2021年高中数学.4逆变换与逆矩阵.4.1逆矩阵的概念教学案苏教版选修4

合集下载

“逆矩阵”教学设计

“逆矩阵”教学设计

“逆矩阵”教学设计
一、教学目标:
1.了解矩阵的逆矩阵的概念和性质;
2.掌握求逆矩阵的方法;
3.了解逆矩阵的应用。

二、教学重点和难点:
1.矩阵的逆矩阵的定义和性质;
2.求逆矩阵的方法;
3.逆矩阵的应用。

三、教学过程:
1.导入:通过一个例子引出逆矩阵的概念,让学生了解在矩阵运算中逆矩阵的重要性。

2.讲解定义和性质:介绍矩阵的逆矩阵的定义和性质,说明逆矩阵存在的条件和唯一性。

3.求逆矩阵的方法:
(1)初等变换法:通过初等行变换将原矩阵转化为单位矩阵,然后对该过程逆向操作,即可求得原矩阵的逆矩阵;
(2)公式法:使用逆矩阵的求逆公式来求解逆矩阵。

4.练习与讲解:让学生进行一些简单的逆矩阵求解练习,然后讲解答案,强化学生的记忆和理解。

5.应用实例:
(1)线性方程组的求解:通过逆矩阵来解决线性方程组的求解问题;
(2)矩阵的幂的求解:通过逆矩阵来求解矩阵的幂;
(3)线性变换的逆变换:通过逆矩阵来进行线性变换的逆变换。

6.拓展应用:
(1)应用于概率统计:逆矩阵在概率统计中有着广泛的应用,可以用来求解多元线性模型的系数矩阵;
(2)应用于数值计算:逆矩阵在数值计算中也有很重要的作用,可以用来求解矩阵方程的解。

7.总结归纳:总结逆矩阵的概念、性质和求解方法,让学生对逆矩阵有一个清晰的认识。

四、教学评估:
1.完成练习题目;
2.参与课堂讨论;
3.解答问题。

通过以上教学设计,学生们可以系统地学习逆矩阵的概念、性质和求解方法,掌握逆矩阵的应用技巧,提高数学素养和解决实际问题的能力。

人教版高中选修4-2一逆变换与逆矩阵课程设计

人教版高中选修4-2一逆变换与逆矩阵课程设计

人教版高中选修4-2一逆变换与逆矩阵课程设计一、课程设计说明1.1 课程设计背景逆变换和逆矩阵是高中数学中的重要概念之一,是线性代数的基础知识。

逆变换和逆矩阵在工程、物理、经济等领域中有广泛的应用。

在高中数学选修课程中,逆变换和逆矩阵是必须掌握的知识点之一。

1.2 设计目标本课程设计旨在通过理论讲解、模型建立和题型讲解等多种方式,使学生掌握逆变换和逆矩阵的基本概念、性质和特点,培养学生运用逆变换和逆矩阵解决实际问题的能力。

1.3 设计内容本课程设计分为以下三个部分:1.逆变换的基本概念和性质2.矩阵的逆3.运用逆变换和逆矩阵解决实际问题二、课程设计实施计划2.1 教学目标在完成本课程设计后,学生应达到以下目标:1.掌握逆变换和逆矩阵的基本概念、性质和特点。

2.熟练掌握求解矩阵的逆的方法。

3.运用逆变换和逆矩阵解决实际问题的能力。

2.2 教学计划本课程设计分为以下三个部分:2.2.1 逆变换的基本概念和性质•介绍逆变换的定义和性质。

•介绍逆变换的求解方法。

•练习选择题和填空题。

2.2.2 矩阵的逆•介绍矩阵的逆的定义和性质。

•介绍求解矩阵的逆的方法。

•练习选择题和填空题。

2.2.3 运用逆变换和逆矩阵解决实际问题•给出具体的实际问题。

•引导学生将实际问题转化为数学问题。

•通过逆变换和逆矩阵求解实际问题。

•练习计算题。

三、教学方法3.1 教学理念本课程设计采用启发式教学法,注重知识的系统性、普遍性和实际性。

以应用为导向,以培养学生的数学思维能力和创新能力和发展学生综合实践能力为目标。

3.2 实施方式•讲授:采用板书、幻灯片等方式进行理论讲解。

•练习:采用大量的习题和例题进行练习巩固。

•互动:采用问答、讨论等方式提高学生的参与度。

四、考核方式4.1 考核方式以期中期末为主要考核方式,包含选择题、填空题、计算题等多个类型的考试题目。

比例约为30%的总课时。

4.2 考核标准根据学生的学习成果和教学要求,采用标准答案和量化评价相结合的方式,确保考核公正、透明、科学。

江苏省涟水县高中数学 第二章 矩阵与变换 2.4.1 逆矩

江苏省涟水县高中数学 第二章 矩阵与变换 2.4.1 逆矩

2.4.1 逆矩阵的概念教学目标1.通过具体的图形变换,理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件;通过具体的投影变换,说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在。

2.会证明逆矩阵的惟一性和111)(---=A B AB 等简单性质,并了解其在变换中的意义。

3.会从几何变换的角度求出AB 的逆矩阵。

4.会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去律。

考纲要求:二阶逆矩阵(B 级)教学过程:一、预习:阅读教材,解答下列问题:问题1:已知二阶矩阵对应的变换把点(x , y)变换为 (x′, y′) , 是否存在一个变换能把点(x′, y′)变换为(x , y)呢?问题2、对于下列给出的变换矩阵A ,是否存在变换矩阵B ,使得连续进行两次变换(先T A 后T B )的结果与恒等变换的结果相同?(1)以x 为反射轴的反射变换;(2)绕原点逆时针旋转60º作旋转变换;(3)横坐标不变,沿y 轴方向将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换;(4)沿y 轴方向,向x 轴作投影变换;(5)纵坐标y 不变,横坐标依纵坐标的比例增加,且满足),2(),(y y x y x +→。

归纳逆变换的概念:所谓“逆变换”是指原变换的逆过程.设A 是一个二阶矩阵,如果存在二阶矩阵B ,使得E BA AB ==,则称A 可逆或称矩阵A 是可逆矩阵,并称B 是A 的逆矩阵.若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ,则逆矩阵是唯一的。

通常记A 的逆矩阵为1-A .二、例题讲解例1.用几何的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵,若存在把它求出来;若不存在,说明理由.例2、求矩阵5173A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵(代数方法) 1010(1)(2)210010110(3)(4)1010A B C D ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦求逆矩阵方法:①用待定系数法;②从几何变换的角度求;③111)(---=A B AB ; ④公式法: 当0=/-bc ad ,矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A 是可逆矩阵,且它的逆矩阵为 =-1A .例3、已知,10211,2001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B A 求矩阵AB 的逆矩阵.思考:1.对于二阶矩阵C B A ,,,在什么条件下,可由AC AB =一定能推出C B =? 2.A =2142⎡⎤⎢⎥⎣⎦,问A 是否可逆?若可逆,求其逆矩阵1A -三、课堂练习1. 从几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵,若存在,请把它求出来;若不存在,请说明理由: (1) A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-23212123; (2)B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001; (3)C=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011; (4)D=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002 2.已知A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001, B=12212⎛⎫- ⎪⎪⎪⎪⎭,求矩阵AB 的逆矩阵。

