)，y ′＝4x ，由题意知，当x ＝x 0时，y ′＝4x 0＝4， 所以x 0＝1.当x 0＝1时， y 0＝1，∴切点P 的坐标为(1,1)． 故所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.1．对公式y ＝x n 的理解：(1)y ＝x n中，x 为自变量，n 为常数；(2)它的导数等于指数n 与自变量的(n －1)次幂的乘积．公式中n ∈Q ，对n ∈R 也成立． 2．在应用正、余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题：(1)对于公式(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x ，一要注意函数的变化，二要注意符号的变化．(2)对于公式(ln x )′＝1x 和(e x )′＝e x 很好记，但对于公式(log a x )′＝1xlog a e 和(a x)′＝a xln a 的记忆就较难，特别是两个常数log a e 与ln a 很容易混淆．[对应课时跟踪训练(三)]一、填空题1．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－4，则α的值是________． 解析：∵f (x )＝x α，∴f ′(x )＝αx α－1，∴f ′(－1)＝α(－1)α－1＝－4.∴α＝4. 答案：42．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为________．解析：设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1x 20＝－4.所以x 0＝±12，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 3．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则适合方程f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 值为________． 解析：由导数公式可知f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2. 所以2x ＋1＝3x 2，即3x 2－2x －1＝0. 解之得x ＝1或x ＝－13.答案：1或－134．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x ln a ，∴f ′(1)＝1ln a＝－1. ∴ln a ＝－1，即a ＝1e .答案：1e5．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于________． 解析：∵y ′＝(ln x )′＝1x，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)．即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.由ln x 0－1＝0，知x 0＝e.∴k ＝1e .答案：1e二、解答题6．求下列函数的导数． (1)y ＝lg 2； (2)y ＝2x；(3)y ＝x 2x；(4)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)y ′＝(lg 2)′＝0； (2)y ′＝(2x )′＝2xln 2； (3)y ′＝(x 32)′＝32x 12；(4)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x . 7．已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解：∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则当x ＝x 0时，y ′＝2x 0. 又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1， 即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， ∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.8．求曲线y ＝1x和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x，y ＝x 2解得交点为(1,1)．∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′＝－1x2， ∴曲线y ＝1x在(1,1)处的切线方程为y －1＝－x ＋1，即y ＝－x ＋2.又y ′＝(x 2)′＝2x ，∴曲线y ＝x 2在(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.y ＝－x ＋2与y ＝2x －1和x 轴的交点分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. ∴所求面积S ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝34.。
江苏省铜山县高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算(第6课时)教案 新人教A版选修2-2
导数的计算（第六课时）一、教学目标：1．掌握函数x x a log ln 、的导数公式； 2．应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数；3．提高分析、解决问题能力以及运算能力．二、教学重点：结合函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数．教学难点：对数函数求导公式的灵活运用． 三、教学用具：投影仪 四、教学过程1．复习（1）问题 叙述复合函数的求导法则．（2）练习 求下列函数的导数： Ⅰ．21x y -=；Ⅱ．.2sin x y = 答案：Ⅰ．21x x --；Ⅱ．.2cos 2x 2．新授1．直接给出对数函数的导数公式（1）x x 1)(ln ='． 2．求证对数函数的导数公式（2）e xx a a log 1)(log ='． 证明：.log 11ln 1ln ln )(log e xx a a x x a a =⋅='⎪⎭⎫ ⎝⎛=' 注：以上两个公式均是对数函数的导数公式．公式（1）尤其简单易记，x ln 的导数等于1-x ．公式（2）略显复杂，x a log 的导数除了1-x ，还有另一因子e a log ，即aln 1，由证明过程看出是由使用换底公式而来．试思考：求幂函数m x 的导数能得1-x 吗？3．公式的应用让学生解答教科书例1，用多媒体展示其过程，需强调中间变量1322++=x x u ．让学生解答教科书例2，并分组交流、讨论、比较各种解法的优劣，引导学生归纳方法和技巧，寻找规律性的策略．这样，突出了学生的主体地位，学生感到自己会学习，增强了学会学习、学会求知的兴趣和信心．引处可向学生说明，真数中若含乘方或开方、乘法或除法的，均可先变再求导．此例中解法2优于解法1，实际上，解法1中21,,lg x v v u u y -===，取了两个中间变量，属于多重复合．而解法2中21,lg 21x u u y -==，仅有一次复合，所以其解法业得简单，不易出错． 补充 例：求下列函数的导数： （1）)1(log 22x x y ++=；（2）2211ln x x y -+=； （3）xx y 2sin ln =；（4）).(sin ln 2x e y -= 边分析，边讲解．解：（1）)1(1log 222'++++='x x x x ey .1log 111log )1(12111log 222222222x e x x x x e x x x x e+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+⋅++++= 解：由对数运算性质，有)].1ln()1[ln(2122x x y --+= 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'--+'+='22221)1(1)1(21x x x x y42212121221x x x x x x -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=解：（3）'⎪⎭⎫ ⎝⎛='x x x x y 2sin 2sin x x x x x x x x 12cot 212sin 22cos 2sin 2-=⋅-⋅⋅⋅=解：（4）)(sin ])([sin 22x e x e y -'-=' )cot(2)(sin )()cos()sin(2)(sin ])[sin()sin(222x e x e x e x e x e x e x e x e --=-'-⋅-⋅-=-'-⋅-=请学生用先变形再求导的方法，再解第（4）小题．4．反馈训练Ⅰ．求下列函数的导数：（1）)ln(cos x y =；（2）x y 2ln 1+=；（3）x x y lg =；（4）).sin 1(log 2x y +=答案：（1）x tan -；（2）x x x2ln 1ln +；（3）e x lg lg +；（4）e xx 2log sin 1cos +． Ⅱ．教科书练习．5．课堂小结知识：要记住并用熟对数函数的两个求导公式．技能：注意遇到真数中含有乘法、除法、乘方、开方这些运算的，应先利用对数运算性质将函数解析式作变形处理，然后再求导，可使运算较简便．五、布置作业教科书习题3.5第1题．补充 求下列函数的导数：（1）)73(ln 2+=x y ；（2）)32(cos ln 3-=x y ；（3）)1ln(2-+=x x y ；（4）.ln 3x x y = 答案：（1）73)73ln(6++x x ；（2）)32tan(6--x ；（3）112-x ；（4）.ln 322x x x +。
人教版高中数学选修(2-2)-1.2《导数的计算》教学设计
