关于二元函数极限定义的讨论
二元函数求极限的几何意义与解释
二元函数求极限的几何意义与解释在高等数学中，我们经常会遇到二元函数以及其求极限的问题。
二元函数是指关于两个变量的函数，常用来描述二维平面上的曲线或曲面。
求极限是数学中的重要概念，用于描述函数在某一点趋于无穷或其他特定值的情况。
本文将探讨二元函数求极限的几何意义和解释，帮助读者更好地理解这一概念。
一、二元函数与平面图形的关系首先，我们来了解一下二元函数与平面图形的关系。
对于一个二元函数 f(x, y)，其实就是定义了一个二维平面上的点 (x, y) 到函数值 f(x, y) 的映射。
我们可以将这个函数表示为 z = f(x, y)，其中 z 表示函数的值。
在二维平面上，我们可以画出函数的图形，就是将平面上的每一个点 (x, y) 对应到空间中的一个点 (x, y, z)，这个点的 z 坐标就是函数的值 f(x, y)。
这个图形称为函数的图像或曲面。
通过观察函数的图像，我们可以大致了解二元函数在平面上的取值规律和几何特征。
二、二元函数求极限的几何意义接下来，我们来讨论二元函数求极限的几何意义。
当我们计算二元函数在某一点的极限时，实际上是在研究函数在该点的邻域内的取值规律。
极限描述的是这个函数在靠近某一点的过程中的行为。
如果二元函数在某一点的极限存在，表示函数在该点附近存在一个稳定的取值趋势。
这个取值趋势可以是一个常数，也可以是一个曲面。
如果二元函数的极限不存在，表示函数在该点附近没有稳定的取值趋势，可能是发散或者震荡的。
对于具体的几何意义，我们可以通过函数的图像来解释。
如果函数在某一点的极限是一个常数，那么函数的图像在该点附近可能有一个平坦的曲面或者一个点。
如果函数在某一点的极限是一个曲面，那么函数的图像在该点附近可能有一个特殊形状的曲面。
三、二元函数求极限的解释最后，我们来解释一下如何求解二元函数的极限。
对于二元函数f(x, y)，我们通常需要确定一个特定的点 (a, b)，然后计算函数在该点的极限。
二元函数极限不存在性研究
二元函数极限不存在性研究1 引言二元函数极限是数学分析中非常重要的内容，也是比较难以理解和掌握的知识．二元函数极限 虽然从定义形式上与一元函数极限差异不大，但由于二元函数的自变量有两个，其变量变化过程要 比一元函数的变量变化过程复杂的多，这就使得极限问题发生了质的变化，存在性的判定和极限的计算方法也变得非常困难．二元函数极限在多元函数微分学中具有举足轻重的作用，探讨其不存在性及计算方法是进一步学习多元函数微分学有关概念和方法的基础．本文就二元函数极限问题进行了讨论．２ 二元函数极限的定义2.1 重极限 定义1)92](1[P 设f 是定义在D ⊂2R 上的二元函数，0P 为D 内一个聚点，A 是一个确定的实数，若对任给的ε，总存在某正数δ，使得当00(;)P U P D δ∈⋂时，都有()f P A -<ε，则称f 在D上当0P P →时，以A 为极限，记作0lim P P →()f P A =．当0,P P 分别用坐标00(,),(,)x y x y 表示时，常记作0,0(,)()lim x y x y →(,)f x y A =，这种极限也称重极限．例1)93](1[P 依定义验证22(,)(2,1)lim ()7x y x xy y →++=．证 因为 227x xy y ++-=22(4)2(1)x xy y -+-+-=(2)(2)(2)2(1)(1)(1)x x x y y y y +-+-+-++- 2213x x y y y ≤-+++-+先限制在点(2,1)的δ=1的方邻域{}(,)21,11x y x y -<-<内讨论．于是有314145y y y +=-+≤++<2(2)(1)52157x y x y x y ++=-+-+≤-+-+<所以 22772517(21)x xy y x y x y ++-≤-+-<-+-.设ε为任意的正数，取min(1,)14εδ=，则当2,1x y δδ-<-<，(,)(2,1)x y ≠ 时 就有22714x xy y δε++-<<．所以22(,)(2,1)lim ()7x y x xy y →++=例2 证明222(,)(0,0)lim0x y x yx y →=+． 证 因为()(),0,0x y ≠时，22222102x y xy xx x x y x y ≤=≤≤++．从而任意0ε>，取δ=ε，则当0x δ<<，0y δ<<时，222x yx y+< ε，所以222(,)(0,0)lim x y x y x y →+0=． 2.2 累次极限定义2)97](1[P 设,x y E E R ⊂，0x 是x E 的聚点，0y 是y E 的聚点，二元函数f 在集合x yD E E =⨯上有定义，若对每一个y ∈y E ，0y y ≠，存在极限0lim (,)x x f x y →()y ϕ=，而且进一步存在极限L=0limy y →ϕ()y ，则称此极限为二元函数f 先对0()x x →后对的0()y y →累次极限，并记作00lim lim (,)y y x x L f x y →→=．类似地可以定义先对y 后对x 的累次极限 00lim lim (,)x x y y K f x y →→=．例3 求函数(,)f x y = 222y x y +在(0,0)点的累次极限．解 00lim lim x y →→ 222y x y +=0lim x →20x +=0， 00lim lim y x →→222y x y +=0lim y →22y y =1． 3 二元函数重极限与累次极限之间的关系及其应用3.1 重极限与累次极限的区别与联系累次极限与重极限是二元函数极限的不同概念，二者之间没有必然的蕴涵关系，但在某些特殊 条件下两者又存在着某些联系．例４ 设(,)f x y 为定义在点00(,)x y 附近的二元函数，试讨论重极限0lim (,)x x y y f x y →→，累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→三者之间的关系．解 (1)重极限00lim (,)x x y y f x y →→存在，累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→可能不存在．例如 函数11(,)()sinsin f x y x y x y=+，因为11(,)()sin sin 0f x y x y x y x y=+≤+→．所以(,)(0,0)lim (,)0x y f x y →=，但01lim (,)lim siny y f x y x y →→=，001lim (,)lim sin x x f x y y x→→=都不存在，从而00lim lim x y →→(,)f x y 与00limlim (,)y x f x y →→都不存在．(2)累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→都存在也可能不相等．例如 函数3333(,)x y f x y x y -=+，有00lim lim x y →→3333x y x y -+=0lim x →330x x -+=1 ， 00lim lim y x →→3333x y x y -+=3300lim 10y y y →-=-+ (3)累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→都存在且相等，重极限0lim (,)x x y y f x y →→也可能不存在．例如 函数22(,)xyf x y x y =+，虽然有 22220000lim limlim lim x y y x xy xyx y x y →→→→=++=0，但2(,)(0,0)lim 1x y y kxkk→==+这个极限与k 有关，所以重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在． (4)若重极限0,0(,)()lim (,)x y x y f x y →，累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→三者都存在，则它们一定相等．