矩阵的逆矩阵教案

矩阵的逆矩阵教案

矩阵的逆矩阵教案一、引言矩阵是线性代数中重要的概念之一,广泛应用于各个领域。

在矩阵的运算中,逆矩阵是一个关键概念。

本教案旨在通过清晰的解释与实例演示,帮助学生理解和掌握矩阵的逆矩阵。

二、基础知识回顾在开始学习矩阵的逆矩阵之前,我们首先需要回顾一些基础知识。

1. 矩阵的定义矩阵是由$m$行$n$列元素排列成的矩形数表,其中每个元素都有自己的位置。

我们通常用大写字母表示矩阵,如$A$。

2. 矩阵的运算矩阵可以进行加法、减法和数乘等运算。

两个矩阵必须具有相同的阶数才能进行加法和减法运算。

矩阵的数乘即是将矩阵的每一个元素与一个标量相乘。

3. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。

我们通常用$A^T$表示矩阵$A$的转置。

4. 单位矩阵单位矩阵是一个主对角线上的元素都为1,其余元素都为0的方阵。

我们通常用$I$表示单位矩阵。

5. 方阵与可逆矩阵方阵指行数和列数相等的矩阵。

可逆矩阵是方阵中的一种特殊矩阵,存在一个相应的逆矩阵,其乘积为单位矩阵。

三、逆矩阵的定义与性质1. 逆矩阵的定义对于一个$n$阶方阵$A$,如果存在一个$n$阶方阵$B$,使得$AB=BA=I$,则称$A$是可逆的,并称$B$为$A$的逆矩阵。

逆矩阵的记号为$A^{-1}$。

2. 逆矩阵的唯一性如果$A$存在逆矩阵$A^{-1}$,那么$A^{-1}$是唯一的。

3. 矩阵与逆矩阵的相乘若$A$是一个可逆矩阵,$B$是任意一个与$A$行数相同的矩阵,则有$AB=I$和$BA=I$。

四、矩阵的逆矩阵求解方法1. 行列式法求解逆矩阵通过行列式法可以求解$n$阶方阵$A$的逆矩阵$A^{-1}$,其中行列式$|A|\neq 0$。

2. 元素法求解逆矩阵通过增广矩阵的方法,可以将方阵$A$与单位矩阵$I$进行行初等变换,得到一个增广矩阵,其中方阵部分为单位矩阵,若能将$A$化为单位矩阵,则增广矩阵右侧部分即为$A^{-1}$。

3. 矩阵的初等行变换法求解逆矩阵通过将$n$阶方阵$[A|I]$进行一系列的初等行变换,可以将$A$化为单位矩阵,此时$[I|B]$即为$A^{-1}$。

高中数学第3课时矩阵乘法的性质与逆变换、逆矩阵教案新人教A版选修4-2(2021学年)

高中数学第3课时矩阵乘法的性质与逆变换、逆矩阵教案新人教A版选修4-2(2021学年)

高中数学第3课时矩阵乘法的性质与逆变换、逆矩阵教案新人教A版选修4-2编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(高中数学第3课时矩阵乘法的性质与逆变换、逆矩阵教案新人教A版选修4-2)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为高中数学第3课时矩阵乘法的性质与逆变换、逆矩阵教案新人教A版选修4-2的全部内容。

第三讲矩阵乘法的性质·逆变换、逆矩阵一、矩阵乘法的性质1。

设A=0111⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B=1123-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,C=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦由A、B、C研究矩阵是否满足,①结合律;②交换律;③消去律。

结论:2.由结合律研究矩阵A的乘方运算。

3。

单位矩阵的性质【应用】1.设A=0111⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求A82. 【练习:P41】二、逆变换与逆矩阵1。

逆变换:设ρ是一个线性变换,如果存在一个线性变换σ,使得σρ=ρσ=I,(I是恒等变换)则称变换ρ可逆,其中σ是ρ的逆变换。

2。

逆矩阵:设A是一个二阶矩阵,如果存在二阶矩阵B,使得BA=AB=E2,则称矩阵A可逆,其中B为A的逆矩阵。

符号、记法:1A-,读作A的逆。

【应用】1。

试寻找R30o的逆变换.【应用】1.A=3142⎛⎫⎪⎝⎭,问A是否可逆?若可逆,求其逆矩阵1A-。

2. A=2142⎛⎫ ⎪⎝⎭,问A 是否可逆?若可逆,求其逆矩阵1A -.由以上两题,总结一般矩阵A=a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭可逆的必要条件。

三、逆矩阵的性质1。

二阶矩阵可逆的唯一性.2.设二阶矩阵A 、B 均可逆,则AB 也可逆,且111()AB B A ---=【练习:P50】【第三讲.作业】1。

高中数学 2.4.1《逆矩阵的概念》教学案 苏教版选修4-2

高中数学 2.4.1《逆矩阵的概念》教学案 苏教版选修4-2

§2.4.1逆矩阵的概念教学目标:知识与技能:1.理解逆变换和逆矩阵的概念, 能用几何变换的观点判断一个矩阵是否存在逆矩阵.2.掌握求矩阵的逆矩阵的方法.3.掌握AB可逆的条件及(AB) -1的求法, 理解矩阵乘法满足消去解的条件 .过程与方法:情感、态度与价值观:教学重点:逆变换和逆矩阵的概念教学难点:求矩阵的逆矩阵教学过程:一、问题情境:已知二阶矩阵对应的变换把点(x , y)变换为 (x′, y′) , 是否存在一个变换能把点(x′, y′)变换为(x , y)呢?二、建构数学:1.逆变换和逆矩阵的概念注: ①如果A可逆, 那么逆矩阵唯一.②二阶矩阵可逆的条件2.逆矩阵的求法:①定义法②几何变换法3.AB可逆的条件及(AB) -1的求法4.矩阵乘法满足消去解的条件.三、教学运用:例1、用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵, 若存在, 求出其逆矩阵.(1)A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (2)B=10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3)C=01⎡⎢⎣ 10-⎤⎥⎦ (4)D=1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦例2、求下列矩阵的逆矩阵.(1)A=5173⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (2) B=12-⎡⎢⎣ 01⎤⎥⎦例3、试从几何变换的角度求解AB 的逆矩阵.(1) A=10⎡⎢⎣ 01⎤⎥-⎦ , B=01⎡⎢⎣ 10-⎤⎥⎦ (2) A=10⎡⎢⎣ 02⎤⎥⎦ , B=11201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦例4、设可逆矩阵A=110⎡⎢⎣ 3b ⎤⎥⎦的逆矩阵A -1 =610⎡⎢-⎣3a -⎤⎥⎦, 求a , b .四、课堂小结:五、课堂练习:P 63 1. (1) (2) 2. (1)六、回顾反思:七、课外作业:1.用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵, 若存在, 把它求出来.(1) A=122⎡⎢⎣12⎥⎥⎥⎦ (2) B=1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (3) C=2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (4) D=1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.求下列矩阵的逆矩阵(1) A=23-⎡⎢⎣ 41⎤⎥⎦ (2) B=32-⎡⎢⎣ 11⎤⎥-⎦(3) C=4723⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.试从几何变换的角度求矩阵AB 的逆矩阵.(1) A=12⎢⎢⎢⎣122⎤-⎥⎦ , B=11⎡⎢-⎣ 01⎤⎥⎦ (2) A=10-⎡⎢⎣ 01⎤⎥-⎦, B=122⎡⎢⎣12⎥⎥⎥⎦4.已知矩阵A=4002⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 求A -1 , B -1 , (AB)-15.已知二阶矩阵A , B , C 的逆矩阵分别为A -1 , B -1 , C -1 , 那么(ABC) -1 , (ACB) -1 , (BCA) -1 分别等于什么? 你能将你的结论作进一步的推广吗?。