1.2 导数的计算一、教学目标 1．核心素养通过学习导数的计算，提升推理论证、计算求解与应用能力． 2．学习目标（1）1.2.1能根据导数定义，求函数21,,,,y c y x y x y y x===== （2）1.2.2能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．（3）1.2.3能利用复合函数求导法则求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +）的导数． 3．学习重点（1）利用导数的定义求五个函数21,,,,y c y x y x y y x ===== （2）利用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数． 4．学习难点两个函数的积与商的求导法则的应用，复合函数求导法则的理解与应用． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1阅读教材P 12－P 14，思考：常用函数的导数是什么？ 是如何计算得到的？ 任务2阅读教材P 14－P 17，思考：导数运算法则是什么？符合函数的求导法则是什么？2．预习自测 1．函数1y x x=+的导数是____________. 解：211y x =-2．函数cos sin y x x x =-的导数为（ ）A.sin x xB.sin x x -C.cos x xD.cos x x - 解：B3．设()f x =，则'(1)f = .（二）课堂设计 1．知识回顾（1）函数的定义是什么？给定自变量的取值，有唯一确定的函数值与之对应. （2）函数()f x 在0x x =处的导数是0000()()limlim x x y f x x f x x x ∆→∆→∆+∆-=∆∆.（3）函数()f x 在0x x =处的导数是关于0x 的函数吗？对于函数()f x 来说，给定0x 的取值，则0()f x '是一个确定的值,所以是一个函数. 2．问题探究问题探究一 、几个常用函数（21,,,,y c y x y x y y x===== ●活动一 动手计算，收获几个结论请大家用导数的定义分别推导出函数21,,,,y c y x y x y y x =====. 1．若y c =（c 为常数），则y '=_________； 2．若y x =，则y '=_______________； 3．若2y x =，则y '=___________________； 4．若1y x=，则y '=_______________；5．若y =y '=__________________.●活动二 阅读查表，记忆导数公式1．若()f x c =（c 为常数），则()f x '=_______； 2．若*()()f x x Q αα=∈，则()f x '=_______. 3．若()sin f x x =，则()f x '=________________； 4．若()cos f x x =，则()f x '=_____________.5．若()x f x a =，则()f x '=_________； 特别地：若()x f x e =，则()f x '=_________. 6．若()log a f x x =，则()f x '=_______； 特别地：若()ln f x x =，则()f x '=________.为避免记忆混淆，可将上述公式可分为四类记忆：（1）（2）属于幂函数的导数公式；（3）（4）属于三角函数的导数公式；（5）是指数函数的导数公式；（6）是对数函数的导数公式． 例1求下列函数的导数．(1)y ＝a 2(a 为常数)； (2)y ＝5x 3； (3)y ＝x －4； (4)y ＝lg x . 【知识点：导数的运算】解：(1)∵a 为常数，∴a 2为常数，∴y ′＝(a 2)′＝0.(2)'32'553'5y x x -⎛⎫=== ⎪⎝⎭(3)y ′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5 (4)y ′＝(lg x )′＝1x ln10. 例2 求函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数． 【知识点：导数的运算】解：''113122211'()22f x x x x ----⎛⎫===-=-= ⎪⎝⎭∴f ′(1)＝－12，∴函数f (x )在x ＝1处的导数为－12.点拨：熟记导数公式，能够应用导数公式求相应函数的导数. ●活动三 认识规律，熟练掌握法则 导数的四则运算法则是什么？（1）[()()]f x g x '±=___________； （2）[()()]__________________f x g x '⋅=； （3）()[]___________________()f xg x '=. 由积的导数运算法则可推出：[()]()cf x cf x ''=．在积、商的导数运算法则中，要注意：一般情况下，[()()]()()f x g x f x g x '''⋅≠⋅，()()[]()()f x f xg x g x ''≠'，不要与[()()]()()f x g x f x g x '''±=±混淆． ●活动四 应用法则，扩充导数公式请利用初等函数的导数和导数的四则运算法则计算下列函数的导数： 1．若()ln f x x x =，则()f x '=_______； 2．若2()x f x x e =，则()f x '=_______.3．若()tan f x x =，则()f x '=_____________；4．若()ln f x x =，则()f x '=_____________. 例3 求下列函数的导数．(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝x 2sin x ；(4)y ＝2tan x ＋3tan x ；(5)y ＝x ·e x ＋ln x . 【知识点：导数的运算】解： (1)y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(2)先化简，得y ＝－x 12 ＋x －12 ∴y ′＝－12x －12 －12x －32 ＝－x ＋12x x .(3)y ′＝(x 2)′sin x －x 2(sin x )′sin 2x ＝2x sin x －x 2cos x sin 2x.(4)解法1：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x cos x ＋3cos x sin x ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x sin x ′＝2cos 2x ＋2sin 2x cos 2x ＋－3sin 2x －3cos 2xsin 2x ＝2cos 2x －3sin 2x .解法2：y ′＝2ta n′x －3tan′x tan 2x ＝tan′x (2－3tan 2x )＝1cos 2x (2－3cos 2x sin 2x )＝2cos 2x －3sin 2x . (5)y ′＝(x ·e x )′＋(ln x )′＝e x ＋x ·e x ＋1x ＝(1＋x )·e x ＋1x . 点拨：熟记导数公式是求导函数的关键.●活动一 什么是复合函数及复合函数求导法则？（1）一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作(())y f g x =． （2）复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数的关系为：y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．例4求下列函数的导数．(1)y ＝1(1－3x )4； (2)y ＝3ax 2＋bx ＋c ； (3)ax b y e -+=. 【知识点：导数的运算】 解：(1)y ＝u －4，u ＝1－3x .∴y ′＝y ′u ·u ′＝(u －4)′·(1－3x )′＝－4·u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝12(1－3x )5.(2)y ＝u 13 ，u ＝ax 2＋bx ＋c .y ′＝y ′u ·u ′x ＝13u －23 ·(2ax ＋b )＝13(ax 2＋bx ＋c ) －23 ·(2ax ＋b )＝(2ax ＋b )3ax 2＋bx ＋c 3(ax 2＋bx ＋c ).(3)y ＝e u ，u =－ax +b .，y ′＝y ′u ·u ′x ＝e u ·(－ax +b )′＝e u ·(－a )＝ax b ae -+-． 点拨：分清函数由哪些函数复合而成，是求复合函数导数的关键. ●活动二 应用新知，解决典型例题例5 求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与在这点的切线垂直的直线方程．【知识点：导数的运算；导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ，曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线斜率是y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23， ∴所求的直线方程为y －12＝23⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，即2x －3y －2π3＋32＝0.例6已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．12【知识点：导数的运算；导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：设切点为(x 0，y 0)，00013131222x x y x x x x ⎛⎫' ⎪⎝⎭＝＝－＝－＝－.∵x 0>0，∴x 0＝2.点拨：求切线方程的步骤： (1)利用导数公式求导数． (2)求斜率．(3)写出切线方程．注意导数为0和导数不存在的情形．●活动三 函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系. （1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数．（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f (x )的导函数 （3）函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是求函数在点0x 处的导数的方法之一． 3．课堂总结 【知识梳理】（1）基本初等函数的导数公式（2①[()()]'f x g x ±= ；②()()'f x g x =⎡⎤⎣⎦ ； ③()[]'()f xg x = [()0].g x ≠ （3）复合函数的导数：若(),y f u u ax b ==+，则x u x y y u '''=⋅，即x y '= .