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函数的最值与导数测试题

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专题15导数与函数的极值最值(基础训练)(原卷版)

专题15导数与函数的极值最值(基础训练)(原卷版)

专题15 导数与函数的极值、最值[基础题组练]1．(2020·辽宁沈阳一模)设函数f (x )＝x e x ＋1，则( )A ．x ＝1为f (x )的极大值点B ．x ＝1为f (x )的极小值点C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点2．函数y ＝x e x 在[0，2]上的最大值是( ) A.1eB ．2e 2C ．0D ．12e 3．(2020·广东惠州4月模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝x ·f ′(x )的图象可能是( )4．(2020·河北石家庄二中期末)若函数f (x )＝(1－x )(x 2＋ax ＋b )的图象关于点(－2，0)对称，x 1，x 2分别是f (x )的极大值点与极小值点，则x 2－x 1＝( )A ．－ 3B ．2 3C ．－2 3D ． 35．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( )A ．[－3，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]6.函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图所示，则x 21＋x 22＝________．7．若函数f (x )＝x 3－3ax 在区间(－1，2)上仅有一个极值点，则实数a 的取值范围为________．8．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝13x 3－12(a 2＋a ＋2)x 2＋a 2(a ＋2)x ，a ∈R .(1)当a ＝－1时，求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)求函数y ＝f (x )的极值点．10．已知函数f (x )＝ln x x －1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m >0，求函数f (x )在区间[m ，2m ]上的最大值．[综合题组练]1．(2020·重庆模拟)已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e (e 是自然对数的底数)，则f (x )的极大值为() A ．2e －1 B ．－1eC ．1D ．2ln 22．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)3．(2020·河南驻马店模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋2，x ≤0，e ax ，x >0在[－2，2]上的最大值为3，则实数a 的取值范围是( )A ．(ln 3，＋∞)B ．⎣⎡⎦⎤0，12ln 3 C.⎝⎛⎦⎤－∞，12ln 3 D ．(－∞，ln 3]4．若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则a ＝________，f (x )的极小值为________．5．(2020·石家庄市质量检测)已知函数f (x )＝a e x －sin x ，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)当a ＝1时，证明：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥1；(2)若函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上存在极值，求实数a 的取值范围． 6．已知函数f (x )＝a ln x ＋1x(a >0)． (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．。

导数与极值最大值与最小值问题练习题

导数与极值最大值与最小值问题练习题

导数与极值最大值与最小值问题练习题在微积分中，导数与极值问题是一类经典且重要的题型。

通过求取导数，我们可以确定函数的极值点，即最大值和最小值。

本文将给出一些导数与极值问题的练习题，帮助读者加深对该类型问题的理解与应用。

练习题一：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的极值点。

解析：首先，我们需要求出函数的导数f'(x)。

对于f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，导数为f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

接下来，我们将导数f'(x)置为零，求得极值点。

即，3x^2 - 12x + 9= 0。

通过求解这个方程，我们得到x = 1和x = 3两个解。

然后，我们需要分别计算这两个x值对应的函数值f(x)。

当x = 1时，f(x) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 2 = 6；当x = 3时，f(x) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3)+ 2 = -2。

综上所述，在函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2中，极小值为-2，极大值为6，对应的x值分别为1和3。

练习题二：求函数g(x) = e^x - 4x的极值点。

解析：与前一题类似，我们首先求取函数g(x) = e^x - 4x的导数g'(x)。

根据指数函数的导数性质以及常数倍规则，我们有g'(x) = e^x - 4。

将导数g'(x)置为零，求得极值点。

即，e^x - 4 = 0。

通过求解这个方程，我们得到x = ln(4)。

接下来，计算x = ln(4)对应的函数值g(x)。

g(x) = e^x - 4x = e^(ln(4)) - 4(ln(4)) = 4 - 4ln(4)。

因此，在函数g(x) = e^x - 4x中，存在唯一的极值点x = ln(4)，对应的极值为4 - 4ln(4)。

练习题三：求函数h(x) = x^4 - 8x^2 + 16的极值点。

函数的最大(小)值与导数课后同步检测(基础卷)(解析版)

函数的最大(小)值与导数课后同步检测(基础卷)(解析版)

5.3.2函数的最大(小)值与导数课后同步检测（基础卷） 一、单选题1. 函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A.π－1B.π2－1C.πD.π＋1【解析】y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递增，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π. 2. 函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)( ) A.有最值，但无极值 B.有最值，也有极值 C.既无最值，也无极值 D.无最值，但有极值【解析】f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 当x ∈(－1，1)时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在(－1，1)上单调递减， 无最大值和最小值，也无极值.3. 当0<x <1时，f ()x ＝ln xx ，则下列大小关系正确的是( ) A.f 2()x <f ()x 2<f ()x B.f ()x 2<f 2()x <f ()x C.f ()x <f ()x 2<f 2()x D.f ()x 2<f ()x <f 2()x【解析】根据0<x <1得到0<x 2<x <1，而f ′()x ＝1－ln xx 2，所以根据对数函数的单调性可知，当0<x <1时，1－ln x >0， 从而可得f ′()x >0，函数f ()x 单调递增， 所以f ()x 2<f ()x <f ()1＝0，而f 2()x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2>0，所以有f ()x 2<f ()x <f 2()x .4. 已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的连续可导函数，且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )【解析】令F (x )＝f (x )－g (x )，因为f ′(x )<g ′(x )，所以F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，所以F (x )在[a ，b ]上单调递减，所以F (x )max ＝F (a )＝f (a )－g (a ).故选A.5. 已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．－3【解析】因为f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，所以f (x )在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，所以当x ＝0时，f (0)＝m 最大，所以m ＝3.因为f (－2)＝－37，f (2)＝－5，所以最小值为－37.6. 函数f (x )＝13x 3－x 2＋a ，函数g (x )＝x 2－3x ，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f (x )的图象始终在函数g (x )图象的上方，那么a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0) C. ⎝⎛⎭⎪⎫－43，＋∞ D. ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－43【解析】设h (x )＝f (x )－g (x )＝13x 3－2x 2＋3x ＋a ，则h ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －3)(x －1)，所以当x ∈(1,3)时，h (x )单调递减；当x ∈(3，＋∞)时，h (x )单调递增.当x ＝3时，函数h (x )取得最小值。

课时导数与函数的极值、最值检测题与详解答案

课时导数与函数的极值、最值检测题与详解答案

导数与函数的极值、最值测试题与详解答案A 级——保大分专练1．(2019·辽宁鞍山一中模拟)已知函数f (x )＝x 3－3x －1，在区间[－3,2]上的最大值为M ，最小值为N ，则M －N ＝( )A ．20B ．18C ．3D ．0解析：选 A ∵f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，∴f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，又∵f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，∴M ＝1，N ＝－19，M －N ＝1－(－19)＝20.2．(2018·梅州期末)函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )A ．(－1,3)为函数y ＝f (x )的单调递增区间B ．(3,5)为函数y ＝f (x )的单调递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值解析：选C 由函数y ＝f (x )的导函数的图象可知，当x <－1或3<x <5时，f ′(x )<0，y ＝f (x )单调递减；当x >5或－1<x <3时，f ′(x )>0，y ＝f (x )单调递增．所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y ＝f (x )在x ＝－1,5处取得极小值，在x ＝3处取得极大值，故选项C 错误．3．(2019·湖北襄阳四校联考)函数f (x )＝12x 2＋x ln x －3x 的极值点一定在区间( )A ．(0,1)内B ．(1,2)内C ．(2,3)内D ．(3,4)内解析：选B 函数的极值点即导函数的零点，f ′(x )＝x ＋ln x ＋1－3＝x ＋ln x －2，则f ′(1)＝－1<0，f ′(2)＝ln 2>0，由零点存在性定理得f ′(x )的零点在(1,2)内，故选B.4．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( )A ．[－3，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]解析：选D 由题意知f ′(x )＝3x 2＋6x －9，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：3.5．(2019·皖南八校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc 在x ＝1处有极值－43，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或3解析：选A f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，因为f (x )在x ＝1处有极值－43，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ＝－1＋2b ＋c ＝0，f＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43，Δ＝4b 2＋4c >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3，故选A.6．设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时t 的值为( )A ．1 B.12C.52D.22解析：选D 由已知条件可得|MN |＝t 2－ln t ， 设f (t )＝t 2－ln t (t >0)，则f ′(t )＝2t －1t，令f ′(t )＝0，得t ＝22， 当0<t <22时，f ′(t )<0；当t ＞22时，f ′(t )＞0. ∴当t ＝22时，f (t )取得最小值，即|MN |取得最小值时t ＝22. 7．(2019·江西阶段性检测)已知函数y ＝ax －1x2在x ＝－1处取得极值，则a ＝________.解析：因为y ′＝a ＋2x3，所以当x ＝－1时，a －2＝0，所以a ＝2，经验证，可得函数y＝2x －1x2在x ＝－1处取得极值，因此a ＝2.答案：28．f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________．解析：f ′(x )＝x 2＋－2x x ＋x 2＋2＝－x ＋x －x 2＋2.令f ′(x )<0，得x <－2或x >1； 令f ′(x )>0，得－2<x <1.∴f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上是减函数，在(－2,1)上是增函数， ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－12.答案：－129．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件．解析：y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)， 当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0. 故当x ＝3时，该商品的年利润最大． 答案：310．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________．解析：因为f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f＝3×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.所以y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2. 当x <0或x >2时，y ′>0；当0<x <2时，y ′<0.故当x ＝0时，f (x )取得极大值，当x ＝2时，f (x )取得极小值， 所以f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：411．设函数f (x )＝a ln xx＋b (a ，b ∈R)，已知曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.(1)求实数a ，b 的值；(2)求f (x )的最大值．解：(1)因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a－ln xx 2.所以f ′(1)＝a ，又因为切线斜率为1，所以a ＝1. 由曲线y ＝f (x )过点(1,0)，得f (1)＝b ＝0. 故a ＝1，b ＝0.(2)由(1)知f (x )＝ln x x ，f ′(x )＝1－ln xx2. 令f ′(x )＝0，得x ＝e.当0<x <e 时，有f ′(x )>0，得f (x )在(0，e)上是增函数； 当x >e 时，有f ′(x )<0，得f (x )在(e ，＋∞)上是减函数． 故f (x )在x ＝e 处取得最大值f (e)＝1e .12．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)． (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －12＝2－x2x. 令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )(2)由(1)知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－axx(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )在定义域上无极值点； 当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0，故函数f (x )在x ＝1a处有极大值．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )无极值点； 当a >0时，函数f (x )有一个极大值点．B 级——创高分自选1．已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋b 的单调递减区间为(－1,1)，其极小值为2，则f (x )的极大值是________．解析：因为f (x )的单调递减区间为(－1,1)，所以a >0. 由f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x －a )(x ＋a )，可得a ＝1， 由f (x )＝x 3－3x ＋b 在x ＝1处取得极小值2， 可得1－3＋b ＝2，故b ＝4.所以f (x )＝x 3－3x ＋4的极大值为f (－1)＝(－1)3－3×(－1)＋4＝6. 答案：62．(2019·“超级全能生”高考全国卷26省联考)已知函数f (x )＝t 3x 3－32x 2＋2x ＋t 在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，则t 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝tx 2－3x ＋2，由题意可得f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有两个不等实根，即tx 2－3x ＋2＝0在(0，＋∞)有两个不等实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，3t>0，2t >0，Δ＝9－8t >0，解得0<t <98.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，98 3．已知函数f (x )＝a ln x ＋1x(a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：由题意，知函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x －1x 2＝ax －1x2(a >0)．(1)由f ′(x )>0，解得x >1a，所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞；由f ′(x )<0，解得0<x <1a，所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1a .所以当x ＝1a时，函数f (x )有极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a ，无极大值．(2)不存在实数a 满足条件．由(1)可知，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，函数f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，函数f (x )单调递增．①若0<1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1，e]上为增函数，故函数f (x )的最小值为f (1)＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件a ≥1. ②若1<1a <e ，即1e <a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，1a 上为减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (x )的极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a ＝a (1－ln a )＝0，即ln a ＝1，解得a ＝e ，故不满足条件1e<a <1.③若1a ≥e，即0<a ≤1e 时，函数f (x )在[1，e]上为减函数，故函数f (x )的最小值为f (e)＝a ln e ＋1e ＝a ＋1e＝0，即a ＝－1e ，故不满足条件0<a ≤1e.综上所述，不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0.。

(完整版)导数与极值、最值练习题

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三、知识新授（一）函数极值的概念（二）函数极值的求法：（1）考虑函数的定义域并求f'(x);（2）解方程f'(x)=0，得方程的根x(可能不止一个）（3）如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x)是极大值；反之，那么f(x）是极大值题型一图像问题1、函数()f x的导函数图象如下图所示，则函数()f x在图示区间上（）（第二题图） A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点2、函数()f x的定义域为开区间()a b，，导函数()f x'在()a b，内的图象如图所示，则函数()f x在开区间()a b，内有极小值点（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3、若函数2()f x x bx c=++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x'的图象可能为（）D.C.B.A.4、设()f x'是函数()f x的导函数，()y f x'=的图象如下图所示，则()y f x=的图象可能是（）C.A.5、已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数()f x的图象最有可能的是（ ）-11 f '(x )yxO6、()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（ ）2xO222D.C.B.A.OxOx x Ox y7、如果函数()y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ）yyyxx xyxDCBA xyy=f(x)8、如图所示是函数()y f x =的导函数()y f x '=图象，则下列哪一个判断可能是正确的（ ）A ．在区间(20)-，内()y f x =为增函数B ．在区间(03)，内()y f x =为减函数C ．在区间(4)+∞，内()y f x =为增函数D ．当2x =时()y f x =有极小值9、如果函数()y f x =的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数()y f x =在区间13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递增；②函数()y f x =在区间1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减； ③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增； ④当2x =时，函数()y f x =有极小值； ⑤当12x =-时，函数()y f x =有极大值； 则上述判断中正确的是___________． 10、函数321()2f x x x =-+的图象大致是 （ ）DCBA11、己知函数()32f x ax bx c=++，其导数()f x '的图象如图所示，则函数()f x 的极小值是（ ）A ．a b c ++B ．84a b c ++C ．32a b +D ．c题型二 极值求法 1 求下列函数的极值（1）f(x)=x 3-3x 2-9x+5; (2)f(x)=ln x x （3）f(x)=1cos ()2x x x ππ+-<<2、设a 为实数，函数y=e x -2x+2a,求y 的单调区间与极值3、设函数f(x)=313x -+x 2+(m 2-1)x,其中m>0。

【高二】函数的最值与导数综合测试题(附答案)

【高二】函数的最值与导数综合测试题(附答案)