苏教版数学选修4-2课件:2.4 2.4.1 逆矩阵的概念

苏教版数学选修4-2课件:2.4  2.4.1 逆矩阵的概念

上一页
返回首页
下一页
4.逆矩阵的求法
一般地,对于二阶矩阵 A=ac db,当 ad-bc≠0,矩阵 A 可逆,且它的逆 矩阵
A-1=ad--dcbc ad-bc
ad--abbc. ad-bc
上一页
返回首页
下一页
[思考·探究] 1.2.2 节中六种常见的平面变换哪几个存在逆变换?哪几个不存在?为什 么?
上一页
返回首页
下一页
[质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: _____________________________________________________ 解惑: _______________________________________________________ 疑问 2: _____________________________________________________ 解惑: _______________________________________________________ 疑问 3: ______________________________________________________ 解惑: _______________________________________________________
B-1=10 21.
上一页
返回首页
下一页
(3)矩阵 C 对应的是投影变换,它将平面内的点垂直投影到直线 y=x 上,它 不是一一映射,在这个变换下,直线 y=x 上的点有无穷多个原象,而平面上除 直线 y=x 外其他点没有原象,它的逆变换不存在,因此矩阵 C 不存在逆矩阵.
(4)矩阵 D 对应的是绕原点逆时针方向旋转 90°的旋转变换,因此它存在逆 变换:绕原点顺时针旋转 90°的旋转变换,所对应的变换矩阵记为

人教版高中选修4-22.逆矩阵的性质课程设计

人教版高中选修4-22.逆矩阵的性质课程设计

人教版高中选修4-22.逆矩阵的性质课程设计课程简介本课程是高中数学选修四中的一部分,主要介绍矩阵的逆及其相关性质。

通过本课程,学生将能够理解逆矩阵的含义、存在条件及计算方法,并且能够掌握逆矩阵的一些基本性质以及利用逆矩阵解方程的方法。

知识点梳理1.矩阵的逆的概念及存在条件–可逆矩阵的定义–逆矩阵存在的充要条件2.逆矩阵的计算–Gauss-Jordan消元法–初等矩阵法3.逆矩阵的基本性质–唯一性–矩阵的乘法与逆矩阵的乘法–逆矩阵的逆矩阵–置换、反对称和对称矩阵的逆矩阵4.利用逆矩阵解线性方程组–消元法–逆矩阵法课堂教学设计活动1:引入1.老师简单介绍逆矩阵的概念及作用,并与学生简单讨论一下逆矩阵的可逆性是如何影响解线性方程组的。

2.老师呈现一个逆矩阵计算的例题,让学生思考关于计算逆矩阵的方法。

3.学生举手发言,分享自己的思考,老师对学生的答案进行点评和引导。

活动2:讲解1.老师讲授可逆矩阵的定义,并且讲解逆矩阵存在的充要条件。

2.老师重点讲解逆矩阵的计算方法,包括Gauss-Jordan消元法和初等矩阵法。

并通过例题让学生掌握计算逆矩阵的方法。

3.老师讲解逆矩阵的基本性质,重点讲解逆矩阵的唯一性和矩阵的乘法及逆矩阵的乘法。

活动3:探究1.学生根据老师提供的题目自行计算逆矩阵,并与同桌交流思路与答案,并商讨有何不同之处。

2.小组提出自己的疑问,并展示不同的解题方法和答案,与其他小组进行讨论并交流。

3.学生就逆矩阵的基本性质进行探究,分析逆矩阵在矩阵运算中的作用,并小组展示。

活动4:应用1.老师给出一个线性方程组的例子,并讲解解方程组的消元法和逆矩阵法。

并通过例题让学生掌握利用逆矩阵解方程的方法。

2.学生根据自己选则的方法解一道线性方程组,并通过小组交流讨论优缺点以及应用场景。

3.学生自主搜索相关应用,如神经网络的矩阵表示、工程中的应用等,并进行报告。

课程总结通过本堂课的学习,学生对矩阵的逆及其相关性质有了更深刻的理解。

逆矩阵说课教学设计

逆矩阵说课教学设计

逆矩阵说课教学设计一、教学目标:1. 知识目标:了解逆矩阵的概念与性质,并能够运用逆矩阵求解线性方程组。

2. 能力目标:能够正确判断矩阵是否可逆,掌握逆矩阵的求解方法,并能够灵活运用逆矩阵解决实际问题。

3. 情感目标:培养学生对于矩阵运算的兴趣,增强学生的数学抽象思维能力和问题解决能力。

二、教学内容:逆矩阵:1. 逆矩阵的定义及性质;2. 如何判断一个矩阵是否可逆;3. 逆矩阵的求解方法。

三、教学重点:逆矩阵的定义及性质,以及矩阵可逆的判断。

四、教学难点:逆矩阵的求解方法,以及运用逆矩阵解决实际问题。

五、教学过程:步骤一:导入新知1. 引入:根据教材给出的案例,引导学生思考如何解决线性方程组问题。

2. 导入:通过实际生活中的问题,让学生感受到线性方程组的重要性,并引出逆矩阵的概念。

步骤二:理论讲解1. 定义与性质:介绍逆矩阵的定义,以及逆矩阵的运算性质,包括逆矩阵与原矩阵相乘等。

2. 如何判断一个矩阵是否可逆:通过教材中的练习题,演示如何判断一个矩阵是否可逆,引导学生掌握判断方法。

3. 逆矩阵的求解方法:详细介绍矩阵求逆的方法,包括伴随矩阵法、初等行变换法等。

步骤三:例题演练1. 解决实际问题:通过具体生活案例,引导学生运用逆矩阵解决实际问题。

2. 练习题讲解:选取一些典型的练习题,引导学生通过矩阵求逆解决问题,同时讲解解题过程。

步骤四:拓展延伸1. 数学扩展:通过介绍逆矩阵在其他数学领域中的应用,如线性变换、概率统计等,引发学生对逆矩阵的进一步思考和学习兴趣。

2. 实际应用:介绍逆矩阵在工程、经济学等领域的应用,让学生认识到逆矩阵的实际用途和重要性。

六、教学设计理念:本节课的教学设计以问题驱动的方式进行,通过引入实际生活案例,让学生认识到逆矩阵的实际应用场景,并从中引发学生的学习兴趣。

在理论讲解环节,采用简洁明了的语言,结合案例和练习题,让学生逐步掌握逆矩阵的定义、性质与求解方法。

在实际问题解决环节,通过具体问题的讨论与分析,引导学生运用逆矩阵解决实际问题,培养学生的问题解决能力。

高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 2.4.1 逆矩阵的概念教学案 苏教版选修4-2-苏教版高二选修4

