6-2第六讲：带电体系的静电能、带电体在外电场中的能量

f F 1 W 1 ( q2 )
4R2 4R2 R 4R2 R 8 0 R
1
4R2
q2
8 0R2
1
2 0
(
q
4 0
R2
)2
2 e
2 0
2013/3/13
北京大学物理学院王稼军编写
问题：
若先将带电球壳自能用电荷面密度表示
W自
q2
8 0R
4R3 2 0
(
q
4R
2
)2
4R3 2 0
e2
f
F
第六讲
带电体系静电能 带电体系在外电场中的能量 唯一性定理 对应录像11、12
2013/3/13
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带电体系的静电能
p292/p54 4-66(1-63)
点电荷之间的相互作用能 电荷连续分布情形的静电能 电荷或电荷组在外电场中的能量 虚功原理 电容器储能
2013/3/13
北京大学物理学院王稼军编写
2013/3/13
北京大学物理学院王稼军编写
两个点电荷的情形
先移动q1 到M点，———外力不做功
再移动q2 到N点，———外力做功
q1 单 独 存 在 时N的点电势
N
N
A' A F12 d l q2 E1 d l q2U12
交换移动次序可得
N
N
A'' A F 21 dl q1 E 2 dl q1U21
静
dq(U U ) u(t)dq
电
能
We
Q
u(t)dq
0
Q q(t) dq 1 Q2
0C
2C
电量 0——>Q
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电容器储能公式的推广
孤立导体
Q=CU
We
1 2
Q2 C
1 CU 2 2
1 QU 2
一组导体1、2、…、n
1
We 2
n i
1 QiUi 2
/p57 (1.57)、(1.58)、(1.59)
We
1
4
0
n i1
qj qi r i1 j1 ji
n i1
qi U ji
i1 j1
(1)
We
1
8 0
n i1
n qiq j r j1, ji ji
(2)
Ui:除 点 电 荷 i 外 其 它 点
We
1 2
n i1
qiU i
电荷单独存在时qi 所在
(3) 处的电势总和
2013/3/13
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电荷连续分布情形的 静电能 p268/p59
We
1 2
n i 1
qiU i
将上式推广到电荷连续分布的情形，假定电荷是体
分 多电布荷，元体，密其度电为量e，q把i=连e续Vi分，布则的有带电体分割成许
总静电能
We
1 2
i
e ViU i
静电场
程
0
＋边界条件 的边值
or 2U＝0 拉 普 拉 斯 方 程
问题
2013/3/13
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如图所示，孤立球形导体空
腔本身带正电Q，内半径为R1 ，外半径为R2，在其球心处 放置一点电荷，带正电q ，
求空腔内、外表面的电荷分 布和和空腔内外各点的电场 分布
例题
确定电荷分布：
一极板上电子 （拉出 e为正）
另一极板上 （得电子为
负）
电源做功 消耗化学能
2013/3/13
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设电容器的电容为C，某一瞬时极板带电量绝对值 为q(t)，则该瞬时两极板间电压为 u(t) q(t)
C
此时在继续将电量为-dq的电子从正极板—>负 极板，电源作多少功？
dA' dA dWe dq(U U )
不是相互
作用能
We
1 2
eUdV
Vi 0
带电体各部分电荷
(4) 在积分处的总电势
线电荷：We
1 2
eUdl；面 电 荷：We
1 2
eUdS
2013/3/13
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P267/p58例题15/17：一个边长为b的立 方体各顶点放一个负点电荷-e，在立方 体中心放一个点电荷 +2e，求体系 相互 作用能We
Q12 2R1
Q22 2R2
Q1Q2 R2
相互作用能
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Q2自能
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例题三：原子核静电能——近似模型为均匀 带电球体，半径为R，带电量为Q，球外真空
E
1
4
1
0
4 0
Q
R3 Q
r2
r， r
r R
R U
Q
81
0
(3 R Q
4 0 r
r2 R3
)
We
1 2
利用(4.109)式，从这些电荷中，不重复地选出各种可 能的配对，则总相互作用能是这些配对能量之和。
解：相邻顶点之间的距离为b
