线性方程组单元练习题
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线性方程组单元练习题
1(96年，数学一，6分).⎪⎩
⎪⎨⎧=++=-+=++的基础解系求齐次方程组00054332152
1x x x x x x x x x 分析：求基础解系分三步：系数矩阵行变换到最简，写出通解方程组，自由变量取定值。
.10101,00011,10,01;0.,,235)(010001010010011~010001010010011~11100001111001121524
5
352152⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎩⎪
⎨⎧==--==-=-⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ξξ则基础解系为通解方程组为：自由变量为解：x x x x x x x x x x A R n
2.(98年，数学一，5分)
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++的通解，并说明理由
试写出线性方程组的一个基础解系为
已知线性方程组0
00)(;),,(,),,(,),,(000)(22,221122,222212122,12121112,212,222212,1121122,221122,222212122,1212111n n n n n n
n n n T
n n n n T n T n n n n n n n
n n n y b y b y b y b y b y b y b y b y b B b b b b b b b b b x a x a x a x a x a x a x a x a x a A T
n n n n T n T n T T T T T T T a a a a a a a a a n B By A A AB BA AB B Ax B B B B A A ),,,(,),,,(,),,,()(0,0)(0
0)()(2,212,222212,11211 个解的一组方程组的解。由此得到的每一行是的每一列即又满足的解，所以的每一列都是即的每一行。由于的系数矩阵为，的系数矩阵为解：设方程组=∴====,
,)(2)(A ,)()()(),,(,),,(,),,(2,212,222212,11211线性无关的行向量组即）的解的结构由（的基础解系，故是由于A n S R n A R n S R B R A b b b b b b b b b A A T n n n n T n T n =-===
是任意常数其中的通解为：
程组空间的一组基。所以方的解的行向量是所以的解集是又因为方程组n T n n n n n T n T n B k k k a a a k a a a k a a a k B B A n B R n S R B ,,,,
),,,(),,,(),,,()()(,)(2)()(212,212,2222122,112111 +++=-=3.(04,数学一，9分)设有齐次线性方程组
非零解，并求其通解。
为何值时，该方程组有试问a n x a n nx nx x x a x x x x a n n
n )2(,0
)(02)2(20
)1(212121≥⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧=++++=++++=++++ 解：令系数矩阵为B.
.
0,,0,02
)
1(,
)2)1((00
001
11)2)1((222111)2)1((222111,1)(.222111,000000222111222
1111
，的特征值为其中＋系数矩阵+∴+-=+-=------+-
=---------=
-∴=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+=∴⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-n n B n n n n n
n
n
n n n n
n
B E B R n n n B B aE A a a a n n n a n n n a a
n λλλ
λλλλλλλλλ
,]2
)1([.,,,2)
1(,1
-++
=∴++∴+=n a n n a A a a a n n a A B aE A 的特征值为
n n a a A n A R AX )1(2
1
00)(0+-==⇔=⇔<⇔=或有非零解
1
1221112121,)1,,0,0,1(,,)0,,1,0,1(,)0,,0,1,1(,0000000111~2221110---+++-=-=-==+++⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==n n T n T T n k k k x x x n n n A a ξξξξξξ
方程组通解为：
得基础解系为：
通解方程为：时，
()为任意常数。通解为＝
得基础解系令自由变量有一个通解方程组为：时，k k n x x n A R x nx x x x x n n a n n a a na a a a a n n n a a
A n n a T n ,,,,2,1,1,,1)(,0
030210012000~100120021~10012111~002111~222
1112)1(1113
121ξξ
=-=⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧=+-=+-=+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--++++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-= 4.(89,数学一，6分)
形式
有解，并求出解的一般为何值时，线性方程组问⎪⎩⎪
⎨⎧+=+++=++=+32462243
2132131
λλλλx x x x x x x x
解：对增广矩阵进行初等行变换
方程组有无穷多组解。
此时方程组有解,32),()(.1,01),()(100023210101~3421023210101~324162214101<====+-⇔=⇔⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++b A R A R b A R A R λλλλλλλλλλλ