高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 2.4.1 逆矩阵的概念教学案 苏教版选修4-2-苏教版高二选修4

2.4.1 逆矩阵的概念1.逆矩阵的定义对于二阶矩阵A 、B ,假设有AB =BA =E ,那么称A 是可逆的,B 称为A 的逆矩阵,记为A -1.2.逆矩阵的性质(1)假设二阶矩阵A 、B 均可逆,那么AB 也可逆,且(AB )-1=B -1A -1. (2)A 、B 、C 为二阶矩阵且AB =AC ,假设A 存在逆矩阵,那么B =C . 3.逆矩阵的求法(1)公式法:对于二阶矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ,假设ad -bc ≠0,那么A 必可逆,且A -1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad -bc -bad -bc -c ad -bc a ad -bc .(2)待定系数法. (3)逆变换法.[对应学生用书P30]逆矩阵的求法[例1] 求矩阵A =⎣⎡⎦⎤3 22 1的逆矩阵.[思路点拨] 设出逆矩阵,利用待定系数法求解或直接利用公式法求解.[精解详析] 法一:待定系数法:设A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ,那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 221⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.即⎣⎡⎦⎤3x +2z 3y +2w 2x +z 2y +w =⎣⎡⎦⎤1 00 1,故⎩⎪⎨⎪⎧3x +2z =1,2x +z =0,⎩⎪⎨⎪⎧3y +2w =0,2y +w =1,解得x =-1,z =2,y =2,w =-3, 从而A 的逆矩阵为A -1=⎣⎡⎦⎤-122-3.法二:公式法:ad -bc =3×1-2×2=-1≠0,∴A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-122-3.用待定系数法求逆矩阵时,先设出矩阵A 的逆矩阵A -1,再由AA -1=E 得相等矩阵,最后利用相等矩阵的概念求出A -1.1.(某某高考)矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1002,B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206,求矩阵A -1B .解:设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ,那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤-10 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤-a -b 2c 2d =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001故a =-1,b =0,c =0,d =12,从而A 的逆矩阵为A -1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-1 0 0 12,所以A -1B =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-10 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 -2 0 3. 2.矩阵M =⎣⎡⎦⎤21 -3-1所对应的线性变换把点A (x ,y )变成点A ′(13,5),试求M 的逆矩阵及点A 的坐标.解:由M =⎣⎡⎦⎤21 -3-1,得2×(-1)-(-3)×1=1≠0,故M-1=⎣⎡⎦⎤-1-1 32.从而由⎣⎡⎦⎤21 -3-1⎣⎡⎦⎤x y =⎣⎡⎦⎤135得⎣⎡⎦⎤x y =⎣⎡⎦⎤-1-1 32⎣⎡⎦⎤13 5=⎣⎡⎦⎤-1×13+3×5-1×13+2×5=⎣⎡⎦⎤ 2-3, 故⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =-3,即A (2,-3)为所求.[例2] 用几何变换的观点求以下矩阵的逆矩阵.(1)A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001;(2)B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤01-10.[思路点拨] A 为伸压变换矩阵,B 为旋转变换矩阵,只需找到它们的逆变换,再写出逆变换对应的矩阵即为所求.[精解详析](1)矩阵A 为伸压变换矩阵,它对应的几何变换为平面内点的纵坐标保持不变,横坐标沿x 轴方向拉伸为原来2倍的伸缩变换,因此它存在逆变换T A -1:将平面内点的纵坐标保持不变,横坐标沿x 轴方向压缩为原来的12,所对应的变换矩阵为A -1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1.(2)矩阵B 为旋转变换矩阵,它对应的几何变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转90°.它存在逆变换T B -1:将平面内的点绕原点逆时针旋转90°,所对应的变换矩阵为B -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 -11 0.从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换,就是观察在变换下是否能“走过去又能走回来〞,即对应的变换是一一映射.关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变换等常用变换对应的矩阵,根据矩阵对应的几何变换找出其逆变换,再写出逆变换对应的矩阵,即为所求逆矩阵.3.矩阵A =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-1232-32 -12,求A -1.解:矩阵A 对应的变换是旋转变换R 240°,它的逆变换是R -240°∴A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos -240° -sin -240°sin -240° cos -240°=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-12 -32 32 -12. 4.矩阵A =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 5,求A -1. 解:因矩阵A 所对应的变换为伸缩变换,所以A -1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 15.逆矩阵的概念与性质的应用[例3] 假设矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 005,B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301,求矩阵AB 的逆矩阵.[思路点拨] 根据公式(AB )-1=B -1A -1,先求出B -1、A -1,再利用矩阵乘法求解. [精解详析] 因为矩阵A 所对应的变换为伸缩变换,所以A-1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120015. 而矩阵B 对应的变换为切变变换,其逆矩阵B -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -30 1,∴(AB )-1=B -1A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-301⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120015=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12-350 15.(1)要避免犯如下错误(AB )-1=A -1B -1. (2)此题也可以先求出AB 再求其逆.5.A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -10 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12-323212,求A -1.解:设M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -10 1,N =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 -3232 12,那么A =MN . ∵1×1-0×(-1)=1≠0,∴M -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101,同理N -1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1232-32 12.由逆矩阵的性质,得A -1=(MN )-1=N -1M -1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1232-3212⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤121+32-321-32. 6.假设矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001,B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201,求曲线x 2+y 2=1在矩阵(AB )-1变换下的曲线方程.解:(AB )-1=B -1A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-201⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-201.设P (x ,y )是圆x 2+y 2=1上任意一点,P 点在(AB )-1对应变换下变成Q (x ′,y ′) 那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x -2y y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′=x -2y ,y ′=y .故⎩⎪⎨⎪⎧x =x ′+2y ′,y =y .′∴P (x ′+2y ′,y ′).又P 点在圆上,∴(x ′+2y ′)2+(y ′)2=1. 展开整理为(x ′)2+4x ′y ′+5(y ′)2=1. 故所求曲线方程为x 2+4xy +5y 2=1.[例4] 矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤12-2-3,B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312,C =⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110,求满足AXB =C 的矩阵X .[思路点拨] 由AXB =C 得X =A -1CB -1,从而求解. [精解详析] ∵A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3 -2 2 1,B -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 -3-1 2,∴X =A -1CB -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3 -2 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 -3-1 2 =⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2 -3 1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 -3-1 2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 0 01.此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩阵,假设位置错误,那么得不到正确结果,原因是矩阵乘法并不满足交换律.7.矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -23 -7.假设矩阵X 满足AX =⎣⎢⎡⎦⎥⎤31,试求矩阵X .解:设A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ,那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -23 -7⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x -2zy -2w 3x -7z 3y -7w =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001,所以⎩⎪⎨⎪⎧x -2z =1,y -2w =0,3x -7z =0,3y -7w =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =7,y =-2,z =3,w =-1.故所求的逆矩阵A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 -23 -1.因为AX =⎣⎢⎡⎦⎥⎤31,所以A -1AX =A -1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31, 所以X =A -1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31=⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 -23 -1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31=⎣⎢⎡⎦⎥⎤19 8. 