【高二】函数的最值与导数综合测试题（附答案）选修2-2 1.3.3 函数的最值与导数一、1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)()A．等于0 B．大于0C．小于0 D．以上都有可能[答案] A[解析] ∵M＝m，∴y＝f(x)是常数函数∴f′(x)＝0，故应选A.2．设f(x)＝14x4＋13x3＋12x2在[－1,1]上的最小值为( )A．0 B．－2C．－1 D.1312[答案] A[解析] y′＝x3＋x2＋x＝x(x2＋x＋1)令y′＝0，解得x＝0.∴f(－1)＝512，f(0)＝0，f(1)＝1312∴f(x)在[－1,1]上最小值为0.故应选A.3．函数y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为( )A.2227 B．2C．－1 D．－4[答案] C[解析] y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)令y′＝0解得x＝13或x＝－1当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2；当x＝13时，y＝2227；当x＝1时，y＝2.所以函数的最小值为－1，故应选C.4．函数f(x)＝x2－x＋1在区间[－3,0]上的最值为( ) A．最大值为13，最小值为34B．最大值为1，最小值为4C．最大值为13，最小值为1D．最大值为－1，最小值为－7[答案] A[解析] ∵y＝x2－x＋1，∴y′＝2x－1，令y′＝0，∴x＝12，f(－3)＝13，f12＝34，f(0)＝1.5．函数y＝x＋1－x在(0,1)上的最大值为( )A.2 B．1C．0 D．不存在[答案] A[解析] y′＝12x－121－x＝12?1－x－xx?1－x 由y′＝0得x＝12，在0，12上y′>0，在12，1上y′<0.∴x＝12时y极大＝2，又x∈(0,1)，∴ymax＝2.6．函数f(x)＝x4－4x (x<1)( )A．有最大值，无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，有最小值D．既无最大值，也无最小值[答案] D[解析] f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)∴该方程无解，故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.7．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )A．5，－15 B．5,4C．－4，－15 D．5，－16[答案] A[解析] y′＝6x2－6x－12＝6(x－2)(x＋1)，令y′＝0，得x＝2或x＝－1(舍)．∵f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，∴ymax＝5，ymin＝－15，故选A.8．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为154，则a等于( )A．－32 B.12C．－12 D.12或－32[答案] C[解析] y′＝－2x－2，令y′＝0得x＝－1.当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意．当－1最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝154，解得a＝－12或a＝－32(舍去)．9．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是( )A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3B．－3C．－2D．不存在这样的实数[答案] B[解析] 因为y′＝3x2－12，由y′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－110．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)[答案] B[解析] ∵f(x)＝x3＋ax－2在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立又∵在[1，＋∞)上(－3x2)max＝－3∴a≥－3，故应选B.二、题11．函数y＝x32＋(1－x)32，0≤x≤1的最小值为______．[答案] 22由y′>0得x>12，由y′<0得x<12.此函数在0，12上为减函数，在12，1上为增函数，∴最小值在x＝12时取得，ymin ＝22.12．函数f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3在区间[－2，＋∞)上的最大值________，最小值为________．[答案] 不存在；－2834[解析] f′(x)＝－36＋6x＋12x2，令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝32；当x>32时，函数为增函数，当－2≤x≤32时，函数为减函数，所以无最大值，又因为f(－2)＝57，f32＝－2834，所以最小值为－2834.13．若函数f(x)＝xx2＋a(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a的值为________． [答案] 3－1[解析] f′(x)＝x2＋a－2x2(x2＋a)2＝a－x2(x2＋a)2令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝－a(舍去)当x>a时，f′(x)<0；当00；当x＝a时，f(x)＝a2a＝33，a＝32<1，不合题意．∴f(x)max＝f(1)＝11＋a＝33，解得a＝3－1.14．f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝________.[答案] 32[解析] f′(x)＝3x2－12由f′(x)>0得x>2或x由f′(x)<0得－2∴f(x)在[－3，－2]上单调递增，在[－2,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增．又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，∴最大值M＝24，最小值m＝－8，∴M－m＝32.三、解答题15．求下列函数的最值：(1)f(x)＝sin2x－x－π2≤x≤π2；(2)f(x)＝x＋1－x2.[解析] (1)f′(x)＝2cos2x－1.令f′(x)＝0，得cos2x＝12.又x∈－π2，π2，∴2x∈[－π，π]，∴2x＝±π3，∴x＝±π6.∴函数f(x)在－π2，π2上的两个极值分别为fπ6＝32－π6，f－π6＝－32＋π6.又f(x)在区间端点的取值为fπ2＝－π2，f－π2＝π2.比较以上函数值可得f(x)max＝π2，f(x)min＝－π2.(2)∵函数f(x)有意义，∴必须满足1－x2≥0，即－1≤x≤1，∴函数f(x)的定义域为[－1,1]．f′(x)＝1＋12(1－x2)－12?(1－x2)′＝1－x1－x2 .令f′(x)＝0，得x＝22 .∴f(x)在[－1,1]上的极值为f22＝22＋1－222＝2.又f(x)在区间端点的函数值为f(1)＝1，f(－1)＝－1，比较以上函数值可得f(x)max ＝2，f(x)min＝－1.16．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.求f(x)在区间－34，14上的最大值和最小值．[解析] f(x)的定义域为－32，＋∞.f′(x)＝2x＋22x＋3＝4x2＋6x＋22x＋3＝2(2x＋1)(x＋1)2x＋3.当－320；当－1当x>－12时，f′(x)>0，所以f(x)在－34，14上的最小值为f－12＝ln2＋14.又f－34－f14＝ln32＋916－ln72－116＝ln37＋12＝121－ln499<0，所以f(x)在区间－34，14上的最大值为 f14＝ln72＋116.17．(2021?安徽理，17)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间及极值；(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.[分析] 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值．(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明．[解析] (1)解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减 ?2(1－ln2＋a)单调递增 ?故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.18．已知函数f(x)＝4x2－72－x，x∈[0,1]．(1)求f(x)的单调区间和值域；(2)设a≥1，函数g(x)＝x3－3a2x－2a，x∈[0,1]．若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围．[解析] (1)对函数f(x)求导，得f′(x)＝－4x2＋16x－7(2－x)2＝－(2x－1)(2x－7)(2－x)2令f′(x)＝0解得x＝12或x＝72.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0，12)12(12，1)1f′(x)－0＋f(x)－72?－4 ?－3所以，当x∈(0，12)时，f(x)是减函数；当x∈12，1时，f(x)是增函数．当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[－4，－3]．(2)g′(x)＝3(x2－a2)．因为a≥1，当x∈(0,1)时，g′(x)<0.因此当x∈(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1)，g(0)]．又g(1)＝1－2a－3a2，g(0)＝－2a，即x∈[0,1]时有g(x)∈[1－2a－3a2，－2a]．任给x1∈[0,1]，f(x1)∈[－4，－3]，存在x0∈[0,1]使得g(x0)＝f(x1)成立，则[1－2a－3a2，－2a]?[－4，－3]．即1－2a－3a2≤－4，①－2a≥－3.②解①式得a≥1或a≤－53；解②式得a≤32.感谢您的阅读，祝您生活愉快。

高考数学必考点专项第9练 导数与函数的极值、最值(练习及答案)(全国通用)(新高考专用)

高考数学必考点专项第9练 导数与函数的极值、最值(练习及答案)(全国通用)(新高考专用)

高考数学必考点专项第9练 导数与函数的极值、最值习题精选一、单选题1. 若2x =-是函数2-1()=(+-1)x f x x ax e 的极值点，则()f x 的极小值为( ) A. 1-B. 32e --C. 35e -D. 12. 正项等比数列中的14031,a a 是函数的极值点，则20166log a = ( ) A. 1 B. 2D. 1-3. 若在上有两个极值点，则a 的取值范围为( )A.B.C.D.4. 已知函数3221()13f x x ax b x =+++，若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A.79 B. 13C. 59D.235. 设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则( ) A. a b <B. a b >C. 2ab a <D. 2ab a >二、多选题6. 已知()f x 是定义在(0,3)上的连续可导函数.若()f x 的最大值为(1)f ，则( )321()4633f x x x x =-+-A. (1)0f '=B. ()f x -在1x =-处有最大值C. ()f x -在1x =处有极小值D. ()f x --在1x =-处有最大值7. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是( )A. 2π是的一个周期；B. 在上有3个零点；C.的最大值为334； D. 在上是增函数．8. 已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则“对于任意的(0,1],x ∈不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-恒成立”的充分不必要条件可以是( )A. 10a e-<B.4312ea e <C.3211e a e <D.1a e e< 三、填空题9. 函数()|21|2ln f x x x =--的最小值为__________.10. 函数()ln f x x =的定义域为__________，最大值为__________. 11. 若直线2y x b =+是曲线2ln y a x =的切线，且0a >，则实数b 的最小值是__________.()f x ()f x [0,2]π()f x ()f x12. 已知函数在上无极值，则a =__________，()f x 在上的最小值是__________.13. 已知函数()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，对于任意x R ∈均有()+2()=mx 4f x g x -，若()3lnx 0f x --对任意(0,+)x ∈∞都成立，则实数m 的取值范围是__________. 四、解答题14. 已知函数2()12.f x x =-(1)求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；(2)设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．15. 已知函数232().xf x x a-=+ (1)若0a =，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；(2)若函数()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及最大值和最小值.16. 已知函数21()ln (1)(0).2f x a x a x x a =-++->(1)讨论()f x 的单调性； (2)若21()2f x x ax b -++恒成立，求实数ab 的最大值．17. 已知函数2().xf x e ax x =+-(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x 时，31()12f x x +，求a 的取值范围．18. 已知函数()sin ln()f x x a x b =++，()g x 是()f x 的导函数.(1)若0a >，当1b =时，函数()g x 在(,4)π内有唯一的极小值，求a 的取值范围； (2)若1a =-，1e 2b π<<-，试研究()f x 的零点个数.19. 已知函数，(1)若，求的最值；(2)若存在使得，求实数m 的取值范围.20. 已知函数，其中0.m >(1)讨论函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，是否存在实数a 使得恒成立，如果存在请求出实数a 的取值范围，如果不存在请说明理由．()f x ()f x ()f x答案和解析1.【答案】A解： 函数2-1()=(+-1)x f x x ax e ，可得-12-1()=(2+)+(+-1)x x f x x a ex ax e '，又2x =-是函数2-1()=(+-1)x f x x ax e的极值点，可得-3-3(-2)=(-4+)+(4-2-1)=0f a e a e '， 即-4++(3-2)=0a a ，解得 1.a =- 可得2-1()=(+-2)x f x x x e'，令()=0f x '，解得12x =-，2=1.x当2x <-或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(-2,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 可知=1x 时，函数取得极小值， 即21-1(1)=(1-1-1) 1.f e =-故选.A2.【答案】A解：321()4633f x x x x =-+-， 2()860f x x x ∴'=-+=，1a ，4031a 是函数321()4633f x x x x =-+-的极值点， 140316a a ∴⋅=，又0n a >，2016a ∴=20161.∴=故选.A3.【答案】D解：令sin x t =，(0,1],t ∈ 则2120.t t a -+-= 令，(0,1];t ∈当(0,1],a ∈函数()g t 在上与y a =只有一个交点，(1)0,sin g t x ==对应的x 值有两个.故而(0,1].a ∈ 故选.D4.【答案】D解：求导数可得22()2f x x ax b '=++，要满足题意需2220x ax b ++=有两不等实根， 即224()0a b ∆=->，即a b >， 又a ，b 的取法共339⨯=种，其中满足a b >的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共6种， 故所求的概率为6293P == 故选D5.【答案】D解：因为0a ≠，()Ⅰ所以当a b =时，函数在单调，无极值，不合条件；()Ⅱ当a b ≠时，因为，所以，①若0a >并且a b <时，23a ba +<， 由，得：x a <或23a bx +>， 由，得：23a ba x +<<， 所以这时在上单调递增，在上单调递减，x a =是函数的极大值点，符合条件；②若0a >，并且a b >时，23a ba +>， 由，得：23a bx +<或x a >， 由，得：23a bx a +<<， 所以这时在上单调递减，在上单调递增，x a =是函数的极小值点，不符合条件；③若0a <，并且a b <时，23a ba +<， 由，得：23a ba x +<<， 由，得：x a <或23a bx +>， 这时在上单调递减，在上单调递增，x a =是函数的极小值()0f x '>()0f x '<()f x ()f x ()0f x '>()0f x '<()f x (,)a +∞()f x ()0f x '>()0f x '<()f x ()f x点，不符合条件；④若0a <，并且a b >时，23a ba +>， 由，得：23a bx a +<<， 由，得：23a bx +<或x a >， 所以这时在上单调递增，在上单调递减，x a =是函数的极大值点，符合条件；因此，若x a =为函数的极大值点，则a ，b 必须满足条件：0a >并且a b <或0a <并且.a b >由此可见，A ，B 均错误； 又总有成立，所以C 错误，D 正确.故选.D6.【答案】ABC解：()f x 是定义在(0,3)上的连续可导函数.若()f x 的最大值为(1)f ， 则()f x 在1x =处取得极大值，故(1)0f '=，故A 正确；将()y f x =的图象关于y 轴翻折得到()y f x =-，所以()f x -在1x =-处有最大值，故B 正确；将()y f x =的图象关于x 轴翻折得到()y f x =-，所以()f x -在1x =处有极小值，故C 正确；将()y f x =的图象关于y 轴翻折，再关于x 轴翻折得到()y f x =--，此时()y f x =与()y f x =--关于原点对称，()0f x '>()0f x '<()f x (,)a +∞()f x 2()()()f x a x a x b =--所以()f x --在1x =-处有最小值，故D 错误， 故选.ABC7.【答案】ABC解：11(2)sin(2)sin 2(2)sin sin 222f x x x x x πππ+=+++=+，A 正确；由()0f x =得到sin sin cos 0x x x +=，sin 0x ∴=或1cos 0x +=，x k π∴=，或2x k ππ=+，k Z ∈，∴函数()f x 在[0,2]π上有三个零点0，π，2π，B 正确；()cos cos 2f x x x '=+，∴当3x π=时，()0f x '=，且当03x π<<时()0f x '>，当3x ππ<<时，()0f x '<，()f x ∴在3x π=时取得最大值，121()sin sin 33232f πππ=+==，C 正确， 由上述求解知函数在[,]32ππ上一定递减，D 错误.故选.ABC8.【答案】CD解：因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，所以不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-即为22(2)(ln )(ln )xf ae x f x x x f x x x +--=-对于任意的(0,1]x ∈恒成立，所以22ln xae x x x x +-，也即ln 20xae x x x+-+对于任意的(0,1]x ∈恒成立.令，则，当0a 时，在(0,1]x ∈恒成立，所以在单调递增，又当0x →时，，所以不成立； 令，则在(0,1]x ∈恒成立，所以在单调递增，所以，即1.x x e e所以当1ae时，0xae x -在(0,1]x ∈恒成立，所以在(0,1]x ∈恒成立，所以在单调递减，所以有成立，故1ae时在(0,1]x ∈恒成立；当10a e<<时，存在，使得000xae x -=，所以当00x x <<时，0x ae x ->，所以，所以在单调递减；当01x x <时，0x ae x -<，所以，所以在单调递增.所以，因为000xae x -=，所以00x aex =，且，所以，所以由，可得31ae ，所以311a e e<时在(0,1]x ∈恒成立.综上所述，31ae 时在(0,1]x ∈恒成立.所以“对于任意的(0,1],x ∈不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-恒成立”的充分不必要条件可以是.CD 故选：.CD()g x (0,1]()h x (0,1]()g x (0,1]()g x ()g x9.【答案】1解：函数()|21|2ln f x x x =--的定义域为(0,)+∞， 当102x<时，()|21|2ln 212ln f x x x x x =--=-+-， 此时函数()f x 在1(0,]2上为减函数，所以111()()212ln 2ln 2222f x f =-⨯+-=； 当12x >时，()|21|2ln 212ln f x x x x x =--=--， 则22(1)()2x f x x x-'=-=， 当1(,1)2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，∴当1x =时()f x 取得最小值，为(1)2112ln11f =⨯--=，2ln 2ln 4ln 1e =>=，∴函数()|21|2ln f x x x =--的最小值为1.故答案为：1.10.【答案】(0,1]0 解：由，得0 1.x <∴函数()1ln f x x x =-⋅的定义域为(0,1]；令1x t -=，[0,1),t ∈则21x t =-，函数()1ln f x x x =-⋅化为2()ln(1)g t t t =⋅-，[0,1),t ∈2222()ln(1)01t g t t t-'=-+-， ()g t ∴在[0,1)上为减函数，则max ()(0)0g t g ==，则函数()ln f x x =的最大值为0， 故答案为(0,1]；0.11.【答案】2-解：2ln y a x =的导数为2a y x'=， 由于直线2y x b =+是曲线2ln y a x =的切线， 设切点为(,)m n ，则22am=，m a ∴=， 又22ln m b a m +=，2ln 2(0)b a a a a ∴=->，2(ln 1)22ln b a a '=+-=，当1a >时，0b '>，函数b 递增，当01a <<时，0b '<，函数b 递减，1a ∴=为极小值点，也为最小值点， b ∴的最小值为2ln12 2.-=-故答案为： 2.-12.【答案】232π-【解答】 函数()f x 的导数为22()cos 2(2)sin 1(12sin )(2)sin 12sin f x a x a x a a x a x a a x '=++--=-++--=-(2)sin 1(2sin 1)(sin 1).a x x a x ++-=---当1sin 2x =，即[,]622x πππ=∈-时，()0.f x '=所以要使()f x 在[,]22ππ-上无极值，则2a =，此时2()(2sin 1)0f x x '=--恒成立，即()f x 单调递减，故在区间[,]22ππ-上()f x 的最小值为3().22f ππ=- 13.【答案】解：由已知得……①， 所以，又因为为奇函数，为偶函数， 所以……②，①②联立解得，，将代入不等式得3ln 0mx x --，对任意都成立，即3ln xmx x+，对任意都成立， 设，则，令，解得21x e =， 由()0h x '>得2lnx 0-->，得210x e<<， 由()0h x '<得2lnx 0--<，得21e x >， ()f x ()g x (0,)x ∈+∞(0,)x ∈+∞()0h x '=所以在区间上单调递增，在区间21(,)e +∞上单调递减， 所以的最大值为，即2m e ，所以实数m 的取值范围是故答案为14.【答案】解：2(1)()12f x x =-的导函数()2f x x '=-，令切点为(,)m n ，可得切线的斜率为22m -=-，1m ∴=，12111n ∴=-=，∴切线的方程为213y x =-+；(2)曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线的斜率为2k t =-，切线方程为2(12)2()y t t x t --=--， 令0x =，可得212y t =+，令0y =，可得162x t t=+， 2116()||(12)22S t t t t∴=⋅+⋅+，由()()S t S t -=，可知()S t 为偶函数， 不妨设0t >，则2112()()(12)4S t t t t=++， 2222211443(4)(12)()(324)44t t S t t t t-+∴'=+-=⋅， 由()0S t '=，得2t =，当2t >时，()0S t '>，()S t 单调递增； 当02t <<时，()0S t '<，()S t 单调递减， 则()S t 在2t =处取得极小值，且为最小值32，()h x ()h x所以()S t 的最小值为32.15.【答案】解：(1)当0a =时，232()xf x x-=， 24322(32)26()x x x x f x x x ----'==，因此(1)1f =，()4f x '=-，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为14(1)y x -=--， 即为45y x =-+；(2)因为232()xf x x a-=+的导数为2222()2(32)()()x a x x f x x a -+--'=+， 而函数()f x 在1x =-处取得极值， 所以(1)0f '-=，即2820(1)aa -=+，解得4a =，因此232()4xf x x -=+，222(1)(4)().(4)x x f x x +-'=+ 由()0f x '>得4x >或1x <-；由()0f x '<得14x -<<， 因此函数()f x 在和上单调递增，在上单调递减，所以函数()f x 在1x =-处取得极大值1，在4x =处取得极小值1.4-又因为当32x <时，()0f x >；当32x <时，()0f x <， 作函数()y f x =的图象如下图，由图可知：函数()f x 在1x =-处取得最大值1；在4x =处取得最小值1.4- 所以函数()f x 的单调递增区间为和，单调递减区间为；()f x 的最大值为1，最小值为1.4-16.【答案】解：，(0,0)a x >>，①1a =时，，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减；②01a <<时，由()0f x '>，解得：1a x <<，()f x ∴在(,1)a 上单调递增，在(0,)a ，(1,)+∞上单调递减；③1a >时，同理()f x 在(1,)a 上单调递增，在(0,1)，(,)a +∞上单调递减；21(2)()2f x x ax b -++恒成立，ln 0a x x b ∴-+恒成立，令()ln g x a x x b =-+，则()a xg x x-'=， ()g x ∴在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减．max ()()ln 0g x g a a a a b ∴==-+，ln b a a a ∴-，22ln ab a a a ∴-，令22()ln (0)h x x x x x =->，则()(12ln )h x x x '=-，()h x ∴在上单调递增，在)+∞上单调递减，max ()2e h x h e e ∴==-=， .2e ab∴ 即ab 的最大值为.2e17.【答案】解：(1)当1a =时，2()x f x e x x =+-，()21x f x e x '=+-，设()()g x f x ='，因为()20xg x e '=+>，可得()g x 在R 上递增，即()f x '在R 上递增， 因为(0)0f '=，所以当0x >时，()0f x '>；当0x <时，()0f x '<， 所以()f x 的增区间为(0,)+∞，减区间为(,0)-∞；(2)当0x 时，31()12f x x +恒成立， ①当0x =时，不等式恒成立，可得a R ∈；②当0x >时，可得32112xx x e a x++-恒成立， 设32112()x x x e h x x++-=，则231(2)(1)2()x x e x x h x x ----'=， 可设21()12x m x e x x =---，可得()1x m x e x '=--，令()()t x m x ='，()1x t x e '=-， 由0x ，可得()0t x '恒成立，可得()m x '在(0,)+∞递增， 所以min ()(0)0m x m '='=，即()0m x '恒成立，即()m x 在(0,)+∞递增，所以min ()(0)0m x m ==， 再令()0h x '=，可得2x =，当02x <<时，()0h x '>，()h x 在(0,2)递增；2x >时，()0h x '<，()h x 在(2,)+∞递减，所以2max7()(2)4e h x h -==，所以274e a -，综上可得a 的取值范围是27[,).4e -+∞18.【答案】解：(1)当1b =时，()sin ln (1)f x x a x =++，()()cos 1ag x f x x x ='=++， 在单调递增，2()0(1)a g ππ'=-<+，(4)sin 425ag '=--， 当(4)sin 4025ag '=--时，()g x 在(,4)π单调递减，无极值； 当(4)sin 4025ag '=-->时，0(,4)x π∃∈，使得0()0g x '=， 从而()g x 在0(,)x π单调递减，在0(,4)x 单调递增，0x 为()g x 唯一的极小值点， 所以；(2)当1a =-时，()sin ln()f x x x b =-+，(1,)2b e π∈-，可知，时，()0f x <，无零点；所以只需研究(,)b π-上()f x 零点情况；()(,)2ii x ππ∈时，1()cos 0f x x x b'=-<+，可知()f x 单调递减，(,4)π()1ln()1ln()02222f b e ππππ=-+>-+-=，()0f π<， 存在唯一的(,)2s ππ∈，使得()0f s =；()iii 当(,)2x b π∈-，令1()()cos h x f x x x b'==-+， 则21()sin ()h x x x b '=-++单调递减， 且21(0)00h b '=+>，21()102()2h b ππ'=-+<+， 则1(0,)2x π∃∈，使得1()0h x '=，则在1(,)b x -单调递增，1(,)2x π单调递减，并且lim ()0x bf x +→-'<，，1()022f b ππ'=-<+， 所以2(,0)x b ∃∈-，2()0f x '=，3(0,)2x π∃∈，3()0f x '=，且知在单调递减，在单调递增，在3(,)2x π单调递减，又因为lim ()0x bf x +→->，，()02f π>，(,0)m b ∃∈-，()0f m =，(0,)2n π∃∈，()0f n =，综上所述，由()()()i ii iii 可知，()f x 有3个零点.19.【答案】的定义域为，，令，得1x =， 当时，，单调递减；()f x '()f x (0,)+∞()0f x '=()0f x '<()f x当时，，单调递增又，所以，； (2)由题意知：只需，由(1)知在单调递减，单调递增，①若01m <，则在单调递减，则只需， 即2ln 210m m m m e--+， 记，01m <， 因为，所以在单调递减，单调递增， 而，，所以在01m <恒成立，又因为2ln 0m m ，所以2ln 210m m m m e--+对任意01m <恒成立. ②若1m >，，只需， 即，解得1ln3m <， 综上，20.【答案】解：，定义域为 所以，(0,)x ∈+∞，令，(0,)x ∈+∞，对于方程，164m ∆=-，①当04m <<时，0∆>，有两个根，为12x =22x =120x x <<()0f x '>()f x ()f x (0,1)(1,)+∞()f x (0,)+∞2()4g x x x m =-+在和上；在上，所以函数的单调增区间为和； 单调减区间为， ②当4m 时，0∆，恒成立，所以函数的单调增区间为，无减区间. (2)由(1)知，若有两个极值点，则04m <<，又1x ，2x 是240x x m -+=的两个根，则124x x +=，12x x m ⋅= 所以214x x =-，，由(1)知，124x m=--，， 恒成立，，令，，只要即可； ，令则，，令，则，所以在上单调递减，在1(,2)e上单调递增． ，所以存在12a e -，使得恒成立． ()0f x '>()0f x '<()f x ()f x (0,)+∞()f x (0,2)t ∈min ()a h t ()h t。