【重难点突破】（1）运用导数的四则运算法则，可推出以下三个常用结论： ①1212[()()()]()()()n n f x f x f x f x f x f x ''''±±±=±±±；②[()()]()()af x bg x af x bg x '''±=±；③2()1()[()]g x g x g x ''⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦． （2）求复合函数导，一般按以下三个步骤进行：①分解：分解复合函数为基本初等函数，注意适当选择中间变量；②层层求导：求每一层基本初等函数的导数（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；③作积还原：将各层基本函数的导数相乘，并将中间变量还原为原来的变量． 利用复合函数求导时，要注意选择合适的中间变量.例如，对于函数41(34)y x =+，可令31u x =+，4y u -=；也可令4(31)u x =+，1y u -=，显然前一种形式更有利于求导．（3）应用导数公式与运算法则求导时，应注意以下三点： ①对幂函数求导时，要将根式、分式化为指数式，以便应用公式； ②对较复杂函数求导时，可考虑“先化简，再求导”，以减少运算量. ③根据函数的结构，合理选择求导公式与运算法则. 4．随堂检测1．已知f (x )＝x 2，则(3)f '=（ ） A ．0B ．2xC ．6D ．9【知识点：导数的运算】 解：C2．函数y ＝x －(2x －1)2的导数是（ ） A ．3－4xB ．3＋4xC ．5＋8xD ．5－8x【知识点：导数的运算】 解：D 3．函数y ＝cos x1－x的导数是（ ） A.－sin x ＋x sin x(1－x )2B.x sin x －sin x －cos x(1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x1－x【知识点：导数的运算】 解：C4．已知函数f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C. 2D ．a >0【知识点：导数的运算】 解：B5．设2()(5)6ln f x a x x =-+，其中a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴相交于点(0,6)，则a =_________.【知识点：导数的运算；导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：12（三）课后作业基础型自主突破1．给出下列命题：①若y＝π，则y′＝0；②若y＝3x，则y′＝3；③若y＝1x，则y′＝－12x；④若3y'=，则y＝3x.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点：导数的运算】解：B2．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于1，则这样的切线有（）A．1条B．2条C．3条D．不确定【知识点：导数的运算；导数的几何意义】解：B3．若2()24lnf x x x x=--，则()0f x'>的解集为（）A．(0,)+∞B．(1,0)(2,)-+∞C．(2,)+∞D．(1,0)-【知识点：导数的运算】解：C4．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为()A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2 【知识点：导数的几何意义】解：C提示：∵y＝ln x的导数为y′＝1x，∴1x＝12，解得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其代入直线y＝12x＋b得b＝ln 2－1.5．曲线y＝x n在x＝2处的导数为12，则n等于（）A．1 B．2 C．3 D．4 【知识点：导数的运算】解：C6．求下列函数的导数（1）3log y x = （2）31x y x e =+- （3）sin(12)y x =+（4）1ln y x x x=+（5） y ＝2sin x 2(1－2sin 2x4)．【知识点：导数的运算】 解：（1）1ln 3y x '=（2）232ln 2x y x '=+⋅（3）()22cos(1)(12)2cos 1y x x x ''=+⋅+=+ （4）211ln y x x'=+-（5）∵y ＝2sin x 2(1－2sin 2x 4)＝2sin x 2cos x2＝sin x . ∴y ′＝(sin x )′＝cos x ．能力型 师生共研7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '=（ ）A ．e -B ．1-C ．1D ．e【知识点：导数的运算】 解： B8．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足()()f x g x ''=，则f (x )与g (x )满足（ ）A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )－g (x )为常数函数C ．f (x )＝g (x )＝0D ．f (x )＋g (x )为常数函数【知识点：导数的运算】 解： B9．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为________．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：14 提示：由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12x －12|x ＝14＝g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝a14，可得a ＝14，经检验，a＝14满足题意．10．若函数f (x )＝x m＋ax 的导数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和S n 是（ ）A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1D.n ＋1n【知识点：导数的运算】 解： A探究型 多维突破11．已知1()sin cos ()f x x x x R =+∈，记*21321()(),()(),,()()(,2)n n f x f x f x f x f x f x n N n -'''===∈≥，则122014()()()222f f f πππ+++=____________.【知识点：导数的运算】解：0 提示：2()cos sin f x x x =-，3()sin cos f x x x =--，4()cos sin f x x x =-+，5()sin cos f x x x =+，以此类推，可得出4()()n n f x f x +=，又1234()()()()0f x f x f x f x +++=，所以122014123412()()()503[()()()()]()()0222222222f f f f f f f f f πππππππππ+++=+++++=12．已知曲线C ：y ＝x 3－6x 2－x ＋6. （1）求C 上斜率最小的切线方程；（2）证明：曲线C 关于斜率最小时切线的切点对称．【知识点：导数的运算】 解：(1)y ′＝3x 2－12x －1＝3(x －2)2－13.当x ＝2时，y ′最小，最小值为－13，切点为(2，－12)，切线方程为y ＋12＝－13(x －2)，即13x ＋y －14＝0. (2)证明：设(x 0，y 0)∈C ，(x ，y )是(x 0，y 0)关于(2，－12)的对称点，则⎩⎨⎧x 0＝4－x ，y 0＝－24－y .∵(x 0，y 0)∈C ，∴－24－y ＝(4－x )3－6(4－x )2－(4－x )＋6， 整理得y ＝x 3－6x 2－x ＋6.∴(x ，y )∈C ，于是曲线C 关于切点(2，－12)对称．自助餐1．下列四组函数中导数相等的是（ ）A ．f (x )＝2与g (x )＝2xB ．f (x )＝－sin x 与g (x )＝cos xC ．f (x )＝2－cos x 与g (x )＝－sin xD ．f (x )＝1－2x 2与g (x )＝－2x 2＋4【知识点：导数的运算】 解： D2．设函数22()(0)x a f x a x+=>，若0()0f x '=，则x 0＝（ ）A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2【知识点：导数的运算】 解： B3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为（ ） A.193 B.103C.133D.163【知识点：导数的运算】 解： B4．函数y ＝x 2＋12x －1的导数是（ ）A.2＋xx 2＋1·(2x －1)2B ．－2＋x1＋x 2·(2x －1)2C.4x 2－x ＋2(2x －1)2D.4x 2－x ＋2(2x －1)2x 2＋1【知识点：导数的运算】 解： B5．已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ）A ．[0,4π)B ．[,)42ππC ．3(,]24ππD ．3[,)4ππ 【知识点：导数的运算】解： D6．（1）已知f (x )＝xe x ＋sin x cos x ，则f ′(0)＝________.（2）已知g (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则g ′(1)＝________.【知识点：导数的运算】解：（1）2 ；（2） 24提示：(1)f ′(x )＝e x ＋x ·e x ＋cos2x ，∴f ′(0)＝1＋1＝2.(2)()(1)[(2)(3)(4)(5)](2)(3)(4)(5)g x x x x x x x x x x ''=-----+---- 所以g ′(1)＝(1－2)(1－3)(1－4)(1－5)＝24.7．设函数()f x 在(0,)+∞内可导，且()x x f e x e =+，则(1)f '=______________.【知识点：导数的运算】 解：28．