证 设00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=，则对任给的正数ε，总存在正数δ，使得当00(,)(;)P x y U p δ∈时，有(,)f x y A ε-< （1）另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式00x x δ<-<的x ，存在极限lim (,)()y y f x y x ϕ→= （２）回到不等式（1），让其中0y y →，由（2）可得()x A ϕε-≤，从而证得0lim ()x x x A ϕ→=，即0000(,)(,)lim lim (,)lim (,)x x y y x y x y f x y f x y A →→→==，同理00lim lim (,)y y x x f x y →→＝A ，证毕．(5)若0,0(,)()lim(,)x y x y f x y →=A 存在，且00lim lim (,)x x y y f x y →→的内层极限0lim (,)y y f x y →在0x 的某个1δ邻域里存在，( 1δ>0)，则00lim lim (,)x x y y f x y →→存在且等于A ．(另一个累次极限亦然)证 因∀ε>0，∃δ>0，(取δ<1δ)，当00,x x y y δδ-<-<时， 有(,)A f x y A εε-<<+，.在不等式里令0y y →取极限，记0lim (,)()y y f x y g x →=， 得()A g x A εε-≤≤+0(:),x x x δ∀-<此即表明000lim ()lim lim (,)x x x x y y A g x f x y →→→==，证毕．3.2 二元函数极限的应用利用偏导数的定义，有些关于偏导数的问题可以转化为相应的极限问题．例5)654653](2[-P 设''",,x y yx f f f 在00(,)x y 的某邻域内存在， "yx f 在点00(,)x y 处连续，证明"00(,)xy f x y 存在，且"00(,)xy f x y ="00(,)yx f x y ．证 (1) 将混合偏导数转化成累次极限． 根据偏导数的定义0,000"00000000000000'()'(,)(,)lim(,)(,)(,)(,)1limlim lim x x xy y y x x f x y y f x y f x y yf x x y y f x y y f x x y f x y y x x ∆→∆→∆→∆→+∆-=∆+∆+∆-+∆+∆-⎧⎫=-⎨⎬∆∆∆⎩⎭00lim lim,y x Wx y∆→∆→=∆∆其中00000000(,)(,)(,)(,)W f x x y y f x y y f x x y f x y =+∆+∆-+∆-+∆+，同理可证"0000(,)lim limyx x y Wf x y x y∆→∆→=∆∆．(2) 证明重极限00limx y W x y ∆→∆→∆∆存在，且等于"00(,)yx f x y ．令 00()(,)(,)y f x x y f x y ϕ=+∆-． 则001[()()W y y y x y x yϕϕ=+∆-∆∆∆∆] 0110010010011'()(01)1'(,)'(,)"(,)(01)y y y yx y y x f x x y y f x y y xf x x y y ϕθθθθθθθ=+∆<<∆=+∆+∆-+∆∆=+∆+∆<< 因"yx f 在00(,)x y 处连续，故00limx y Wx y∆→∆→∆∆=00100lim "(,)yx x y f x x y y θθ∆→∆→+∆+∆=00"(,)yx f x y ． (3) 因为','x y f f 在00(,)x y 的邻域内存在，且y ∆充分小时，0limx Wx∆→∆存在，由累次极限定理即例４中结论(5)，得0000"(,)lim limxy y x W f x y x y ∆→∆→=∆∆0,0lim x y Wx y∆→∆→=∆∆="00(,)yx f x y ．4 二元函数极限的不存在性根据重极限与累次极限的关系，证明二元函数极限不存在，通常方法是：(1)特殊路径判别法；(2)累次极限判别法；(3)极坐标判别法；(4)证明某个特殊路径的极限不存在等．下面就这几种方法进行具体的讨论．4.1 特殊路径判别法二元函数重极限定义中，动点(,)P x y 可以沿任意路径趋于定点000(,)P x y ，若二元函数的重极限存在，则(,)P x y 沿任意曲线趋向于000(,)P x y 时极限都存在而且相等．反之，若点P 沿不同路径趋于0P 时极限不存在或存在但不相等则可断定重极限不存在，因此通常可以利用特殊路径法判别二元函数极限不存在．4.1.1 选择直线路径例６ 问极限2222200lim ()x y x y x y x y →→+-是否存在?并说明理由．解 令(,)x y 沿直线y kx =趋于(0,0)，得2224222242200lim lim ()(1)x x y kx x y k x x y x y k x x k →→==+-+-．当1k =时，上式极限为1；当1k ≠时，上式极限为0，故2222200lim ()x y x y x y x y →→+-不存在．注 易知22222222220000lim lim lim lim 0()()x y y x x y x y x y x y x y x y →→→→==+-+- ，再一次表明两累次极限存在且相等，重极限不一定存在．4.1.2 选择二次曲线路径 例７证明0x y →→的极限不存在．证0x y →→=00x y →→(,)x y 沿曲线2y x kx =-+(0)k ≠趋于(0,0)时，有20limx y x kx xyx y →=-+→+=2200()11lim lim x x x x kx kx kx k k →→-+-+==-．k 取不同值 ，上式极限有不同结果，所以00limx y xy x y →→+不存在，而001)2x y →→=存在，故0x y →→不存在．例８ 求24210(1)lim (1)x y x yx y →→--+．解 因为224222(1)(1)(,)0(1)1[](1)y x y x f x y y x y x ---==--++-．令2(1)y k x =-，则2(,)1k f x y k =+． 当(,)x y 沿曲线2(1)y k x =-趋近于(1,0)时,有222421120(1)02(1)(1)lim lim 0(1)1[](1)x x y y k x y x y x y x y x →→→=-→---=--++-21k k =+ 随着k 的取值不同，21kk +取不同的值，所以极限不存在． 4.1.3 选取分式曲线路径当(,)f x y 为分式函数时，有时可将分子、分母变形，反过来推导y 与x 的函数关系，从中找出恰当的分式曲线路径．例９求00x y →→．解由于(,)f x y ==xy x y =+易知012x y →→=，因此只需讨论00limx y xyx y →→+，由于xy x y +的分子．分母只有y 的一次幂．故令 xy x y +=k (0)k ≠，解得kx y x k =-，当0x →时有0y →，因此沿曲线kxy x k=-得00lim x x y kxy x k→→→=→-=01lim 2x kxy x kk →=→-==． 随着k 的取值不同，12k 没有固定值，因此极限不存在． 对于有些结构形式的函数，需要先做适当变形，再选取适当路径来证明极限不存在．例10 验证222222001cos()lim ()x y x y x y x y →→-++不存在．解 先将函数变形，有22222222222222222222222(sin )sin 1cos()22().()()22x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++-++==⋅+++令22222sin 2(,)()2x y f x y x y +=+，2222(,).2x y g x y x y +=一方面00lim (,)x y f x y →→=10≠，另一方面当动点 (,)P x y 沿直线y x =趋于原点(0,0)时，有242000021lim (,)lim lim 2x x x y x x g x y x x →→→=→===∞．