8.假设点A (2,2)在矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α -sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B (-2,2),求矩阵M 的逆矩阵.解:因为M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2 2,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos α-2sin α2sin α+2cos α=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2 2,所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α-sin α=-1,sin α+cos α=1.解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α=0,sin α=1.所以M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤0-110.法一:由M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤0-110=⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90°-sin 90°sin 90°cos 90°,知M 是绕原点O 逆时针旋转90°的旋转变换矩阵,于是M -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos -90°-sin -90°sin -90°cos -90°=⎣⎢⎡⎦⎥⎤01-10.法二:由M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤0-110,那么ad -bc =1≠0.∴M -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤01-10.[对应学生用书P32]1.求以下矩阵的逆矩阵.(1)A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1123;(2)B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤2345.解:法一:利用逆矩阵公式.(1)注意到1×3-2×1=1≠0,故A 存在逆矩阵A -1,且 A -1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤31-11-2111=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3-1-21. (2)注意到2×5-4×3=-2≠0,故B 存在逆矩阵B -1,且 B -1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5-2 -3-2-4-2 2-2=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-52 32 2 -1.法二:利用待定系数法. (1)设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ,那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 123⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a +cb +d 2a +3c 2b +3d =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.故⎩⎪⎨⎪⎧a +c =1,2a +3c =0,b +d =0,2b +3d =1.解得a =3,c =-2,b =-1,d =1. 从而A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 -1-2 1.(2)设矩阵B 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ,那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 345⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x +3z 2y +3w 4x +5z 4y +5w =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.故⎩⎪⎨⎪⎧2x +3z =1,4x +5z =0,2y +3w =0,4y +5w =1.解得x =-52,z =2,y =32,w =-1.从而B -1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-52 322 -1.2.可逆矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤a273的逆矩阵A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤b -2-7 a ,求a ,b 的值. 解:根据题意,得AA -1=E , 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a27 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ b -2-7 a =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab -2×7 -2a +2a 7b -21 -2×7+3a =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001, 所以⎩⎪⎨⎪⎧ab -14=1,7b -21=0,-14+3a =1,解得a =5,b =3.3.A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 2,B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 -1-1 1,求证B 是A 的逆矩阵. 证明:因为A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112,B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 -1-1 1, 所以AB =⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 -1-1 1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001,BA =⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 -1-1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001, 所以B 是A 的逆矩阵.4.求矩阵乘积AB 的逆矩阵. (1)A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001,B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 004;(2)A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 0 0 -1,B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234.解:(1)(AB )-1=B -1A -1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 014. (2)(AB )-1=B -1A -1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-2132-12⎣⎢⎡⎦⎥⎤-100-1 =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2-1-32 12. 5.变换矩阵A 把平面上的点P (2,-1),Q (-1,2)分别变换成点P 1(3,-4),Q 1(0,5). (1)求变换矩阵A ;(2)判断变换矩阵A 是否可逆,如果可逆,求矩阵A 的逆矩阵A -1;如果不可逆,请说明理由.解:(1)设A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ,依题意,得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2-1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3-4,⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤05,即⎩⎪⎨⎪⎧2a -b =3,2c -d =-4,-a +2b =0,-c +2d =5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =1,c =-1,d =2.所以A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤21-12.(2)变换矩阵A 是可逆的,理由如下:设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ,那么由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1-1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1,得⎩⎪⎨⎪⎧2x +z =1,2y +w =0,-x +2z =0,-y +2w =1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x =25,y =-15,z =15,w =25.故矩阵A 的逆矩阵为A-1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 -1515 25. 6.矩阵M =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12,N =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1,试求曲线y =cos x 在矩阵M -1N 对应的线性变换作用下的函数解析式.解:M -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002,∴M -1N =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12x 2y 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′=12x ,y ′=2y .∴⎩⎪⎨⎪⎧x =2x ′,y =12y ′.代入y =cos x 得12y ′=cos 2x ′故曲线y =cos x 在矩阵M -1N 对应的变换作用下解析式为y =2cos 2x . 7.矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234.(1)求矩阵A 的逆矩阵B ;(2)假设直线l 经过矩阵B 变换后的方程为y =x ,求直线l 的方程. 解:(1)设矩阵A 的逆矩阵为B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ,那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1,得⎩⎪⎨⎪⎧a +2c =1,b +2d =0,3a +4c =0,3b +4d =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-2,b =1,c =32,d =-12,所以B =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-2132-12. (2)设直线l 上任一点P (x ,y )经过B 对应变换变为点P (x ′,y ′),那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-2132-12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′, 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′=-2x +y ,y ′=32x -12y ,又y ′=x ′,所以-2x +y =32x -12y ,即直线l 的方程为7x -3y =0.8.曲线C 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12对应的变换作用下的象为x 2+y 2=1,求曲线C 的方程.解:矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12对应的变换为:平面内点的纵坐标沿y 轴方向缩短为原来的12,横坐标沿x 轴方向缩短为原来的13,其逆变换为:将平面内点的纵坐标沿y 轴方向拉伸为原来的2倍,横坐标沿x 轴方向拉伸为原来的3倍,故⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12-1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 002.设圆x 2+y 2=1上任一点P (x ,y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3002对应的伸缩变换作用下的象为P ′(x ′,y ′),那么⎩⎪⎨⎪⎧x ′=3x ,y ′=2y ,即⎩⎪⎨⎪⎧x =13x ′,y =y ′2,代入x 2+y 2=1,得x ′29+y ′24=1.故曲线C 的方程为x 29+y 24=1.。

