6-2第六讲：带电体系的静电能、带电体在外电场中的能量
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静电场的能量ppt课件
Q2
We
8π
( R1
R2
)
2
4π
R2 R1
R2 R1
讨论
（1）W e
Q2 2 C C
4π
R2 R1 （球形电容器电容） R2 R1
（2）以上为求电容器电容的第二种方法，即先求 能量，再求电容
13
例2. 一绝缘金属物体，在真空中充电达某一电势值， 其电场总能量为W0．若断开电源，使其上所带电荷
保持不变，并把它浸没在相对介电常量为 的无r
解：两球壳间的电场强度为
1Q
E 4π r2
we
பைடு நூலகம்
1 E 2
2
Q2
32 π2 r 4
R1 dr
r
R2
11
we
1
2
E2
Q2
32 π2
r4
变量
Q2
dWe wedV 8 π r 2 dr
R1 dr
r
R2
We
Q2
dWe 8 π
R 2 dr r R1 2
Q2
8π
1 (
R1
1 )
R2
12
Q2 1 1 1
E0
-0- - - - - - - - - -
Q2 W0 2C0
0 + + + + ++ + + + + + r E
-0 - - - - - - - - - - -
W
Q2
2C
Q2
2 rC0
W0
r
20
平行板电容器充电后未与电源断开 U 不变
0 ++++++++++
带电体系的静电能
解:(1)根据空腔导体的静电性质和球对称性,两空腔内表面的 电荷面密度分别是
1
Q1
4R12
和 2
Q2
4R22
又根据电荷守恒定律,导体外表面的的电量Q=Q1+Q2,由于 球对称性,导体外表面的电荷面密度是
Q1 Q2
的电容分别为
C1
0
S d
,
C2
0
S 2d
板极上带电± Q时所储的电能为
W1
1 2
Q2
0C1
1 2
Q2d
0S
，W2
1 2
Q2 2d
0S
故两极板的间距拉开到2d后电容器中电场能量的增量 为
W＝W2－W1
1 2
Q2d
0S
（2）设两极板之间的相互吸引力为F ，拉开两极板时 所加外力应等于F ，外力所作的功A=Fd ，所以
（c）圆柱电容器
C
2 0L
ln( R2 )
R1
（F）电容器的联接 （G）电容器的能量
（1）串联
1 1
C i Ci
（2）并联
C Ci
W
Q2
1 CU 2
i
1 QU
2C 2
2
(H) 点电荷系的静电能
1n W 2 i1 qiVi
4.例题
例1.如图所示,一个半径为R的中性导体球,内部有两个球 形空腔,半径分别为R1和R2,在空腔中心分别放置点电 荷Q1和Q2,试求:
F A W Q2
d d 20S
第二章小结
静电场的能量
ϕa =
Q 4πε 0 a
因此静电场总能量为
W=
Q2 8πε 0 a
方法之二:
1 v v W = ∫ E ⋅ Dd V 2 ∞
因为球内电场为零， 故只须对球外积分
2 Q 2 drdQ = W= ∫ r 2 2 2 (4πε 0 r ) 8πε 0
ε0
Q2r = . 2 8πε 0 a r
式中右边第二项散度体积分化为面积分
v v v r →∞ → 0 ∫ ∇ ⋅ (ϕD)dV = ∫ ϕD ⋅ dS
所以
1 W = ∫ ρϕdV 2
例3 求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量。 解 整个导体为等势体, 导体球的电荷分布于球 面上，方法之一:
1 1 W = ∫ ρϕdV = Qϕ a 2 2
第一项是设想体系的电 荷集中于原点上时在外 场中的能量 第二项是体系的电 偶极矩在外电场中 的能量 第三项是四极 子在外电场中 的能量
W (0 ) = Qϕ e (0 )
W
(2 )
(1)
v v = p ⋅ Ee (0 )
只有在非均匀场 中四极子的能量 才不为零
W
v 1 t = − D : ∇Ee 6