所以00lim (,)x y x g x y →=→=∞，从而0lim (,)(,)x y f x y g x y →→⋅=∞．这表明222222001cos()lim ()x y x y x y x y →→-++不存在． 4.2 累次极限判别法若二元函数在点00(,)x y 某邻域内连续而二累次极限存在不相等，则该重极限不存在．累次极限 一般不是特殊路径的极限，但在某空心邻域里若函数连续，则累次极限实为沿坐标轴方向的极限．例11 证明函数3333(,)x y f x y x y-=+在(0,0)处重极限不存在． 证 (,)f x y 在除(0,0)点外处处连续，但330000lim lim (,)lim 10x y x x f x y x →→→-==+， 330000lim lim (,)lim 1,0y x y y f x y y →→→-==-+所以0lim (,)x y f x y →→不存在．4.3 极坐标判别法4.3.1 证明径向路径的极限与幅角有关．例12 设(,)f x y 是区域:1,1D x y ≤≤上的有界k 次齐次函数(1)k ≥，问极限lim (,)(1)y x y f x y x e →→⎡⎤+-⎣⎦是否存在?若存在，试求其值． 解 令cos ,sin x r y r θθ==．由于(,)f x y 是区域D 上的有界k 次齐次函数，所以(,)(cos ,sin )(cos ,sin )(0)k k f x y f r r r f r M M θθθθ==≤>而0lim 0kr r M →=，所以0lim (,)lim (cos ,sin )0x r y f x y f r r θθ→→→==，00lim (,)(1)1y x y f x y x e →→⎡⎤+-=-⎣⎦．4.3.2 (,)f x y 中含“22x y +”或为(,)f x y 的齐次有理分式函数若函数(,)f x y 中含有“22x y +”或为(,)f x y 的齐次有理分式函数，可以先进行坐标变换cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩0r ≤<∞，02θπ<≤，然后适当选取不同路径． 例13验证220x y →→证 作坐标变换cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩22化为1cos rθ+．（1）取路径0θθπ=≠当0θθ=，0r +→时1cos rθ+0→;（2）取路径()1cos r θθ=+，当,0r θπ-+=→时1cos rθ+1→，所以2200x y →→存在．例14 证明22332200lim x y x y x y x y →→-+-+不存在． 证 作坐标变换cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，函数223322(,)x y x y f x y x y -+-=+化为 (,)(cos sin )(cos sin sin cos )f r r r θθθθθθθ=-+++．（1）取路径0θ=，当0,0r θ+=→时(cos sin )(cos sin sin cos )1r r θθθθθθ-+++→．（2）取路径4πθ=，当,04r πθ+=→时(cos sin )(cos sin sin cos )r r θθθθθθ-+++→0所以22332200lim x y x y x y x y →→-+-+不存在． 4.4 证明某个特殊路径的极限不存在例15 证明二元函数2(,)cos y f x y x =在点(0,0)的极限不存在．证 取14y x =，当(,)x y 在14y x =上时，则有2cos yx =，故142(,)(0,0)0lim cos lim x y x y x y x →→==2(,)(0,0)lim cos x y y x →不存在．。
3.2二元函数的极限
二元函数的极限与一元函数的极限类似，对于二元函数z= f (x ,y )同样可以讨论当自变量x 与y 趋向于有限数值x 0与y 0时，函数z 的变化趋势，即二元函数的极限。
1.二元函数极限的定义定义：设函数z= f (x ,y )在点P 0 (x 0,y 0)的某一去心邻域内有定义，P (x ,y )为该邻域内任意一点，当P (x ,y )以任意方式趋于P 0 (x 0,y 0)时，函数f (x ,y )的值都趋于一个确定的常数A ，则称A 是函数z= f (x ,y )当P (x ,y )趋于P 0 (x 0,y 0)时的极限，记作0lim (,)x x y y f x y A →→=00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=0lim (,)P P f x y A→=或x 、y 趋于x 0 、y 0可看作成点P (x ,y )趋向点P 0 (x 0,y 0) ，又可记作在xOy 平面上，点P (x ,y )趋向点P 0 (x 0,y 0)的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。
说明（1）定义中的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。
——这是产生本质差异的根本原因。
0P P →∙00(,)x y (,)x y (,)x y (,)x y (,)x y (,)x y xo y (,)x y（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关结论以巩固和加深理解。
一元极限与二元极限的区别？一元函数在某点的极限存在的充要不同点而多元函数于P 0时,条件是左右极限都存在且相等;都有极限,且相等.()f P 必需是点P 在定义域内以任何方式和途径趋确定二重极限关于二元函数的极限概念可相应地推广到n 元函数上去.不存在的方法(1)(2)此时也可断言找两种不同趋近方式,但两者不相等,00lim (,)x x y y f x y →→使处极限不存在.存在,(,)f x y 在点),(000y x P 令点P (x ,y )沿直线y =kx 或者其他方式如：沿抛物线y =kx 2等趋向于点P 0 (x 0,y 0)若极限值与k 有关,则可断言极限不存在;22(,)x y f x y x y =+222200lim (,)lim x x y kx k x f x y x k x →→==+则有21kk =+k 值不同极限不同!例1 讨论函数的极限.在点(0,0)解设沿直线y = k x 趋于点,(,)P x y (0,0)(,)f x y 在点极限不存在.故(0,0)362(,)x y f x y x y =+36626200lim (,)lim 1x x y kx kx k f x y x k x k →→===++则有k 值不同极限不同!例2 讨论函数的极限.在点(0,0)解设沿曲线y = k x 3趋于(0,0)点,(,)P x y (,)f x y 在点极限不存在.故(0,0)例3222200sin()lim x y x y x y →→++求220,00u x y x y u =+→→→解：令，有，222200sin()lim x y x y x y →→++故，0sin =lim 1u u u →=说明，二元极限问题有时可以转化为一元函数的极限问题例4222222(,)(0,0)1cos()lim ()x y x y x y x y e →-++求222222222222222(,)(0,0)(,)(0,0)1cos()1cos()1lim lim 00()2()x y x y x y x y x y x y x y x y x y e e →→-+-++=⋅=⋅=++解：多元函数的极限的基本问题有三类(1) 研究二元函数极限的存在性.常研究若其依赖于k,则欲证明极限存在,*特别对于*),,(lim 00y x f y x →→),(lim 00y x f y x →→不存在.常用定义或夹逼定理.欲证明极限不存在(通过观察、猜测),常选择两条不同路径,求出不同的极限值.(2) 求极限值.常按一元函数极限的求法求之.(罗必达法则除外)),,(lim y x f 0→x 0→=kx y。