导数与函数的极值、最值 最新习题(含解析)

导数与函数的极值、最值 最新习题(含解析)

导数与函数的极值、最值课时作业一、选择题1．如图2是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，给出下列命题：图2①－2是函数y＝f(x)的极值点；②1是函数y＝f(x)的极值点；③y＝f(x)的图象在x＝0处切线的斜率小于零；④函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增．则正确命题的序号是()A．①③B．②④C．②③D．①④解析：根据导函数图象可知，－2是导函数的零点且－2的左右两侧导函数符号异号，故－2是极值点；1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号一致；0处的导函数值即为此点的切线斜率，显然为正值，导函数在(－2，2)上恒大于或等于零，故为函数的增区间，所以选D.答案：D2．设f(x)＝12x2－x＋cos(1－x)，则函数f(x)()A．仅有一个极小值B．仅有一个极大值C．有无数个极值D．没有极值解析：由f(x)＝12x2－x＋cos(1－x)，得f′(x)＝x－1＋sin(1－x)．设g(x)＝x－1＋sin(1－x)，则g′(x)＝1－cos(1－x)≥0.所以g(x)为增函数，且g(1)＝0.所以当x∈(－∞，1)时，g(x)<0，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，则f(x)单调递增．又f′(1)＝0，所以函数f(x)仅有一个极小值f(1)．故选A.答案：A3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝()A ．4或－3B ．4或－11C ．4D ．－3 解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎨⎧f ′（1）＝3＋2a ＋b ＝0，f （1）＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， 即⎩⎨⎧2a ＋b ＝－3，a ＋b ＋a 2＝9，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故函数f (x )单调递增，无极值．不符合题意．∴a ＝4.故选C. 答案：C 4．函数f (x )＝2＋ln x x ＋1在[1e ，e]上的最小值为 ( ) A ．1 B.e 1＋e C.21＋e D.31＋e解析：∵f ′(x )＝x ＋1x －（2＋ln x ）（x ＋1）2＝1x－1－ln x （x ＋1）2，∴当e ≥x >1时，f ′(x )<0；当1e ≤x ＜1时，f ′(x )＞0. 所以f (x )的最小值为min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （1e ），f （e ）＝min{e 1＋e ，31＋e }＝e 1＋e ，选B.答案：B5．若函数f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(0，62)B ．(1，62)C ．(－62，62)D ．(63，1)∪(1，62) 解析：∵f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x ， ∴f ′(x )＝2(a ＋1)e 2x －2e x ＋a －1，∵f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x 有两个极值点， ∴f ′(x )＝0有两个不等实根，设t ＝e x >0，则关于t 的方程2(a ＋1)t 2－2t ＋a －1＝0有两个不等正根，可得⎩⎪⎨⎪⎧a －12（a ＋1）>0，22（a ＋1）>0，4－8（a －1）（a ＋1）>0⇒1<a <62，∴实数a 的取值范围是(1，62)，故选B. 答案：B 6.图1如图1，可导函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线为l ：y ＝g (x )，设h (x )＝f (x )－g (x )，则下列说法正确的是( )A ．h ′(x 0)＝0，x ＝x 0是h (x )的极大值点B ．h ′(x 0)＝0，x ＝x 0是h (x )的极小值点C ．h ′(x 0)≠0，x ＝x 0不是h (x )的极值点D ．h ′(x 0)≠0，x ＝x 0是h (x )的极值点解析：由题意可得函数f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)， ∴h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)， ∴h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)， ∴h ′(x 0)＝f ′(x 0)－f ′(x 0)＝0. 又当x <x 0时，f ′(x )<f ′(x 0)， 故h ′(x )<0，h (x )单调递减； 当x >x 0时，f ′(x )>f ′(x 0)， 故h ′(x )>0，h (x )单调递增．∴x ＝x 0是h (x )的极小值点．故选B. 答案：B7．若函数g (x )＝mx ＋sin xe x 在区间(0，2π)内有一个极大值和一个极小值，则实数m 的取值范围是 ( )A ．[－e －2π，e －π2)B ．(－e －π，e －2π)C ．(－e π，e －5π2) D ．(－e －3π，e π) 解析：函数g (x )＝mx ＋sin xe x ， 求导得g ′(x )＝m ＋cos x －sin xe x. 令f (x )＝m ＋cos x －sin x e x，则f ′(x )＝－2cos xe x .易知，当x ∈(0，π2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(π2，3π2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(3π2，2π)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 且f (0)＝m ＋1，f (π2)＝m －e －π2，f (3π2)＝m ＋e －3π2， f (2π)＝m ＋e －2π，有f (π2)<f (2π)，f (0)>f (3π2)．根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （π2）＝m －e －π2<0，f （2π）＝m ＋e －2π≥0，解得－e－2π≤m <e －π2.故选A.答案：A8．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是 ( )A ．－4，－15B ．5，－15C ．5，－4D ．5，－16 解析：由题意知y ′＝6x 2－6x －12， 令y ′>0，解得x >2或x <－1，故函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，2]上递减，在[2，3]上递增，当x＝0时，y＝5；当x＝3时，y＝－4；当x＝2时，y＝－15.由此得函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是5，－15.故选B.答案：B9．若函数f(x)＝13x3－⎝⎛⎭⎪⎫1＋b2x2＋2bx在区间[－3，1]上不是单调函数，则f(x)在R上的极小值为()A．2b－43 B.32b－23C．0 D．b2－16b3解析：由题意得f′(x)＝(x－b)(x－2)．因为f(x)在区间[－3，1]上不是单调函数，所以－3<b<1.由f′(x)>0，解得x>2或x<b；由f′(x)<0，解得b<x<2.所以f(x)的极小值为f(2)＝2b－43.故选A.答案：A10．已知函数f(x)＝ln x＋a，g(x)＝ax＋b＋1，若∀x>0，f(x)≤g(x)，则ba的最小值是()A．1＋e B．1－e C．e－1D．2e－1解析：由题意，∀x>0，f(x)≤g(x)，即ln x＋a≤ax＋b＋1，即ln x－ax＋a≤b＋1，设h(x)＝ln x－ax＋a，则h′(x)＝1x－a，当a≤0时，h′(x)＝1x－a>0，函数h(x)单调递增，无最大值，不合题意；当a>0时，令h′(x)＝1x－a＝0，解得x＝1a，当x∈(0，1a)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；当x∈(1a，＋∞)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减，所以h(x)max＝h(1a)＝－ln a＋a－1，故－ln a＋a－1≤b＋1，即－ln a＋a－b－2≤0，令ba＝k，则b＝ak，所以－ln a＋(1－k)a－2≤0，设φ(a)＝－ln a＋(1－k)a－2，则φ′(a)＝－1a＋(1－k)，若1－k≤0，则φ′(a)<0，此时φ(a)单调递减，无最小值，所以k＜1，由φ′(a)＝0，得a＝11－k，此时φ(a)min＝ln(1－k)－1≤0，解得k≥1－e，所以k的小值为1－e，故选B.答案：B11．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1，1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是()A．－13 B．－15 C．10 D．15解析：∵f′(x)＝－3x2＋2ax，函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，∴－12＋4a＝0，解得a＝3，∴f′(x)＝－3x2＋6x，f(x)＝－3x3＋3x2－4，∴n∈[－1，1]时，f′(n)＝－3n2＋6n，当n＝－1时，f′(n)最小，最小为－9，当m∈[－1，1]时，f(m)＝－m3＋3m2－4，f′(m)＝－3m2＋6m，令f′(m)＝0，得m＝0或m＝2，所以当m＝0时，f(m)最小，最小为－4，故f(m)＋f′(n)的最小值为－9＋(－4)＝－13.故选A.答案：A12．设函数y＝f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，若在(a，b)上，f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”．已知当m≤2时，f(x)＝16x3－12mx2＋x在(－1，2)上是“凸函数”，则f(x)在(－1，2)上() A．既有极大值，也有极小值B．没有极大值，有极小值C．有极大值，没有极小值D．没有极大值，也没有极小值解析：由题设可知，f″(x)<0在(－1，2)上恒成立，由于f ′(x )＝12x 2－mx ＋1，从而f ″(x )＝x －m ，所以有x －m <0在(－1，2)上恒成立，故知m ≥2，又因为m ≤2，所以m ＝2，从而f (x )＝16x 3－x 2＋x ，f ′(x )＝12x 2－2x ＋1＝0，得x 1＝2－2∈(－1，2)，x 2＝2＋2∉(－1，2)，且当x ∈(－1，2－2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2－2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )在x ＝2－2处取得极大值，没有极小值．答案：C 二、填空题13．已知函数f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f (x )在[12，2]上的最大值等于________．解析：∵函数f (x )＝1－xx ＋ln x ， ∴f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2.故f (x )在[12，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增， 又∵f (12)＝1－ln2，f (2)＝ln2－12，f (1)＝0， f (12)－f (2)＝32－2ln2>0，∴f (x )max ＝1－ln2，故答案为1－ln2. 答案：1－ln214．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．解析：求导得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝2处取得极值，所以f ′(2)＝3·22＋6a ·2＋3b ＝0，即4a ＋b ＋4＝0 ①，又因为图象在x ＝1处的切线与直线6x ＋2y ＋5＝0平行， 所以f ′(1)＝3＋6a ＋3b ＝－3，即2a ＋b ＋2＝0 ②， 联立①②可得a ＝－1，b ＝0， 所以f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， 当f ′(x )>0时，x <0或x >2； 当f ′(x )<0时，0<x <2，∴函数的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，函数的单调减区间是(0，2)， 因此求出函数的极大值为f (0)＝c ， 极小值为f (2)＝c －4，故函数的极大值与极小值的差为c －(c －4)＝4， 故答案为4. 答案：415．若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________．解析：由f ′(x )＝6x 2－2ax ＝0，得x ＝0或x ＝a3，因为函数f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点且f (0)＝1，所以a 3>0，f (a 3)＝0，因此2(a 3)3－a (a3)2＋1＝0，a ＝3.从而函数f (x )在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，所以f (x )max ＝f (0)，f (x )min ＝min{f (－1)，f (1)}＝f (－1)，f (x )max ＋f (x )min ＝f (0)＋f (－1)＝1－4＝－3.答案：－316．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1，(1)若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为6，则实数a ＝________；(2)若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， ∴f ′(1)＝3a ＋9＝6，∴a ＝－1.函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)＝0在(－1，3)内有不同的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－12（a ＋6）>0，f ′（－1）＝－a ＋9>0，f ′（3）＝7a ＋33>0，－1<－2a 6<3，∴－337<a <－3.答案：－1 (－337，－3) 三、解答题17．已知函数f (x )＝x ＋ax ln x (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )＝x ＋ax ln x 存在极大值，且极大值点为1，证明：f (x )≤e －x ＋x 2. 解：(1)由题意x >0，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ，①当a ＝0时，f (x )＝x ，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a >0时，函数f ′(x )＝1＋a ＋a ln x 单调递增，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ＝0⇒x ＝e －1－1a >0，故当x ∈(0，e －1－1a )时，f ′(x )<0，当x ∈(e －1－1a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0，e －1－1a )上单调递减，函数f (x )在(e －1－1a ，＋∞)上单调递增；③当a <0，函数f ′(x )＝1＋a ＋a ln x 单调递减，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ＝0⇒x ＝e －1－1a >0，故当x ∈(0，e －1－1a )时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1－1a ，＋∞时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e －1－1a 上单调递增，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1－1a ，＋∞上单调递减． (2)由f ′(1)＝0，得a ＝－1，令h (x )＝e －x ＋x 2－x ＋x ln x ，则h ′(x )＝－e －x ＋2x ＋ln x ，h ″(x )＝e －x ＋2＋1x >0，∴h ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，∵h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－e －1e ＋2e －1＜0，h ′(1)＝－e －1＋2＞0， ∴∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，使得h ′(x 0)＝0，即－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0. ∴当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )＞0，∴h (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， ∴h (x )≥h (x 0)．由－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0，得e －x 0＝2x 0＋ln x 0， ∴h (x 0)＝e －x 0＋x 20－x 0＋x 0ln x 0 ＝(x 0＋1)(x 0＋ln x 0)．当x 0＋ln x 0<0时，ln x 0<－x 0⇒x 0<e －x 0 ⇒－e －x 0＋x 0<0，所以－e －x 0＋x 0＋x 0＋ln x 0<0与－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0矛盾； 当x 0＋ln x 0>0时，ln x 0>－x 0⇒x 0>e －x 0⇒－e －x 0＋x 0>0， 所以－e －x 0＋x 0＋x 0＋ln x 0>0与－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0矛盾； 当x 0＋ln x 0＝0时，ln x 0＝－x 0⇒x 0＝e －x 0⇒－e －x 0＋x 0＝0， 得－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0，故x 0＋ln x 0＝0成立， 得h (x 0)＝(x 0＋1)(x 0＋ln x 0)＝0，所以h (x )≥0， 即f (x )≤e －x ＋x 2.18．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数y ＝f (x )的单调区间和最小值；(2)若函数F (x )＝f （x ）－a x 在[1，e]上的最小值为32，求a 的值； (3)若k ∈Z ，且f (x )＋x －k (x －1)>0对任意x >1恒成立，求k 的最大值． 解：(1)f (x )的单调增区间为[1e ，＋∞)，单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ， f (x )min ＝f (1e )＝－1e .(2)F (x )＝ln x －ax ，F ′(x )＝x ＋a x 2，(ⅰ)当a ≥0时，F ′(x )>0，F (x )在[1，e]上单调递增，F (x )min ＝F (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32∉[0，＋∞)，舍去．(ⅱ)当a <0时，F (x )在(0，－a )在上单调递减， 在(－a ，＋∞)上单调递增，①若a ∈(－1，0)，F (x )在[1，e]上单调递增，F (x )min ＝F (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32∉(－1，0)，舍去；②若a ∈[－e ，－1]，F (x )在[1，－a ]上单调递减，在[－a ，e]上单调递增，所以F (x )min ＝F (－a )＝ln(－a )＋1＝32，解得a ＝－e ∈[－e ，－1]；③若a ∈(－∞，－e), F (x )在[1，e]上单调递减， F (x )min ＝F (e)＝1－a e ＝32，所以a ＝－e 2∉(－∞，－e)，舍去．综上所述， a ＝－ e.(3)由题意得，k (x －1)<x ＋x ln x 对任意x >1恒成立，即k <x ln x ＋x x －1对任意x >1恒成立． 令h (x )＝x ln x ＋x x －1，则h ′(x )＝x －ln x －2（x －1）2， 令φ(x )＝x －ln x －2(x >1)，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，所以函数φ(x )在(1，＋∞)上单调递增，因为方程φ(x )＝0在(1，＋∞)上存在唯一的实根x 0，且x 0∈(3，4)，当1<x <x 0时，φ(x )<0，即h ′(x )<0，当x >x 0时，φ(x )>0，即h ′(x )>0.所以函数h (x )在(1，x 0)上递减，在(x 0，＋∞)上单调递增．所以h (x )min ＝h (x 0)＝x 0（1＋ln x 0）x 0－1＝x 0（1＋x 0－2）x 0－1＝x 0∈(3，4)，所以k <g (x )min ＝x 0， 又因为x 0∈(3，4)，故整数k 的最大值为3.19．高三模拟考试)已知函数f (x )＝－4x 3＋ax ，x ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在[－1，1]上的最大值为1，求实数a 的取值集合．解：(1)f ′(x )＝－12x 2＋a .当a ＝0时，f (x )＝－4x 3在R 上单调递减；当a <0时，f ′(x )＝－12x 2＋a <0，即f (x )＝－4x 3＋ax 在R 上单调递减；当a >0时，f ′(x )＝－12x 2＋a ＝0，解得x 1＝36a ，x 2＝－3a 6，∴当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6时，f ′(x )<0， f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6上递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6时，f ′(x )>0， f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6上递增； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞时，f ′(x )<0， f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞上递减． 综上，当a ≤0时，f (x )在R 上单调递减；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6上递减； 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6上递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞上递减． (2)∵函数f (x )在[－1，1]上的最大值为1，∴对任意x ∈[－1，1]，f (x )≤1恒成立，即－4x 3＋ax ≤1对任意x ∈[－1，1]恒成立，变形可得ax ≤1＋4x 3.当x ＝0时，a ·0≤1＋4·03，即0≤1，可得a ∈R ；当x ∈(0，1]时，a ≤1x ＋4x 2，则a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4x 2min， 令g (x )＝1x ＋4x 2，则g ′(x )＝－1x 2＋8x ＝8x 3－1x 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，g ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时， g ′(x )>0. 因此，g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3， ∴a ≤3.当x ∈[－1，0)时，a ≥1x ＋4x 2，则a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4x 2max， 令g (x )＝1x ＋4x 2，则g ′(x )＝－1x 2＋8x ＝8x 3－1x 2，当x ∈[－1，0)时，g ′(x )<0，因此，g (x )max ＝g (－1)＝3，∴a ≥3.综上，a＝3.∴a的取值集合为{3}。