已知函数()f x 及其导数()f x '，若存在0x ，使得00()()f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”，下列函数中，存在“巧值点”的是_____________ ①2()f x x =，②()x f x e -=，③()ln f x x =，④()tan f x x =.【知识点：导数的运算】 解：①③提示： ①中，令00()()f x f x '=，可得：00x =或02x =，故存在“巧值点”.②中，令00()()f x f x '=，可得：0x x e e --=-，显然无解，故不存在“巧值点” ③中，令00()()f x f x '=，可得：001ln x x =，由于ln y x =与1y x=的图像有交点，因此方程有解. 故存在“巧值点”.④中，令00()()f x f x '=，可得：0201tan cos x x =，即：00sin cos 1x x =，显然无解. 故不存在“巧值点”9．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线C 1：y =x 2+a 到直线l :y =x 的距离等于曲线C 2：x 2+(y +4)2=2到直线l :y =x 的距离，则实数a =_______.【知识点：导数的运算；数学思想：数形结合】解：49提示：曲线C 2：x 2+(y +4)2=2到直线l :y =x的距离为d =-==曲线C 1：y =x 2+a 对应函数的导数为2y x '=，令12=x 得21=x ，所以C 1：y =x 2+a 上的点为)41,21(a +，点)41,21(a +到到直线l :y =x 的距离应为2，所以211|4121|22=+--a ，解得49=a 或47-=a （舍去）. 10．已知函数()f x 满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+，则()f x =____________. 【知识点：导数的运算】解：212x e x x -+ 提示：1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+ 令1x =得：(0)1f =，即1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+⇒==⇔=，得：21()2x f x e x x =-+11．已知11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为函数2()2f x x x a =++（0x <，a R ∈）的图像上的两点,且12x x <.若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，则21x x -的最小值为___________.【知识点：导数的运算；数学思想：数形结合】解：1 提示：由题知：()22f x x '=+，且12()()1f x f x ''=-，于是可得：12(22)(22)1x x ++=-，化简得：12114(1)x x =--+，从而21221114(1)x x x x -=++≥+.12．已知二次函数()f x 只有一个零点，且()22f x x '=+. （1）求()f x 的表达式； （2）若()()x f x g x e=，求曲线()y g x =在点(0,(0))P g 处的切线l 与两坐标轴围成的三角形面积S .【知识点：导数的运算；数学思想：数形结合】解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+，又()22f x x '=+，所以1,2a b ==. 即2()2f x x x c =++，又()f x 只有一个零点，故1c =，所以2()21f x x x =++.（2）由（1）知2()21()x xf x x xg x e e++==，所以2222(21)(21)1()()x xx xx x e e x x xg xe e'++-++-'==.故(0)1g'=，又(0)1g=，从而切斜l的方程为1y x-=，即10x y-+=，于是切线l与两坐标轴围成的三角形面积111122 S=⨯⨯=.数学视野微积分学是由牛顿和莱布尼茨在总结了诸多数学家的工作之后，分别独立地创立的.牛顿（Newton，1642—1727），英国数学家，物理学家，天文学家和自然哲学家.牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分. 17世纪早期，数学家们已经建立起一系列求解无限小问题（诸如曲线的切线、曲率、极值，运动的瞬时速度，面积、体积、曲线长度、物体重心的计算）的特殊方法.牛顿超越前人的功绩在于将这些特殊的技巧归结为一般的算法，特别是确立了微分与积分的逆运算（微积分基本定理）.牛顿的微积分中有一个重要的基本概念“流数”，流数被定义为可借运动描述的连续量——流量（用,,,x y z表示）的变化率（速度），并用在字母上加点来表示，如,,,x y z.牛顿表述流数术的基本问题为：已知流量间的关系，求它们的流数间的关系，以及逆运算. 牛顿创立微积分有深刻的力学背景，他更多的是从运动变化的观点考虑问题，把力学问题归结为数学问题.莱布尼茨（Leibniz，1646—1716），德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分学的创始人.莱布尼茨终生奋斗的主要目标是寻求一种可以获得知识和创造发明的普遍方法.这种努力导致许多数学上的发现，最突出的是微积分学.莱布尼茨创立微积分主要是从几何学的角度考虑，他创建的微积分的符号（如：d,x⎰等）以及微分的基本法则，对以后微积分的发展有极大的影响.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算(第1课时)教案 新人教A版选修2-2(2021
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导数的计算（第1课时）一、教学目标:1．能应用由定义求导数的三个步骤推导几种常见函数的导数公式,熟记正弦余弦函数的导数．2．掌握并能运用四个函数导数公式求函数的导数．3．在公式（2)的推导过程中，培养学生的创新能力．二、教学重点：利用前面已学的求导数的三个步骤对公式（1）、(2）进行证明，同时能运用这四个公式解决一些初等数学不能解决的曲线的切线问题．教学难点:公式（2)的推导过程．三、教学用具：投影仪四、教学过程：(一）复习提问l ．按定义求导数有哪几个步骤？2．用导数的定义求下列各函数的导数．(1）5x y =；(2）C y =.目的,练习（1）为推导公式(2)作准备．在求分值时，启发学生应用二项式定理展开5)(x x ∆+．练习（2）推导前,首先指出这里C y =称为常数函数，可设C x f y ==)(,说明不论自变量取何值，对应的函数值均为C ，以避免如下错误：.)()(x C x x x f x x f y ∆=-∆+=-∆+=∆略解：1．55)()()(x x x x f x x f y -∆+=-∆+=∆ .)()(5)(10)(10)(5554322345x x x x x x x x x x x -∆+∆+∆+∆+∆+=∴.)()(5)(10)(10)(55432234x x x x x x x x x y ∆+∆+∆+∆+∆=∆ ∴xx x x x x x x x y ∆∆+∆+∆+∆=∆∆54234)()(5)(10)(5432234)()(5)(10)(105x x x x x x x x ∆+∆+∆+∆+=则.5))()(5)(10)(105(lim 44322340x x x x x x x x x y x =∆+∆+∆+∆+='→∆ ∴.54x y ='(二）新课1．引言：由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限．这在运算上很麻烦，有时甚至很困难．为了能够较快地求出某些函数的导数．这一节我们将研究比较简捷的求导数的方法,本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式．2．几个常见函数的导数公式公式1 0='C (C 为常数）．此公式前面已证，见教科书第116页．下面,我们还可以用几何图象，对公式加以说明：因为C y =的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0．公式1可叙述为：常数函数的导数为零．公式2 )Q ()(1∈⋅='-n x n x n n这个公式的证明可在教师的指导下进行．由于前面已有5x y =这道题的基础，可由学生只就*N ∈n 的情况进行独立证明．详细证明过程见教科书第117页．注意：教学时要引导学生认真观察此公式的特点：函数的导数等于指数n 与自变量的)1(-n 次方的乘积．公式3 .cos )(sin x x ='公式4 .sin )(cos x x -='公式3、4可叙述为：正弦函数的导数等于余弦函数，余弦函数的导数等于正弦函数前添一个负号．3．例题精讲例1 求下列函数的导数：(1)5x y =，（2）21xy =,（3）.x y = （1)解:.55)(4155x x x y =='='-注意：与前面的复习提问衔接起来，说明牢记和应用导数公式解题的重要性。
江苏省铜山县高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算(第1课时)教案 新人教A版选修2-2
导数的计算（第1课时）一、教学目标：1．能应用由定义求导数的三个步骤推导几种常见函数的导数公式，熟记正弦余弦函数的导数．2．掌握并能运用四个函数导数公式求函数的导数．3．在公式（2）的推导过程中，培养学生的创新能力．二、教学重点：利用前面已学的求导数的三个步骤对公式（1）、（2）进行证明，同时能运用这四个公式解决一些初等数学不能解决的曲线的切线问题．教学难点：公式（2）的推导过程．三、教学用具：投影仪四、教学过程：（一）复习提问l ．按定义求导数有哪几个步骤？2．用导数的定义求下列各函数的导数．（1）5x y =；（2）C y =。