二元函数极限证明
二元函数极限证明题目：二元函数极限的证明引言：在微积分中，函数极限是一个重要的概念。
在实际问题中，许多函数都是多元函数，即变量的个数大于一。
而二元函数是一种常见的多元函数形式，它包含两个自变量和一个因变量。
本文将对二元函数极限进行详细的讨论和证明。
一、二元函数极限的定义设函数 f(x, y) 在点 P(x0, y0) 的某邻域内有定义，若对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点 P(x, y) 满足不等式 0 < \sqrt {(x-x_0 )^2 + (y-y_0 )^2} < δ时，有 |f(x,y)-A|<ε 成立，则称函数 f(x, y) 在点 P(x0, y0) 处的极限为 A，记作lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y)=A二、二元函数极限的性质与一元函数极限类似，二元函数极限也具有以下性质：1. 二元函数极限的唯一性：若极限存在，则极限唯一；2. 夹逼准则：若函数 f(x,y) 在点 P(x0, y0) 的某邻域内有定义，并且存在函数 h(x,y) 和 g(x,y)，满足h(x,y)≤f(x,y)≤g(x,y) 在点P(x0, y0) 的某邻域内成立，并且lim_(x,y)→(x0,y0)h(x,y)=lim_(x,y)→(x0,y0) g(x,y)=A，则必有lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y)=A；3. 四则运算法则：若函数 f(x,y) 和 g(x,y) 分别在点 P(x0, y0) 的某邻域内有定义，并且lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y)=A、lim_(x,y)→(x0,y0) g(x,y)=B，则有lim_(x,y)→(x0,y0) (f(x,y)+g(x,y))=A+B,lim_(x,y)→(x0,y0) (f(x,y)-g(x,y))=A-B,lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y)g(x,y)=AB 和lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y)/g(x,y)=A/B (B≠0)；4. 复合函数极限：若函数 f(x,y) 在点 P(x0, y0) 的某邻域内有定义，并且lim_(u,v)→(x0,y0) g(u,v)=P(x0, y0)，lim_(x,y)→(u,v)f(x,y)=L，则lim_(x,y)→(x0,y0) f(g(x,y))=L。
关于二元函数极限的讨论
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ｆ ｘＹ 无限接近于常数 Ａ，但 这并不能说明 （，） （，） Ｙ 以任意方式趋 向 （，） ００ 时， ｆ ｘＹ 也无 限接近于常数 Ａ，即 （，）
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１ 二元函数极 限的求法
１１ 利 用 二 元 函数 的连 续 性 ．
若 ｆ ｘＹ 在 （ ） （，） ， 处连续 ，则
例 １ ｌ ｉ ｎｘ ｙ ｍ ｌ（ ＋ｅ）
： ：
ｌ ｉ ｆ ｘＹ 存在且等于 ｆ Ｘ，ｏ ． ｍ （，） （ｏ ） Ｙ
ｌ ． ｎ２
。 ＋ √
１ 利用夹逼准则 ． ２ 例２ ｌ ｍ
ｓｉ ｘ ｎ ｙ
— —
√ ０ １＋
０ ． （ 因为 ０ １ｌｘ ｉｌｘ． ＜ｓ ｙＩ ｎ ｙ ｎ ：ｓ
Ｖ １ ，
：
一
Ｉ 且ｌ ｌ ｉ ｌ ＝０） ｍ
二元函数求极限的定义与基本性质
二元函数求极限的定义与基本性质在数学中，二元函数是指依赖于两个变量的函数。
求解二元函数的极限是研究其变化趋势和性质的重要手段之一。
本文将介绍二元函数求极限的定义，并探讨一些基本的性质。
一、二元函数求极限的定义对于给定的二元函数 f(x, y)，当自变量 (x, y) 的取值趋近于某个点(a, b) 时，如果函数值 f(x, y) 的极限存在且唯一，那么我们称该函数在点 (a, b) 处有极限，记作：lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) = L其中 L 为极限值。
二、二元函数极限的性质1. 唯一性：二元函数的极限值在同一点处只能有唯一的取值。
2. 有界性：如果函数在某点 (a, b) 处有极限，那么它在该点周围的某个邻域内是有界的。
3. 保号性：如果函数在某点 (a, b) 处的极限存在且大于零（或小于零），那么在该点附近的某个领域内，函数的取值也大于零（或小于零）。
4. 极限的四则运算性质：设二元函数 f(x, y) 和 g(x, y) 在点 (a, b) 处有极限，则它们的和、差、乘积以及商（当g(x, y) ≠ 0）仍在该点处有极限，并且有以下运算公式：lim_(x,y)→(a,b) (f+g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) + lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)lim_(x,y)→(a,b) (f-g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) - lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)lim_(x,y)→(a,b) (f*g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) * lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)lim_(x,y)→(a,b) (f/g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) / lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)5. 极限的复合性质：设函数 f(x, y) 在点 (a, b) 处有极限 L，函数 g(u) 在点 L 处有极限 M，则复合函数 g(f(x, y)) 在点 (a, b) 处也有极限 M。
16.2二元函数的极限
有 : (x2 xy y2) 7 7 14
故 lim (x2 xy y2 ) 7 ( x, y)(2,1)
例
2.用“
”定义验证极限lim x0
xy 2 x2 y2
0.
y0
证明: 0,要使:
xy 2 x2 y2
0
x
2
xy
y
2
y
0
1 2
y0
取 2 0, 当(xx, y)0U ,((y0,00),)(方时),
则称函数 z f (x, y)在点P0 (x0, y0 )存在极限，且
称 A为函数 z f (x, y)当 x x0， y y0 时的极
限（全面极限），记为 lim f (x, y) A x x0 y y0
或 lim f (x, y) A，或 lim f (P) A
x, y x0 , y0
x0
sin( x x2
2 y) y2
.
y0
解
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
y0
lim
x0
sin( x2 x2 y
y)
x2 y x2 y2
,
y0
其中
lim
x0
sin( x
x2 2y
y
)
y0
u x2 y sin u
lim 1, u0 u
x2 y x2 y2
1x 2
x0 0,
lim
f
(P)
A.
PE
推论 1.设 E1 D ， P0 是 E1 的聚点。若极限
lim f (P)不存在，则极限 lim f (P)也不存在 .