六、静电场的能量 电荷体系与 外电场的相互作用
1、静电场能量
1 v v W = ∫ E ⋅ DdV 2 ∞
由E=-∇ϕ和∇⋅D=ρ得 v v v v v E ⋅ D = −∇ϕ ⋅ D = −∇ ⋅ (ϕD) + ϕ ∇ ⋅ D v = −∇ ⋅ (ϕD) + ρϕ 因此
v 1 1 W = ∫ ρϕdV − ∫ ∇ ⋅ (ϕD )dV 2 2
代入得
3 1 3 ∂ ∂2 W = ∫ ρ ϕ e (0 ) + ∑ xi ϕ e (0) + ∑ xi x j ϕ e (0) + L dV 2! i , j =1 ∂xi ∂xi ∂x j i =1 1 ∂ ∂2 ϕ e (0 ) + ∑ Dij ϕ e (0) + L = Qϕ e (0 ) + ∑ pi 6 i, j ∂xi ∂xi ∂x j i 1 t v = Qϕ e (0 ) + p ⋅ ∇ϕ e (0 ) + D : ∇∇ϕ e (0 ) + L 6
带电体系的静电能、带电体在外电场中的能量
解：相邻顶点之间的距离为b
面对角线长度为 2b
12对 12对
12e2k / b 12e2k /
1
4 0
2b
体对角线长度为 3b 4对 4e2k / 3b
中心到顶点距离 3b / 2 8对 8(2e2 )k / 3b / 2
总相 互作
用能
we
1
4 0
12e2 (
b
12e2 2b
4e2 3b
32e2 )
静
dq(U U ) u(t)dq
电
能
We
Q
u(t)dq
0
Q q(t) dq 1 Q2
0C
2C
电量 0——>Q
2013/3/13
电容器储能公式的推广
孤立导体
Q=CU
We
1 2
Q2 C
1 CU 2 2
1 QU 2
一组导体1、2、…、n
1
We 2
n i
1 QiUi 2
i
Ui edS
U (r l) U (r) U l l
U(r) l U
U (r l )
U (r )
W ql U P U p E(r) pE cos
2013/3/13
带电体系在外场中受的力或力矩与静电
势能的关系——虚功原理 p271/p61
设处在一定位形的带电体系的电势能为W，当它 的位形发生微小变化
3b
0.344e2
0b
2013/3/13
自能和相互作用能
相互作用能：把每一个带电体看作一个不 可分割的整体，将各带电体从无限远移到 现在位置所做的功等于它们的相互作用能。
自能：把全部电荷从无限分散的情况下聚 集到带电体上的过程中外力克服电场力所 做的功。
静电场的能量
= W互 + W自
5
W互是带电系统内N个带电体之间的相互作用能， 简称为系统的互能。
W自是每个带电体的静电能之和，简称为自能。
静电能 = 自能 + 相互作用能
⑵ 点电荷的自能
设想点电荷q是由半径为R（ R → 0 ）的均匀带电
球收缩半径而成，则球内一点产生的电势为
∫ ∫ ∫ U =
∞r r E ⋅ dl =
12
例1 如图所示，在一边长为d的立方体的每个顶 点上放有一个点电荷-e，立方体中心放有一个 点电荷+2e，求此带电系统的相互作用能量 。
解：法一
8个顶点上的负电荷的相 互作用能为12对，即
e2 12
4πε 0 d
6个面上对角顶点负电荷的相 互作用能为12对，即
12 e2 4πε0 2d
−e −e
R 0
Qr 4πε 0 R 3
2
4π
r 2dr
+
ε0 2
∞ R
Q 4πε 0 r 2
2
4π
r 2dr
= 3Q2
20πε 0 R
20
例4 球形电容器的内、外半径分别为R1和R2，所带电荷为Q。 若在两球壳间充以电容率为ε的电介质，求此电容器贮存 的电场能量。
解：由高斯定理， r
w1 = 0 (r < R1)
w4 = 0 (r > R2 )
w2
=
1 ε E2 2
=
32π
q2 2ε0ε r1r 4
(R1 < r < R)
w3
=
32π
q2 2ε 0ε r 2r 4
(R < r < R2 )
6-2电场的能的性质PPT课件
