计算学习理论

|H |e
m
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• 证明：
– 令h1,...,hk为H中关于c的真实错误率大于的所有假设。当且仅 当k个假设中至少有一个恰好与所有m个独立随机抽取样例一 致时，不能使变型空间-详尽化。 – 任一假设真实错误率大于，且与一个随机抽取样例一致的可 能性最多为1-，因此，该假设与m个独立抽取样例一致的概 率最多为(1-)m – 由于已知有k个假设错误率大于，那么至少有一个与所有m个 训练样例都不一致的概率最多为（当0 1 ，则1 e ）
• 确定了若干假设类别，判断它们能否从多项式数量的训练样例中 学习得到 • 定义了一个对假设空间复杂度的自然度量，由它可以界定归纳学 习所需的训练样例数目
– 出错界限框架
• 考查了一个学习器在确定正确假设前可能产生的训练错误数量
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简介（1）
• 机器学习理论的一些问题：
– 是否可能独立于学习算法确定学习问题中固有的难 度？ – 能否知道为保证成功的学习有多少训练样例是必要 的或充足的？ – 如果学习器被允许向施教者提出查询，而不是观察 训练集的随机样本，会对所需样例数目有怎样的影 响？ – 能否刻画出学习器在学到目标函数前会有多少次出 错？ – 能否刻画出一类学习问题中固有的计算复杂度？
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可能学习近似正确假设
• 可能近似正确学习模型（PAC）
– 指定PAC学习模型适用的问题 – 在此模型下，学习不同类别的目标函数需要 多少训练样例和多大的计算量
• 本章的讨论将限制在学习布尔值概念， 且训练数据是无噪声的（许多结论可扩 展到更一般的情形）
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问题框架
• X表示所有实例的集合，C代表学习器要学习的目标概念集合，C 中每个目标概念c对应于X的某个子集或一个等效的布尔函数c: X{0,1} • 假定实例按照某概率分布D从X中随机产生 • 学习器L在学习目标概念时考虑可能假设的集合H。在观察了一系 列关于目标概念c的训练样例后，L必须从H中输出某假设h，它是 对c的估计 • 我们通过h在从X中抽取的新实例上的性能来评估L是否成功。新 实例与训练数据具有相同的概率分布 • 我们要求L足够一般，以至可以从C中学到任何目标概念而不管训 练样例的分布如何，因此，我们会对C中所有可能的目标概念和 所有可能的实例分布D进行最差情况的分析
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PAC可学习性（1）
• 我们的目标是刻画出这样的目标概念，它们能 够从合理数量的随机抽取训练样例中通过合理 的计算量可靠地学习 • 对可学习性的表述
– 一种可能的选择：为了学习到使errorD(h)=0的假设h， 所需的训练样例数
• 这样的选择不可行：首先要求对X中每个可能的实例都提 供训练样例；其次要求训练样例无误导性
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简介（5）
• 7.2节介绍可能近似正确（PAC）学习框架 • 7.3节在PAC框架下，分析几种学习算法的样本 复杂度和计算复杂度 • 7.4节介绍了假设空间复杂度的一个重要度量标 准，称为VC维，并且将PAC分析扩展到假设空 间无限的情况 • 7.5节介绍出错界限模型，并提供了前面章节中 几个学习算法出错数量的界限，最后介绍了加 权多数算法
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• 1、可用数据样本上该假设的错误率称为 样本错误率。 • 2、分布为D的整个实例集合上该假设的 错误率称为真是错误率。
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假设的错误率
• 为了描述学习器输出的假设h对真实目标 概念的逼近程度，首先要定义假设h对应 于目标概念c和实例分布D的真实错误率 • h的真实错误率是应用h到将来按分布D抽 取的实例时的期望的错误率
– 可能近似学习：首先只要求学习器输出错误率限定 在某常数范围内的假设，其次要求对所有的随机抽 取样例序列的失败的概率限定在某常数范围内
• 只要求学习器可能学习到一个近似正确的假设
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PAC可学习性（2）
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PAC可学习性（3）
• 在实践中，通常更关心所需的训练样例数，
– 如果L对每个训练样例需要某最小处理时间，那么 为了使c是L可PAC学习的，L必须从多项式数量的 训练样例中进行学习 – 实际上，为了显示某目标概念类别C是可PAC学习 的，一个典型的途径是证明C中每个目标概念可以 从多项式数量的训练样例中学习到，且处理每个样 例的时间也是多项式级