PP0
PP0
二元函数求极限的定义与性质
二元函数求极限的定义与性质在数学中，二元函数是指依赖于两个自变量的函数。
求二元函数的极限是数学分析中的一个重要概念，用于计算函数在某一点的趋近性。
本文将探讨二元函数求极限的定义及其性质，并进一步讨论其在实际问题中的应用。
定义设函数f(x,y)定义在点P(x0,y0)的某个去心邻域内，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当点(x,y)满足0 < √((x-x0)² + (y-y0)²) < δ时，总有|f(x,y) - A| < ε成立，那么称A是函数f(x,y)在点P(x0,y0)处的极限，记作lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y) = A。
性质1.函数极限存在的唯一性：如果函数f(x,y)在点(x0,y0)处有极限，那么该极限必定唯一。
2.函数极限的局部结构：函数极限的存在与否与函数在点(x0,y0)处的局部结构有关，例如，如果函数在点(x0,y0)的某个去心邻域内有界，那么函数在该点处必定存在极限。
3.函数极限与路径无关：对于二元函数而言，极限的求取与路径无关，只依赖于点P(x0,y0)附近的情况。
也就是说，如果沿着不同路径趋向于点P(x0,y0)，得到的极限值相同，那么函数在该点处的极限存在。
应用1.二元函数的极限在微积分中有广泛的应用。
例如，在求取二元函数的导数时，常常需要首先求取其极限。
2.二元函数的极限能够帮助我们研究函数在特定点的性质，例如函数的连续性、可导性等。
3.在实际问题中，二元函数的极限也有重要的应用，比如物理学中的质点运动轨迹的研究，经济学中的边际效应分析等。
总结二元函数求极限是数学分析中的重要概念，通过函数在点附近的趋近性，我们可以推导出函数局部的性质和行为。
函数极限的存在与否是判断函数在特定点连续性、可导性等的关键要素。
同时，函数极限的性质也可以帮助我们解决实际问题中的一些复杂情况。
因此，对于二元函数求极限的定义与性质的理解具有重要的意义，为进一步研究和应用数学分析提供了基础。
二元函数求极限的代数性质与解析
二元函数求极限的代数性质与解析在学习高等数学的过程中，我们经常会遇到求二元函数的极限问题。
二元函数的极限是指当自变量趋近于某个点时，函数的取值趋近于一个确定的值。
在求解这类问题时，我们需要掌握一些代数性质和解析方法。
一、二元函数的极限定义设函数 f(x, y) 在点 (x0, y0) 的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点 (x, y) 满足不等式0 < √((x-x0)²+(y-y0)²) < δ 时，都有 |f(x, y) - A| < ε 成立，则称函数 f(x, y) 在点(x0, y0) 处的极限为A，记作：lim_(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = A二、二元函数极限的代数性质1. 唯一性性质：若二元函数 f(x,y) 在点 (x0, y0) 处极限存在，则极限值 A 唯一确定。
2. 有界性质：若二元函数 f(x,y) 在点 (x0, y0) 处极限存在且有限，则 f(x,y) 在点 (x0, y0) 的某个去心邻域内有界。
3. 保号性质：若二元函数 f(x,y) 在点 (x0, y0) 处的极限存在且不为零，则在点 (x0, y0) 的某个去心邻域内，f(x,y) 与 A 的正负号相同。
三、二元函数极限的解析方法在具体的计算中，我们可以通过一些解析方法来求解二元函数的极限。
1. 分别取极限法：当二元函数 f(x,y) 在点 (x0, y0) 处的极限存在，且其极限可以表示为 A = h(x) + k(y)，其中 h(x) 和 k(y) 分别是关于 x 和y 的函数的极限。
则有：lim_(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = lim_(x→x0) h(x) + lim_(y→y0) k(y)2. 代数运算法则：对于二元函数与它的极限，可以利用代数运算法则进行运算，如加减乘除、辽有近似计算的阶乘表.png乘幂、复合函数等。
二元函数求极限的基本思路与方法
二元函数求极限的基本思路与方法在数学中，我们经常需要研究函数在某一点的极限情况。
而当涉及到二元函数时，也就是函数有两个自变量x和y的情况下，我们需要采用一些特殊的方法来求解其极限。
本文将介绍求解二元函数极限的基本思路与方法。
一、定义二元函数的极限对于二元函数f(x,y)，当自变量x和y的取值都趋近于某个确定值(a,b)时，如果函数值f(x,y)无论取怎样的值都趋近于一个确定值L，那么我们称函数f(x,y)在点(a,b)处的极限为L，记作：lim(f(x,y)) = L(x,y)->(a,b)与一元函数类似，我们也需要关注函数在点(a,b)附近的取值情况，以确定其极限。
二、二元函数极限求解的思路对于一元函数，我们常用的求极限方法主要有：代入法、夹逼准则、无穷小量法等等。
而对于二元函数，我们可以结合这些方法以及一些特殊的技巧来求解其极限。
1. 代入法：和一元函数求极限一样，我们可以尝试将自变量x和y代入函数，看其极限是否存在。
如果代入后能够得到一个确定的值L，那么我们可以初步判断函数在点(a,b)处的极限为L。
2. 极限分解法：对于形式复杂的二元函数，我们可以采用极限分解法来求解其极限。
即将二元函数分解为一元函数的形式，然后再利用一元函数求极限的方法来求解。
例如，对于函数f(x,y) = (x^2 - y^2)/(x + y)，我们可以将其分解为f(x,y) = f1(x,y) * f2(x,y)，其中f1(x,y) = x + y，f2(x,y) = (x - y)/(x + y)。
然后分别求解f1(x,y)和f2(x,y)的极限，最后确定原函数的极限。
3. 夹逼准则：夹逼准则也是一种常用的求极限的方法，适用于一元函数和二元函数。
夹逼准则的基本思想是将待求极限的函数夹在两个已知函数之间，这两个已知函数的极限都存在且相等。
例如，对于函数f(x,y) = (x^2 * y)/(x^2 + y^2)，我们可以通过夹逼准则来求解其极限。
求二元函数极限的几种方法-二元函数极限定理
. .word..1.二元函数极限概念分析定义1设函数f 在2D R ⊂上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<,那么称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限又称为二重极限.2．二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题假设函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，那么0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=.例1求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以122122lim (,)lim(2)12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+⨯⨯=例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→．解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即. .word..()()221,1,21limy x y x +→=31．2.2 利用恒等变形法将二元函数进展恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求00x y →→解：00x y →→00x y →→=0x y →→=001.4x y →→==-例4()()22220,0,321)31)(21(limyx y x y x +-++→．解： 原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →=+()(22,0,0limx y →=+1122=+=．2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)u x y→，有sin(,)(,)u x y u x y；2(,)1cos(,)2u x yu x y-；[]ln1(,)(,)u x y u x y+；tan(,)(,)u x y u x y；arcsin(,)(,)u x y u x y；arctan(,)(,)u x y u x y(,)1u x yn；(,)1(,)u x ye ux y-；同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例5求xy→→解：当x→，0y→时，有0x y+→11()2x y+，所以1()2lim1.2xyxyx yx y→→→→+=+=. .word... .word..