2016江苏省高考数学19题别解

2016江苏省高考数学19题别解

19（本小题满分14分）

已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠．

⑴ 设2a =，12

b =

． ① 求方程()2f x =的根； ② 若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值； ⑵ 若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值．

解（1）① 略

② 由题意得221122622x x x x m ⎛⎫+

+- ⎪⎝

⎭≥恒成立，令122x

x t =+，则由20x >

可得2t =≥，此时24t mt -+≥0在2t >恒成立，设2()4g t t mt =-+， 当0∆>有

22

m

≤，解得4m <- 当0∆≤ 得44m -≤≤

综上4m ≤，因此实数m 的最大值为4。

（2）解一 因为()()2g x f x =-有零点，即2x x b a =-，知20x a ->，两边取对数

ln ln(2)x

x b a =-，设()l n l n (2)x

hx x b a =--

ln (ln ln )2ln ()ln 22x x x x

a a a a

b b

h x b a a -+'=+=

--， 设()(ln ln )2ln x t x a a b b =-+，则()ln (ln ln )x t x a a a b '=-，由 01a <<，1b >可得ln 0a <，ln

0a

b

<，0x a >， ()0t x '>，()t x 单 调递增， 函数()t x 存在0x ，当02ln ln ln ln ln b b a x a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭=时()00t x =，当 0(,),()0x x t x ∈-∞<，当0(,),()0x x t x ∈+∞>，又20x

a ->，即在

0(,),()0x x h x '∈-∞<，当0(,),()0x x h x '∈+∞>，函数()h x 在0(,)x -∞单调递减，在0(,)x +∞

单调递增，故函数()h x 在0x x =有最小值，而函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，即函 数()h x 有且只有1个零点，而函数()h x 在0x x =有最小值，因此只能是0x 是函数()h x 的零 点，又(0)0h =，，因此00x =，得02ln ln ln ln ln b b a x a

⎛⎫ ⎪-⎝⎭==0，

即2ln 1ln ln b

b a

=-，则1ab =．

解二因为()()2g x f x =-有零点，即20x x b a +-=，设()2x x h x b a =+-

()ln ln l x x h x a a b b '=+，函数()t x 存在0x ，即0ln log ()ln b a

a

x b

=-

时,()00t x =，当0(,),()0x x h x '∈-∞<，当0(,),()0x x h x '∈+∞>，函数()h x 在0(,)x -∞单调递减，在0(,)x +∞单调递增，故函数()h x 在0x x =有最小值，因为函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，即函数()h x 有且只有1个零点，又函数()h x 在0x x =有最小值，因此只能是0x 是函数()h x 的零点，又(0)0h =，，因此00x =，得0ln log ()ln b a

a x

b =-

=0，即ln 1ln a

b

-=，则1ab =．

解三 变形：因为()()2g x f x =-有零点，即2x x b a =-，知20x a ->，两边取对数得

ln ln(2)x x b a =-，

设函数：设()ln g x x b =,()ln(2)x h x a =-,

研究函数的性质; ln ()2x x

a a

h x a

-'=-，由01a <<， 有()0h x '>,即函数()h x 在R 上单调递增， 又22

2ln ()0(2)x x a a

h x a -''=

<-，函数()h x 的图象上凸 画函数图像:又0)0(=h 。故()ln(2)x h x a =-的图象是过（0，0）的曲线C ，曲线C 上的点随着x 的增大y 值增大且图像上凸；()ln g x x b =的图象是过（0，0）且斜率为ln b 的直线L ，如图。

列式求解；因为函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，即函数()h x 与函数()g x 的图象有只有1个公共点，又两个函数图象都过（0,0），且函数()ln(2)x h x a =-单调递增图象上凸，则曲线C 与直线L 切于原点，故ln (0)b h '=，即ln ln b a =-，则1ab =．