面对角线长度为 2b
12对 12对
12e2k / b 12e2k /
1
4 0
2b
体对角线长度为 3b 4对 4e2k / 3b
中心到顶点距离 3b / 2 8对 8(2e2 )k / 3b / 2
4R 2
1
4R2
W R
1
2 0
R
(4R
2 e
)
4 2 0
2 e
与前面得到的不同，那个对？为什么？
求导过程中认为电荷密度不变，对吗？
2013/3/13
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电容器储能 p57/p64
电容器的能量是如 何储存起来的？
电容器极板上的电 荷是一点一点聚集 起来的，聚集过程 中，外力克服电场 力做功 ——电容 器体系静电能。
能与电荷分布情况有关
实际上一个电子的质量与它的精度自能有关，按 相对论的质能关系可估算出电子的经典半径为
rc
e2
4 0mc2
2.8 1015 m
2013/3/13
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电荷或电荷组在外电场中的能量
电荷或电荷组（最简单பைடு நூலகம்是偶极子）在其他带 电体产生的电场（外场）中具有电势能
用虚功原理：虚设位形变化时，电（或磁） 场力做虚功——求力
2013/3/13
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例题:利用虚功原理证明均匀带电球壳在
单位面积上受到的静电排斥力为
2 e
/
2 0
一个总电量为q，半径为R 均匀带电的球壳的自能为
设想球面稍有膨胀
则单位面积所受的斥力
W自
q2
8 0
R
R R R
2013/3/13
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方法二：用p268（4.112）/p59(1.60)式
带电体各部分电荷
We
1 2
UdV
在积分处的总电势
We
1 2
UdS
1 2
S1
1U1dS
1 2
S2
2U2dS
Q1自能
U1
1
4 0
Q1 R1
Q2 R2
，U 2
1
4 0
Q1 Q2 R2
We
1
4 0
i
Ui edS
Si
第i个电荷的
第i个电荷
电量
的电势
2013/3/13
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静电场边值问题的 唯一性定理
例题
典型的静电问题
给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体
的形状、相对位置（统称边界条件），求空间
泛
电场分布，即在一定边界条件下求解
定 方
2U 泊 松 方 程 ,
Ui
U (Pi )
1
4 0
n qj r j1, ji ji
4.108 /1.59
Ui: 除 点 电 荷 i 外 其 它 点电荷单独存在时qi 所在处的电势总和
2013/3/13
A'
1 2
n i 1
qiU i
(3)
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点电荷组的相互作用能 p266/p57
点电荷组的静电势能We等于克服电场力所做的功A’ 相应的表达式为p266(4.109)、(4.110)、(4.111)
qj rij
个电荷在 第i 个电 荷所在位 置Pi处产 生的电势
点 电 荷
组的总 功应为
n
A' A'1 A'2 A'3 A'n A'i i 1
n i1
qi U ji
i1 j1
1
4 0
n i 1
i1 qiq j r j1 ji
(1)
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P266 4.106式 p56 1.54
第二种表达式
可以证明，静电能值与电荷移动的次序无关
q jUij
qiU ji
1
4 0
qiq j rij
q jUij
qiU ji
1 2 (q jUij
qiU ji )
A'
1 2
n i 1
qi
n
U
j1, ji
ji
1
8
0
n i 1
n qiq j r j1, ji ji
4.107
(2) /1.55
一个电荷在外电场中的电势能 p270
W (P) qU(P)
外场中P点的电势
一个电偶极子在外电场中的电势能
W qU (r) qU (r l)
U (r l) U (r) U l l
U(r) l U
U (r)
U
(r
l)
W ql U P U p E(r) pE cos
点电荷之间的相互作用能 p264/p54
定义静电能为零的状态
设想带电体系中的电荷可以无限分割为许多小 单元，最初认为它们分散在彼此相距很远的位 置上，规定这种状态下系统的静电能为零。
——We=0
静电能We：
把体系各部分电荷从无限分散的状态聚集成现 有带电体系时外力抵抗电场力所做的全部功