这个例子也可以用恒等变形法计算，如：00001.2x y x y x y →→→→→→===2.4 利用两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广.例6求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+.解：先把极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→，所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=例7 求 0sin()limx y axy x →→极限.. .word..解： 因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →，所以 sin()1xy xy→，再利用极限四那么运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1=a .这个例子也可以用等价无穷小代换计算，如： 当 0x →，y a →时，0xy → ，sin()xy xy .所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===2.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8求0011)sin cos x y y x y →→解:因为00)0x y y →→= 是无穷小量， 11sin cos 1x y ≤ 是有界量 ，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解 原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--⋅--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-⎡⎤-+-⎣⎦是有界量，又. .word..32lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，所以 ， 22232(3)(2)lim 0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- .虽然这个方法计算实际问题上不那么多用，但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .2.6利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算，从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。
怎么理解二元函数的极限
怎么理解二元函数的极限二元函数的极限是微积分中一个重要的概念，它描述了当自变量趋于某一特定值时，函数的取值趋于何种程度的问题。
在本文中，我们将从不同的角度来理解二元函数的极限，并探讨其在实际问题中的应用。
我们可以从图形的角度来理解二元函数的极限。
对于一个二元函数f(x, y)，我们可以将其表示在一个二维坐标系上。
当自变量(x, y)在平面上靠近某一点(x0, y0)时，如果函数值f(x, y)趋近于一个确定的常数L，那么我们说f(x, y)在点(x0, y0)处的极限为L。
换句话说，当(x, y)在(x0, y0)附近时，函数值会无限接近于L。
我们可以从数学运算的角度来理解二元函数的极限。
根据极限的定义，当自变量趋近于某个值时，函数值也应该趋近于一个确定的常数。
在计算二元函数的极限时，我们可以利用极限运算的性质，如加法、乘法、除法和复合函数的性质，来简化计算过程。
通过运用这些性质，我们可以将复杂的二元函数的极限计算转化为简单的一元函数的极限计算。
我们还可以从实际问题的角度来理解二元函数的极限。
在实际问题中，二元函数的极限可以用来描述一些重要的现象。
例如，在物理学中，我们可以利用二元函数的极限来描述粒子在某一点的速度、加速度等物理量的变化情况。
在经济学中，二元函数的极限可以用来描述市场供需关系的变化，从而预测市场的趋势。
在工程学中，二元函数的极限可以用来描述电路中电流、电压的变化情况，从而优化电路设计。
二元函数的极限是微积分中的一个重要概念，它不仅可以从图形的角度来理解，还可以从数学运算和实际问题的角度来理解。
通过对二元函数的极限的理解，我们可以更好地应用微积分的知识解决实际问题，进一步深化对微积分的理解。
希望通过本文的介绍，读者能够对二元函数的极限有一个更清晰的理解，并能够应用到实际问题中。
二元函数三类极限定义及相互关系的分析与讨论
是， 在 邻域 内 的点 Ｐ趋 于 Ｐ ０ 的 方式 不再 只是 两个 方
向， 即 变量沿 着变 量对 应的 坐标 轴 ， 从左 右 两个直 线
ｙ ） 当（ ｘ ， ｙ ） 一 ＂ （ ｘ ｅ ， ｙ ｏ ） Ｌ ｔ ￣ 的： 二重极 限 。
路 径 方向变化 ， 如图 ｌ 所示 ； 而是 点 Ｐ是从 任意不 同 方 向， 以任 意路 径趋 于点 Ｉ ） ０ ， 如 图 ２所 示 ， 点 Ｐ趋 于
二元函数三类极限定义及相互关 系的分析与讨论
刘 雄 伟
（ 国防 科技大 学理 学 院 数 学 与系统 科学 系 ， 湖南 长沙 ４ １ ０ ０ ７ ３ ）
摘要 ： 函数极限是 高等数学与数 学分析课程的核心 内容之一 ， 也是微分法的基础。二元函数极 限的讨论相对 于
一
元 函数 极限要 复杂得 多。一般 与二元 函数相 关的极限有二重极限 ， 两种顺序 的 累次极 限和 方向极限 ， 并且二重 极
限的定义在不同教材 中还有 不同形式的定义。二元 函数极限的定叉 、 存在性 和相 互关系的分析与讨 论， 对 于理解 、 掌
握、 应用极限解决 问题和构建多元 函数微积分理论具有重要 作用．
关键 词 ： 微积 分； 二 元 函数 ； 二 重极 限 ； 累次 极 限 ； 方 向极 限
中图分类号： ０１ ７
存 在性 与求 解方 法没 有 清晰 的理解 与思 路 ，必 然 会 在 二元 函数极 限 、 连续 、 可微 、 方 向导 数 存 在性 的判
断、 多元 积分 模 型的构 建 与计算 等概 念学 习与理 论 、 方 法应 用 的过程 中 ， 在 心 里 留下 一 知半解 的“ 心结”
（ １ ） 定义 ｌ 是一 元 函数 极 限的 直接 推广 ， 要 求 函 数 ｆ （ ｘ ， ｙ ） 在Ｐ ０ 的某个 去心 邻域 内 每 一点都要 有定 义 ，
二元函数极限定义
二元函数极限定义嘿，朋友们！今天咱来唠唠二元函数极限定义这个事儿。
咱就说，这二元函数极限啊，就好像是一场神秘的追逐游戏。
你可以想象一下，在一个大大的平面上，有个函数在那儿蹦跶。
咱要研究的就是当自变量在这个平面上无限靠近某个点的时候，函数值会咋个变化。
比如说吧，就像你在操场上跑步，目标点就是终点线。
你从不同的方向往终点线跑，那速度啊、路径啊可能都不一样，但最终都是奔着终点去的。
这二元函数也是一样，自变量可以从各个方向去靠近那个关键的点。
那这极限到底是个啥呢？其实就是那个最终要到达的“目的地”呀！不管你是大步跑还是小步挪，只要你越来越靠近那个“目的地”，那就对啦！这过程中可能会有各种弯弯绕绕，但咱就盯着那个最终的目标。
你说这神奇不神奇？一个函数，在那么大的平面上，咱就能研究出它在某个点附近的行为。
这就好比你知道一个人在一个大广场上，你能预测出他靠近某个特定位置时的表现。
再想想看，要是没有这个极限定义，那咱不就抓瞎啦？就像在黑夜里没有手电筒，摸不着方向啊！有了它，咱就有了个准则，有了个可以抓住的东西。
而且哦，这二元函数极限可不是随随便便就能确定的。
就跟你要达到一个很高的目标，得付出很多努力一样。
得仔细分析，得认真琢磨，不能有一点儿马虎。
你看啊，生活中很多事情不也是这样吗？要达成一个目标，就得一步一个脚印，不能着急，得慢慢靠近。
这二元函数极限不就是给咱一个很好的例子嘛！总之呢，二元函数极限定义可太重要啦！它就像一把钥匙，能打开函数世界里很多神秘的大门。
咱可得好好研究它，弄明白它，这样才能在数学的海洋里畅游无阻啊！这就是我对二元函数极限定义的理解，你们觉得呢？。
二元函数极值的几何意义
二元函数极值的几何意义摘要：1.二元函数极值的概念及判定条件2.二元函数极值的几何意义3.求二元函数极值的方法4.实例分析正文：一、二元函数极值的概念及判定条件二元函数极值是指在定义域内，函数在某一点取得最大值或最小值。
判定二元函数极值的条件有以下两种：1.二元函数的一阶导数等于零，即f_x = 0和f_y = 0同时成立。
2.二元函数的二阶导数小于零，即f_{xx} < 0和f_{yy} < 0同时成立。
二、二元函数极值的几何意义二元函数极值的几何意义在于，当二元函数在某一区域取得极值时，该区域内的函数值变化趋势会发生变化。
具体来说，如果函数在点（x0，y0）处取得极大值，那么在点（x0，y0）附近，函数值会随着x或y的增大而增大；如果函数在点（x0，y0）处取得极小值，那么在点（x0，y0）附近，函数值会随着x或y的增大而减小。