目的，练习（1）为推导公式（2）作准备．在求分值时，启发学生应用二项式定理展开5)(x x ∆+．练习（2）推导前，首先指出这里C y =称为常数函数，可设C x f y ==)(，说明不论自变量取何值，对应的函数值均为C ，以避免如下错误：.)()(x C x x x f x x f y ∆=-∆+=-∆+=∆略解：1．55)()()(x x x x f x x f y -∆+=-∆+=∆ .)()(5)(10)(10)(5554322345x x x x x x x x x x x -∆+∆+∆+∆+∆+=∴.)()(5)(10)(10)(55432234x x x x x x x x x y ∆+∆+∆+∆+∆=∆ ∴xx x x x x x x x y ∆∆+∆+∆+∆=∆∆54234)()(5)(10)(5 432234)()(5)(10)(105x x x x x x x x ∆+∆+∆+∆+=则.5))()(5)(10)(105(lim 44322340x x x x x x x x x y x =∆+∆+∆+∆+='→∆ ∴.54x y ='（二）新课1．引言：由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限．这在运算上很麻烦，有时甚至很困难．为了能够较快地求出某些函数的导数．这一节我们将研究比较简捷的求导数的方法，本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式．2．几个常见函数的导数公式公式1 0='C （C 为常数）．此公式前面已证，见教科书第116页．下面，我们还可以用几何图象，对公式加以说明：因为C y =的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0． 公式1可叙述为：常数函数的导数为零．公式2 )Q ()(1∈⋅='-n x n x n n这个公式的证明可在教师的指导下进行．由于前面已有5x y =这道题的基础，可由学生只就*N ∈n 的情况进行独立证明．详细证明过程见教科书第117页．注意：教学时要引导学生认真观察此公式的特点：函数的导数等于指数n 与自变量的)1(-n 次方的乘积．公式3 .cos )(sin x x ='公式4 .sin )(cos x x -='公式3、4可叙述为：正弦函数的导数等于余弦函数，余弦函数的导数等于正弦函数前添一个负号．3．例题精讲例1 求下列函数的导数：（1）5x y =，（2）21x y =，（3）.x y = （1）解：.55)(4155x x x y =='='-注意：与前面的复习提问衔接起来，说明牢记和应用导数公式解题的重要性。
新人教A版高中数学(选修22)1.2《导数的计算》word教案4篇
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用二．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表)（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三．典例分析例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+ （2）y ＝xx --+1111； （3）y ＝x · sin x · ln x ；（4）y ＝xx 4； （5）y ＝xxln 1ln 1+-．（6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x（7） y ＝xx x xx x sin cos cos sin +-【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．''''252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==-- 20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =-（1）因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．四．课堂练习 1．课本P 92练习2．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（y ＝－12 x ＋8）五．回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则六．布置作业§1.1.2 导数的概念学习目标1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 一、预习与反馈（预习教材P 4~ P 6，找出疑惑之处）探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的 导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或 即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)。
江苏省铜山县高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算(第3课时)教案 新人教A版选修22
导数的计算（第3课时）一、教学目标：1．掌握两个函数的商的求导法则．2．能正确运用已学过的导数公式和导数四则运算法则，求某些简单函数的导数．3．能运用导数的几何意义与物理意义，解决有关的曲线、直线问题及物体运动问题．二、教学重点：掌握商的求导法则，灵活运用求导的四则运算法则；教学难点：商的求导法则与积的求导法则联系与区别的理解．三、教学用具：投影仪四、教学过程1．复习引入（1）复习两个函数的和（差）的求导法则：v u v u '±='±)(（2）学生练习：求函数x x y sin 2+=的导数．（3）复习两个函数的积的求导法则： .)(v u v u uv '+'='（4）学生练习：求函数x x y sin 2⋅=的导数． （5）问题：如何求函数xx y sin 2=的导数？ 2．新授1．法则3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．)0( 2≠'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛v v v u v u v u 回顾导数定义：x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim)(00 证明：设.0)(,)()()(≠==x v x v x u x f y 则 )()()()()()()()()()(x v x x v x x v x u x v x x u x v x u x x v x x u y ∆+∆+-∆+=-∆+∆+=∆[][])()()()()()()()(x v x x v x v x x v x u x v x u x x u ⋅∆+-∆+--∆+= ∴)()()()()()()()(x v x x v x x v x x v x u x v x x u x x u x y ⋅∆+∆-∆+⋅-⋅∆-∆+=∆∆ 因为)(x v 在点x 处可导，所以)(x v 在点x 处连续．于是当0→∆x 时，).()(x v x x v →∆+ 从而[]20)()()()()(lim x v x v x u x v x u x y x '-'=∆∆→∆．即.2v v u v u v u y '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛=' 说明： ①.v u v u ''≠'⎪⎭⎫ ⎝⎛ ②类比：v u v u uv '+'=')(， 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛ ③.2v v u v u v u '+'≠'⎪⎭⎫ ⎝⎛ ④若两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的情况下分母不为0）必可导．若两个函数必不可导，则它们的和、差、积、商不一定可导． 例如，设xx x g x x x f 1cos )(1sin )(-=+=、，则)()(x g x f 、在0=x 处均不可导，但它们的和x x x g x f cos sin )()(+=+在0=x 处可导．2．范例①判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正．222sin )cos 1(2cos 1x x x x x x x ++='⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 答案：不正确．应为322cos 2sin cos 1x x x x x x ---='⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 注：.2v v u v u v u '-'≠'⎪⎭⎫ ⎝⎛ ②求.sin cos sin 2sin )(sin sin 22222xx x x x x x x x x y -='⋅-'=③求332++=x x y 在点3=x 处的导数． 解：.)3(36)3(2)3()3(1222222++--=+⋅+-+⋅='x x x x x x x y .6114424)39(318923-=-=++--='=x y ④求x y tan =的导数． 解：x x x x x x x x y x x x y 22cos 1cos )(cos sin cos )(sin cos sin ,cos sin tan ='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛='∴== ∴.sec 2x y ='变式练习：求x y cot =的导数．（答案：.csc 2x y -='） ⑤求xx y 2sin sin 12+=的导数． 解：将函数变形为：.cot 21tan cos sin 2sin cos sin 2sin sin 12222x x x x x x x x x y +=++=+= ∴.csc 21sec )(cot 21)(tan 22x x x x y -='+'=' ⑥求xx x x x y 9532-+-=的导数． 解：2123953--+-=xx x y ∴23212123)21(901233)(95)(3---⋅-+-⋅='-'+'-'⋅='x x x x x y .1)11(292-+=xx 注：有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导．有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．3．应用 ①求曲线122+=x x y 在点（1，1）处的切线方程． 回顾导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率．解：2222222)1(22)1(22)1(2,12+-=+⋅-+='∴+=x x x x x x y x x y .04221=-='=x y 即曲线在点（1，1）处的切线斜率.0=k 因此曲线122+=x x y 在点（1，1）处的切线方程为.1=y ②曲线运动方程为2221t t t s +-=，求3=t 时的速度． 回顾导数的物理意义：瞬时速度是位移函数)(t s 对时间t 的导数：).()(x s x v '=解：运动物体在3=t 时的速度即是函数)(t s 在3=t 时的导数．.21121212222222t tt t t t t t t t s +-=+-=+-= ∴.2726111227291 .4121332=++-='+⋅+-='=t s t t t s 即运动物体在3=t 时的速度为.272611（三）小结（纳入知识体系） 1．综合上节与本节可知：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．曲线的切线问题及物体的运运速度问题均均可借助于导数的几何意义及物理意义转化为简单函数的求导问题得到解决．（四）练习五、布置作业。