有关函数的极值与导数的测试题及答案

有关函数的极值与导数的测试题及答案

有关函数的极值与导数的测试题及答案一、选择题1．已知函数fx在点x0处连续，下列命题中，正确的是A．导数为零的点一定是极值点B．如果在点x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极小值C．如果在点x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极大值D．如果在点x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极大值[答案] C[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如fx＝x3，fx＝3x2，f0＝0，但x＝0不是fx的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.2．函数y＝1＋3x－x3有A．极小值－2，极大值2B．极小值－2，极大值3C．极小值－1，极大值1D．极小值－1，极大值3[答案] D[解析] y＝3－3x2＝31－x1＋x令y＝0，解得x1＝－1，x2＝1当x－1时，y0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，当－11时，y0，函数y＝1＋3x－x3是增函数，当x1时，y0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.3．设x0为fx的极值点，则下列说法正确的是A．必有fx0＝0B．fx0不存在C．fx0＝0或fx0不存在D．fx0存在但可能不为0[答案] C[解析] 如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f0不存在．4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．5．对于函数fx＝x3－3x2，给出命题：①fx是增函数，无极值；②fx是减函数，无极值；③fx的’递增区间为－，0，2，＋，递减区间为0,2；④f0＝0是极大值，f2＝－4是极小值．其中正确的命题有A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案] B[解析] fx＝3x2－6x＝3xx－2，令fx0，得x2或x0，令fx0，得02，①②错误． 6．函数fx＝x＋1x的极值情况是A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2[答案] D[解析] fx＝1－1x2，令fx＝0，得x＝1，函数fx在区间－，－1和1，＋上单调递增，在－1,0和0,1上单调递减，当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.7．函数fx的定义域为开区间a，b，导函数fx在a，b内的图象如图所示，则函数fx在开区间a，b内有极小值点A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案] A[解析] 由fx的图象可知，函数fx在区间a，b内，先增，再减，再增，最后再减，故函数fx在区间a，b内只有一个极小值点．8．已知函数y＝x－ln1＋x2，则函数y的极值情况是A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值[答案] D[解析] ∵y＝1－11＋x2x2＋1＝1－2xx2＋1＝x－12x2＋1令y＝0得x＝1，当x1时，y0，当x1时，y0，函数无极值，故应选D.9．已知函数fx＝x3－px2－qx的图象与x轴切于1,0点，则函数fx的极值是 A．极大值为427，极小值为0B．极大值为0，极小值为427C．极大值为0，极小值为－427D．极大值为－427，极小值为0[答案] A[解析] 由题意得，f1＝0，p＋q＝1①f1＝0，2p＋q＝3②由①②得p＝2，q＝－1.fx＝x3－2x2＋x，fx＝3x2－4x＋1＝3x－1x－1，令fx＝0，得x＝13或x＝1，极大值f13＝427，极小值f1＝0.10．下列函数中，x＝0是极值点的是A．y＝－x3 B．y＝cos2xC．y＝tanx－x D．y＝1x[答案] B[解析] y＝cos2x＝1＋cos2x2，y＝－sin2x，x＝0是y＝0的根且在x＝0附近，y左正右负，x＝0是函数的极大值点．二、填空题11．函数y＝2xx2＋1的极大值为______，极小值为______．[答案] 1－1[解析] y＝21＋x1－xx2＋12，令y0得－11，令y0得x1或x－1，当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.12．函数y＝x3－6x＋a的极大值为____________，极小值为____________．[答案] a＋42 a－42[解析] y＝3x2－6＝3x＋2x－2，令y0，得x2或x－2，令y0，得－22，当x＝－2时取极大值a＋42，当x＝2时取极小值a－42.13．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a ＝______，b＝________.[答案] －3－9[解析] y＝3x2＋2ax＋b，方程y＝0有根－1及3，由韦达定理应有14．已知函数fx＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．[答案] －2,2[解析] 令fx＝3x2－3＝0得x＝1，可得极大值为f－1＝2，极小值为f1＝－2，y＝fx的大致图象如图观察图象得－22时恰有三个不同的公共点．三、解答题15．已知函数fx＝x3－3x2－9x＋11.1写出函数fx的递减区间；2讨论函数fx的极大值或极小值，如有试写出极值．[解析] fx＝3x2－6x－9＝3x＋1x－3，令fx＝0，得x1＝－1，x2＝3.x变化时，fx的符号变化情况及fx的增减性如下表所示：x －，－1 －1 －1,3 3 3，＋fx ＋ 0 － 0 ＋fx 增极大值f－1 减极小值f3 增1由表可得函数的递减区间为－1,3；2由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f－1＝16；当x＝3时，函数有极小值为f3＝－16.16．设函数fx＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f1＝－1，求a、b、c的值，并求出相应的极值．[解析] fx＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝1是函数的极值点，－1、1是方程fx＝0的根，即有又f1＝－1，则有a＋b＋c＝－1，此时函数的表达式为fx＝12x3－32x.fx＝32x2－32.令fx＝0，得x＝1.当x变化时，fx，fx变化情况如下表：x －，－1 －1 －1,1 1 1，＋fx ＋ 0 － 0 ＋fx ? 极大值1 ? 极小值－1 ?由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值1；当x＝1时，函数有极小值－1.17．已知函数fx＝ax3＋bx2－3x在x＝1处取得极值．1讨论f1和f－1是函数fx的极大值还是极小值；2过点A0,16作曲线y＝fx的切线，求此切线方程．[解析] 1fx＝3ax2＋2bx－3，依题意，f1＝f－1＝0，即解得a＝1，b＝0.fx＝x3－3x，fx＝3x2－3＝3x－1x＋1．令fx＝0，得x1＝－1，x2＝1.若x－，－11，＋，则fx＞0，故fx在－，－1上是增函数，fx在1，＋上是增函数．若x－1,1，则fx＜0，故fx在－1,1上是减函数．f－1＝2是极大值；f1＝－2是极小值．2曲线方程为y＝x3－3x.点A0,16不在曲线上．设切点为Mx0，y0，则点M的坐标满足y0＝x30－3x0.∵fx0＝3x20－1，故切线的方程为y－y0＝3x20－1x－x0．注意到点A0,16在切线上，有16－x30－3x0＝3x20－10－x0．化简得x30＝－8，解得x0＝－2.切点为M－2，－2，切线方程为9x－y＋16＝0.18．2021北京文，18设函数fx＝a3x3＋bx2＋cx＋da0，且方程fx－9x＝0的两个根分别为1,4.1当a＝3且曲线y＝fx过原点时，求fx的解析式；2若fx在－，＋内无极值点，求a的取值范围．[解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用．由fx＝a3x3＋bx2＋cx＋d得fx＝ax2＋2bx＋c∵fx－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.1当a＝3时，由*式得，解得b＝－3，c＝12.又∵曲线y＝fx过原点，d＝0.故fx＝x3－3x2＋12x.2由于a0，所以“fx＝a3x3＋bx2＋cx＋d在－，＋内无极值点”等价于“fx＝ax2＋2bx＋c0在－，＋内恒成立”由*式得2b＝9－5a，c＝4a.又∵＝2b2－4ac＝9a－1a－9解得a[1,9]，即a的取值范围[1,9]．感谢您的阅读，祝您生活愉快。