三、求二元函数极值的方法1.求一阶导数：对二元函数f(x, y)分别求关于x和y的一阶导数，得到f_x 和f_y。
2.求二阶导数：对一阶导数f_x和f_y分别求二阶导数，得到f_{xx}和f_{yy》。
3.判断极值：当f_x = 0且f_y = 0时，计算f_{xx}和f_{yy}的值。
若f_{xx} < 0且f_{yy} < 0，则点（x0，y0）为极大值点；若f_{xx} > 0且f_{yy} > 0，则点（x0，y0）为极小值点。
四、实例分析假设我们要求二元函数z = f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5在定义域内的极值。
1.求一阶导数：f_x = 2x - 4f_y = 2y - 22.求二阶导数：f_{xx} = 2f_{yy} = 23.判断极值：f_x = 0时，x = 2；f_y = 0时，y = 1；f_{xx} > 0且f_{yy} > 0，所以点（2，1）为极小值点。
通过以上分析，我们可以得出二元函数极值的几何意义以及求解方法。
二元函数极限证明
二元函数极限证明二元函数极限是非常重要的数学概念，它在微积分、数学分析、数学物理等领域中都有着广泛的应用。
本文将探讨二元函数极限的定义、性质和证明方法等内容。
一、二元函数极限的定义二元函数极限是指当二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处充分接近某一数L时，称f(x,y)以(x0,y0)为极限的极限为L。
其数学表达式为：lim f(x,y) = L (x,y) → (x0,y0)其中，x和y是自变量，f(x,y)是因变量，(x0,y0)是指自变量趋向的目标点，L是指当自变量趋向(x0,y0)时，因变量接近的目标数。
二、二元函数极限的性质1. 二元函数极限不存在的情况二元函数极限可能不存在，如果在(x0,y0)处存在不同的极限，或者不存在以(x0,y0)为中心的去心邻域，那么二元函数极限就不存在。
2. 二元函数极限存在的情况若二元函数在点(x0,y0)的某去心邻域内有定义，并且存在常数L，使得对于任意给定的正实数ε，总存在正实数δ，使得当点(x,y)满足0<d((x,y),(x0,y0))<δ时，就有|f(x,y)-L|<ε，那么就称L是二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限。
3. 二元函数极限等价于一元函数极限对于二元函数f(x,y)，可以将一个自变量看成定值，将另一个自变量看成另一个自变量的函数，则可以将二元函数极限转化为一元函数极限。
4. 二元函数极限具有唯一性如果二元函数在点(x0,y0)处存在极限，那么它的极限是唯一的。
三、二元函数极限的证明方法1. 利用定义证明根据极限的定义，可以利用ε-δ语言对二元函数的极限进行证明。
具体地，可以先假设在(x0,y0)处存在一个数L，然后对于任意给定的ε>0，都可找到一个正实数δ>0，使得当点(x,y)满足0<d((x,y),(x0,y0))<δ时，有|f(x,y)-L|<ε。
最后证明这个数列L确实满足该条件，即证得二元函数在点(x0,y0)处的极限存在。
二元函数求极限的连续性理论应用
二元函数求极限的连续性理论应用在数学中，二元函数是指以两个自变量为输入、将其映射到一个数域的实函数。
在分析数学中，研究二元函数的性质与极限是一个重要的课题。
本文将探讨二元函数求极限的连续性理论应用。
一、二元函数的极限定义在讨论二元函数的极限时，我们首先需要明确其极限的定义。
设有二元函数 f(x,y)，当 (x,y) 趋近于某一点 (x₀, y₀) 时，如果对于任意给定的正实数ε，总存在另一正实数δ，使得当满足条件0 < √((x - x₀)² + (y - y₀)²) < δ 时，都有 |f(x, y) - L| < ε 成立，则称数 L 是函数 f 在点 (x₀, y₀) 处的极限。
二、二元函数求极限的基本思路在计算二元函数的极限时，通常可以通过代入法、夹逼准则和极限运算法则来进行分析。
接下来，我们将分别讨论这三种方法的具体应用。
1. 代入法代入法是二元函数求极限中最基本的方法。
当二元函数在某一点(x₀, y₀) 处连续时，可以通过代入点的方法直接求出该点处的极限值。
例如，对于函数 f(x, y) = x² + y²，在点 (1, 2) 处的极限可以直接代入得到 f(1, 2) = 1² + 2² = 5。
2. 夹逼准则夹逼准则在二元函数求极限中经常用到。
当我们难以直接代入点进行计算时，可以通过构造夹逼函数来确定极限的存在性。
夹逼准则主要基于以下原理：若存在两个二元函数 g(x, y) 和 h(x, y)，使得对于所有点 (x, y) 来说，g(x, y) ≤ f(x, y) ≤ h(x, y) 成立，且 g(x, y) 和 h(x, y) 在点 (x₀, y₀) 处的极限都存在且相等，则函数 f(x, y) 在点 (x₀, y₀) 处的极限也存在且等于 g(x₀, y₀) = h(x₀, y₀)。
3. 极限运算法则极限运算法则是二元函数求极限中的重要工具。
关于二元函数极限的求法的探讨
关于二元函数极限的求法的探讨作者：马晨来源：《活力》2013年第21期[关键词] 二元函数；函数的极限；洛必达法则；连续性二元函数极限的定义：设f为定义DR2上的二元函数，P0为D的一个聚点，A是一个确定的实数。
若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当P∈U0（P0；δ）∩D时，都有|f（P）-A当P，P0分别用坐标（x，y），（x0，y0）表示时，上式也常写作。
1 二元函数极限不存在的判别法1.1二重极限存在是指P（x，y）以任何方式趋于P0（x0，y0）时，函数都无限接近于A，因此，如果P（x，y）以某一特殊方式例如沿着一条直线趋于P0（x0，y0）时，即使函数无限接近于某一确定值，还不能由此断定函数极限的存在，但如果当P（x，y）以不同方式趋于P0（x0，y0）时，函数值趋于不同的值，则可断定这个函数当x→x0，y→y0时极限不存在。
解：当动点（x，y）沿着直线y=mx而趋于定点（0，0）时，由于此时，因而有，这一结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时，对应的极限值也不相等，因此所讨论的极限不存在。
1.2二重极限与累次极限没有必然的联系。
由定理知若累次极限与二重极限都存在时则三者必相等。
由此可推出若累次极限都存在但不相等时二重极限必不存在解：，两个累次极限存在但不相等所以二重极限不存在。
2 二元函数极限的计算方法2.1利用二元函数极限的定义求解2.2利用极限的四则运算法则求解二元函数与一元函数有着类似的运算法则，利用函数极限的迫敛性与四则运算的混合我们就可以将一些复杂的函数极限计算问题转化成简单的函数极限运算，下面我们举一个二元函数求极限过程中运用到四则运算法则的例子。
2.3将二元极限化为一元极限的求法依据函数f（x，y）的特殊类型，利用两个变量x，y的和x+y=t，平方和x2+y2=t及乘积xy=t等做变换，将二元函数f（x+y）求极限的问题，整体或部分转化为一元函数求极限的问题。
（1）当x→∞，y→a（a≠0常数）时，二元函数f（x，y）的极限做变换xy=t，相应的有t→∞，利用已知一元函数的极限公式再继续计算。
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定义 2 设函数 f ( x , y) 在平面某一点集 D 有定义 ,点 P0 ( x0 , y0 ) 为 D 的一个聚点 ( P0 不一定
属于 D) , A 是一个定数 ,如果 Πε > 0 , ϖδ > 0 , Π P( x , y) ∈U°( P0 ,δ) ∩D ,有 | f ( x , y) - A | <
函数在一点的极限是反映函数在该点某一邻域内的重要属性的一个基本概念 , 它与邻域的定
义密切相关. 所谓一点的邻域 ,它是单连通的. 按照定义 1 , P( x , y) → P0 ( x0 , y0 ) 时 f ( x , y) 有极限 ,
前提是 :函数 f ( x , y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某邻域内 (只有点 P0 可以例外) 处处有定义. 关键在于 :在
解 函数 f ( x , y) =
xy
的定义域为非连通域 D = { ( x , y) | xy ≠0 , xy ≥- 1} ,显
xy +1 - 1
然 , D 不包含 ox , oy 两个坐标轴上的点 ,从而 ,函数 f ( x , y) =
xy
在 P0 (0 ,0) 点的空心邻
xy +1 - 1
这个邻域内 (除点 P0 外) 不等式 | f ( x , y) - A | < ε处处成立. 而定义 2 的条件减弱了 ,它用以 P0
为聚点的点集 D 代替以 P0 为中心的邻域 ;用交集 U°( P0 ,δ) ∩D 内的一切点满足不等式 | f ( x , y)
- A | < ε,代替邻域 U°( P0 ,δ) 内的一切点满足不等式 | f ( x , y) - A | < ε.