变型空间：能正确分类训练样例D的所有假设的集 合
VS H ,D {h H | ( x, c( x) D(h( x) c( x))}
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有限假设空间的样本复杂度（2）
• 变型空间的重要意义是：每个一致学习器都输 出一个属于变型空间的假设 • 因此界定任意一个一致学习器所需的样例数量， 只需要界定为保证变型中没有不可接受假设所 需的样例数量
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简介（2）
• 对所有这些问题的一般回答还未知，但不完整 的学习计算理论已经开始出现 • 本章阐述了该理论中的一些关键结论，并提供 了在特定问题下一些问题的答案 • 主要讨论在只给定目标函数的训练样例和候选 假设空间的条件下，对该未知目标函数的归纳 学习问题 • 主要要解决的问题是：需要多少训练样例才足 以成功地学习到目标函数以及学习器在达到目 标前会出多少次错
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• 定义：考虑一假设空间H，目标概念c， 实例分布D以及c的一组训练样例S。当 VSH,D中每个假设h关于c和D错误率小于 时，变型空间被称为c和D是-详尽的。
(h VS H ,D )errorD (h)
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有限假设空间的样本复杂度（3）
• -详尽的变型空间表示与训练样例一致的所有 假设的真实错误率都小于 • 从学习器的角度看，所能知道的只是这些假设 能同等地拟合训练数据，它们都有零训练错误 率 • 只有知道目标概念的观察者才能确定变型空间 是否为-详尽的
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VC维与模型复杂度、样本复杂 度
• VC维、真实错误率、训练错误率 • 在上一节中，我们讨论要做到好的预测 要满足两个条件，第一是训练误差要接 近真实误差，即Ein(g)约等于Eout(g)；第 二是训练误差要尽量接近0，即Ein(g)约 等于0。
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vc维与模型复杂度、样本复杂 度
• 如果VC维很小，那么发生预测偏差很大 的坏事情的可能性也就很小，那这有利 于Ein(g)接近Eout(g)；但是，这是我们的 假设空间的表达能力受到了限制，这样 Ein(g)可能就没有办法做到很小。
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• 定义：假设h的关于目标概念c和分布D的 真实错误率为h误分类根据D随机抽取的 实例的概率
error D (h) Pr c( x) h( x)
xD
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图7-1 此错误率紧密依赖于未知的概率分布D ，图7-1：h关于c的错误率是随机选取的实 例落入h和c不一致的区间的概率
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假设的错误率（2）
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有限假设空间的样本复杂度
• PAC可学习性很大程度上由所需的训练样例数 确定 • 随着问题规模的增长所带来的所需训练样例的 增长称为该学习问题的样本复杂度 • 我们把样本复杂度的讨论限定于一致学习器 （输出完美拟合训练数据的学习器） • 能够独立于特定算法，推导出任意一致学习器 所需训练样例数的界限 • 变型空间：能正确分类训练样例D的所有假设 的集合。
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VC维与模型复杂度、样本复杂度
• 我们引入了VC维的概念，用它来描述假设集 合的表达能力。我们将从VC维的物理意义出 发，进一步学习如何根据VC维传达的信息来 选择模型和假设集合。 • 现在，我们用VC维这个工具来描述。
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VC维与模型复杂度、样本复杂度
• VC维的物理意义 • 如果我们将假设集合的数量|H|比作假设集合的 自由度，那么VC维就是假设集合在做二元分 类的有效的自由度，即这个假设空间能够产生 多少Dichotomies的能力（VC维说的是，到什 么时候，假设集合还能shatter，还能产生最多 的Dichotomies）。

k (1 )m | H | (1 )m | H | em
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有限假设空间的样本复杂度（5）