A’=-A （电场力做功）
利用上述关系可以给出带电体系的静电能与体系 受力的关系
2013/3/13
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平移
设想带电体系有一微小位移 l
A F l Fll W
电场力在 l方向上的投影
转动
l 0
Fl
W l
设想带电体系绕某一方向的轴作微小的角位移
力矩在转轴 方向的投影
A L
W
0
L
W
2013/3/13
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例题二：两个半径为R1，R2的同
心球壳，均匀带电，电量分 别
为 Q1、Q2,求带电体系的相互作
用能。
方法一：用p266（4.111）/p57 (1.59)式
We
1 2
n i 1
qiU i
1 2
(Q1U1
Q2U 2 )
1 Q1Q2
4 0 R2
Ui：除点电荷 i外其它点电 荷单独存在时qi所在处的电 势总和
我们可以先分别求出电荷q 、-q及Q+q单独
存在时在空间各区域产生的场强分布，再利 用场强叠加原理，求出空间各区域的场强分 布
2013/3/13
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设0 空间某0 点到球壳中心的距离为r，则q 、-q、 Q0 +q及0它们在各区域的叠加结果为：
点电荷 q
r R1
1q
4 0 r2
2013/3/13
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空腔内表面一定会感应出与点电荷 q等量的负电荷q，外表面所带总电量为Q+q。由于空腔具有球对称
性，且点电荷处于球心，因此内、外表面的电荷均 匀分布在球面上。
2013/3/13
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求场强分布
电荷分布决定电场分布，那么剩下的问题就 是根据已知的电荷分布，用库仑定律和场强 叠加原理来求各区域的场强。
2013/3/13
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带电体系在外场中受的力或力矩与静电
势能的关系——虚功原理 p271/p61
设处在一定位形的带电体系的电势能为W，当它 的位形发生微小变化
电势能将相应地改变W 电场力做一定的功A
设系统无能量耗散和补充，能量守恒
A= -W
电场力的功等于电势能的减少
总相 互作
用能
we
1
4 0
12e2 (
b
12e2 2b
4e2 3b
32e2 )
3b
0.344e2
0b
2013/3/13
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自能和相互作用能
相互作用能：把每一个带电体看作一个不 可分割的整体，将各带电体从无限远移到 现在位置所做的功等于它们的相互作用能。
自能：把全部电荷从无限分散的情况下聚 集到带电体上的过程中外力克服电场力所 做的功。
eUdV
1
4 0
3Q2 5R
或We
e dV
1 2
0
E
2
dV
1
4 0
3Q2 5R
2013/3/13
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讨论：
We
1
4
0
3Q2 5R
若令R 0
带电球缩成点电荷，显然点电荷的自能为无穷 如果把电子看成点电荷，它将具有无穷大的自能 理论上造成“发散困难” 如果把电子看成有一定半径的带电体，则它的自
1q
R1 r R2 4 0 r 2
内表面-q
0
1 q
4 0 r2
外表面Q+q
0
0
叠加结果
1q
4 0 r 2
0
r R2
1q
4 0 r 2
1 q
4 0 r 2
1 Qq
4 0 r 2
1 Qq
4 0 r 2
表中列出的叠加结果就是达到静电平衡以后，空腔内
外各区域的场强分布。
2013/3/13
北京大学物理学院王稼军编写
把无限分散的多个点电荷逐个从无穷远移至相
应位置，计算外力所做的功
代表第j
A'1 0, A'2 q2U12, A'3 q3(U13 U23)
i 1
A'n qn (U1n U2n Un1,n ) A'i qi U ji j 1
U ji
U j (Pi )
Pi
Ej
dl
1
4 0
q2 单 独 存 在 时 M点的电势
q2U1
q1U 2
1
4 0
q1q2 r
A'
A' '
q1 单 独 存 在 时 q2 处的电势
系统的静电能
2013/3/13
We
1
4 0
q1q2 r
1 2 (q1U 2
q2U1)
q2 单 独 存 在 时
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在q1处的电势
多个点电荷的情形 p265/p56