基础自主温故 考点探究讲练 学科素养提升
高考总复习·物理（[基R J ）础自测]
选修3-1 第六章 静电场
2．水平线上的O点放置一点电荷，图中画出电荷周围对称分 布的几条电场线，如图所示．以水平线上的某点O′为圆心，画 一个圆，与电场线分别相交于a、b、c、d、e，则下列说法正确
的是( BC)
A．b、e两点的电场强度相同
基础自主温故 考点探究讲练 学科素养提升
高考总复习·物理（R J ）
选修3-1 第六章 静电场
一 电势和等势面
1．几种常见的典型电场的等势面比较
电场
等势面(实线)图样
重要描述
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
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电场
高考总复习·物理（R J ）
等势面(实线)图样
选修3-1 第六章 静电场
答案：－10 V －5 V －3 V －15 V －5 V 3 V 注意计算的时候电荷量代入正负
基础自主温故 考点探究讲练 学科素养提升
高考总复习·物理（R J ）
选修3-1 第六公式W＝Flcosα计算，此公式只适用于匀强电场中，可
重要描述
点电荷的电场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电 荷的电场
等量同种正点 电荷的电场
连线的中垂面上的电势为零
连线上，中点电势最低，而 在中垂线上，中点电势最高
基础自主温故 考点探究讲练 学科素养提升
高考总复习·物理（R J ）
选修3-1 第六章 静电场
特别提醒 电场线密集的地方，等差等势面也密集；电场线稀疏的地方， 等差等势面也稀疏．等差等势面的疏密表示电场的强弱．
B．a点电势低于c点电势
高二物理竞赛：电场的能量PPT(课件)
二 电场能量
W e1 2Q UQ SDU E d
W e 1 2 Q U 1 2S U 1 2 D S E d 1 2 D E V
电场能量体密度
we
We V
1 DE 2
电场能量体密度的公式适用于任何电场.
3
总电场能量 WeVdWeV1 2DEdV
在真空中 D0E W eV1 20E2dV
U U U 电场中任意一点的场强等于该点电势梯度的负值. E( i j k) + + + + + + + + + x y z 这时,整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等.
解 解法一：直接计算定域在电场中的能量.
EgradU U
电场中任意一点的场强等于该点电势梯度的负值. 电势梯度的单位为伏特/米(V/m)
13
五 静电场中的导体 导体的静电平衡 EE 0E 0
导体内电场强度 外电场强度 感应电荷电场强度
空腔内无带电体的情况 S E d S0 ，q i0
空腔内有带电体情况
S1 EdS0，qi0
空腔导体可以屏蔽外电场, 使空腔内物体不受
外电场影响.这时,整个空腔导体和腔内的电势也必
处处相等.
40r2
5
得静电场能量
We V 120E2dV 2 00 R (4Q 0 r R 3 )2 4r2 d r 2 0R (4Q 0 r2)2 4r2 d r
8Q 02R6
Rr4drQ2
0
80
dr R r2
Q2 Q2
400R 80R
3Q 2
20 0R
6
*解法二：当带电球体的半径为r时带有电量
Qr 电势零点选择方法：有限带电体以无穷远为电势零点，实际问题中常选择地球电势为零.
[新版本]《静电场中的能量》PPT教学课件-人教版物理
![[新版本]《静电场中的能量》PPT教学课件-人教版物理](https://img.taocdn.com/s3/m/2b5c111ac4da50e2524de518964bcf84b9d52d5f.png)
qUl
qUl
vy＝at＝_m__d_v_0_，t2at2＝
qUl2 _2_m_d_v_0_2_.
