专题复习一集合与简易逻辑

专题一 集合、常用逻辑用语

第一讲：4课时

高考热点一： 集合

[命题方向] ：

1．以函数的定义域、值域、不等式的解集为背景考查集合的交、并、补的基本运算. 2.利用集合之间的关系求解参数的值或取值范围.

3.以新定义集合及集合的运算为背景考查集合关系及运算． [真题感悟，自主突破]：

1.（12年江苏）已知集合A={1,2,4}，B={2,4 ,6},则A ∪B ＝

2.（10年江苏）设集合A ＝{－1，1，3}，B ＝{ a +2，a 2+4}，且 A ∩B ＝{3}，则实数a ＝

解析：3∈B, a+2=3, a=1.

3. （09年江苏）已知集合A ＝{x |log 2x ≤2 }，B ＝(－∞，a )，若A ⊂B ，则实数a 的取值范围是(c ，+∞),其中c ＝ 解析：由2

log 2x ≤得04x <≤，

(0,4]A =；由A B ⊆知4a >，所以

c =4。

[典型题例，精析巧解]：

1．(14年山东)设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B

＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝

解析：由|x －1|＜2⇔－2＜x －1＜2，故

－1＜x ＜3，即集合A ＝(－1,3)．根据指数函

数的性质，可得集合B ＝[1,4]．

所以A ∩B ＝[1,3)．

2．已知集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜2}，

且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是

解析：由于A ∪(∁R B )＝R ， ∴B ⊆A ，∴a ≥2

3.在平面直角坐标系中，A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}，B ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0,3x －4y ≥0}，则P ＝{(x ，y )|x ＝x 1＋x 2，y ＝y 1＋y 2，(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }所表示的区域的面积为

[解析] 由x ＝x 1＋x 2，y ＝y 1＋y 2，得x 1＝x －x 2，y 1＝y －y 2，因为(x 1，y 1)∈A ，所以把x 1＝x －x 2，y 1＝y －y 2代入x 2＋y 2≤1可

得，(x －x 2)2＋(y －y 2)2≤1，

点集P 所表示的集合是以集合B ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0,3x －4y ≥0}的区域为圆心，半径为1的圆内部分，如图中阴影部分所示，其面积为5＋6＋4＋3＋π＝18＋π

[同类拓展，变式训练]：

1. 设集合A={（x,y ）|y ＝-4x +6}，B={（x,y ）

|y ＝3x -8},则A ∩B ＝

2. 设集合M={2，x 2}，N ={2，x},若M =N ，

则x ＝

3. 设集合A ＝{x ||x －a|＜1,x ∈R }，B ＝{ x |1

＜x ＜5,x ∈R }，若A ∩B ＝

,则实数a 的取值范围是 4.已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝49－x 2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋m }，且A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________

解析：集合A 表示以原点为圆心，7为半径的圆在x 轴及其上方的部分，A ∩B ≠∅，表示直线y ＝x ＋m 与圆有交点，作出示意图可得实数m 的取值范围是[－7，7 2 ]．

高考热点二 命题及逻辑连结词

[命题方向]

1．命题的四种形式及命题的真假判断.

2．.复合命题的真假判断，常与函数、三角、解析几何不等式结合． [真题感悟，自主突破]： 1 (12年湖南)命题“若α＝

4

π

，则tan α＝1”的逆否命题是

解析：由命题与其逆否命题之间的关系知，逆否命题是：若tan α≠1，则α≠

4

π. 2． (14年陕西)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，原命题的逆命题为 ，是 命题。（填真或假） 解析：当z 1＝1，z 2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以是假的，故否命题也的 3．(14年辽宁)设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是

①p ∨q ②p ∧q ③ (

p )∧

(

q )④

p

∨

(

q )

解析：如图，若a ＝A 1A →，b ＝AB →，c ＝B 1B →

，则a·c ≠0，命题p 为假命题；显然命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．. [典型题例，精析巧解]：

1．命题：“若x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题是

[解析] ： (1)∵“－1＜x ＜1”的否定是x ≥1，或x ≤－1.∴逆否命题为：若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1.

2．命题A ：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不经过第四象限．那么命题

A 的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中假命题的个数是

[解析] ：易知命题A 是真命题，其逆否命题也是真命题，A 的逆与否命题都是假命题． 3．设p ：关于x 的不等式ax ＞1的解集是{x |x ＜0}；q ：ax 2－x ＋a ＞0恒成立，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，则实数a 的取值范围是________． [解析]：根据指数函数的单调性，可知命题p 为真时，设实数a 的取值集合为P ，则P ＝{a |0＜a ＜1}．对于命题q ：当a ＝0时，

不等式为－x ＞0，解得x ＜0，显然不成立；当a ≠0时，不等式恒成立的条件是

⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＞0，Δ＝(－1)2－4a ×a ＜0，解得a ＞1

2

.综上，命题q 为真时，设a 的取值集合为Q ，则Q ＝⎩

⎨⎧

⎭

⎬⎫a |a ＞12.由“p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命

题”可知命题p ，q 一真一假，设U 为实数集，当p 真q 假时，a 的取值范围是P ∩(∁U Q )

＝{a |0＜a ＜1}∩⎩

⎨⎧

⎭

⎬⎫a |a ≤12＝⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫a |0＜a ≤12；当

p 假q 真时，a 的取值范围是(∁U P )∩Q ＝{a |a ≤0或a ≥1}∩⎩

⎨⎧

⎭

⎬⎫a |a ＞12＝{a |a ≥1}．综

上，a 的取值范围是⎩

⎨⎧

⎭

⎬⎫a |0＜a ≤12∪{a |a ≥1}

＝⎝⎛⎦

⎤0，1

2∪[1，＋∞)． [同类拓展，变式训练]： 1. 命题：“若f(x)是奇函数，则f(-x) 是奇函数”的否命题是__________ 2．有下列命题： p ：函数 f (x )＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π； q ：已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(－1，λ2)，c ＝(－1,1)，则(a ＋b )∥c 的充要条件是λ＝－1；其中所有的真命题是