专题三 第1讲 等差数列与等比数列

第1讲 等差数列与等比数列

[考情分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点． 考点一 等差数列、等比数列的基本运算 核心提炼

等差数列、等比数列的基本公式(n ∈N *) (1)等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1.

(3)等差数列的求和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .

(4)等比数列的求和公式：S n

＝⎩⎪⎨

⎪⎧

a 1

(1－q n

)1－q ＝a 1

－a n

q 1－q ，q ≠1，

na 1

，q ＝1.

例1 (1)(2020·阳泉期末)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知a 1＋a 21＝0，S 14＝98，则( ) A ．a n ＝－n ＋11 B ．a n ＝－2n ＋22 C ．S n ＝n 2－7n D ．S n ＝－1

2

n 2＋14n

答案 B

解析 设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意可知，2a 1＋20d ＝0,14a 1＋91d ＝98， 解方程可得，a 1＝20，d ＝－2， 故a n ＝－2n ＋22，S n ＝－n 2＋21n . (2)已知点(n ，a n )在函数f (x )＝2x

－1

的图象上(n ∈N *)．数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝

，数列{b n }的前n 项和为T n .则T n 的最小值为________． 答案 －30

解析 ∵点(n ，a n )在函数f (x )＝2x －1的图象上， ∴a n ＝2n －1(n ∈N *)，

∴{a n }是首项为a 1＝1，公比q ＝2的等比数列， ∴S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1，

则b n ＝

n

＝2n －12(n ∈N *)， ∴{b n }是首项为－10，公差为2的等差数列， ∴T n ＝－10n ＋n (n －1)2×2＝n 2－11n ＝⎝⎛⎭⎫n －1122－121

4. 又n ∈N *，

∴T n 的最小值为T 5＝T 6＝⎝⎛⎭⎫122－121

4＝－30. 规律方法 等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a 1、公差d 或公比q .

(2)熟悉一些结构特征，如前n 项和为S n ＝an 2＋bn (a ，b 是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为a n ＝p ·q n －1(p ，q ≠0)的形式的数列为等比数列．

(3)由于等比数列的通项公式、前n 项和公式中变量n 在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．

跟踪演练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C

解析 ∵a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ， 令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，

∴{a n }是以a 1＝2为首项，2为公比的等比数列，

∴a n ＝2×2n －1＝2n .

又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25， ∴2k ＋1(1－210)1－2＝215－25，

即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)， ∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.

(2)已知等差数列{a n }的首项a 1＝2，前n 项和为S n ，若S 8＝S 10，则a 18＝________. 答案 －2

解析 设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 8＝S 10，得a 9＋a 10＝0，

所以2a 1＋17d ＝0，且a 1＝2，所以d ＝－4

17，

得a 18＝a 1＋17d ＝2＋17×⎝⎛⎭⎫－4

17＝－2. 考点二 等差数列、等比数列的性质 核心提炼

1．通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则对于等差数列，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，对于等比数列有a m a n ＝a p a q ＝a 2k . 2．前n 项和的性质：

(1)对于等差数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列；对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数情况除外)． (2)对于等差数列，有S 2n －1＝(2n －1)a n .

例2 (1)(2020·北京师范大学附属实验中学月考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 70 D ．S 15>0

答案 C

解析 由等差数列的性质及求和公式得，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7>0，S 15＝15(a 1＋a 15)

2＝15a 8<0.

又∵等差数列{a n }中，a 7>0，a 8<0，则{a n }是首项为正数的递减数列，∴S 7>S 8，S 15>S 16，故

选C.

(2)已知函数f (x )＝2

1＋x 2(x ∈R )，若等比数列{a n }满足a 1a 2 020＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋

f (a 2 020)等于( )

A ．2 020

B ．1 010

C ．2 D.1

2

答案 A

解析 ∵a 1a 2 020＝1， ∴f (a 1)＋f (a 2 020)＝

21＋a 21＋21＋a 22 020

＝21＋a 21＋21＋1a 21＝21＋a 21＋2a 21

1＋a 21＝2，

∵{a n }为等比数列，

则a 1a 2 020＝a 2a 2 019＝…＝a 1 010a 1 011＝1， ∴f (a 2)＋f (a 2 019)＝2，…，f (a 1 010)＋f (a 1 011)＝2， 即f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 020)＝2×1 010＝2 020. 规律方法 等差、等比数列的性质问题的求解策略

(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解．

(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．

跟踪演练2 (1)(2020·全国Ⅰ)设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8等于( )

A ．12

B ．24

C ．30

D ．32 答案 D

解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ＝a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3＝2

1

＝2，

所以a 6＋a 7＋a 8＝(a 1＋a 2＋a 3)·q 5＝1×25＝32.

(2)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 30＝130，则S 40等于( )