《导数与极值》基础练习题

《导数与极值》基础练习题

《导数与极值》基础练习题一、单选题 1．已知3()x xf x e=，则()f x （ ） A ．在(,)-∞+∞上单调递增 B ．在(,1)-∞上单调递减 C ．有极大值3e ，无极小值 D ．有极小值3e，无极大值 2．已知函数()f x 的导函数()'f x 的图像如下，若()f x 在0x x =处有极值，则0x 的值为（ ）A ．3-B ．0C ．3D ．73．已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =在区间(),a b 内的极小值点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．若函数1()sin sin 33f x a x x =+在3x π=处有最大（小）值，则a 等于（ ） A ．2B ．1C ．233D ．05．如图是函数()y f x =的导函数()y f x ='的图象，则函数()y f x =的极小值点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．关于x 的函数32()33f x x x x a =++-的极值点的个数有（ ）A ．2个B ．1个C ．0个D ．由a 确定7．函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ）A ．0a >B ．0a ≥C ．0a <D ．0a ≤8．已知函数()ln f x x ax =-在2x =处取得极值，则a =（ ）A ．1B ．2C ．12D ．-29．已知a 为函数3()27f x x x =-的极小值点，则a =（ ）A ．3B ．－2C ．4D ．210．函数()()x f x x x e 2=-3+1的极大值为（）A ．2e -B ．15e -C ．3254e -D ．2e -11．函数()sin xf x ae x =-在0x =处有极值,则a 的值为( )A ．1-B ．0C ．1D ．e12．函数()ln f x kx x =-的极值点为2x =，则k 的值为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．12-13．已知1x =是2()(3)23xf x x a x a e ⎡⎤=-+++⎣⎦的极小值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,)+∞B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．(,1)-∞14．函数()[]2cos 0,f x x x π=+在上的极小值点为（ ）A ．0B ．6πC ．56π D ．π15．设()21cos 2=+f x x x ，则函数()f x （ ） A ．有且仅有一个极小值 B ．有且仅有一个极大值 C ．有无数个极值 D ．没有极值 16．已知函数()31f x ax bx =++的图象在点()1,1a b ++处的切线斜率为6，且函数()f x 在2x =处取得极值，则a b +=（ ） A ．263-B ．7C ．223D ．26317．若1x =是函数3221()(1)(33)3f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为（ ） A ．-3B ．2C ．-2或3D ．–3或218．已知是函数2x =就函数3()32f x x ax =-+的极小值点，那么函数()f x 的极大值为（ ）A ．-2B ．6C ．17D ．18二、多选题19．函数()f x 的定义域为R ，它的导函数()y f x '=的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）A ．在()1,2上函数()f x 为增函数B ．在()3,5上函数()f x 为增函数C ．在()1,3上函数()f x 有极大值D ．3x =是函数()f x 在区间[]1,5上的极小值点20．已知函数39,0(),0x x x f x xe x ⎧-≥=⎨<⎩，若()f x 的零点为α，极值点为β，则（ ）A ．=0αB ．+=1αβC ．()f x 的极小值为1e --D ．()f x 有最大值 三、填空题21．函数2sin y x x =-在()0,π上的极值点为______. 22．函数()ln f x x x =的极值点是x =__________.23．函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数()f x 在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(),a b 内有极小值点___________个.24．已知函数()ln f x x x =，则()y f x =的极小值为______． 25．若函数32()4f x x ax =-+-在2x =处取得极值，则a =________. 26．若x ＝2是f (x )＝ax 3-3x 的一个极值点，则a ＝________. 27．函数()ln f x x x =-的极大值是______.28．已知a 为函数()212f x x x =-的极小值点，则a =______ .29．已知函数()2()e xf x x ax =+的一个极值点为1，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为______.30．函数f （x ）＝x 3+ax 2+（a +6）x +1有极值，则a 的取值范围是_____．31．设函数()2xf x e x ax =+-，若0x =是()f x 的极值点，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为_______.32．已知函数()xf x e ax =+在1x =处取得极小值，则实数a =__________.33．设x ＝－2与x ＝4是函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则常数a －b 的值为________． 34．已知函数f (x )=x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x =－1时有极值0，则m ＋n =________. 35．若函数f （x ）＝a sin x +cos x 在x 3π=处有极值，则实数a 等于________.四、双空题 36．若函数2'1()(2)ln 2f x x f x ⋅=+,则()f x 的极大值点为_______，极大值为_________.五、解答题37．函数()ln 1f x x x ax =-+在点(1,(1))A f 处的切线斜率为2-．（1）求实数a 的值；（2）求()f x 的单调区间和极值．38．已知函数()()3223168f x x a x ax =-+++，其中a R ∈，已知()f x 在3x =处取得极值.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在点()()1,1A f 处切线的方程.39．已知函数3()31f x x x =-+.（1）求()f x 的单调区间； （2）求函数的极值；(要列表).40．已知函数()ln(1)f x x =+与函数2()g x x ax b =++在0x =处有公共的切线.（1）求实数a ，b 的值；（2）记()()()F x f x g x =-，求()F x 的极值.《导数与极值》参考答案1．C 【解析】由题意3(1)()xx f x e-'=，当1x <时，()0f x '>，()f x 递增，1x >时，()0f x '<，()f x 递减，(1)f 是函数的极大值，也是最大值3(1)f e=，函数无极小值．故选：C ．2．B 【解析】由()'f x 知，0x =时，(0)0f '=，30x -<<时，()0f x '>，03x <<时，()0f x '<，0是极值点．虽然有(7)0f '=，但在7的两侧，()0f x '<，7不是极值点．故选：B ．3．A 【解析】由图象，设()'f x 与x 轴的两个交点横坐标分别为c 、d 其中c d <，知在(,)c -∞，(),d +∞上()0f x '≥，所以此时函数()f x 在(,)c -∞，(,)d +∞上单调递增，在(,)c d 上，()0f x '<，此时()f x 在(,)c d 上单调递减，所以x c =时，函数取得极大值，x d=时，函数取得极小值．则函数()y f x =的极小值点的个数为1．故选: A4．A 【解析】∵()f x 在3x π=处有最大（小）值，∴3x π=是函数()f x 的极值点.又∵()cos cos3()f x a x x x R =+∈'，∴cos cos 033f a πππ'⎛⎫=+=⎪⎝⎭，解得2a =.故选：A 5．B 【解析】由图象，设()f x '与x 轴的两个交点横坐标分别为a 、b 其中a b <，知在(,)a -∞，(,)b +∞上()0f x '>，所以此时函数()f x 在(,)a -∞，(,)b +∞上单调递增，在(,)a b 上，()0f x '<，此时()f x 在(,)a b 上单调递减，所以x a =时，函数取得极大值，x b=时，函数取得极小值．则函数()y f x =的极小值点的个数为1．故选: B6．C 【解析】因为，32()33f x x x x a =++-，所以，令2'()3630f x x x =++=，得，2(1)0x +=，在x=－1附近，导函数值不变号，所以，关于x 的函数32()33f x x x x a =++-的极值点的个数为0，选C ．7．C 【解析】因为2()31f x ax '=+，所以221()31030f x ax a x =+=⇒=-<'，即0a <，故选C ． 8．C 【解析】()'1f x a x =-，依题意()'20f =，即110,22a a -==.此时()()'112022x f x x x x-=-=>，所以()f x 在区间()0,2上递增，在区间()2,+∞上递减，所以()f x 在2x =处取得极大值，符合题意.所以12a =.故选：C 9．A 【解析】3'22()27()3273(9)03f x x x f x x x x =-⇒=-=-=⇒=±.当3x >时，'()0f x >，因此函数单调递增，当33x -<<时，'()0f x <，因此函数单调递减，当3x <-时，'()0f x >，因此函数单调递增，所以3x =是函数的极小值点，故3a =.故选：A 10．B 【解析】依题意()()'22x fx x x e =--()()21x x x e =-+，故函数在()(),1,2,-∞-+∞上递增，在()1,2-上递减，所以函数在1x =-处取得极大值为()115f e --=.故选B. 11．C 【解析】由题意得：()cos xf x ae x '=-．()f x 在0x =处有极值，()0cos010f a a '∴=-=-=，解得：1a =经检验满足题意，本题正确选项：C12．C 【解析】因为()ln f x kx x =-，所以()´1fx k x=-；又()ln f x kx x =-的极值点为2x =，所以()´20f=，即12k =.故选C 13．D 【解析】依题意()()()1xf x x a x e '=--，零点为121,x x a ==，要1x =是函数的极小值点，则必须1a <，此时函数在(),1a 上递减，在()1,+∞上递增，在1x =处取得极小值.故本题选D. 14．C 【解析】y′＝1﹣2sinx ＝0，得x π6=或x 5π6=，故y ＝x+2cosx 在区间[0，π6]上是增函数，在区间[π6，5π6]上是减函数，在[5π6，π]是增函数．∴x 5π6=是函数的极小值点，故选：C ． 15．A 【解析】()sin f x x x '=-，()1cos 0f x x ''=-≥，∴()f x '单调递增且()00f '=，∴当0x <时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当0x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，故()f x 有唯一的极小值点.故选：A. 16．C 【解析】由题可知：()'23fx ax b =+，则36,120,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得23a =-，8b =.经检验，当23a =-，8b =时，()f x 在2x =处取得极大值，所以223a b +=.故选：C 17．D 【解析】由题意，知：22()2(1)(33)f x x a x a a '=++-+-且()01f '=，∴260+-=a a ，解得：3a =-或2a =.当3a =-时，2()43(1)(3)f x x x x x '=-+=--，即在1x =的左侧(0)30f '=>，右侧(2)10f '=-<，所以1x =是极值点，而非拐点；当2a =时，2()67(1)(7)f x x x x x '=+-=-+，即在1x =的左侧(0)70f '=-<，右侧(2)90f '=>，所以1x =是极值点，而非拐点；故选：D18．D 【解析】函数3()32f x x ax =-+的导数()233f x x a '=-， 由题意得，()20f '=，即1230a -=，4a =． ()3122f x x x =-+，()()()2312322f x x x x '=-=-+，令()0f x '>，得2x >或2x <-；()0f x <′，得22x -<<， 所以当时2x =-取极大值，即()()8242218f x f -=-=++=极大值． 故选：D ．19．AC 【解析】由图象可知()f x 在区间()1,2和()4,5上()'0fx >，()f x 递增；在区间()2,4上()'0f x <，()f x 递减.所以A 选项正确，B 选项错误.在区间()1,3上，()f x 有极大值为()2f ，C 选项正确.在区间[]1,5上，4x =是()f x 的极小值点，D 选项错误.故选：AC20．BC 【解析】当0x <时，()0x f x xe =<，此时函数无零点，当0x ≥时，()39x f x =-，函数的零点为2，所以2α=，当0x <时，()(1)x x xf x e xe e x ='=++，由()0f x '<得1x <-，由()0f x '>，得10x -<<，所以函数在1x =-处取得极小值，极小值点为1-，极小值为1(1)f e --=-，当0x ≥时，()39x f x =-为递增函数，此时()f x 无极值，也无最大值，所以1β=-，所以2(1)1αβ+=+-=，故选：BC21．3π【解析】∵'12cos y x =-，∴当03x π<<时，'0y <；当3x ππ<<时，'0y >.故极值点为3π. 22．1e 【解析】令()'ln 10f x x =+=，解得1e x =.则函数()ln f x x x =的极值点是1ex =， 23．1【解析】从导函数的图象上可得导数的零点有4个，其中满足零点左侧附近导数小于零且右侧附近导数大于零的零点有1个，24．1e-【解析】因为()ln f x x x =，所以()ln 1f x x '=+，由()0f x '>得1x e>；由()0f x '<得10x e <<；所以函数()ln f x x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()y f x =的极小值为1111ln f e e e e⎛⎫==- ⎪⎝⎭.25．3【解析】由题意，得2()32f x x ax '=-+，因为2x =是函数()f x 的极值点，可得()20f '=，所以34220a -⨯+⨯=，解得3a =.26．14【解析】因为3()3f x ax x =-，所以2()33f x ax '=-，因为x ＝2是f (x )＝ax 3-3x 的一个极值点，所以(2)1230f a '=-=，故14a =，经验证当14a =时，2x =是()f x 的一个极值点.所以14a =.27．-1【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞，∵()ln f x x x =-，∴()1'1f x x=-，令()'0f x =，解得1x =，当01x <<时，()'0f x >；当1x >时，()'0f x <，()f x ∴递增区间是(0,1)，递减区间是(1,)+∞，故()f x 在1x =处取得极大值，极大值为()1ln111f =-=-.28．6【解析】由()212f x x x =-有()()221226f x x x '=-=-．令()0f x '>，得6x >，则()f x 在()6+，∞上单调递增.令()0f x '<，得6x <，则()f x 在()6，-∞上单调递减.所以()f x 在6x =处取得极小值,所以6a =29．320x y +=【解析】2()(2)e x x x a a f x ⎡⎤=+++⎣⎦'，由()01f '=，有32a =-，又切点为(0,0)，3(0)2f '=-,则切线方程为32y x =-，320x y +=.30．{a |a ＜﹣3或a ＞6}【解析】函数32()(6)1f x x ax a x ++++＝有极值，则2()3260f x x ax a '=+++=有两个不相等的实数解，22412(6)4(318)0a a a a ∆=-+=-->，3a ∴<-或6a >.31．1e +【解析】由已知()2xf x e x a '=+-，所以()010f a '=-=，得1a =，所以()1211f e e '=+-=+，32．e -【解析】因为()xf x e ax =+，所以()´x fx e a =+，又函数()xf x eax =+在1x =处取得极小值，所以()´1e 0fa =+=,故a e =-.33．21【解析】因为()32f x x ax bx =++，所以()2'32f x x ax b =++£®因为2x =-与4x =是函数，()32f x x ax bx =++的两个极值点，可得()()2124044880f a b f a b ⎧-=-+=⎪⎨=++=''⎪⎩，解得3a =-，24b =-，所以21a b -=£® 34．11【解析】()()3222336f x x mx nx m f x x mx n =+++∴'=++， 依题意可得()()210130 10360f m n m f m n ⎧-⎧-+-+⎪⇒⎨⎨'--+⎪⎩⎩＝＝＝＝，联立可得29m n =⎧⎨=⎩或1?3m n =⎧⎨=⎩；当1,3m n ==时函数()32331f x x x x =+++，()()22363310f x x x x '=++=+≥，所以函数()f x 在R 上单调递增，故函数()f x 无极值，所以1,3m n ==舍去；所以2,9m n ==，所以+11m n =. 35解析】由函数f （x ）＝asinx +cosx ，则f ′（x ）＝acosx ﹣sinx ，由函数f （x ）在x 3π=处有极值，则'()03f π=，即acos3π-sin 3π=0，故a =36()1ln 212-【解析】2'''11()(2)ln ()(2)2f x x f x f x x f x=+⇒⋅=⋅+,因此有 '''11(2)2(2)(2)22f f f =⋅+⇒=-,所以2'111()ln ,()42f x x x f x x x=-+=-+2'112()22x f x x x x -+=-+==,因为0x >,所以当x >,函数()f x 单调递减,当02x时, 函数()f x 单调递增,因此()f x,极大值为11(ln 21)22f =-+=-.37．【解析】（1）函数()ln 1f x x x ax =-+的导数为()ln 1f x x a '=+-，在点(1,(1))A f 处的切线斜率为12k a =-=，(1)2f '∴=-，即12a -=-，3a ∴=；（2）由（1）得，()ln 2,(0,)f x x x '=-∈+∞， 令()0f x '>，得2x e >，令()0f x '<，得20x e <<，即()f x 的增区间为()2,e +∞，减区间为()20,e ．在2x e =处取得极小值21e -，无极大值． 38．【解析】（1）()()3223168,f x x a x ax =-+++()()()()2661661f x x a x a x a x ∴=-++=--'而()f x 在3x =处取得极值，故()'30f=，得3a =，经检验，当3a =时，()f x 在3x =处取得极值. 所以()32212188f x x x x =-++.（2）由（1）得，()()()631f x x x -'=-所以，切线的斜率()10k f '==，而()116f =，所以切线的方程为160y -=. 39．【解析】（1）3()31=-+f x x x ，/2()333(1)(1)∴=-=-+f x x x x ，设'()0f x =可得1x =或1x =-. ①当/()0f x >时，1x >或1x <-； ②当/()0f x <时，11x -<<，所以()f x 的单调增区间为()(),1,1,-∞-+∞，单调减区间为：()1,1-.（2）由（1）可得，当x 变化时，/()f x ，()f x 的变化情况如下表：当1x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为(1)3f -= 当1x =时，()f x 有极小值，并且极小值为(1)1f =-. 40．【解析】（1）()11f x x '=+，()2g x x a '=+， 由题意得()()00f g '='，()()00f g =，解得1a =，0b =. （2）()()()()2ln 1F x f x g x x x x =-=+--，()()23121(1)11x x F x x x x x -+=--=>-++'， ()F x '，()F x 的变化情况如下表：x()1,0-()0,∞+()F x ' +-()F x极大值由表可知，()F x 的极大值为()00F =，无极小值.。

导数与函数的最值问题的综合练习题

导数与函数的最值问题的综合练习题

导数与函数的最值问题的综合练习题在微积分学中，导数和函数的最值问题是非常重要的内容。

通过求解导数和应用极值理论，我们可以找到函数的最大值和最小值，从而解决各种实际问题。

本文将为大家提供一系列综合练习题，以帮助读者更好地理解和应用导数与函数的最值问题。

题目一：求函数f(x)=x^3-3x^2的极值点及极值。

题目二：求函数g(x)=x^2e^x在定义域[-1,2]上的最大值和最小值。

题目三：函数h(x)在开区间(0,2π)上连续。

当x∈(0,2π)时，h(x)满足h'(x)=4sin2x-2sinx，且h(π/6)=0。

求h(x)在(0,2π)上的最大值和最小值。

解答一：首先，我们需要求函数f(x)的导数。

对f(x)进行求导得到f'(x)=3x^2-6x。

要确定极值点，我们需要找出f'(x)=0的解。

将f'(x)置零，我们得到3x^2-6x=0，简化得到x(x-2)=0。

解这个方程可得x=0或x=2。

接下来，我们可以通过求解二阶导数来判断极值的类型。

f''(x)=6x-6，当x=0时f''(x)=-6，当x=2时f''(x)=6。

当f''(x)<0时，函数在该处取得极大值；当f''(x)>0时，函数在该处取得极小值。

所以，当x=0时，函数取得极大值；当x=2时，函数取得极小值。

代入f(x)得到f(0)=0和f(2)=-4。

因此，函数f(x)=x^3-3x^2在x=0处取得极大值0，在x=2处取得极小值-4。

解答二：首先，我们需要求函数g(x)在定义域内的导数。

对g(x)进行求导得到g'(x)=(2x+1)e^x。

要找到定义域[-1,2]上的最大值和最小值，我们需要判断极值点。

首先，我们需要找到g'(x)=0的解。

将g'(x)置零，我们得到(2x+1)e^x=0。

专题15 导数与函数的极值、最值(原卷版)

专题15 导数与函数的极值、最值(原卷版)
基本方法：
1．已知极值求参数。若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f′(x0)＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反。
2、对于求解析式中含有参数的函数极值问题，一般要对方程f′(x)＝0的根的情况进行讨论，分两个层次讨论．第一层次，讨论在定义域内是否有根；第二层次，在有根的条件下，再讨论根的大小．
2023高考一轮复习讲与练
专题15导数与函数的极值、最值
练高考 明方向
1.（2022·全国甲（文T8）(理T6)）.当 时，函数 取得最大值 ，则 （）
A. B. C. D. 1
2.（2022·新高考Ⅰ卷T10）已知函数 ，则（）
A. 有两个极值点B. 有三个零点
C.点 是曲线 的对称中心D.直线 是曲线 的切线
8.(2019·北京高考理科·T19同2019·北京高考文科·T20)已知函数f(x)= x3-x2+x.
(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程.
(2)当x∈[-2,4]时,求证:x-6≤f(x)≤x.
(3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R),记F(x)在区间[-2,4]上的最大值为M(a),当M(a)最小时,求a的值.
(2)对于求解析式中含有参数的函数极值问题，一般要对方程f′(x)＝0的根的情况进行讨论，分两个层次讨论．第一层次，讨论在定义域内是否有根；第二层次，在有根的条件下，再讨论根的大小．
类型三、含参的极值问题
基本题型：
1．（求参数的值）设函数f(x)＝lnx＋ax2－ x，若x＝1是函数f(x)的极大值点，则函数f(x)的极小值为()
基本方法：
求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；