2难、点基：于材料的意识： [③2注、精]小文当山章的,通元细过代节写著描景名写物散为变曲作化家品描、增写剧加泰作了山家亮顶张色上可。的久日的出字，。是大按食照惟什寅么,阿顺拉序伯写人景,生物平变不化详的。？心描驰写八了表怎快样神的游胜,景李？白《大鹏赋序》中有“余昔于江陵,见天台司马子微,谓余有仙风道骨,可与神游八极 之C（.表尾1）”联之体写语会山。重翁诗要“成留语神我句鬼宿的愁又丰宿,富笔”含落“笑意龙指，蛇”，品走是味,李对精白神彩《态的草、语书动言歌作表行的达》描艺诗写术有，。“时表时现只其见淳龙朴蛇善走良”、之殷句勤,杜好甫客《的寄性李格十，二也白侧二面十表韵现》出诗“我有”“的笔流落连惊忘风返雨。,诗成泣鬼神”之句。 D赵“曾.尾惠记联 文否是王，说十到军六中队年流凯，击旋廉水后颇，只为浪有赵遏像将飞霍。舟嫖(？《姚廉”一这颇句样蔺的的相大大如意将列是才传什能》么被)？绘用像此于句麒结麟尾阁有,"独何有作"用二？字略有讽刺当政者之意。 1教微.阅学阳读工 下2具乔01：木8多,年远媒浙色体江隐，卷秋教《山案汴。和京教的材星河》，从结构上分析作品为什么先写街、再写人、后写灯。 B2（、.诗1）这歌一.下中段列的主对第要本三写诗句了的"野什理凫么解眠内和岸容赏有？析闲作,不意者正"是与确怎杜的样甫一写《项的漫是？兴( 》)中"沙上凫雏傍母眠"意象相同,诗人用笔墨略作勾勒,意象生动,跃然纸上。 23【、0课2体0后年会训天词练津中】卷描《绘线的条意之象美，》理，解文景末中引寓入情林，徽情因中的显故志事的有特何点效，果感?受毛泽东早年的博大情怀和革命壮志。 2明（.下确3）列：对词怅作语寥品中廓进对，行加问个粗苍性词茫化的大阅解地读释，和,谁有有主错创沉误意浮的的？一解当项读时是。革( 命) 运动正蓬勃发展，作者又对未来充满豪情壮志。看到如此壮丽的大好河山，不禁开始思索祖国未来的命运到底应该谁来主宰。 野尤⑥凫其原眠 是 来岸人一有物些闲语领意言导,极干老具部树个喜着性欢花，看无最上丑精级枝彩脸。的色是,专五拣位领青导年爱妇听女的商话量说去,汇探报望工丈作夫时的言一不段由，衷作,大者话没、有空一话言、半套语话的连交篇代,，实而情人少物、的水鲜分明多个;现性在就有通所过收对敛话了表。现出来了。 待D5..阅到尾读重 联下阳是面日说这，军首还队诗来凯歌就旋,菊后完花只成。有问像(题《霍。过嫖故姚人这庄样》的) 大将才能被绘像于麒麟阁,"独有"二字略有讽刺当政者之意。 D①.毛材尾泽 料 联东提运常出用用什比旧么喻体问、诗题夸的、张形关的式键手来词法反是,表映什现现么斌代；老生之活竹和的思夭想矫感、情灵.这气类,颇诗具歌栩仍栩属如古生典之诗感歌。。 D淳[典.尾熙例联 丙分运申析用至] 蜀日汉，刘予禅过宠维信扬宦。官(《终扬于州亡慢国》的) 典故,借诸葛亮遇刘备前喜欢诵读的乐府诗篇来比喻这首《登楼》,含有对诸葛武侯的仰慕之意。 皇文（帝章1）即 的结位内构，容方一要面般点：都，①要是组改指织元文材，章料称的，元主贯年要穿。内全从容文汉，。武或②帝者使起说结有是构年文清号章晰，内，后容情多的节用精集年要中号之。纪处③年，使。可行以文是富指于全变文化的。，也可以是指文章局部的。概括内容要点，就是要求我们能够准确理解文章的每一段的内 （容1、一，概） 并念导按：入照任：要务作求驱文用动占原型高文作考或文语者的文自全的己称半的是壁话叙江表事山达体，出新作来材文。料的对任好文务坏章驱直内动接容型影的作响概文分括。数主其的要实高有质低两也，种就而考是在向有作：些文定地中向方最信所关息说键概“时的 括评就和类是整”审体作题内文立容，意概其，括本若。质审还题依立然意是出材现料偏作差文那，一只切是努在力材就料是的徒基劳础而上无，功增，加审了题明立确意的如指此向 重性要任， 务那，今引天导我学们生就讲一讲个任具务体驱明动确型的作要文求该来如写何作审，题让立考意生。更好地围绕材料的内容及含意，选择最好的角度来作文。