人教版高中数学选修(2-2)-1.2《导数的计算》教学设计
1.2 导数的计算一、教学目标1．核心素养通过学习导数的计算，提升推理论证、计算求解与应用能力．2．学习目标（1）1.2.1能根据导数定义，求函数21,,,,y c y x y x y y x=====（2）1.2.2能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．（3）1.2.3能利用复合函数求导法则求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +）的导数．3．学习重点（1）利用导数的定义求五个函数21,,,,y c y x y x y y x =====（2）利用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数．4．学习难点两个函数的积与商的求导法则的应用，复合函数求导法则的理解与应用．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材P 12－P 14，思考：常用函数的导数是什么？ 是如何计算得到的？任务2 阅读教材P 14－P 17，思考：导数运算法则是什么？符合函数的求导法则是什么？ 2．预习自测1．函数1y x x=+的导数是____________. 解：211y x =- 2．函数cos sin y x x x =-的导数为（ ）A.sin x xB.sin x x -C.cos x xD.cos x x -解：B3．设()f x =，则'(1)f = .（二）课堂设计1．知识回顾（1）函数的定义是什么？给定自变量的取值，有唯一确定的函数值与之对应.（2）函数()f x 在0x x =处的导数是0000()()lim lim x x y f x x f x x x ∆→∆→∆+∆-=∆∆.（3）函数()f x 在0x x =处的导数是关于0x 的函数吗？对于函数()f x 来说，给定0x 的取值，则0()f x '是一个确定的值,所以是一个函数.2．问题探究问题探究一 、几个常用函数（21,,,,y c y x y x y y x ===== ●活动一 动手计算，收获几个结论请大家用导数的定义分别推导出函数21,,,,y c y x y x y y x =====.1．若y c =（c 为常数），则y '=_________；2．若y x =，则y '=_______________；3．若2y x =，则y '=___________________；4．若1y x =，则y '=_______________；5．若y =y '=__________________.●活动二 阅读查表，记忆导数公式。
1.2 导数的计算 导学案(教师版)
§1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)内容要求 1.能根据定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 3.会使用导数公式表.知识点1几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1x f′(x)＝－1x2f(x)＝x f′(x)＝1 2x【预习评价】思考根据上述五个公式，你能总结出函数y＝xα的导数是什么吗？提示y＝xα的导数是y′＝αxα－1.知识点2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos__xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin__xf(x)＝a x f′(x)＝a x ln__a(a>0)f(x)＝e x f′(x)＝e xf(x)＝log a x f′(x)＝1x ln a(a>0，且a≠1)f (x )＝ln xf′(x )＝1x求下列函数的导数：(1)f (x )＝4x 5；(2)g (x )＝cos π4；(3)h (x )＝3x . 解 (1)f (x )＝x 54，∴f ′(x )＝54x 14； (2)g (x )＝cos π4＝22，∴g ′(x )＝0； (3)h ′(x )＝3x ln 3.题型一 利用导数定义求函数的导数【例1】 利用导数的定义求函数f (x )＝2 019x 2的导数. 解 f ′(x )＝0limx ∆→2 019（x ＋Δx ）2－2 019x 2x ＋Δx －x＝0lim x ∆→2 019[x 2＋2x ·Δx ＋（Δx ）2]－2 019x 2Δx＝0lim x ∆→4 038x ·Δx ＋2 019（Δx ）2Δx ＝0lim x ∆→(4 038x ＋2 019Δx )＝4 038x .规律方法 解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤.(2)当Δx 趋于0时，k ·Δx (k ∈R )，(Δx )n (n ∈N *)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用. 【训练1】 利用导数的定义求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数. 解 y ′＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）2＋a （x ＋Δx ）＋b －（x 2＋ax ＋b ）Δx＝0lim x ∆→x 2＋2x ·Δx ＋（Δx ）2＋ax ＋a ·Δx ＋b －x 2－ax －bΔx＝0lim x ∆→2x ·Δx ＋a ·Δx ＋（Δx ）2Δx＝0lim x ∆→ (2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a .题型二 利用导数公式求函数的导数 【例2】 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3； (5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4； (4)y ′＝(4x3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较烦琐；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 【训练2】 求下列函数的导数： (1)y ＝x 13； (2)y ＝4x ； (3)y ＝sin x ； (4)y ＝15x 2.解 (1)y ′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x 12； (2)y ′＝(4x )′＝(x 14)′＝14x 14－1＝14x －34；(3)y ′＝(sin x )′＝cos x ； (4)y ′＝(15x 2)′＝(x －25)′＝－25x －25－1＝－25x －75.方向1 利用导数求曲线的切线方程【例3－1】 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与在这点处的切线垂直的直线方程.解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23(x －π6)，即2x ＋3y －32－π3＝0. 方向2 切线方程的综合应用【例3－2】 设P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离. 解 如图，设l 是与直线y ＝x 平行，且与曲线y ＝e x 相切的直线，则切点到直线y ＝x 的距离最小.设与直线y ＝x 平行的直线l 与曲线y ＝e x 相切于点P (x 0，y 0). 因为y ′＝e x ，所以e x 0＝1，所以x 0＝0. 代入y ＝e x ，得y 0＝1，所以P (0，1). 所以点P 到直线y ＝x 的最小距离为|0－1|2＝22. 规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键.【训练3】 (1)求曲线y ＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32处的切线方程；(2)求曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12处的切线方程.解 (1)∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ，y ′|x =π6＝－sin π6＝－12.∴曲线在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即6x ＋12y －63－π＝0. (2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .∴曲线在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12处的切线的斜率为k ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝32.∴切线方程为y －12＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，即33x －6y ＋3π＋3＝0.课堂达标1.已知f (x )＝x 2，则f ′(3)等于( ) A.0B.2xC.6D.9解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 答案 C2.