10.2 事件的相互独立性

一、素养落地 1.通过学习事件独立性的含义，培养数学抽象素养.通过利用独立性计算概率提升数学
运算素养.
2.相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件
互斥事件
条件
事件A(或B)是否发生对事件 B(或A)发生的概率没有影响
不可能同时发生的两个事件
符号
相互独立事件A，B同时发生， 互斥事件A，B中有一个发生，记
10.2 事件的相互独立性
课标要求
素养要求
结合有限样本空间，了解两个事件独立 结合具体实例了解事件独立性的含义及
性的含义，结合古典概型，利用独立性 利用独立性计算概率，发展数学抽象及
计算概率.
数学运算素养.
教材知识探究
3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.事件A为“第一名同学没有抽到中 奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”. 问题 上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？事件A和事件B相互独立 吗？ 提示 因为抽取是有放回的，所以A的发生不会影响B发生的概率，事件A和事件B 相互独立.
提示 相互独立.必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响.
题型一 相互独立事件的判断
【例1】 从一副扑克牌(除去大小王，共52张)中任抽一张，设A＝“抽到老K”，B＝ “抽得红牌”，判断事件A与B是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？ 解 由于事件 A 为“抽得老 K”，事件 B 为“抽到红牌”，故抽得红牌中有可能抽 到红桃 K 或方块 K，即有可能抽到老 K，故事件 A，B 有可能同时发生，显然它们 不是互斥事件，更不是对立事件，以下考虑它们是否互为独立事件：抽到老 K 的概 率为 P(A)＝542＝113，抽到红牌的概率 P(B)＝2562＝12，故 P(A)P(B)＝113×12＝216，事件 AB 即为“既抽得老 K 又抽得红牌”，亦即“抽到红桃老 K 或方块老 K”，故 P(AB) ＝522＝216，从而有 P(A)·P(B)＝P(AB)，因此 A 与 B 互为独立事件.
题型三 相互独立事件概率的 综合应用 正难则反思想是解决此类问题的常用方法
【例3】 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点 到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求： (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
解 用 A 表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，用 B 表示“从乙机床生产的产 品中抽得正品”，用 C 表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”，用 D 表示“抽 得的两件产品中至少有一件正品”，则 C＝(AB－)∪(A－B)，D＝C∪(AB). (1)由题意知，A 与 B 是相互独立事件，P(B)＝1－P(B－)＝1－0.05＝0.95，P(A)＝0.96， 所以两件都是正品的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝0.96×0.95＝0.912. (2)由于事件 AB－与A－B 互斥，所以恰有一件是正品的概率为 P(C)＝P[(AB－)∪(A－B)]＝ P(AB－)＋P(A－B)＝P(A)P(B－)＋P(A－)P(B)＝0.96×0.05＋0.04×0.95＝0.086. (3)由于事件 AB 与 C 互斥，所以 P(D)＝P[(AB)∪C]＝P(AB)＋P(C)＝0.912＋0.086＝ 0.998.
解 用 A，B，C 分别表示这三列火车正点到达的事件，则 P(A)＝0.8，P(B)＝0.7， P(C)＝0.9，所以 P(A－)＝0.2，P(B－)＝0.3，P(C－)＝0.1.
(1)由题意得 A，B，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为 p1＝P(A－BC)
＋P(AB－
C)＋P(AB
记作：AB
作：A∪B(或A＋B)
计算公 式
P(AB)＝P(A)P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
二、素养训练
1.坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示
第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是( )
A.互斥的事件
B.相互独立的事件
C.对立的事件
16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为
(假设三项标准互不影响)( )
5 A.9 解析
4 B.9 p＝13×16×15＝910.
1
4
C.90
D.5
答案 C
[微思考] 1.不可能事件与任何一个事件相互独立吗？
提示 相互独立.不可能事件的发生对任何一个事件的发生没有影响. 2.必然事件与任何一个事件相互独立吗？
－
C
)
＝P(A－
)P(B)P(C)＋P(A)P(B－ )P(C)
＋P(A)P(B)P(C－ )
＝0.2×0.7×0.9
＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
p2＝1－P(A－
－
B
C－ )＝1－P(A－ )P(B－ )P(C－ )＝1
－0.2×0.3×0.1＝0.994.