静电能
如果电荷系是由多个带电体组成， 上式算出的能量既包括各个带电体的自能， 还包括带电体之间的相互作用能——互能
二.电容器的静电能
下面以平行平板电容器为例， 来计算电容器在带电时所具有的静电能 设电容器两极板A和B分别带电 +Q 和 -Q ，
其正极板电势为U＋，负极板电势为U－
带电电容器为连续分布电荷系统， 其静电能为 +Q A
在第 i 个点电荷处产生的总电势
2. 连续分布电荷系统的静电能
1 n W q U e i i 将连续分布的电荷分成许多电荷元， 2 i 1
再将每个电荷元当作点电荷， 就可用点电荷系的静电能公式来计算系统的静电能， 不过求和要改成积分 注意：
1 We Udq 2
上式包括了所有电荷元之间的静电相互作用能
S
-Q
B
1 We Udq 2
d
+Q 1 A We Udq 2 S 1 1 S U dq S U dq d 2 2
-Q
B
1 1 U S dq U S dq 2 2
1 1 (U U )Sdq UQ 2 2 1 1Q 1 2 We UQ CU 2 2 2 C
d1 d 2 S 0
1
d
3
0S
d
充电后：能量
1 3 S 2 2 0 W CV V 2 2d
C 3
0S
d
3 0 S 2 W V 2d
A
S
V
B
3 0 S Q CV V d
d1
d2
抽出铜板时： C
2
0S
d
Q不变
d
外界作功：
二.电容器的静电能
下面以平行平板电容器为例， 来计算电容器在带电时所具有的静电能 设电容器两极板A和B分别带电 +Q 和 -Q ，
其正极板电势为U＋，负极板电势为U－
带电电容器为连续分布电荷系统， 其静电能为 +Q A
在第 i 个点电荷处产生的总电势
2. 连续分布电荷系统的静电能
1 n W q U e i i 将连续分布的电荷分成许多电荷元， 2 i 1
再将每个电荷元当作点电荷， 就可用点电荷系的静电能公式来计算系统的静电能， 不过求和要改成积分 注意：
1 We Udq 2
上式包括了所有电荷元之间的静电相互作用能
S
-Q
B
1 We Udq 2
d
+Q 1 A We Udq 2 S 1 1 S U dq S U dq d 2 2
-Q
B
1 1 U S dq U S dq 2 2
1 1 (U U )Sdq UQ 2 2 1 1Q 1 2 We UQ CU 2 2 2 C
d1 d 2 S 0
1
d
3
0S
d
充电后：能量
1 3 S 2 2 0 W CV V 2 2d
C 3
0S
d
3 0 S 2 W V 2d
A
S
V
B
3 0 S Q CV V d
d1
d2
抽出铜板时： C
2
0S
d
Q不变
d
外界作功：
第三章 静电能2 电场的能量和能量密度 利用静电能求静电力
在这儿，我们先来分析由N个彼此绝缘的带电导体组 成的带电系统，从中选定一个导体作为受力导体，其余N1个导体作为施力导体，要求确定作用在该受力导体上的 静电力 F 。 为此，我们设所有施力导体静止，假象让受力导体 作一小位移 δ r ，则静电力所作的功为：
δA = F ⋅ δr
= (Fx ex + Fy e y + Fz ez )⋅ (δxex + δye y + δzez )
§4. 电场的能量和能量密度