函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36B.0C.12xD.32解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.答案 A3.设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B.[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ，∴－1≤tan α≤1，又∵α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案 A4.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________. 解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2. 答案 12e 25.已知f(x)＝52x2，g(x)＝x3，若f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝________.解析因为f′(x)＝5x，g′(x)＝3x2，所以5x－3x2＝－2，解得x1＝－13，x2＝2.答案－13或2课堂小结1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y＝1－2sin2x2的导数.因为y＝1－2sin 2x2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.基础过关1.函数y＝3x在x＝2处的导数为()A.9B.6C.9ln 3D.6ln 3解析y′＝(3x)′＝3x ln 3，故所求导数为9ln 3.答案 C2.下列结论中，不正确的是()A.若y＝1x3，则y′＝－3x4B.若y＝3x，则y′＝3x3C.若y＝1x2，则y′＝－2x－3D.若f(x)＝3x，则f′(1)＝3 解析由(x n)′＝nx n－1知，选项A，y＝1x3＝x－3，则y′＝－3x－4＝－3x4；选项B ，y ＝3x ＝x 13，则y ′＝13x －23≠3x3；选项C ，y ＝1x 2＝x －2，则y ′＝－2x －3； 选项D ，由f (x )＝3x 知f ′(x )＝3， ∴f ′(1)＝3.∴选项A ，C ，D 正确.故选B. 答案 B3.已知f (x )＝cos x ，f ′(x )＝－1，则x 等于( ) A.π2B.－π2C.π2＋2k π，k ∈ZD.－π2＋2k π，k ∈Z解析 ∵f ′(x )＝－sin x ，则sin x ＝1， ∴x ＝π2＋2k π，k ∈Z . 答案 C4. 曲线y ＝x 2＋1x 在点(1，2)处的切线方程为________． 解析 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x 2， 所以f ′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)， 即y ＝x ＋1. 答案 y ＝x ＋15.若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 解析∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点(a ，a －12)处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a ).令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 答案 646.已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值. 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1. 由f ′(x )＋g ′(x )≤0， 得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1， 但sin x ∈[－1，1]，∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .7．求下列函数的导数：(1)y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x 4)；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x2. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)∵y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 能力提升8.函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A.1条 B.2条 C.3条D.不确定解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处分别有斜率为1的切线.答案 B9.已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B.－1e C.－eD.e解析y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，y 0＝e x0，k ＝e x 0，∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e. 答案 D10.曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 解析 ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1. ∴a ＝1. 答案 111.若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________. 解析 y ′＝10x ln 10，∴y ′|x ＝1＝10ln 10. 答案 10ln 1012.已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离.解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728， 所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.创新突破13.设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，试求f 2 019(x ). 解 ∵f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…，∴f n ＋4(x )＝f n (x )，可知f (x )的周期为4，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝-cos x .。
1.2导数的计算(三课时)学案
选修2-2 第一章 导数及其应用 1.2导数的计算学案设计：绵阳市开元中学 王小凤老师 学生姓名：第一课时：几个常用函数的导数 一．学习目标：1．学会应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．二．学习重、难点：五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y 三．学习过程 （一）创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？根据导数的定义，求函数()y f x =的导数，就是求出当x ∆趋近于0的时候，yx ∆∆所趋于的那个定值。
（二）获取新知1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c cx x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00limlim 00x x yy∆→∆→∆'=== 0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为 ．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00limlim 11x x yy∆→∆→∆'=== 1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为 ．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆所以00limlim (2)2x x yy x x x x∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为 ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x=增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011limlim ()x x y y x∆→∆→∆'==-=-∆5．函数y =的导数()()y f x x f x x x∆+∆-==∆∆因为==0limlim x x y y x ∆→∆→∆'===∆所以推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=（三）课堂小结第二课时：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一．学习目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；二．学习重、难点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及其应用三．学习过程（一）获取新知1．基本初等函数的导数公式2．导数运算法则推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）（二）学以致用例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ 解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨。