江苏理数-选修4-2--矩阵与变换-第二节--逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量

江苏理数-选修4-2--矩阵与变换-第二节--逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量

第一步:令矩阵 A 的特征多项式 f(λ)=λ--ca λ--db=λ2-(a+
d)λ+ad-bc=0,求出 λ 的值.
第二步:将
λ
的值代入二元一次方程组
λ-ax-by=0, -cx+λ-dy=0,
得到一组非零解yx00,于是非零向量xy00即为矩阵 A 的属于特征 值 λ 的一个特征向量.
6.Anα(n∈N*)的简单表示 (1)设二阶矩阵 A=ca db,α 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的任 意一个特征向量,则 Anα=_λ_n_α_(n∈N*). (2)设 λ1,λ2 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值,α,β 是矩阵 A 的分别属于特征值 λ1,λ2 的特征向量,对于平面上任意一个 非零向量 γ,设 γ=t1α+t2β(其中 t1,t2 为实数),则 Anγ= _t_1λ_n1_α_+__t_2λ_n2_β_(n∈N*).
解析:设23是矩阵 M 属于特征值 λ 的一个特征向量,
则3a
2 2
23=λ23,
故21a2+ =63= λ 2λ, 解得λa==41,.
答案:1
1.不是每个二阶矩阵都可逆,只有当ca db中 ad-bc≠0 时, 才可逆,如当 A=01 00,因为 1×0-0×0=0,找不到二阶 矩阵 B,使得 BA=AB=E 成立,故 A=10 00不可逆.
1 0
的属于特征值 -2 的一个特征向量,求矩阵 A 以及它的另一
个特征值. 解:由已知,得 Aa=-2a,即xy
1 0
-11=x-y1=-22,
则xy=-21,=-2, 即xy==2-,1, 所以矩阵 A=-21 01.
从而矩阵 A 的特征多项式 f(λ)=(λ+2)(λ-1),
所以矩阵 A 的另一个特征值为 1.

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-2 2.4.1 逆矩阵的概念》1

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-2 2.4.1 逆矩阵的概念》1

逆变换与逆矩阵学习目标:1通过图形变换,理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件, 能通过具体的投影变换,说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在;2会证明逆矩阵的唯一性和AB-1=B-1A-1等简单性质;的逆矩阵;4会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去律;学习重点:会判别逆矩阵是否存在,如何求逆矩阵;学习难点:熟练运用公式求逆矩阵学习过程:1复习与回忆复习:〔1〕矩阵乘法的法那么是:〔2〕矩阵乘法MN的几何意义:对向量连续实施的两次几何变换先TN,后TM的复合变换〔3〕矩阵乘法不满足交换律师这可能是第一次遇到乘法不满足交换律的情况此时,可以从几何变换角度进一步明确乘法一般不满足交换律而在适当时候,有些特殊几何变换如两次连续旋转变换可满足交换律练一练〔1〕矩阵A=,矩阵B=,试求:①AB; ②BA〔2〕矩阵A=,矩阵B=,试求:①AB; ②BA2创设情境由前面学习我们知道:二阶矩阵对应着平面上的一个几何变换,它把点〔,〕变换到点〔′,′〕反过来:假设知道变换后的结果〔′,′〕,能否“找到回家的路〞,再让它变回到原来的〔,〕呢?如图示:〔,〕〔′,′〕情境分析〔1〕从变换结果来看,虽然经历了“走过去〞又“回过来〞的两次变换,但是最终还是回到了原地,变回了“自己〞〔2〕从矩阵变换的角度来看:“走过去〞对应变换矩阵A,“回过来〞对应着变换矩阵B,先后两次连续的变换对应着两个矩阵的乘积,即BA〔3〕再从变换结果来看,上述问题就变成了:对于以下给出的变换矩阵A,是否存在变换矩阵B,使得连续进行两次变换〔先TA后TB〕的结果与恒等变换的结果相同引例分析例1 对于以下给出的变换矩阵A,是否存在变换矩阵B,使得连续进行两次变换〔先T A后T B〕的结果与恒等变换的结果相同?〔1〕;〔2〕;〔3〕.解:〔1〕对于反射变换TA,满足条件的变换即为其自身,即B=A;对于旋转变换TA,存在旋转变换TB,即B为绕原点顺时针旋转600的变换矩阵;〔3〕对于投影变换T A,不存在满足条件的变换矩阵B原因:投影变换不是一一映射;3数学建构在数的运算中,当数a≠0时,ab=ba=1,其中b=a−1,b称为a的倒数〔或称a的逆〕在矩阵运算中,单位矩阵E相当于数的乘法运算中的1,那么对于矩阵A,如果存在一个矩阵B,有AB=BA=E,那么称A是可逆的,B称为A的逆矩阵,通常记做A-1逆矩阵的概念〔1〕定义:在矩阵运算中,单位矩阵E相当于数的乘法运算中的1,那么对于矩阵A,如果存在一个矩阵B,有AB=BA=E,那么称A是可逆的,B称为A的逆矩阵,通常记A的逆矩阵为A-1有了逆矩阵的定义,我们自然会去想:对于一个任意的二阶矩阵M,满足什么条件,它是可逆的?如果它是可逆的,如何求出它的逆矩阵呢?例2 求矩阵A=的逆矩阵解:设矩阵A 的逆矩阵为,那么有故解得a =38, b =−18, c =−78, d =58,一般的,对于二阶可逆矩阵A=〔ad -bc ≠0〕,1它的逆矩阵为A -1=2矩阵A 可逆的充要条件:ad -bc ≠0求一个矩阵的逆矩阵常用的方法有三种:〔1〕几何变形法〔2〕待定系数法〔3〕公式法逆矩阵的性质性质1:假设 二阶矩阵A 是可逆矩阵,那么 A 的逆矩阵A -1是唯一的。

高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 2.4.1 逆矩阵与逆变换教案 苏教版选修4-2(2021年整理)

高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 2.4.1 逆矩阵与逆变换教案 苏教版选修4-2(2021年整理)

江苏省铜山县高中数学2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1 逆矩阵与逆变换教案苏教版选修4-2编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(江苏省铜山县高中数学2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1 逆矩阵与逆变换教案苏教版选修4-2)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为江苏省铜山县高中数学2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1 逆矩阵与逆变换教案苏教版选修4-2的全部内容。

2.4.1逆矩阵与逆变换一、引入例1 对于下列给出的变换矩阵A,是否存在变换矩阵B,使得连续进行两次变换(先T A后T B)的结果与恒等变换的结果相同?(1)以x为反射轴的反射变换;(2)绕原点逆时针旋转60º作旋转变换;(3)横坐标不变,沿y轴方向将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换;(4)沿y轴方向,向x轴作投影变换;(5)纵坐标y不变,横坐标依纵坐标的比例增加,且满足(x,y)(x+2y,y)二、逆变换与逆矩阵若逆矩阵存在,则可以证明其具有唯一性。

三、用几何变换的观点求解逆矩阵A=1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦,B=12⎡⎢⎢⎣1⎤⎥⎦,C=1⎡⎢⎣-1⎤⎥⎦,D=11⎡⎢⎣⎤⎥⎦四、用代数方法求解逆矩阵A=57⎡⎢⎣13⎤⎥⎦B=12⎡⎢⎣-1-4⎤⎥⎦五、从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵若二阶矩阵A,B均可逆,则AB也可逆,且(AB)-1=B-1A-1例4 (1)A=1⎡⎢⎣-1⎤⎥⎦,B=1⎡⎢⎣-1⎤⎥⎦(2)A=1⎡⎢⎣2⎤⎥⎦,B=1⎡⎢⎢⎢⎣121⎤⎥⎥⎦六、研究:二阶矩阵满足消去律的条件反例:书P46习题2。