2023年高考数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用3导数与函数的极值最值练习含解析

2023年高考数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用3导数与函数的极值最值练习含解析

导数与函数的极值、最值考试要求 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．知识梳理1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．( ×)(2)函数的极小值一定是函数的最小值．( ×)(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．( √)(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．( ×)教材改编题1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 由题意知只有在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正． 2．函数f (x )＝x 3－ax 2＋2x －1有极值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－6]∪[6，＋∞) B ．(－∞，－6)∪(6，＋∞) C ．(－6，6) D ．[－6，6] 答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋2，由题意知f ′(x )有变号零点，∴Δ＝(－2a )2－4×3×2>0， 解得a >6或a <－ 6.3．若函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，则m ＝________.答案 4解析 f ′(x )＝x 2－4，x ∈[0,3]，当x ∈[0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，所以f (x )在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m .所以在[0,3]上，f (x )max ＝f (0)＝4，所以m ＝4.题型一 利用导数求函数的极值问题 命题点1 根据函数图象判断极值例1 (2022·广州模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(x －1)f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)答案 D解析由题图知，当x∈(－∞，－3)时，y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．命题点2 求已知函数的极值例2 已知函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解(1)因为f(x)＝x－1＋ae x ，所以f′(x)＝1－ae x，又因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0，即1－ae1＝0，所以a＝e.(2)由(1)知f′(x)＝1－ae x ，当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，因此f(x)无极大值与极小值；当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln a，所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，令f′(x)<0，则x<ln a，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且f(ln a)＝ln a，但是无极大值，综上，当a≤0时，f(x)无极大值与极小值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，但是无极大值． 命题点3 已知极值(点)求参数例3 (1)(2022·大庆模拟)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则a ＋b 等于( ) A ．－7 B ．0 C ．－7或0 D ．－15或6答案 A解析 由题意知，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2， 可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 因为f (x )在x ＝1处取得极值10， 可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝3＋2a ＋b ＝0，f1＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3，检验知，当a ＝－3，b ＝3时，可得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，此时函数f (x )单调递增，函数无极值点，不符合题意；当a ＝4，b ＝－11时，可得f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)， 当x <－113或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－113<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，符合题意． 所以a ＋b ＝－7.(2)(2022·南京模拟)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )在区间(0，＋∞)上有两个极值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0，e)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eC.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 答案 C解析 f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－a＝ln x ＋1－2ax ，由题意知ln x ＋1－2ax ＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，2a ＝ln x ＋1x，设g (x )＝ln x ＋1x，则g ′(x )＝1－ln x ＋1x 2＝－ln x x2. 当0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x >1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， 所以g (x )的极大值为g (1)＝1， 又当x >1时，g (x )>0， 当x →＋∞时，g (x )→0， 当x →0时，g (x )→－∞， 所以0<2a <1，即0<a <12.教师备选1．(2022·榆林模拟)设函数f (x )＝x cos x 的一个极值点为m ，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋π4等于( )A.m －1m ＋1B.m ＋1m －1 C.1－mm ＋1D.m ＋11－m答案 B解析 由f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0， 得tan x ＝1x ，所以tan m ＝1m，故tan ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋π4＝1＋tan m 1－tan m ＝m ＋1m －1. 2．已知a ，b ∈R ，若x ＝a 不是函数f (x )＝(x －a )2(x －b )·(e x －1－1)的极小值点，则下列选项符合的是( ) A ．1≤b <a B ．b <a ≤1 C ．a <1≤b D ．a <b ≤1答案 B解析 令f (x )＝(x －a )2(x －b )(e x －1－1)＝0，得x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝1.下面利用数轴标根法画出f (x )的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析． 对选项A ，若1≤b <a ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意；对选项B ，若b <a ≤1，由图可知x ＝a 不是f (x )的极小值点，符合题意； 对选项C ，若a <1≤b ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项D ，若a <b ≤1，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意．思维升华 根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1 (1)(2022·长沙模拟)若x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极大值为( ) A ．－1 B ．－2e －3C ．5e －3D ．1答案 C解析 因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，故可得f ′(x )＝(2x ＋a )ex －1＋(x 2＋ax －1)ex －1＝ex －1[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]，因为x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，故可得f ′(1)＝0，即2a ＋2＝0，解得a ＝－1. 此时f ′(x )＝ex －1(x 2＋x －2)＝ex －1(x ＋2)(x －1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝1， 由f ′(x )>0可得x <－2或x >1； 由f ′(x )<0可得－2<x <1，所以f (x )在区间(－∞，－2)上单调递增， 在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f (x )的极大值点为x ＝－2.则f (x )的极大值为f (－2)＝(4＋2－1)e －3＝5e －3.(2)(2022·芜湖模拟)函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，103B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，103C.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，103 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103答案 B解析 ∵f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)，∴f ′(x )＝1x＋x －a ，∵函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上有且仅有一个极值点， ∴y ＝f ′(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上只有一个变号零点． 令f ′(x )＝1x ＋x －a ＝0，得a ＝1x＋x .设g (x )＝1x ＋x ，则g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，在[1,3]上单调递增， ∴g (x )min ＝g (1)＝2， 又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝52，g (3)＝103，∴当52≤a <103时，y ＝f ′(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上只有一个变号零点．∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，103.题型二 利用导数求函数最值例4 已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )． (1)若a ＝1，求g (x )在区间[1，e]上的最大值； (2)求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )． 解 (1)∵a ＝1， ∴g (x )＝ln x ＋x 2－3x ， ∴g ′(x )＝1x＋2x －3＝2x －1x －1x，∵x ∈[1，e]，∴g ′(x )≥0， ∴g (x )在[1，e]上单调递增， ∴g (x )max ＝g (e)＝e 2－3e ＋1. (2)g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝a x ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－a ＋2x ＋ax＝2x －a x －1x.①当a2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上单调递增，h (a )＝g (1)＝－a －1； ②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤a 2，e 上单调递增，h (a )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2＝a ln a 2－14a 2－a ；③当a2≥e，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上单调递减，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，1－e a ＋e 2－2e ，a ≥2e.教师备选已知函数f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有最大值M ，且M >a －4，求实数a 的取值范围． 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)可得f ′(x )＝1x－a ， 当a <0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a，所以当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，综上所述，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无最大值， 当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减， 所以当x ＝1a时，f (x )取得最大值，即f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a ×1a－2＝ln 1a－3＝－ln a －3，因此有－ln a －3>a －4，得ln a ＋a －1<0， 设g (a )＝ln a ＋a －1，则g ′(a )＝1a＋1>0，所以g (a )在(0，＋∞)上单调递增， 又g (1)＝0，所以g (a )<g (1)，得0<a <1， 故实数a 的取值范围是(0,1)．思维升华 (1)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．(2)若所给的闭区间[a ，b ]含参数，则需对函数f (x )求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值．跟踪训练2 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大. 解 (1)∵蓄水池的侧面的总成本为 100×2πrh ＝200πrh (元)， 底面的总成本为160πr 2元，∴蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元． 由题意得200πrh ＋160πr 2＝12000π， ∴h ＝15r(300－4r 2)．从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0，且r >0，可得0<r <5 3. 故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)，令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上单调递增； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上单调递减． 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8， 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．课时精练1．若函数f (x )＝x 2＋2xex的极大值点与极小值点分别为a ，b ，则a ＋b 等于( )A ．－4 B. 2 C ．0 D ．2答案 C解析 f ′(x )＝2－x2e x ，当－2<x <2时，f ′(x )>0； 当x <－2或x >2时，f ′(x )<0. 故f (x )＝x 2＋2xex的极大值点与极小值点分别为2，－2，则a ＝2，b ＝－2，所以a ＋b ＝0.2．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，下列结论中正确的是( )A ．f (x )在[－2，－1]上单调递增B ．当x ＝3时，f (x )取得最小值C ．当x ＝－1时，f (x )取得极大值D ．f (x )在[－1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减 答案 D解析 根据题图知，当x ∈(－2，－1)，x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(－1,2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以y ＝f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，故选项A 不正确，选项D 正确；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，选项C 不正确；当x ＝3时，f (x )不是取得最小值，选项B 不正确．3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln2D ．－2＋2ln2答案 B解析 由题意得，f ′(x )＝2x＋2ax －3，∵f (x )在x ＝2处取得极小值， ∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得a ＝12，∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ，f ′(x )＝2x＋x －3＝x －1x －2x，∴f (x )在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减， ∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52.4．(2022·重庆联考)函数f (x )＝x ＋2cos x 在[0，π]上的最大值为( ) A ．π－2 B.π6 C ．2 D.π6＋ 3 答案 D解析 由题意得，f ′(x )＝1－2sin x ，∴当0≤sin x ≤12，即x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增；当12<sin x ≤1，即x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6上时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴f (x )有极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π6＋3，有极小值 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝5π6－3，而端点值f (0)＝2，f (π)＝π－2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f (0)>f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，∴f (x )在[0，π]上的最大值为π6＋ 3.5．(多选)已知x ＝1和x ＝3是函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x ＋k (a ，b ∈R )的两个极值点，且函数f (x )有且仅有两个不同零点，则k 值为( )A ．－43B.43 C ．－1 D ．0答案 BD解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意1,3是f ′(x )＝0的两个根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋3＝－2b3a ，1×3＝－33a，解得a ＝－13，b ＝2.故f (x )＝－13x 3＋2x 2－3x ＋k .易求得函数f (x )的极大值为f (3)＝k 和极小值为f (1)＝－43＋k .要使函数f (x )有两个零点，则f (x )极大值k ＝0或f (x )极小值－43＋k ＝0，所以k ＝0或k ＝43.6．(多选)已知函数f (x )＝x ＋sin x －x cos x 的定义域为[－2π，2π)，则( ) A ．f (x )为奇函数B ．f (x )在[0，π)上单调递增C ．f (x )恰有4个极大值点D ．f (x )有且仅有4个极值点 答案 BD解析 因为f (x )的定义域为[－2π，2π)， 所以f (x )是非奇非偶函数，故A 错误； 因为f (x )＝x ＋sin x －x cos x ，所以f ′(x )＝1＋cos x －(cos x －x sin x )＝1＋x sin x ，当x ∈[0，π)时，f ′(x )>0，则f (x )在[0，π)上单调递增，故B 正确； 显然f ′(0)≠0，令f ′(x )＝0，得sin x ＝－1x，分别作出y ＝sin x ，y ＝－1x在区间[－2π，2π)上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f (x )在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f (x )只有2个极大值点，故C 错误，D 正确．7．(2022·潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f (x )＝________. 答案 sin x (答案不唯一)解析 正弦函数f (x )＝sin x 为奇函数，且存在极值．8．(2021·新高考全国Ⅰ)函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的最小值为________． 答案 1解析 函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的定义域为(0，＋∞)． ①当x >12时，f (x )＝2x －1－2ln x ，所以f ′(x )＝2－2x＝2x －1x， 当12<x <1时，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )min ＝f (1)＝2－1－2ln1＝1；②当0<x ≤12时，f (x )＝1－2x －2ln x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减， 所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2ln 12＝2ln2＝ln4>lne ＝1.综上，f (x )min ＝1.9．已知函数f (x )＝ln x －2x －2x ＋1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝f (x )－4＋ax ＋1＋2(a ∈R )，若x 1，x 2是函数g (x )的两个极值点，求实数a 的取值范围．解 (1)由题知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x－2x ＋1－2x －1x ＋12＝x －12x x ＋12≥0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，当且仅当x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．(2)因为g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2＝ln x －ax ＋1，所以g ′(x )＝1x＋ax ＋12＝x 2＋2＋a x ＋1x x ＋12(x >0)．由题意知x 1，x 2是方程g ′(x )＝0在(0，＋∞)内的两个不同的实数解． 令h (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋1，又h (0)＝1>0，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧－2－a >0，Δ＝2＋a2－4>0，解得a <－4，即实数a 的取值范围为(－∞，－4)．10．(2022·珠海模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，其中e 为自然对数的底数． (1)若x ＝1为f (x )的极值点，求f (x )的单调区间和最大值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )的最大值是－3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解 (1)∵f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]， ∴f ′(x )＝1－axx，由f ′(1)＝0，得a ＝1. ∴f ′(x )＝1－x x，∴x ∈(0,1)，f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )<0， ∴f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]；f (x )的极大值为f (1)＝－1，也即f (x )的最大值为f (1)＝－1.(2)∵f (x )＝ln x －ax ， ∴f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x，①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递增， ∴f (x )的最大值是f (e)＝1－a e ＝－3， 解得a ＝4e>0，舍去；②当a >0时，由f ′(x )＝1x －a ＝1－axx＝0，得x ＝1a，当0<1a <e ，即a >1e时，∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，e 时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，e ，又f (x )在(0，e]上的最大值为－3，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－1－ln a ＝－3，∴a ＝e 2；当e≤1a ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝1－a e ＝－3， 解得a ＝4e >1e，舍去．综上，存在a 符合题意，此时a ＝e 2.11．若函数f (x )＝(x 2－a )e x的两个极值点之积为－3，则f (x )的极大值为( ) A.6e 3 B ．－2eC ．－2e D.4e2 答案 A解析 因为f (x )＝(x 2－a )e x， 所以f ′(x )＝(x 2＋2x －a )e x， 由f ′(x )＝(x 2＋2x －a )e x＝0， 得x 2＋2x －a ＝0，由函数f (x )＝(x 2－a )e x的两个极值点之积为－3， 则由根与系数的关系可知，－a ＝－3，即a ＝3， 所以f (x )＝(x 2－3)e x ，f ′(x )＝(x 2＋2x －3)e x， 当x <－3或x >1时，f ′(x )>0； 当－3<x <1时，f ′(x )<0， 故f (x )在(－∞，－3)上单调递增，在(－3,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f (x )的极大值为f (－3)＝6e3.12．函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b 在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29(a >0)，则a ，b 的值为( ) A ．a ＝2，b ＝－29B ．a ＝3，b ＝2C．a＝2，b＝3 D．以上都不对答案 C解析函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，因为a>0，所以由f′(x)<0，计算得出0<x<4，此时函数单调递减，由f′(x)>0，计算得出x>4或x<0，此时函数单调递增，即函数在[－1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值，则f(0)＝b＝3，则f(x)＝ax3－6ax2＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，则f(－1)>f(2)，即函数的最小值为f(2)＝－16a＋3＝－29，计算得出a＝2，b＝3.13．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则( ) A．a<b B．a>bC．ab<a2D．ab>a2答案 D解析当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.图1当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图2所示，观察可知a>b.图2综上，可知必有ab>a2成立．14．(2022·河南多校联考)已知函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x＋2，若f(x1)＝g(x2)，则x1－x2的最小值为______．答案4－2ln2解析设f(x1)＝g(x2)＝t，即2ln x1＝t，x2＋2＝t，解得x 1＝2e t ，x 2＝t －2， 所以x 1－x 2＝2e t －t ＋2，令h (t )＝2e t －t ＋2，则h ′(t )＝21e 2t －1，令h ′(t )＝0，解得t ＝2ln2， 当t <2ln2时，h ′(t )<0， 当t >2ln2时，h ′(t )>0，所以h (t )在(－∞，2ln2)上单调递减，在(2ln2，＋∞)上单调递增， 所以h (t )的最小值为h (2ln2)＝e ln2－2ln2＋2＝4－2ln2， 所以x 1－x 2的最小值为4－2ln2.15．(多选)已知函数f (x )＝x ln x ＋x 2，x 0是函数f (x )的极值点，以下几个结论中正确的是( ) A ．0<x 0<1eB ．x 0>1eC ．f (x 0)＋2x 0<0D ．f (x 0)＋2x 0>0答案 AD解析 函数f (x )＝x ln x ＋x 2(x >0)， ∴f ′(x )＝ln x ＋1＋2x ， ∵x 0是函数f (x )的极值点， ∴f ′(x 0)＝0，即ln x 0＋1＋2x 0＝0，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝2e>0，当x >1e 时，f ′(x )>0，∵当x →0时，f ′(x )→－∞， ∴0<x 0<1e，即A 正确，B 不正确；f (x 0)＋2x 0＝x 0ln x 0＋x 20＋2x 0＝x 0(ln x 0＋x 0＋2)＝x 0(1－x 0)>0，即D 正确，C 不正确．16．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a ln x (a >0)． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2，不等式f (x 1)≥mx 2恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝2x －2＋a x ＝2x 2－2x ＋a x，x >0，一元二次方程2x 2－2x ＋a ＝0的Δ＝4(1－2a )，①当a ≥12时，f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当0<a <12时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1－1－2a 2>0，x 2＝1＋1－2a 2>0，所以当0<x <1－1－2a2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当1－1－2a 2<x <1＋1－2a2时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >1＋1－2a 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．综上所述，当a ≥12时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当0<a <12时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－2a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2a 2，＋∞.(2)由(1)知，0<a <12，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝a2，则0<x 1<12<x 2，由f (x 1)≥mx 2恒成立， 得x 21－2x 1＋a ln x 1≥mx 2，即(1－x 2)2－2(1－x 2)＋2(1－x 2)x 2ln(1－x 2)≥mx 2， 即m ≤x 2－1x 2＋2(1－x 2)ln(1－x 2)，记h (x )＝x －1x＋2(1－x )ln(1－x )，1>x >12，则h ′(x )＝1x 2－2ln(1－x )－1>0⎝⎛⎭⎪⎫1>x >12， 故h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－32－ln 2，3 2－ln 2.故m≤－。

专题07 导数与函数的极值、最值(课时训练)原卷版

专题07 导数与函数的极值、最值(课时训练)原卷版

专题07 导数与函数的极值、最值A 组 基础巩固1．（2022·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））已知函数()2e 2ln xf x k x kx x=+-，若 2x = 是函数 ()f x 的唯一极值点，则实数 k 的取值范围是 （ ）A ．(]02，B ．[)2+∞，C ．e ,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．2e ,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦ 2．（2022·江西南昌·高二期末（文））函数()y f x =的导函数()f x '的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =在(),0∞-上单调递增B ．函数()y f x =的递减区间为()3,5C ．函数()y f x =在3x =处取得极大值D ．函数()y f x =在4x =处取得极小值3．（2022·山西吕梁·）已知函数3()4f x ax x b =-+在2x =处取得极小值43-，则ab =（ ）A ．43B ．43-C ．83D ．83-4．（2022·江西宜春·高三期末（理））设函数()2sin cos 4x f x x x x =+-，则下列是函数f （x ）极大值点的是（ ） A ．53πB ．-53π C ．23πD ．-π35．（2021·山西吕梁·一模（理））“6c =”是“函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2022·福建福州·高二期末）函数()ln f x x x =-在区间（0，e ）上的极小值为（ ） A ．－eB ．1－eC ．－1D ．17．（2022·江西南昌·高二期末（文））已知等差数列{}n a 中的3a 、7a 是函数()321261f x x x x =-+-的两个不同的极值点，则25log a 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．38．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()2ln f x x ax =-的极值为12-，则=a （ ）A ．eB ．1e 2C ．12D ．149．（2022·福建福州·高二期末）已知函数()()2f x x x c =-在2x =处有极小值，则c 的值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．2或610．（2022·重庆八中高二期末）已知函数()32f x x x =-+在[]1,m -上的最小值为0，则m 的取值范围是（ ） A ．()0,1B ．[]0,1C ．()0,∞+D ．[)1,+∞11．（2022·江西吉安·高二期末（文））若1x =是函数()()21e x f x x ax =+-的一个极值点，则()f x 的极大值为（ ）A ．e -B ．1e -C ．2eD ．25e -12．（2022·安徽阜阳·高三期末（文））若函数2()4ln f x x x a x =-+有唯一的极值点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,0)-∞B ．(,0){2}-∞C ．(,0]-∞D ．(,0]{2}-∞13．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）已知函数()21ln 2f x ax x x a =-+有且只有一个极值点，则实数a 构成的集合是___________.14．（2021·江苏·高二专题练习）已知3x =是函数()32322f x ax x =-+的一个极值点，不等式()[]24b f x x <∈，，时恒成立，则b 的取值范围为_______ 15．（2022·全国·高三专题练习）若函数3()31f x x x =--在区间(2,23)a a -+上有最大值，则实数a 的取值范围是_________．16．（2021·河南南阳·高三期末（文））已知函数()21ln 2f x x x mx =+有两个极值点，则实数m 的取值范围为___________.17．（2021·全国·高二课时练习）函数()3231f x x x =-+的极小值为______．18．（2021·湖南·临澧县第一中学高三阶段练习）已知函数()21()ln 22g x a x x ax =-+-，且()1,x ∀∈+∞，()0<g x 恒成立，则实数a 的取值范围是_____________.19．（2021·全国·高二课时练习）设函数3()4f x ax bx =++在2x =处取得极小值，曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线与直线15y x =-互相垂直，则函数()y f x =在(],0-∞上的最大值为__________．B 组 能力提升20．（2022·江苏苏州·高三期末）（多选题）已知函数3211()132f x x ax =++，则（ ） A ．a ∀∈R ，函数()f x 在R 上均有极值 B ．a ∃∈R ，使得函数()f x 在R 上无极值C ．a ∀∈R ，函数()f x 在(,0)-∞上有且仅有一个零点D ．a ∃∈R ，使得函数()f x 在(,0)-∞上有两个零点21．（2021·全国全国·模拟预测）（多选题）已知函数21()2x f x x x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．当2x <-()0f x <B ．a ∀∈R ，方程()f x a =有实根C ．方程()f x a =有3个不同实根的一个必要不充分条件是“0a <”D ．若10a >，20a <且方程1()f x a =有1个实根，方程2()f x a =有2个实根，则121a a =-22．（2021·山东省胶州市第一中学高三阶段练习）（多选题）已知函数()2sin f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 只有一个极值点 B ．设()()()g x f x f x =⋅-，则()g x 与()f x 的单调性相同C ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()f x 有且只有两个零点23．（2021·河北·高三阶段练习）（多选题）已知函数()2ln f x x x =，下列说法正确的是（ ）A ．当1x >时，()0f x >；当01x <<时，()0f x <B ．函数()f x 的减区间为(e ，增区间为),e +∞C ．函数()f x 的值域1,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．()1f x x ≥-恒成立24．（2021·天津市红桥区教师发展中心高二期末）函数2()ln (21)f x x ax a x =+-+.（0a >） (1)设1a =时，求函数()f x 的单调区间； (2)求函数()f x 的极值.25．（2022·四川绵阳·二模（理））已知函数2()(2)e x f x x ax x =---.(1)当12a =-时，求函数()f x 的极值；(2)若曲线()f x 在()2,1-上任意一点处切线的倾斜角均为钝角，求实数a 的取值范围.26．（2022·河南焦作·一模（文））已知函数()()e ln 1=-+xf x k x ，R k ∈．(1)若12x =是()f x 的极值点，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； (2)证明：当()0,e k ∈时，()0f x >．27．（2021·安徽·淮南第一中学高三阶段练习（理））已知函数()()221ln f x x a x a x =---，其中a ∈R .(1)求函数()y f x =的极值；(2)若函数()f x 有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.28．（2022·山东潍坊·高三期末）已知函数()()()()22133e 2x f x a x x x x a -=++++∈R ．(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程；(2)若函数f （x ）有三个极值点1x ，2x ，3x ，且321x x x <<．证明：3121120x x x ++>．29．（2022·重庆南开中学高二期末）已知3x =是函数()3291f x x ax x =--+的一个极值点.(1)求实数a 的值；(2)求函数()f x 在区间[]2,0-上的最大值和最小值.30．（2022·重庆八中高二期末）已知函数()e 1x f x x =+. (1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的极值.。