1 一. 从平行板电容器的静电能入手 We = Qu 2 用电荷Q来表示静电能 从这个公式，似乎静电能只能贮存在电荷上，对没 有电荷的空间，即使有电场存在，其静电能也为零。这就 是所谓“超距作用”的观点。 二. 能量储存在哪里? 大量实验事实证明，超距作用的观点是错误的。确切 地讲，静电能应该为电场所具有，电的相互作用是通过具 有能量的电场来传递的。或者说，能量储存在电磁场中。 比如电磁波，可以脱离电荷传播到很远的地方。当我们一 打开电视机，由电磁波携带的能量就从天线输入，经过电 子线路的作用，转化成图像和声音。这个观点在随时间变 化的电磁场中得以证实。
V
1 ωe = D ⋅ E 2
2
上式既适合于各向同性的电介质，也适合于各向异性 的电介质。由上式可以看出，静电能确实是以电能密度的 形式贮存于电场之中。
说明
尽管这个式子是由特例即由平行板电容器中均匀电场 推出的，但它是普遍成立的，其和一般情况下推出的公式 完全一致。 当空间电场不均匀时，已知ω e，由积分公式可算出 总静电能：
∫
∫
式中右式的沿电滞回线的闭合回路 积分正好等于电滞回线所包围的“面 积”。这部分能量既不改变电场，又 不改变电介质的极化状态，而是转 化为热量，使电介质发热。这部分因电滞现象而消耗的 能量，称为电滞损耗，类似于在铁磁体中也会存在磁滞损 耗一样。
【精】静电场的能量（学习资料）
§8.4 静电场的能量一.带电体系的静电能electrostatic energy状态a时的静电能是什么？定义：把系统从状态a 无限分裂到彼此相距无限远的状态中静电场力做的功，叫作系统在状态a时的静电势能。
简称静电能。
带电体系处于状态a或：将这些带电体从无限远离的状态聚合到状态a的过程中，外力克服静电力做的功。
1二. 点电荷之间的静电能以两个点电荷系统为例状态aq r q 12想象q q 12初始时相距无限远第一步先将q 1摆在某处外力不做功第二步再将q 2从无限远移过来使系统处于状态a 外力克服q 1的场做功W A q =−1=−⋅∞∫q E dl r21r r =⋅∞∫q E dlr21rr =q q r2104πε=q U 221在所在处产生的电势21q q 2W q qrqU==1201124πε做功与路径无关表达式相同=q U221为了便于推广写为Ui除q i以外的电荷在q i 处的电势点电荷系也可以先移动2q在所在处的电势12qq状态aq r q123若带电体连续分布U :所有电荷在dq 处的电势如带电导体球dq()W dqQ RQ =∫1240πε=Q R208πεQ R带电量半径4()()()()i r i r r U U U =+除第i 个电荷以外其余电荷在r 处产生的电势笫i 个电荷在r 处产生的电势讨论：⑴N 个带电体组成的带电系统的静电能()()112iNe r r i V W U dVρ=∴=∑∫∫∫设N 个带电体的体积分别为，它们在空间r 处产生的总电势可写成两部分：12N V V V ⋅⋅⋅、()()()()111122i i N Ni r i r r i i V V U dV U dV W W ρρ===+=+∑∑∫∫∫∫∫∫互自5W 互是带电系统内N 个带电体之间的相互作用能，简称为系统的互能。
W 自是每个带电体的静电能之和，简称为自能。
静电能= 自能+ 相互作用能⑵点电荷的自能320044R r r R qr qU E dl dr dr R r πεπε∞∞=⋅=+∫∫∫r r 22031322R r ρε=−设想点电荷q 是由半径为R （）的均匀带电球收缩半径而成，则球内一点产生的电势为0R →6215203 1.681054e R m Cπε−=≈×()12e r vW U dV ρ=∫∫∫r 22222000313462254R e q W R r r dr R ρπεπε =−⋅=∫220354e em C Rπε=根据相对论有电子的实际半径远小于此值。