显然 , 对于一个确定的函数 f ( x , y) , 若按定义 1 极限 lim f ( x , y) 存在 , 则按定义 2 极限 x →x0 y →y0
lim f ( x , y) 必然存在 ,其值相同. 反之 ,若按定义 2 极限 lim f ( x , y) 存在 ,则按定义 1 极限 lim f ( x ,
关于二元函数极限的定义 ,目前现行数学分析和高等数学教材中 ,一般都采用下面两种定义的
一种 (定义 2 出现的较多) .
定义 1 设函数 f ( x , y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有定义 (在点 P0 函数可以没有定义 ,因为 这时不考虑该点的函数值) , P( x , y) 是邻域内的任一点 ,如果当点 P( x , y) 以任何方式无限接近于
| f ( x , y) - A | <ε
其中
A
是一个定数 ,则称
A
是函数 f
( x , y)
当
x
→ x0
,y
→ y0
或ρ →0 时的极限 ,记作 : lim f x →x0
( x , y)
y →y0
= A 或 lim f ( P) = A 或lim f ( x , y) = A .
P →P0
ρ→0
xy + 1 + 1
2
所以 , Πε > 0 , ϖδ = min{ 1 , 2ε} , Π P( x , y) ∈ D 且 0 < x2 + y2 < δ时 ,有
| f ( x , y) - 2 | = |
xy xy +1 -
1
2|
≤ x2 + y2 2
<ε
故极限 lim
xy
= 2.
x →0 y →0
xy + 1 - 1
参考文献
[1 ] 复旦大学数学系. 数学分析 (下册 ,第二版) [ M ]. 北京 :高等教育出版社 ,2004 :134 - 135. [2 ] 华东师大学数学系. 数学分析 (下册 ,第三版) [ M ]. 北京 :高等教育出版社 ,2001 :93 - 94.
y →0
xy
不存在.
xy +1 - 1
如果按定义 2 ,就会是另一种情况. 如前所述函数 f ( x , y) =
xy
的定义域为 D , 点
xy +1 - 1
P0 (0 ,0) | D ,但是 ,任一邻,点 P0 (0 ,0) 是 D 的一个聚
x →x0
x →x0
x →x0
y →y0
y →y0
y →y0
y) 却不一定存在.
3 收稿日期 :2007 - 07 - 10 ;修改日期 :2007 - 11 - 19
第 11 卷第 2 期
金贵荣 ,沈晨 :关于二元函数极限定义的探讨
9
例 考察极限lim
xy
是否存在.
x →0 y →0
xy +1 - 1
点 P0 时 ,函数的对应值 f ( x , y) 无限接近于一个定数 A ,则称 A 是函数 f ( x , y) 当 x → x0 , y → y0
或ρ = ( x - x0 ) 2 + ( y - y0 ) 2 →0 时的极限.
用“ε- δ”语言精确描述 :如果 Πε > 0 , ϖδ > 0 , Π P( x , y) ∈U°( P0 ,δ) ,有
关 键 词 二元函数 ;极限 ;邻域 ;聚点 中图分类号 O171
在数学分析和高等数学中 ,关于多元函数的极限 ,主要讨论二元函数的极限 , 由于它与一元函
数极限有着本质上的差异 ,其概念较难理解. 为此 ,本文从教学角度出发 ,对二元函数极限的两种不
同定义进行分析讨论 ,从而得到它们之间的关系 ,作为数学分析和高等数学教学与学习的参考.
点 ,而 Π P( x , y) ∈ D 都满足 x y + 1 - 1 ≠0 ,于是
| f ( x , y) - 2 | = |
xy
- 2|
xy +1 - 1
=|
xy ( xy + 1 + 1) xy + 1 - 1
-
2|
=|
xy + 1 - 1 |
= | x y + 1 - 1 | ≤| x y | ≤ x2 + y2
域 U°( P0 ,δ) 中的 ox , oy 两个坐标轴上的点处没有定义 ,因此 ,满足定义 1 要求的邻域 U°( P0 ,δ) 不
存在 ,更谈不上“ Π P( x , y)
∈U°( P0 ,δ) ,有 |
f ( x , y)
-
A|
< ε成立”, 所以 , 根据定义 1 , 极限lim x →0
ε成立 ,则称 A 是函数 f ( x , y) 当 x
→x0 , y
→y0
时的极限
, 记作
: lim x →x0
f
(
x
,
y)
= A 或 lim f ( P) P →P0
= A.
y →y0
(在定义 1 或定义 2 中 , U°( P0 ,δ) 可以是 P0 的空心δ方邻域 ,也可以是 P0 的空心δ圆邻域)
8
高等数学研究
Vol1 11 ,No1 2
STUDIES IN COLL EGE MA T H EMA TICS
Mar. ,2008
关于二元函数极限定义的探讨 3
金贵荣 沈 晨 (中国石油大学数学与计算科学学院 山东东营 257061)
摘 要 对二元函数极限的两种不同定义进行分析讨论 ,并通过举例说明它们之间的关系