人教版高中选修2-2数学1.2导数的计算教案(1)
课 题： 复合函数的导数(1)教学目的：1.理解掌握复合函数的求导法则.2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导3.培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律． 教学重点：复合函数的求导法则的概念与应用 教学难点：复合函数的求导法则的导入与理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： . 要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导.求导时对哪个变量求导要写明，可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一个直观的了解 教学过程：一、复习引入：1. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭二、讲解新课：1.复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量．2.求函数2(32)y x =-的导数的两种方法与思路：方法一：22[(32)](9124)1812x y x x x x '''=-=-+=-；方法二：将函数2(32)y x =-看作是函数2y u =和函数32u x =-复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2u y u u ''==，(32)3x u x ''=-=两个导数相乘，得232(32)318u x y u u x x ''==-=-，从而有 x u x u y y '''⋅=对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y ′x 时，就可以转化为求y u ′和u ′x 的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3.复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u )ϕ′(x ).证明：（教师参考不需要给学生讲）设x 有增量Δx ，则对应的u ，y 分别有增量Δu ，Δy ，因为u =φ(x )在点x 可导，所以u =ϕ (x )在点x 处连续.因此当Δx →0时，Δu →0.当Δu ≠0时，由xu u y x y ∆∆⋅∆∆=∆∆. 且x yu y u x ∆∆=∆∆→∆→∆00lim lim .∴xuu y x u u y x u u y x y x u x x x x ∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆000000lim lim lim lim lim lim即x u x u y y '''⋅= (当Δu ＝0时，也成立)4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 三、讲解范例：例1试说明下列函数是怎样复合而成的？⑴32)2(x y -=； ⑵2sin x y =； ⑶)4cos(x y -=π； ⑷)13sin(ln -=x y ．解：⑴函数32)2(x y -=由函数3u y =和22x u -=复合而成；⑵函数2sin x y =由函数u y sin =和2x u =复合而成； ⑶函数)4cos(x y -=π由函数u y cos =和x u -=4π复合而成；⑷函数)13sin(ln -=x y 由函数u y ln =、v u sin =和13-=x v 复合而成．说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．例2写出由下列函数复合而成的函数：⑴u y cos =，21x u +=； ⑵u y ln =，x u ln =．解：⑴)1cos(2x y +=； ⑵)ln(ln x y =． 例3求5)12(+=x y 的导数．解：设5u y =，12+=x u ，则x u x u y y '''⋅=)'12()'(5+⋅=x u x2)12(52534⋅+=⋅=x u 4)12(10+=x ．注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.例4求f (x )=sin x 2的导数. 解：令y =f (x )=sin u ; u =x 2∴x u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(x 2)x ′=cos u ·2x =cos x 2·2x =2x cos x 2 ∴f ′(x )=2x cos x 2 例5求y =sin 2(2x +3π)的导数.分析: 设u =sin(2x +3π)时，求u ′x ，但此时u 仍是复合函数，所以可再设v =2x +3π.解：令y =u 2，u =sin(2x +3π)，再令u =sin v ，v =2x +3π∴x u x u y y '''⋅==y ′u (u ′v ·v ′x )∴y ′x =y ′u ·u ′v ·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(2x +3π)′x=2u ·cos v ·2=2sin(2x +3π)cos(2x +3π)·2=4sin(2x +3π)cos(2x +3π)=2sin(4x +32π) 即y ′x =2sin(4x +32π) 例6求32c bx ax y ++=的导数.解：令y =3u ，u =ax 2+bx +c∴x u x u y y '''⋅==(3u )′u ·(ax 2+bx +c )′x =3231-u ·(2ax +b )=31(ax 2+bx +c )32-(2ax +b )=322)(32c bx ax b ax +++即y ′x =322)(32c bx ax b ax +++例7求y =51xx-的导数. 解：令xxu u y -==1,5∴x u x u y y '''⋅==(5u )′u ·(xx-1)′x 4455221(1)(1)11(1)()55x x x x x x x u x x x--''-------=⋅=⋅ 24654511115(1)5()x x x x x-=⋅=---⋅24515()x x x =-- 即y ′x =－542)(51x x x -例8 求y =sin 2x 1的导数.解：令y =u 2，u =sin x 1，再令u =sin v ，v =x 1∴x u x u y y '''⋅=·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(x 1)′x=2u ·cos v ·210x -=2sin x 1·cos x 1·21x -=－21x ·sin x 2∴y ′x =－21x sin x 2例9 求函数y =(2x 2－3)21x +的导数.分析: y 可看成两个函数的乘积，2x 2－3可求导，21x +是复合函数，可以先算出21x +对x 的导数.解：令y =uv ，u =2x 2－3，v =21x +, 令v =ω，ω=1+x 2x x v v ωω'''=⋅ =()ωω' (1+x 2)′x=22211122)2(21x x x x x +=+=-ω∴y ′x =(uv )′x =u ′x v +uv ′x =(2x 2－3)′x ·21x++(2x 2－3)·21xx +=4x23232161321xx x xx x x ++=+-++即y ′x =2316xx x ++四、课堂练习：1．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导). (1)y =(5x －3)4 (2)y =(2+3x )5 (3)y =(2－x 2)3 (4)y =(2x 3+x )2解：(1)令y =u 4，u =5x －3∴x u x u y y '''⋅==(u 4)′u ·(5x －3)′x =4u 3·5=4(5x －3)3·5=20(5x －3)3 (2)令y =u 5，u =2+3x∴x u x u y y '''⋅==(u 5)′u ·(2+3x )′x =5u 4·3=5(2+3x )4·3=15(2+3x )4 (3)令y =u 3，u =2－x 2∴x u x u y y '''⋅==(u 3)′u ·(2－x 2)′x =3u 2·(－2x )=3(2－x 2)2(－2x )=－6x (2－x 2)2 (4)令y =u 2，u =2x 3+x∴x u x u y y '''⋅==(u 2)′u ·(2x 3+x )′x=2u ·(2·3x 2+1)=2(2x 3+x )(6x 2+1)=24x 5+16x 3+2x2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(n ∈N *) (1)y =sin nx (2)y =cos nx (3)y =tan nx (4)y =cot nx 解：(1)令y =sin u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(nx )′x =cos u ·n =n cos nx(2)令y =cos u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cos u )′u ·(nx )′x =－sin u ·n =－n sin nx(3)令y =tan u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(tan u )′u ·(nx )′x =(uucos sin )′u ·n =2)(cos )sin (sin cos cos u u u u u --⋅·n =nx n n u 22cos cos 1==n ·sec 2nx (4)令y =cot u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cot u )′u ·(nx )′x =(uusin cos )′u ·n =2)(sin cos cos sin sin u uu u u ⋅-⋅-·n =－u 2sin 1·n =－nx n 2sin =－n csc 2nx 五、小结 ：⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代七、板书设计（略）八、课后记：。