高考立体几何大题及答案(理)

1.如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =

，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60。

令狐采学

（I ）证明：M 是侧棱SC 的中点；

()II 求二面角S AM B --的大小。

2.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E 分别为AA1、B1C 的中点，DE⊥平面BCC1（Ⅰ）证明：AB=AC （Ⅱ）设二面角A-BD-C 为60°,求B1C 与平面BCD 所成的角的大小

3.如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，

,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平面ABE 所成角的

正弦值．

4.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方

形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当

A C

B A 1 B 1

C 1 D

E

2

PD AB

=且E为PB的中点时，求AE与平面PDB 所成的角的大小.

5.如图，在四棱锥P ABCD

-中，底面ABCD

是矩形，PA⊥平面ABCD，4

PA AD

==，

2

AB=．以BD的中点O为球心、BD为直

径的球面交PD于点M．

（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；

（2）求直线PC与平面ABM所成的角；

（3）求点O到平面ABM的距离．

6.如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，,,45

AB AE FA FE AEF︒

==∠=（I）求证：EF BCE

⊥平面；（II）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥BCE

平面

（III）求二面角F BD A

--的大小。

7.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的

点，且DE＝λa(0<λ≦1). (Ⅰ)求证：对

任意的λ∈（0、1），都有AC⊥BE:O

A

P

B

M

(Ⅱ)若二面角C-AE-D 的大小为600C ，求λ的值。

8.如图3，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB=4, 17AA =,点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E.（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面11ACC A ;（Ⅱ）求直线AD 和平

面1A DE 所成角的正弦值。

9.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ︒==∠=

（I ）求证：EF BCE ⊥平面；

（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，

求证：PM ∥BCE 平面

（III ）求二面角F BD A --的大小。

10.如题（18）图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，2BAD π

∠=，2CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，3,7FC ED ==．求：

（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离；

（Ⅱ）二面角F AD E --的平面角的

正切值．

11．如图，四棱锥P­ABCD 中，底面

ABCD 为平行四边形，∠DAB＝60°，

AB ＝2AD ，PD⊥底面ABCD ．

(1)证明：PA⊥BD；

(2)设PD ＝AD ，求二面角A －PB －C 的余弦值． 12（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，

PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点

（1）

证明：PE ⊥BC （2） 若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA 与平面

PEH 所成角的正弦值

参考答案

1、【解析】（I ）解法一：作MN ∥SD 交CD 于N ，作NE AB ⊥交AB 于E ，

连ME 、NB ，则MN ⊥面ABCD ，

ME AB ⊥,NE AD ==设MN x =，则NC EB x ==,

在

RT MEB ∆中，60MBE ∠=︒ME ∴=。

在RT MNE ∆中由222ME NE MN =+2232x x ∴=+

解得1x =，从而12MN SD =

∴M 为侧棱SC 的中点

M.

解法二:过M作CD的平行线.

（II）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。

过M作MJ∥CD交SD于J,作SH AJ

⊥交AJ于H,作⊥交AM于K,则JM∥CD,JM⊥面SAD,面SAD⊥HK AM

面MBA,SH⊥面AMB∴SKH

∠即为所求二面角的补角.

法二：利用二面角的定义。在等边三角形ABM中过点B作BF AM

⊥交AM于点F，则点F为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证GF AM

∠

⊥，则GFB 即为所求二面角.

解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz，则(S

0,0,2

A。

),

B

C

0,2,2

)2,0,0(

),

2,0,0(

(

),