函数的最值与导数测试题

函数的最值与导数

一、选择题

1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( )

A ．等于0

B ．大于0

C ．小于0

D ．以上都有可能 [答案] A

[解析] ∵M ＝m ，∴y ＝f (x )是常数函数

∴f ′(x )＝0，故应选A..

3．函数y ＝x 3＋x 2－x ＋1在区间[－2,1]上的最小值为( )

A.2227

B ．2

C ．－1

D ．－4 [答案] C

[解析] y ′＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1)

令y ′＝0解得x ＝13

或x ＝－1 当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝－1时，y ＝2；

当x ＝13时，y ＝2227

；当x ＝1时，y ＝2. 所以函数的最小值为－1，故应选C.

8．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154

，则a 等于( ) A ．－32

B.12 C ．－12

D.12或－32

[答案] C

[解析] y ′＝－2x －2，令y ′＝0得x ＝－1.

当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意．

当－1

最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154

， 解得a ＝－12或a ＝－32

(舍去)． 9．若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是

() A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3

B．－3

C．－2

D．不存在这样的实数

[答案] B

[解析]因为y′＝3x2－12，由y′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－2

10．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是() A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)

C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)

[答案] B

[解析]∵f(x)＝x3＋ax－2在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立

即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立

又∵在[1，＋∞)上(－3x2)max＝－3

∴a≥－3，故应选B.

二、填空.

14．f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝________.

[答案]32

[解析]f′(x)＝3x2－12

由f′(x)>0得x>2或x<－2，

由f′(x)<0得－2

∴f(x)在[－3，－2]上单调递增，在[－2,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增．

又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，

f(3)＝－1，

∴最大值M＝24，最小值m＝－8，

∴M－m＝32.

1．（本小题满分12分）已知c bx ax x x f +++=23)(，在1=x 与2-=x 时，都取得极值。 （Ⅰ）求b a ,的值； （Ⅱ）若[]2,3-∈x 都有c 的取值范围。

【答案】（Ⅰ）a ＝

，b ＝－6. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题设有b ax x x f ++=23)(2'=0的两根为2,1-==x x ， a ＝，b ＝－6. （6分）

（Ⅱ）当[]2,3-∈x 时，由（1）得有{})1(),3(m in )(min f f x f -=，（8分）

所以由题意有min )(x f ＝－（10分）

（12分）

考点：函数导数求极值，最值

点评：不等式恒成立转化为求函数最值

2，x x x g ln )(+=，其中0>a 。 （1）若1=x 是函数)()()(x g x f x h +=的极值点，求实数a 的值。

（2）若对任意的1x ，[]e x ,12∈（e 为自然对数的底数）都有)()(21x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围。

【答案】（1（2）a 的取值范围为【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的求解极值和最值的运用。

（10，∞+） （1分）

1=x 是)(x h 的极值点0)1('=∴h

（2）对任意的1x ，[]e x ,12∈都有)()(21x g x f ≥成立⇔对任意1x ，[]e x ,12∈都有[][]max min )()(x g x f ≥，运用转化思想来求解最值即可

5．已知函数3()3()f x x ax x =-∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的极小值；

（Ⅱ）若直线0x y m ++=对任意的m ∈R 都不是．．．曲线()y f x =的切线，求a 的取值范围.

【答案】（Ⅰ）)(x f 的极小值为2)1(-=f . 单调性和极值问题，以及导数的几何意义求解切线方程的综合运用。

（1）利用当a=1，确定解析式然后求解导数，分析单调区间，得到其极值。 （2）因为要使直线对于任意的ms 实数，x+y+m=0都不是曲线的切线，说米呢了导数值大于其斜率值 解：（Ⅰ）因为当1=a 时，33)(2-='x x f ，令0)(='x f ，得1x =-或1=x . 当(1,1)x ∈-时，0)(<'x f ；当(,1)(1,)x ∈-∞-+∞时，0)(>'x f .所以)(x f 在(1,1)-上单调递减，在[)(,1],1,-∞-+∞上单调递增. 所以)(x f 的极小值为2)1(-=f .

（Ⅱ）因为2()333f x x a a '=--≥， 所以，要使直线0=++m y x 对任意的m ∈R 总

不是曲线)(x f y =的切线，当且仅当a 31-<-，即