课堂新坐标高中数学2.4逆变换与逆矩阵1逆矩阵的概念课件苏教版选修4202100341

课堂新坐标高中数学2.4逆变换与逆矩阵1逆矩阵的概念课件苏教版选修4202100341

3
(1)A=
2
1
2
-12; 3 2
(2)B=10 00;
(3)C=10 11;
(4)D=10 02.
第十六页,共41页。
【解】
(1)A=csions
30° 30°
-cossin303°0°,它表示的变换为将平面内的点绕原
点逆时针旋转 30°的旋转变换,其逆变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转 30
第二十四页,共41页。
1 1
【解】
(1)行列式 Δ=1×1-(-1)×1=2,矩阵可逆,逆矩阵为-212
2 1 2
b (2)行列式 Δ=ab,当且仅当 a,b 都不为 0 时可逆,逆矩阵为ab
0
a0=a0-1
0 b-1
ab
第二十五页,共41页。
Байду номын сангаас
求矩阵(jǔ zhèn)AB的逆矩阵(jǔ zhèn)
∴x+y=0.
【答案】 0
第四十页,共41页。
我还有这些不足: (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
第九页,共41页。
利用几何变换的观点研究(yánjiū)矩阵的逆 矩阵
从几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵,若存在,请把它
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

2021年高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念教学案苏教版选修41.逆矩阵的定义对于二阶矩阵A 、B ,若有AB =BA =E ,则称A 是可逆的,B 称为A 的逆矩阵,记为A -1.2.逆矩阵的性质(1)若二阶矩阵A 、B 均可逆,则AB 也可逆,且(AB )-1=B -1A -1. (2)已知A 、B 、C 为二阶矩阵且AB =AC ,若A 存在逆矩阵,则B =C . 3.逆矩阵的求法(1)公式法:对于二阶矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ,若ad -bc ≠0,则A 必可逆,且A -1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad -bc -bad -bc -c ad -bc a ad -bc .(2)待定系数法. (3)逆变换法.[对应学生用书P30]逆矩阵的求法[例1] 求矩阵A =⎣⎡⎦⎤3 22 1的逆矩阵.[思路点拨] 设出逆矩阵,利用待定系数法求解或直接利用公式法求解.[精解详析] 法一:待定系数法:设A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ,则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 221 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.即⎣⎡⎦⎤3x +2z 3y +2w 2x +z 2y +w =⎣⎡⎦⎤1 00 1,故⎩⎪⎨⎪⎧3x +2z =1,2x +z =0,⎩⎪⎨⎪⎧3y +2w =0,2y +w =1,解得x =-1,z =2,y =2,w =-3, 从而A 的逆矩阵为A -1=⎣⎡⎦⎤-1 2 2 -3.法二:公式法:ad -bc =3×1-2×2=-1≠0,∴A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 2 2 -3.用待定系数法求逆矩阵时,先设出矩阵A 的逆矩阵A -1,再由AA -1=E 得相等矩阵,最后利用相等矩阵的概念求出A -1.1.(江苏高考)已知矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤-10 0 2,B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 206,求矩阵A -1B . 解:设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ,则⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 0 0 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤-a -b 2c 2d =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001故a =-1,b =0,c =0,d =12,从而A 的逆矩阵为A -1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-1 0 0 12, 所以A -1B =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-10 0 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 -2 0 3. 2.已知矩阵M =⎣⎡⎦⎤21-3-1所对应的线性变换把点A (x ,y )变成点A ′(13,5),试求M 的逆矩阵及点A 的坐标.解:由M =⎣⎡⎦⎤21 -3-1,得2×(-1)-(-3)×1=1≠0,故M-1=⎣⎡⎦⎤-1-1 32.从而由⎣⎡⎦⎤21 -3-1 ⎣⎡⎦⎤x y =⎣⎡⎦⎤135得⎣⎡⎦⎤x y =⎣⎡⎦⎤-1-1 32 ⎣⎡⎦⎤13 5=⎣⎡⎦⎤-1×13+3×5-1×13+2×5=⎣⎡⎦⎤ 2-3, 故⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =-3,即A (2,-3)为所求.[例2] 用几何变换的观点求下列矩阵的逆矩阵.(1)A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001;(2)B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 01-10.[思路点拨] A 为伸压变换矩阵,B 为旋转变换矩阵,只需找到它们的逆变换,再写出逆变换对应的矩阵即为所求.[精解详析](1)矩阵A 为伸压变换矩阵,它对应的几何变换为平面内点的纵坐标保持不变,横坐标沿x 轴方向拉伸为原来2倍的伸缩变换,因此它存在逆变换T A -1:将平面内点的纵坐标保持不变,横坐标沿x轴方向压缩为原来的12,所对应的变换矩阵为A -1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1.(2)矩阵B 为旋转变换矩阵,它对应的几何变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转90°.它存在逆变换T B -1:将平面内的点绕原点逆时针旋转90°,所对应的变换矩阵为B -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 -11 0.从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换,就是观察在变换下是否能“走过去又能走回来”,即对应的变换是一一映射.关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变换等常用变换对应的矩阵,根据矩阵对应的几何变换找出其逆变换,再写出逆变换对应的矩阵,即为所求逆矩阵.3.已知矩阵A =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-1232-32 -12,求A -1.解:矩阵A 对应的变换是旋转变换R 240°,它的逆变换是R -240° ∴A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos -240° -sin -240°sin -240° cos -240°=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-12-32 32 -12. 4.已知矩阵A =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 5,求A -1. 解:因矩阵A 所对应的变换为伸缩变换,所以A -1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 15.逆矩阵的概念与性质的应用[例3] 若矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤2005,B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301,求矩阵AB 的逆矩阵.[思路点拨] 根据公式(AB )-1=B -1A -1,先求出B -1、A -1,再利用矩阵乘法求解. [精解详析] 因为矩阵A 所对应的变换为伸缩变换,所以A-1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 15. 而矩阵B 对应的变换为切变变换,其逆矩阵B -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -30 1,∴(AB )-1=B -1A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -30 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 15=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12-350 15.(1)要避免犯如下错误(AB )-1=A -1B -1. (2)此题也可以先求出AB 再求其逆.5.已知A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -10 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12-3232 12,求A -1.解:设M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -10 1,N =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 -3232 12,则A =MN . ∵1×1-0×(-1)=1≠0,∴M -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101,同理N -1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1232-32 12.由逆矩阵的性质,得A -1=(MN )-1=N -1M -1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 32-32 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 121+32-32 1-32.6.若矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001,B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201,求曲线x 2+y 2=1在矩阵(AB )-1变换下的曲线方程.解:(AB )-1=B -1A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -20 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -20 1. 设P (x ,y )是圆x 2+y 2=1上任意一点,P 点在(AB )-1对应变换下变成Q (x ′,y ′) 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -20 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x -2y y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′=x -2y ,y ′=y .故⎩⎪⎨⎪⎧x =x ′+2y ′,y =y .′∴P (x ′+2y ′,y ′).又P 点在圆上,∴(x ′+2y ′)2+(y ′)2=1.展开整理为(x ′)2+4x ′y ′+5(y ′)2=1. 故所求曲线方程为x 2+4xy +5y 2=1. [例4] 已知矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2-2 -3,B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2,C =⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0,求满足AXB =C 的矩阵X .[思路点拨] 由AXB =C 得X =A -1CB -1,从而求解.[精解详析] ∵A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3 -2 2 1,B -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 -3-1 2,∴X =A -1CB -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3 -2 2 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 -3-1 2 =⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2 -3 1 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 -3-1 2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 0 01.此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩阵,若位置错误,则得不到正确结果,原因是矩阵乘法并不满足交换律.7.已知矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -23 -7.若矩阵X 满足AX =⎣⎢⎡⎦⎥⎤31,试求矩阵X .解:设A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w , 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -23 -7⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x -2z y -2w 3x -7z 3y -7w =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001,所以⎩⎪⎨⎪⎧x -2z =1,y -2w =0,3x -7z =0,3y -7w =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =7,y =-2,z =3,w =-1.