高中数学利用导数研究函数的最值精选题

高中数学利用导数研究函数的最值精选题

利用导数研究函数的最值精选题25道一．选择题（共9小题）1．已知f（x）＝ln（x2+1），g（x）＝（）x﹣m，若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，﹣] 2．设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1B．C．D．3．函数f（x）＝x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．20B．18C．3D．04．已知函数f（x）＝lnx﹣x+﹣1，g（x）＝x2﹣2bx+4，若对任意的x1∈（0，2）存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），则实数b的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）5．已知函数f（x）＝e x﹣aln（ax﹣a）+a（a＞0），若关于x的不等式f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，e2]B．（0，e2）C．[1，e2]D．（1，e2）6．若函数f（x）＝x3+x2﹣在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，0）B．（﹣5，0）C．[﹣3，0）D．（﹣3，0）7．f（x）＝x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是（）A．﹣2B．0C．2D．48．直线x＝t（t＞0）与函数f（x）＝x2+1，g（x）＝lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（）A．1B．C．D．9．已知关于x的不等式﹣x﹣alnx≥1对于任意x∈（1，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1﹣e]B．（﹣∞，﹣3]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，2﹣e2]二．填空题（共13小题）10．已知函数f（x）＝2sin x+sin2x，则f（x）的最小值是．11．若函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．12．f（x）＝x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是．13．设实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式eλx﹣≥0恒成立，则λ的取值范围是14．已知不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，则k的最大值15．函数y＝x+2cos x在区间上的最大值是．16．函数在（0，e2]上的最大值是．17．设函数与g（x）＝a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为．18．已知函数f（x）＝xe x﹣mx，若f（x）≥lnx+x+1对x∈（0，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是．19．已知函数f（x）＝ae x+ln﹣2（a＞0），若f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围为．20．函数f（x）＝（x+1）e x的最小值是21．已知函数f（x）＝x﹣1﹣lnx，对定义域内的任意x都有f（x）≥kx﹣2，则实数k的取值范围是．22．函数f（x）＝x2+x﹣2lnx的最小值．三．解答题（共3小题）23．已知函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1．（1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；（2）证明：当a≥时，f（x）≥0．24．已知函数f（x）＝e x cos x﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．25．已知f（x）＝a（x﹣lnx）+，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．利用导数研究函数的最值精选题25道参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．已知f（x）＝ln（x2+1），g（x）＝（）x﹣m，若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，﹣]【分析】先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围，再比较其最值即可求实数m的取值范围．【解答】解：因为x1∈[0，3]时，f（x1）∈[0，ln10]；x2∈[1，2]时，g（x2）∈[﹣m，﹣m]．故只需0≥﹣m⇒m≥．故选：A．【点评】本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用，考查计算能力和分析问题的能力，属于中档题．2．设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1B．C．D．【分析】将两个函数作差，得到函数y＝f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣lnx，求导数得＝当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选：D．【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．3．函数f（x）＝x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．20B．18C．3D．0【分析】对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出结论．【解答】解：对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，∵f（x）＝x3﹣3x﹣1，∴f′（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1），∵x∈[﹣3，2]，∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减∴f（x）max＝f（2）＝f（﹣1）＝1，f（x）min＝f（﹣3）＝﹣19∴f（x）max﹣f（x）min＝20，∴t≥20∴实数t的最小值是20，故选：A．【点评】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键．4．已知函数f（x）＝lnx﹣x+﹣1，g（x）＝x2﹣2bx+4，若对任意的x1∈（0，2）存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），则实数b的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）【分析】利用导数研究函数f（x）的最值问题，根据题意对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可．【解答】解：∵函数f（x）＝lnx﹣x﹣1，（x＞0）∴f′（x）＝﹣+＝＝，若f′（x）＞0，1＜x＜3，f（x）为增函数；若f′（x）＜0，x＞3或0＜x＜1，f（x）为减函数；f（x）在x∈（0，2）上有极值，f（x）在x＝1处取极小值也是最小值f（x）min＝f（1）＝﹣+﹣1＝﹣；∵g（x）＝x2﹣2bx+4＝（x﹣b）2+4﹣b2，对称轴x＝b，x∈[1，2]，当b＜1时，g（x）在x＝1处取最小值g（x）min＝g（1）＝1﹣2b+4＝5﹣2b；当1＜b＜2时，g（x）在x＝b处取最小值g（x）min＝g（b）＝4﹣b2；当b＞2时，g（x）在[1，2]上是减函数，g（x）min＝g（2）＝4﹣4b+4＝8﹣4b；∵对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），∴只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，当b＜1时，≥5﹣2b，解得b≥，故b无解；当b＞2时，≥8﹣4b，解得b≥，综上：b≥，故选：A．【点评】本题考查不等式恒成立问题，利用导数求闭区间上函数的最值，根据不等式恒成立转化为最值恒成立是解决本题的关键．综合性较强，运算较大，有一定的难度．5．已知函数f（x）＝e x﹣aln（ax﹣a）+a（a＞0），若关于x的不等式f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，e2]B．（0，e2）C．[1，e2]D．（1，e2）【分析】根据f（x）＞0恒成立可得e x﹣lna+x﹣lna＞e ln（x﹣1）+ln（x﹣1），构造函数g（x）＝e x+x，由g（x）的单调性可得x﹣lna＞ln（x﹣1），用放缩法求出ln（x﹣1）﹣x的最大值，从而得到a的取值范围．【解答】解：∵f（x）＝e x﹣aln（ax﹣a）+a＞0（a＞0）恒成立，∴，∴e x﹣lna+x﹣lna＞ln（x﹣1）+x﹣1，∴e x﹣lna+x﹣lna＞e ln（x﹣1）+ln（x﹣1）．令g（x）＝e x+x，易得g（x）在（1，+∞）上单调递增，∴x﹣lna＞ln（x﹣1），∴﹣lna＞ln（x﹣1）﹣x．∵ln（x﹣1）﹣x≤x﹣2﹣x＝﹣2，∴﹣lna＞﹣2，∴0＜a＜e2，∴实数a的取值范围为（0，e2）．故选：B．【点评】本题考查了函数恒成立问题和放缩法的应用，考查了转化思想和计算能力，属难题．6．若函数f（x）＝x3+x2﹣在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，0）B．（﹣5，0）C．[﹣3，0）D．（﹣3，0）【分析】由题意，求导f′（x）＝x2+2x＝x（x+2）确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数a的取值范围．【解答】解：由题意，f′（x）＝x2+2x＝x（x+2），故f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上是增函数，在（﹣2，0）上是减函数，作其图象如右图，令x3+x2﹣＝﹣得，x＝0或x＝﹣3；则结合图象可知，；解得，a∈[﹣3，0）；故选：C．【点评】本题考查了导数的综合应用及学生作图识图的能力，属于中档题．7．f（x）＝x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是（）A．﹣2B．0C．2D．4【分析】由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已知函数，判断函数在区间上的增减性，比较函数值的大小，求出最大值，从而求解．【解答】解：f'（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），令f'（x）＝0可得x＝0或2（2舍去），当﹣1＜x＜0时，f'（x）＞0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，∴当x＝0时，f（x）取得最大值为f（0）＝2．故选：C．【点评】此题考查导数的定义及利用导数来求闭区间函数的最值，解题的关键是求导要精确．8．直线x＝t（t＞0）与函数f（x）＝x2+1，g（x）＝lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（）A．1B．C．D．【分析】将两个函数作差，得到函数y＝f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣lnx+1，求导数得y′＝2x﹣＝当0＜x＜时，y′＜0，函数在（0，）上为单调减函数，当x＞时，y′＞0，函数在（，+∞）上为单调增函数所以当x＝时，所设函数的最小值为+ln2，所求t的值为．故选：B．【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．9．已知关于x的不等式﹣x﹣alnx≥1对于任意x∈（1，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1﹣e]B．（﹣∞，﹣3]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，2﹣e2]【分析】分离参数，构造函数，对x﹣3e x＝e x﹣3lnx变形以及e x﹣1≥x，即可求得a的取值范围．【解答】解：由题意可知，分离参数，令，由题意可知，a≤f（x）min，由，又e x﹣1≥x，当x＝0时等号成立，所以≥＝﹣3，当x﹣3lnx＝0时等号成立，由，令，，易知h（x）在（0，e）上单增，在（e，+∞）单减，所以，所以方程有解．所以a≤﹣3，故选：B．【点评】本题考查利用导数的综合应用，考查分离参数方法的应用，考查e x﹣1≥x恒等式的应用，在选择及填空题可以直接应用，在解答题中，需要构造函数证明，然后再利用，考查转化思想，属于中档题．二．填空题（共13小题）10．已知函数f（x）＝2sin x+sin2x，则f（x）的最小值是．【分析】由题意可得T＝2π是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在[0，2π）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．【解答】解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sin x+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）＝2sin x+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）＝2cos x+2cos2x＝2cos x+2（2cos2x﹣1）＝2（2cos x﹣1）（cos x+1），令f′（x）＝0可解得cos x＝或cos x＝﹣1，可得此时x＝，π或；∴y＝2sin x+sin2x的最小值只能在点x＝，π或和边界点x＝0中取到，计算可得f（）＝，f（π）＝0，f（）＝﹣，f（0）＝0，∴函数的最小值为﹣，故答案为：．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．11．若函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为﹣3．【分析】推导出f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），当a≤0时，f′（x）＝2x（3x ﹣a）＞0，f（0）＝1，f（x）在（0，+∞）上没有零点；当a＞0时，f′（x）＝2x（3x ﹣a）＞0的解为x＞，f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，由f（x）只有一个零点，解得a＝3，从而f（x）＝2x3﹣3x2+1，f′（x）＝6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，利用导数性质能求出f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和．【解答】解：∵函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，∴f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）＝1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；②当a＞0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，又f（x）只有一个零点，∴f（）＝﹣+1＝0，解得a＝3，f（x）＝2x3﹣3x2+1，f′（x）＝6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（﹣1）＝﹣4，f（0）＝1，f（1）＝0，∴f（x）min＝f（﹣1）＝﹣4，f（x）max＝f（0）＝1，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min＝﹣4+1＝﹣3．【点评】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．12．f（x）＝x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是2．【分析】求出函数的导函数，令导函数为0，求出根，判断根是否在定义域内，判断根左右两边的导函数符号，求出最值．【解答】解：f′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），令f′（x）＝0得x＝0或x＝2（舍），当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以当x＝0时，函数取得极大值即最大值，所以f（x）的最大值为2，故答案为：2．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，属于基础题．13．设实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式eλx﹣≥0恒成立，则λ的取值范围是[，+∞）【分析】法一：由题意可得（eλx﹣）min≥0，设f（x）＝eλx﹣，x＞0，求出导数和单调区间、极小值点m和最小值点，可令最小值为0，解方程可得m，λ，进而得到所求最小值；法二：由于y＝eλx与y＝互为反函数，故图象关于y＝x对称，采用极限思想求解．【解答】解：实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式eλx﹣≥0恒成立，即为（eλx﹣）min≥0，设f（x）＝eλx﹣，x＞0，f′（x）＝λeλx﹣，令f′（x）＝0，可得eλx＝，由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，可得y＝eλx和y＝有且只有一个交点，设为（m，n），当x＞m时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜m时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有f（x）在x＝m处取得极小值，且为最小值．即有eλm＝，令eλm﹣＝0，可得m＝e，λ＝．则当λ≥时，不等式eλx﹣≥0恒成立．则λ的最小值为另解：由于y＝eλx与y＝互为反函数，故图象关于y＝x对称，考虑极限情况，y＝x恰为这两个函数的公切线，此时斜率k＝1，再用导数求得切线斜率的表达式为k＝，即可得λ的最小值为．故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，以及运用导数求得单调区间、极值和最值，考查方程思想，以及运算能力，属于中档题．14．已知不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，则k的最大值e﹣1【分析】不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．等价于对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．求得，（x＞0），的最小值即可k 的取值．【解答】解：不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．等价于对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．令，（x＞0），，令g（x）＝e x（x﹣1）+lnx，（x＞0），则g′（x）＝xe x+＞0∴g（x）在（0，+∞）单调递增，g（1）＝0，∴x∈（0，1）时，g（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g（x）＞0．∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．∴x∈（0，1）时，f（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增．∴f（x）min＝f（1）＝e﹣1∴k≤e﹣1．故答案为：e﹣1．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，考查构造函数法，以及导数的运用：求单调性和最值，考查运算能力，属于中档题．15．函数y＝x+2cos x在区间上的最大值是．【分析】对函数y＝x+2cos x进行求导，研究函数在区间上的极值，本题极大值就是最大值．【解答】解：∵y＝x+2cos x，∴y′＝1﹣2sin x令y′＝0而x∈则x＝，当x∈[0，]时，y′＞0．当x∈[，]时，y′＜0．所以当x＝时取极大值，也是最大值；故答案为【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最大值问题，属于导数的基础题．16．函数在（0，e2]上的最大值是．【分析】求出导函数，求解极值点，然后判断函数的单调性求解函数的最大值即可．【解答】解：函数，，令f′（x）＝0，解得x＝e．因为0＜e＜e2，函数f（x）在x∈（0，e]上单调递增，在x∈[e，e2]单调递减；x＝e时，f（x）取得最大值，f（e）＝．故答案为：．【点评】本题考查函数的导数的应用，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键．17．设函数与g（x）＝a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为．【分析】设公共点坐标为（x0，y0），求出两个函数的导数，利用f'（x0）＝g'（x0），推出，然后构造函数，利用导函数单调性求解函数的最值即可．【解答】解：设公共点坐标为（x0，y0），则，所以有f'（x0）＝g'（x0），即，解出x0＝a（舍去），又y0＝f（x0）＝g（x0），所以有，故，所以有，对b求导有b'＝﹣2a（1+lna），故b关于a的函数在为增函数，在为减函数，所以当时b有最大值．故答案为：．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性、最值的求法，考查计算能力．18．已知函数f（x）＝xe x﹣mx，若f（x）≥lnx+x+1对x∈（0，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，0]．【分析】函数f（x）＝xe x﹣mx，若f（x）≥lnx+x+1对x∈（0，+∞）恒成立，等价于：m+1≤e x﹣，x∈（0，+∞）恒成立．令g（x）＝e x﹣，x∈（0，+∞），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出结论．另解：令g（x）＝e x﹣x﹣1，可得g（x）在R上的单调性，原命题等价于：xe x﹣（x+lnx）﹣1≥mx．即e x+lnx﹣（x+lnx）﹣1≥mx．令h（x）＝x+lnx，利用其单调性即可证明结论．【解答】解：函数f（x）＝xe x﹣mx，若f（x）≥lnx+x+1对x∈（0，+∞）恒成立，等价于：m+1≤e x﹣，x∈（0，+∞）恒成立．令g（x）＝e x﹣，x∈（0，+∞），则g′（x）＝e x+＝，令h（x）＝x2e x+lnx，则h′（x）＝（x2+2x）e x+＞0，∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，又h（）＝﹣1＜0，h（1）＝e＞0，∴存在唯一x0∈（，1），使得+lnx0＝0，化为：x0＝，两边取对数可得：x0+lnx0＝ln（﹣lnx0）+（﹣lnx0），令u（x）＝x+lnx，可得函数u（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，因此x0＝﹣lnx0，可得＝．∴函数g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴g（x）min＝g（x0）＝﹣＝﹣＝1，∴m+1≤1，解得m≤0．故实数m的取值范围是（﹣∞，0]．另解：令g（x）＝e x﹣x﹣1，g′（x）＝e x﹣1，可得g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．∴g（x）＝e x﹣x﹣1≥g（0）＝0，即e x﹣x﹣1≥0．原命题等价于：xe x﹣（x+lnx）﹣1≥mx．即e x+lnx﹣（x+lnx）﹣1≥mx．令h（x）＝x+lnx，可得：h（x）在（0，+∞）上单调递增．h（）＝﹣1＜0，h（1）＝1＞0，∴存在唯一x0∈（，1），使得h（x0）＝0，∴≥0，因此m≤0．故答案为：（﹣∞，0]．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、同构法、等价转化方法，注意对于函数零点存在又无法求出的问题的解决方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．已知函数f（x）＝ae x+ln﹣2（a＞0），若f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围为（e，+∞）．【分析】求出e x+lna+x+lna＞e ln（x+2）+ln（x+2），得到lna＞ln（x+2）﹣x，令g（x）＝ln （x+2）﹣x，（x＞﹣2），根据函数的单调性求出g（x）的最大值，求出a的取值范围即可．【解答】解：f（x）＝ae x+ln﹣2（a＞0），函数f（x）的定义域是（﹣2，+∞），若f（x）＞0恒成立，则e x+lna+lna＞ln（x+2）+2，两边加上x得到：e x+lna+x+lna＞x+2+ln（x+2）＝e ln（x+2）+ln（x+2），∵y＝e x+x单调递增，∴x+lna＞ln（x+2），即lna＞ln（x+2）﹣x，令g（x）＝ln（x+2）﹣x，（x＞﹣2），则g′（x）＝﹣1＝，∵x∈（﹣2，﹣1）时，g′（x）＞0，g（x）递增，x∈（﹣1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）递减，故lna＞g（x）max＝g（﹣1）＝1，故a＞e，故答案为：（e，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是中档题．20．函数f（x）＝（x+1）e x的最小值是【分析】求出函数f（x）＝（x+1）e x的导数，进一步求出函数f（x）＝（x+1）e x的单调区间，得到函数f（x）＝（x+1）e x的最小值；【解答】解：由f（x）＝（x+1）e x，得f′（x）＝（x+2）e x；当x＜﹣2时，f′（x）＜0，当x＞﹣2时，f′（x）＞0，所以函数f（x）＝（x+1）e x在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增；所以当x＝﹣2时，函数f（x）＝（x+1）e x有最小值；故答案为：．【点评】本题考查函数最值，考查利用函数导数分析函数单调性从而得到函数最值，属于基础题．21．已知函数f（x）＝x﹣1﹣lnx，对定义域内的任意x都有f（x）≥kx﹣2，则实数k的取值范围是（﹣∞，1﹣]．【分析】先分离出k，得到k≤1+﹣在x＞0时恒成立，再处理g（x）＝1+，x＞0的最小值即可解决问题．【解答】解：∵f（x）＝x﹣1﹣lnx≥kx﹣2，∴kx≤x+1﹣lnx，x＞0，也即k≤1+﹣在x＞0时恒成立．令g（x）＝1+，x＞0，则g′（x）＝，x＞0，令g′（x）＝0⇒x＝e2．易知g（x）在x∈（0，e2）上单调递减，g（x）在x∈（e2，+∞）上单调递增，故g（x）min＝g（e2）＝1﹣，∴k．故填：（﹣∞，1﹣]．【点评】本题主要考查导数在处理最值问题中的简单应用，属于基础题．22．函数f（x）＝x2+x﹣2lnx的最小值．【分析】求出函数的导数，利用函数的单调性转化求解函数的最小值．【解答】解：因为，易知f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以．故答案为：．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．三．解答题（共3小题）23．已知函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1．（1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；（2）证明：当a≥时，f（x）≥0．【分析】（1）推导出x＞0，f′（x）＝ae x﹣，由x＝2是f（x）的极值点，解得a＝，从而f（x）＝e x﹣lnx﹣1，进而f′（x）＝，由此能求出f（x）的单调区间．（2）法一：当a≥时，f（x）≥﹣lnx﹣1，设g（x）＝﹣lnx﹣1，x＞0，则﹣，由此利用导数性质能证明当a≥时，f（x）≥0．法二：f（x）≥0，即a≥，x＞0，令g（x）＝，x＞0，则，利用导数性质得g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，g（x）≤g（1）＝，由此能证明当a≥时，f（x）≥0．法三：当a时，f（x）≥，即只需证明，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可求解．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1．∴x＞0，f′（x）＝ae x﹣，∵x＝2是f（x）的极值点，∴f′（2）＝ae2﹣＝0，解得a＝，∴f（x）＝e x﹣lnx﹣1，∴f′（x）＝，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调递减区间是（0，2），单调递增区间是（2，+∞）．（2）证法一：当a≥时，f（x）≥﹣lnx﹣1，设g（x）＝﹣lnx﹣1，x＞0，则﹣，由﹣＝0，得x＝1，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，∴x＝1是g（x）的最小值点，故当x＞0时，g（x）≥g（1）＝0，∴当a≥时，f（x）＝ae x﹣lnx﹣1≥0．证法二：∵函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1，∴f（x）≥0，即a≥，x＞0，令g（x）＝，x＞0，则，x＞0，∴g′（1）＝0，当0＜x＜1时，，﹣lnx＞0，g′（x）＞0，当x＞1时，，﹣lnx＜0，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，g（x）≤g（1）＝，∵a≥，∴a≥g（x）．∴当a≥时，f（x）≥0．证法三：当a时，f（x）≥，即只需证明，由于，则e x≥elnex⇔xe x≥exlnex⇔xe x≥e lnex lnex，令g（x）＝xe x，则g'（x）＝e x（x+1）＞0，即g（x）为增函数，又易证x≥lnex＝lnx+1，故g（x）≥g（lnex），即xe x≥e lnex lnex成立，故当时，f（x）≥0．【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．24．已知函数f（x）＝e x cos x﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；（2）求出f（x）的导数，再令g（x）＝f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0，]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．【解答】解：（1）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝e0（cos0﹣sin0）﹣1＝0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；（2）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，令g（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）＝e x（cos x﹣sin x﹣sin x﹣cos x）＝﹣2e x•sin x，当x∈[0，]，可得g′（x）＝﹣2e x•sin x≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）＝0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）＝e0cos0﹣0＝1；最小值为f（）＝cos﹣＝﹣．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题．25．已知f（x）＝a（x﹣lnx）+，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；（Ⅱ）方法一、构造函数F（x）＝f（x）﹣f′（x），令g（x）＝x﹣lnx，h（x）＝．则F（x）＝f（x）﹣f′（x）＝g（x）+h（x），利用导数分别求g（x）与h（x）的最小值得到F（x）＞恒成立．由此可得f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立；方法二、不等式f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立，即x﹣lnx+﹣＞0，结合x﹣1≥lnx，利用放缩法可得x﹣lnx+﹣＞，然后说明不等式右侧的代数式恒大于等于0，则结论得证．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝a（x﹣lnx）+，得f′（x）＝a（1﹣）+＝＝（x＞0）．若a≤0，则ax2﹣2＜0恒成立，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；若a＝2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；若a＞2，当x∈（0，）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；（Ⅱ）方法一、解：∵a＝1，令F（x）＝f（x）﹣f′（x）＝x﹣lnx﹣1＝x﹣lnx+．令g（x）＝x﹣lnx，h（x）＝．则F（x）＝f（x）﹣f′（x）＝g（x）+h（x），由，可得g（x）≥g（1）＝1，当且仅当x＝1时取等号；又，设φ（x）＝﹣3x2﹣2x+6，则φ（x）在[1，2]上单调递减，且φ（1）＝1，φ（2）＝﹣10，∴在[1，2]上存在x0，使得x∈（1，x0）时φ（x0）＞0，x∈（x0，2）时，φ（x0）＜0，∴函数h（x）在（1，x0）上单调递增；在（x0，2）上单调递减，由于h（1）＝1，h（2）＝，因此h（x）≥h（2）＝，当且仅当x＝2取等号，∴f（x）﹣f′（x）＝g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）＝，∴F（x）＞恒成立．即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．方法二、不等式f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立，即x﹣lnx+﹣＞0，令h（x）＝x﹣lnx﹣1，得h′（x）＝1﹣＝，可得当x∈[1，2]时，h′（x）≥0，h（x）单调递增，h（x）≥0，即x﹣1≥lnx，于是，x﹣lnx+﹣≥＝．当且仅当x＝1时上式等号成立．又x∈[1，2]时，3x2﹣2＞0，2﹣x≥0，2x3＞0，∴x﹣lnx+﹣＝≥0．等号当且仅当x＝2时取得，故两个等号不能同时取到，∴x﹣lnx+﹣＞0，即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．【点评】本题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题。