65-带电体系的静电能
dW
wedV
Q2 8 π εr 2
dr
W
dW
Q2
8πε
R2 dr r R1 2
Q2 ( 1 1 ) 8 π ε R1 R2
dr Q
r R1
R2
2024/10/13
6.5 带电体系的静电能
-Q
15
讨 论 W Q2 ( 1 1 )
8 π ε R1 R2
（1）
W
Q2 2 C
C 4 π ε R2R1
6.5.1 点电荷系的相互作用能 电荷系的静电相互作用能(互能)：
n个静止电荷所组成的电荷系,将
各电荷从彼此相距无限远搬运到 现有位置时,外力克服它们之间 的静电力所做的功。
W
1 2
n
qi i
i 1
其中： i 为qi 所在处由 qi 以外的其他电荷
产生的电势
6.5 带电体系的静电能
推导
1 最简单的情形：两个点电荷q和Q 点电荷q 在Q 的电场中的电势能为：
)
1 2
q3
(
q1
4 0
r31
q2
4 0r32
)
W
1 2
q1 ( 21
31
)
1 2
q2
(12
32 )
1 2
q3
(13
23 )
1 2
q11
1 2
q22
1 2
q33
2024/10/13
6.5 带电体系的静电能
5
引入第四个电荷
W q1q2 ( q1q3 q2q3 )
4 0r12 4 0r13 4 0r23
6.5 带电体系的静电能
11
带电系统的静电能是由外界提供的能量转化而获得的
Q
U
2 静电场的能量
电容器静电能储存在哪里？ 电容器带电极板上？！ 以平板电容器为例讨论
“近代理论认为电场具有能量”
1 1 s 2 We CU ( Ed ) 2 2 2 d 1 1 2 E ( sd ) E 2V 2 2
上式表明，静电能 We是分布在电 容器的电场 E的整个空间 V ，所以静电 能就是电场能，静电能储存在电场中。
3 静电场能量的普遍表达式
平行电容器中电场是均匀的， 单位体积的电场能量是
We 1 1 1 D2 2 we E DE V 2 2 2
可以证明，上式虽然从特例导出，但这 是一个普遍适用公式，对任意电场都是正确 的，因此，计算任一带电系统整个电场的能 量为 1 2 We we dV E dV
§12-4
静电场的能量
一 带电体系的静电能
带电系统的静电能是由外界提供的能量转化而获得的， 具体的说，带电系统的静电能等于将各电荷元从无限 远移来过程中外力作的功。
以平板电容器C为例，计算电容器两极板A和B分别带有
电量 Q和 Q ，两极板间电势差为 U 时，所具有的静 电能。
外力作功，使原来无电场的电容器两极 间建立了电场强度的静电场！
取 dV 4r dr
2
1 Q 2 2 We 0 ( ) 4r dr 2 R 2 40 r Q 80
2
R
dr Q 2 r 80 R
2
当电容器极板带电 q，两板 电势差为 U时，把电荷元 dq 从B 板移到 A 板，外力克服电 场力作功为
q dq q E
q A B dW Udq dq C Q Q 若使电容器两板带电 和 ，外力
U
2 静电场的能量
电容器静电能储存在哪里？ 电容器带电极板上？！ 以平板电容器为例讨论
“近代理论认为电场具有能量”
1 1 s 2 We CU ( Ed ) 2 2 2 d 1 1 2 E ( sd ) E 2V 2 2
上式表明，静电能 We是分布在电 容器的电场 E的整个空间 V ，所以静电 能就是电场能，静电能储存在电场中。
3 静电场能量的普遍表达式