故所求的逆矩阵A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 -23 -1.因为AX =⎣⎢⎡⎦⎥⎤31,所以A -1AX =A -1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31, 所以X =A -1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31=⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 -23 -1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤31=⎣⎢⎡⎦⎥⎤19 8.8.若点A (2,2)在矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α -sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B (-2,2),求矩阵M 的逆矩阵.解:因为M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2 2,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos α-2sin α2sin α+2cos α=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2 2, 所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α-sin α=-1,sin α+cos α=1.解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α=0,sin α=1.所以M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 -11 0.法一:由M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 -11 0=⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90° -sin 90°sin 90° cos 90°,知M 是绕原点O 逆时针旋转90°的旋转变换矩阵,于是M -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos -90° -sin -90°sin -90° cos -90°=⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 01-10. 法二:由M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 -11 0,则ad -bc =1≠0.∴M -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1-10.[对应学生用书P32]1.求下列矩阵的逆矩阵.(1)A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 123;(2)B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤2345.解:法一:利用逆矩阵公式.(1)注意到1×3-2×1=1≠0,故A 存在逆矩阵A -1,且A -1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 31 -11-21 11=⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 -1-2 1. (2)注意到2×5-4×3=-2≠0,故B 存在逆矩阵B -1,且 B -1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5-2 -3-2-4-2 2-2=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-52 32 2 -1.法二:利用待定系数法.(1)设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ,则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 123 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a +c b +d 2a +3c 2b +3d =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.故⎩⎪⎨⎪⎧a +c =1,2a +3c =0,b +d =0,2b +3d =1.解得a =3,c =-2,b =-1,d =1. 从而A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 -1-2 1.(2)设矩阵B 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy z w ,则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 345 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y zw =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x +3z 2y +3w 4x +5z 4y +5w =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.故⎩⎪⎨⎪⎧2x +3z =1,4x +5z =0,2y +3w =0,4y +5w =1.解得x =-52,z =2,y =32,w =-1.从而B -1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-52 322 -1.2.已知可逆矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤a273的逆矩阵A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤b -2-7 a ,求a ,b 的值. 解:根据题意,得AA -1=E ,所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a27 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ b -2-7 a =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab -2×7 -2a +2a 7b -21 -2×7+3a =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001,所以⎩⎪⎨⎪⎧ab -14=1,7b -21=0,-14+3a =1,解得a =5,b =3.3.已知A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 112,B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 -1-1 1,求证B 是A 的逆矩阵. 证明:因为A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 2,B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 -1-1 1, 所以AB =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 -1-1 1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001,BA =⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 -1-1 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001,所以B 是A 的逆矩阵. 4.求矩阵乘积AB 的逆矩阵. (1)A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001,B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 004;(2)A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 0 0 -1,B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234.解:(1)(AB )-1=B -1A -1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 14.(2)(AB )-1=B -1A -1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-2 132 -12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 00 -1 =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2-1-3212. 5.已知变换矩阵A 把平面上的点P (2,-1),Q (-1,2)分别变换成点P 1(3,-4),Q 1(0,5). (1)求变换矩阵A ;(2)判断变换矩阵A 是否可逆,如果可逆,求矩阵A 的逆矩阵A -1;如果不可逆,请说明理由.解:(1)设A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ,依题意,得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2-1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3-4,⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤05, 即⎩⎪⎨⎪⎧2a -b =3,2c -d =-4,-a +2b =0,-c +2d =5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =1,c =-1,d =2.所以A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1-1 2.(2)变换矩阵A 是可逆的,理由如下: 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w , 则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1-1 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1,得⎩⎪⎨⎪⎧2x +z =1,2y +w =0,-x +2z =0,-y +2w =1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x =25,y =-15,z =15,w =25.故矩阵A 的逆矩阵为A-1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 -1515 25. 6.已知矩阵M =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12,N =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1,试求曲线y =cos x 在矩阵M -1N 对应的线性变换作用下的函数解析式.解:M -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002,∴M -1N =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12x 2y 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′=12x ,y ′=2y .∴⎩⎪⎨⎪⎧x =2x ′,y =12y ′.代入y =cos x 得12y ′=cos 2x ′故曲线y =cos x 在矩阵M -1N 对应的变换作用下解析式为y =2cos 2x .7.已知矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234.(1)求矩阵A 的逆矩阵B ;(2)若直线l 经过矩阵B 变换后的方程为y =x ,求直线l 的方程.解:(1)设矩阵A 的逆矩阵为B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ,则⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1,得⎩⎪⎨⎪⎧a +2c =1,b +2d =0,3a +4c =0,3b +4d =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-2,b =1,c =32,d =-12,所以B =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-2 132-12. (2)设直线l 上任一点P (x ,y )经过B 对应变换变为点P (x ′,y ′),则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-2 132-12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′, 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′=-2x +y ,y ′=32x -12y ,又y ′=x ′,所以-2x +y =32x -12y ,即直线l 的方程为7x -3y =0.8.已知曲线C 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12对应的变换作用下的象为x 2+y 2=1,求曲线C 的方程.解:矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1300 12对应的变换为:平面内点的纵坐标沿y 轴方向缩短为原来的12,横坐标沿x 轴方向缩短为原来的13,其逆变换为:将平面内点的纵坐标沿y 轴方向拉伸为原来的2倍,横坐标沿x 轴方向拉伸为原来的3倍,故⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12-1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 002.设圆x 2+y 2=1上任一点P (x ,y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3002对应的伸缩变换作用下的象为P ′(x ′,y ′),则⎩⎪⎨⎪⎧x ′=3x ,y ′=2y ,即⎩⎪⎨⎪⎧x =13x ′,y =y ′2,代入x 2+y 2=1,得x ′29+y ′24=1.故曲线C 的方程为x 29+y 24=1.。

相关文档
最新文档