• 定理7.1基于训练样例的数目m、允许的错误率 和H的大小，给出了变型空间不是-详尽的概率的
上界 • 即它对于使用假设空间H的任意学习器界定了m个训练 样例未能将所有“坏”的假设（错误率大于的假设） 剔除出去的概率
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简介（3）
• 如果明确了学习问题的如下属性，那么有可能给出前 面问题的定量的上下界
– – – – 学习器所考虑的假设空间的大小和复杂度 目标概念须近似到怎样的精度 学习器输出成功的假设的可能性 训练样例提供给学习器的方式
• 本章不会着重于单独的学习算法，而是在较宽广的学 习算法类别中考虑问题：
– 样本复杂度：学习器要收敛到成功假设，需要多少训练样例？ – 计算复杂度：学习器要收敛到成功假设，需要多大的计算量？ – 出错界限：在成功收敛到一个假设前，学习器对训练样例的 错误分类有多少次？
• 真实错误率紧密地依赖于未知的概率分布D
– 如果D是一个均匀的概率分布，那么图7-1中假设的错误率为h和c不 一致的空间在全部实例空间中的比例 – 如果D恰好把h和c不一致区间中的实例赋予了很高的概率，相同的h 和c将造成更高的错误率
• h关于c的错误率不能直接由学习器观察到，L只能观察到在训练 样例上h的性能 • 训练错误率：指代训练样例中被h误分类的样例所占的比例 • 问题：h的观察到的训练错误率对真实错误率产生不正确估计的可 能性多大？
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简介（4）
• 为了解决这些问题需要许多特殊的条件设定， 比如
– “成功”的学习器的设定
• 学习器是否输出等于目标概念的假设 • 只要求输出的假设与目标概念在多数时间内意见一致 • 学习器通常输出这样的假设
– 学习器如何获得训练样例
• 由一个施教者给出 • 由学习器自己实验获得 • 按照某过程随机生成
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何为PAC?
• PAC（Probably Approximately Correct,概率近似正确), 该模型可解决信息分类的问题，比如判断一份邮件是 不是SPAM。为解决信息分类问题，学习算法会根据过 去的经验设计一个概率假设，并将此假设作为判断依 据。然而，这种根据过去经验的泛华可能并不适用于 将来，比如过渡泛华。PAC模型可最大限度地降低泛 化带来的错误，这就是它为什么被称为“概率近似正 确”的原因。
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• 如果VC维很大，那么假设空间的表达能 力很强，我们很有可能选到一个Ein(g)很 小的假设，但是Ein(g)和Eout(g)之差很大 的坏事情 发生的情况发生的可能性就变 得很大，这样Ein(g)和Eout(g)根本不接近 ，我们就无法确定选择的假设在测试数 据的时候表现的很好。
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有限假设空间的样本复杂度（1）
• PAC可学习性的一个隐含的条件：对C中每个 目标概念c，假设空间H都包含一个以任意小误 差接近c的假设
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• 上面定义要求学习器L满足两个条件
– L必须以任意高的概率（1- ）输出一个错误率任意低（）的 假设 – 学习过程必须是高效的，其时间最多以多项式方式增长
• 上面定义的说明
– 1/和1/表示了对输出假设要求的强度，n和size(c)表示了实例 空间X和概念类别C中固有的复杂度 – n为X中实例的长度，size(c)为概念c的编码长度
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有限假设空间的样本复杂度（4）
• 但是，即使不知道确切的目标概念或训练样例抽取的 分布，一种概率方法可在给定数目的训练样例之后界 定变型空间为-详尽的
• 定理7.1（变型空间的-详尽化）
– 若假设空间H有限，且D为目标概念c的一系列m>=1个独立随 机抽取的样例，那么对于任意0=<<=1，变型空间VSH,D不是详尽的概率小于或等于：
机器学习与数据挖掘
第7章 计算学习理论
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概述
• 本章从理论上刻画了若干类型的机器学习问题中的困 难和若干类型的机器学习算法的能力 • 这个理论要回答的问题是：
– 在什么样的条件下成功的学习是可能的？ – 在什么条件下某个特定的学习算法可保证成功运行？
• 这里考虑两种框架：
– 可能近似正确（PAC）
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• 利用上面的结论来确定为了减少此“未剔除”概率到 一希望程度所需的训练样例数 – 由 – 解出m，得到 m –
–
|H |e 1 m ln | H | ln(1 / )