高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析

高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析

高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.若函数在（0，1）内有极小值，则（）A．0＜＜1B．＜1C．＞0D．＜【答案】A【解析】,由于存在极值，因此令，得，为函数的极小值，则，解得.【考点】函数的导数与极值.2.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．个B．个C．个D．个【答案】A【解析】函数为增函数, 函数为减函数, 当且左侧,右侧时为极小值点,从而只有一个满足,答案选A..【考点】函数的导数与极值3.已知函数.（1）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；【答案】（1）（2）【解析】（1）对函数求导，求出极值点，范围在内，得到不等式关系，解不等式即可；（2）要对恒成立问题转化,转化为求最值问题，令，求出在的最小值.试题解析：（1）当x>0时，，有；所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减，函数在处取得唯一的极值．由题意，且，解得所求实数的取值范围为.（2）当时，令，由题意，在上恒成立令，则，当且仅当时取等号．所以在上单调递增，．因此，在上单调递增，．所以．【考点】导数运算，化归思想.4.已知函数，其中。

（1）若，求函数的极值点和极值；（2）求函数在区间上的最小值。

【答案】（1）极小值点为，极小值为；极大值点为，极大值为；（2）【解析】（1）把代入原函数，求出的导函数，令导函数等于求出根即可得极值点，把极值点代入原函数得极值。

（2）因为，所以把分两种情况来讨论，当时，函数在区间为单调递增函数，最小值为，当时，求出函数的导函数，并令得增区间，令得减区间，最后得出的最小值。

试题解析：解：（1）当时，。

2分令，得或。

所以，在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数；在区间上，，函数是增函数。

4分[所以，函数的极小值点为，极小值为；极大值点为，极大值为。

8分（2）当时，是R上的增函数，在区间上的最小值为。

高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析

高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析

高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．个B．个C．个D．个【答案】A【解析】函数为增函数, 函数为减函数, 当且左侧,右侧时为极小值点,从而只有一个满足,答案选A..【考点】函数的导数与极值2.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________【答案】【解析】令得或,当时, ,当时, ,因此当时, ,所以,当时, ,当时, ,因此,答案为.【考点】导数与最值3.设函数，则的极小值点为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，令得解得，又因为函数的定义域为，当时，，所以时为减函数；当时，，所以时为增函数；所以当时函数取得极小值；【考点】导数在求函数极值中的应用；4.已知函数，且是函数的极值点。

给出以下几个问题：①；②；③；④其中正确的命题是__________。

（填出所有正确命题的序号）【答案】①③【解析】的定义域为，，所以有，所以有即即，所以有；因为，所以有。

【考点】导数在求函数极值中的应用5.已知函数在处有极大值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若过原点有三条直线与曲线相切，求的取值范围；（Ⅲ）当时，函数的图象在抛物线的下方，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）通过对函数f（x）求导，根据函数在x=2处有极值，可知f'（2）=0，解得a的值．（Ⅱ）把（1）求得的a代入函数关系式，设切点坐标，进而根据导函数可知切线斜率，则切线方程可得，整理可求得b的表达式，令g'（x）=0解得x1和x2．进而可列出函数g（x）的单调性进而可知-64＜b＜0时，方程b=g（x）有三个不同的解，结论可得．（Ⅲ）当x∈[-2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x-9x2的下方，进而可知x3-12x2+36x+b＜1+45x-9x2在x∈[-2，4]时恒成立，整理可得关于b的不等式，令h（x）=-x3+3x2+9x+1，对h（x）进行求导由h'（x）=0得x1和x2．分别求得h，h（-1），h（3），h（4），进而可知h（x）在[-2，4]上的最小值是，进而求得b的范围．试题解析：（Ⅰ），或，当时，函数在处取得极小值，舍去；当时，，函数在处取得极大值，符合题意，∴．（3分）（Ⅱ），设切点为，则切线斜率为，切线方程为，即，∴．令，则，由得，．函数的单调性如下：↗极大值↘极小值↗∴当时，方程有三个不同的解，过原点有三条直线与曲线相切．（8分）（Ⅲ）∵当时，函数的图象在抛物线的下方，∴在时恒成立，即在时恒成立，令，则，由得，．∵，，，，∴在上的最小值是，．（12分）【考点】等比关系的确定；利用导数研究函数的极值．6.已知函数，在点处的切线方程是（e为自然对数的底）。

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函数的最值与导数
一、选择题
1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( )
A ．等于0
B ．大于0
C ．小于0
D ．以上都有可能 [答案] A
[解析] ∵M ＝m ，∴y ＝f (x )是常数函数
∴f ′(x )＝0，故应选A..
3．函数y ＝x 3＋x 2－x ＋1在区间[－2,1]上的最小值为( )
A.2227
B ．2
C ．－1
D ．－4 [答案] C
[解析] y ′＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1)
令y ′＝0解得x ＝13
或x ＝－1 当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝－1时，y ＝2；
当x ＝13时，y ＝2227
；当x ＝1时，y ＝2. 所以函数的最小值为－1，故应选C.
8．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154
，则a 等于( ) A ．－32
B.12 C ．－12
D.12或－32
[答案] C
[解析] y ′＝－2x －2，令y ′＝0得x ＝－1.
当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意．
当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上单调递减，
最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154
， 解得a ＝－12或a ＝－32
(舍去)． 9．若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是
() A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3
B．－3<k<－1或1<k<3
C．－2<k<2
D．不存在这样的实数
[答案] B
[解析]因为y′＝3x2－12，由y′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－2<k＋1或k－1<2<k＋1，解得－3<k<－1或1<k<3，故选B.
10．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是() A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)
[答案] B
[解析]∵f(x)＝x3＋ax－2在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立
即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立
又∵在[1，＋∞)上(－3x2)max＝－3
∴a≥－3，故应选B.
二、填空.
14．f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝________.
[答案]32
[解析]f′(x)＝3x2－12
由f′(x)>0得x>2或x<－2，
由f′(x)<0得－2<x<2.
∴f(x)在[－3，－2]上单调递增，在[－2,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增．
又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，
f(3)＝－1，
∴最大值M＝24，最小值m＝－8，
∴M－m＝32.
1．（本小题满分12分）已知c bx ax x x f +++=23)(，在1=x 与2-=x 时，都取得极值。

（Ⅰ）求b a ,的值； （Ⅱ）若[]2,3-∈x 都有c 的取值范围。

【答案】（Ⅰ）a ＝
，b ＝－6. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由题设有b ax x x f ++=23)(2'=0的两根为2,1-==x x ， a ＝，b ＝－6. （6分）
（Ⅱ）当[]2,3-∈x 时，由（1）得有{})1(),3(m in )(min f f x f -=，（8分）
所以由题意有min )(x f ＝－（10分）
（12分）
考点：函数导数求极值，最值
点评：不等式恒成立转化为求函数最值
2，x x x g ln )(+=，其中0>a 。

（1）若1=x 是函数)()()(x g x f x h +=的极值点，求实数a 的值。

（2）若对任意的1x ，[]e x ,12∈（e 为自然对数的底数）都有)()(21x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围。

【答案】（1（2）a 的取值范围为【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的求解极值和最值的运用。

（10，∞+） （1分）
1=x 是)(x h 的极值点0)1('=∴h
（2）对任意的1x ，[]e x ,12∈都有)()(21x g x f ≥成立⇔对任意1x ，[]e x ,12∈都有[][]max min )()(x g x f ≥，运用转化思想来求解最值即可
5．已知函数3()3()f x x ax x =-∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的极小值；
（Ⅱ）若直线0x y m ++=对任意的m ∈R 都不是．．．曲线()y f x =的切线，求a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）)(x f 的极小值为2)1(-=f . 单调性和极值问题，以及导数的几何意义求解切线方程的综合运用。

（1）利用当a=1，确定解析式然后求解导数，分析单调区间，得到其极值。

（2）因为要使直线对于任意的ms 实数，x+y+m=0都不是曲线的切线，说米呢了导数值大于其斜率值 解：（Ⅰ）因为当1=a 时，33)(2-='x x f ，令0)(='x f ，得1x =-或1=x . 当(1,1)x ∈-时，0)(<'x f ；当(,1)(1,)x ∈-∞-+∞时，0)(>'x f .所以)(x f 在(1,1)-上单调递减，在[)(,1],1,-∞-+∞上单调递增. 所以)(x f 的极小值为2)1(-=f .
（Ⅱ）因为2()333f x x a a '=--≥， 所以，要使直线0=++m y x 对任意的m ∈R 总
不是曲线)(x f y =的切线，当且仅当a 31-<-，即。

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