C.互斥且相互独立
D.既不相互独立也不互斥
解析 事件 A＝{2，4，6}，事件 B＝{3，6}，事件 AB＝{6}，样本点空间 Ω＝{1， 2，3，4，5，6}.所以 P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，P(AB)＝16＝12×13，即 P(AB)＝P(A)P(B)， 因此，事件 A 与 B 相互独立.当“出现 6 点”时，事件 A，B 同时发生，所以 A，B 不是互斥事件. 答案 B
解 设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B， 则A与B，与B，A与，与为相互独立事件. (1)2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72.
(2)“2 人各射击 1 次，恰有 1 人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射
中(事件 AB－发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件A－B 发生).根据题意，事件 AB－与
A.相互独立但不互斥
B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥
D.既不相互独立也不互斥
解析 对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与
事件B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事
件A与事件B可能同时发生，所以事件A与事件B不是互斥事件.
答案 A
2.从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为
－
B.
(4)A，B 恰有一个发生为事件 AB－＋A－B.
(5)A，B 中至多有一个发生为事件 AB－＋A－B＋A－
－
B.
【训练3】 某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品 率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求： (1)两件产品都是正品的概率； (2)恰有一件是正品的概率； (3)至少有一件是正品的概率.
1.相互独立事件 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝_P__(A_)_·_P_(_B_)_成立，则称事件A与事件B相互独立， 简称为__独__立___.
2.相互独立事件的性质 如果事件A与B相互独立，那么A与__B－__，__A－__与B，__A－__与也相互独立.
教材拓展补遗 [微判断]
甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，下列 求解过程是否正确. (1)目标恰好被命中一次的概率为12＋13.( × ) (2)目标恰好被命中两次的概率为12×13.( √ ) (3)目标被命中的概率为12×1－13＋12×13.( × ) (4)目标被命中的概率为 1－12×1－13.( √ )
D.不相互独立的事件
解析 ∵P(A1)＝35，若 A1 发生了，P(A2)＝24＝12；若 A1 不发生，P(A2)＝34，即 A1 发
生的结果对 A2 发生的结果有影响，∴A1 与 A2 不是相互独立事件. 答案 D
2.甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为15，13，14，则此密码能译出 的概率是( )
【训练 2】 设事件 A 与事件 B 相互独立，两个事件中只有 A 发生的概率与只有 B 发 生的概率都是14，求 P(A)、P(B). 解 只有 A 发生，即 AB－发生；只有 B 发生，即A－B 发生.因为 A，B 相互独立，所以 A－与 B，B－与 A 也相互独立.所以 P(AB－)＝P(A)P(B－)＝P(A)[1－P(B)]＝14，P(A－B)＝P(A－)P(B) ＝P(B)[1－P(A)]＝14，即PP（ （AB） ）－ －PP（ （AA） ）PP（ （BB） ）＝ ＝1414， . 解得PP（ （AB） ）＝ ＝1212， .
题型二 相互独立事件同时发生的概率 【例2】 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的
概率为0.9，求： (1)2人都射中目标的概率； (2)2人中恰有1人射中目标的概率； (3)2人至少有1人射中目标的概率；法 明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个
发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
一般地，已知两个事件 A，B，它们的概率分别为 P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B 中至少有一个发生为事件 A＋B.
(2)A，B 都发生为事件 AB.
(3)A，B 都不发生为事件A－
－
AB
互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的
概率为 P(AB－)＋P(A－B)＝P(A)·P(B－)＋P(A－)·P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08
＋0.18＝0.26.
(3)“2 人至少有 1 人射中”包括“2 人都中”和“2 人有 1 人射中”两种情况，其概 率为 p＝P(AB)＋[P(AB－)＋P(A－B)]＝0.72＋0.26＝0.98. (4)“2 人至多有 1 人射中目标”包括“有 1 人射中”和“2 人都未射中”两种情况， 故所求概率为 p＝P(A－ B－)＋P(AB－)＋P(A－B)＝P(A－)·P(B－)＋P(A)·P(B－)＋P(A－)·P(B)＝0.02 ＋0.08＋0.18＝0.28. 规律方法 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若 A，B 相互独 立，则A－与 B，A 与B－，A－与B－也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解.