平行电容器中电场是均匀的， 单位体积的电场能量是
We 1 1 1 D2 2 we E DE V 2 2 2
可以证明，上式虽然从特例导出，但这 是一个普遍适用公式，对任意电场都是正确 的，因此，计算任一带电系统整个电场的能 量为 1 2 We we dV E dV
§12-4
静电场的能量
一 带电体系的静电能
带电系统的静电能是由外界提供的能量转化而获得的， 具体的说，带电系统的静电能等于将各电荷元从无限 远移来过程中外力作的功。
以平板电容器C为例，计算电容器两极板A和B分别带有
电量 Q和 Q ，两极板间电势差为 U 时，所具有的静 电能。
外力作功，使原来无电场的电容器两极 间建立了电场强度的静电场！
取 dV 4r dr
2
1 Q 2 2 We 0 ( ) 4r dr 2 R 2 40 r Q 80
2
R
dr Q 2 r 80 R
2
当电容器极板带电 q，两板 电势差为 U时，把电荷元 dq 从B 板移到 A 板，外力克服电 场力作功为
q dq q E
q A B dW Udq dq C Q Q 若使电容器两板带电 和 ，外力
1.5带电体系的静电能
j 1 i 1
代表第j 个电荷在 第i 个电 荷所在位 置Pi处产 生的电势
U ji U j ( Pi )
Pi
qi E j dl 4 0 rij 1
n i 1
点电荷 组的总 功应为
A' A'1 A'2 A'3 A'n A'i 1 n i 1 qi q j qi U ji 4 0 i 1 j 1 rji i 1 j 1
1 dq E r3 r 4 0
dq e dV dq e dS
连续电荷体分布： 面分布： 线分布：
2、电势U
dq e dl q 定义： U pq E dl
p
点电荷： U
q 4 0
qi 点电荷组 U r 4 0 i 1 i 1
1-5 带电体系的静电能
一 点电荷之间的相互作用能
作业：1.5-3
• 定义静电能为零的状态 – 设想带电体系中的电荷可以无限分割为许 多小单元，最初认为它们分散在彼此相距 很远的位置上，规定这种状态下系统的静 电能为零。 • 静电能 – 把体系各部分电荷从无限分散的状态聚集 成现有带电体系时外力抵抗电场力所做的 全部功
本章小结
一、静电场性质的表现 1、对置于场内带电体有力的作用 2、带电体在场中移动时，电场力对其作功 二、描述静电场的物理量 1、电场强度
点电荷：E
定义： E F q
q
2
4 0r 1 n qi 点电荷组： E r 2 ri 4 0 i 1 i
ˆ r
分布电荷：
n i 1
(1)
形式对称的表达式
• 可以证明，静电能值与电荷移动的次序无关
代表第j 个电荷在 第i 个电 荷所在位 置Pi处产 生的电势
U ji U j ( Pi )
Pi
qi E j dl 4 0 rij 1
n i 1
点电荷 组的总 功应为
A' A'1 A'2 A'3 A'n A'i 1 n i 1 qi q j qi U ji 4 0 i 1 j 1 rji i 1 j 1
1 dq E r3 r 4 0
dq e dV dq e dS
连续电荷体分布： 面分布： 线分布：
2、电势U
dq e dl q 定义： U pq E dl
p
点电荷： U
q 4 0
qi 点电荷组 U r 4 0 i 1 i 1
1-5 带电体系的静电能
一 点电荷之间的相互作用能
作业：1.5-3
• 定义静电能为零的状态 – 设想带电体系中的电荷可以无限分割为许 多小单元，最初认为它们分散在彼此相距 很远的位置上，规定这种状态下系统的静 电能为零。 • 静电能 – 把体系各部分电荷从无限分散的状态聚集 成现有带电体系时外力抵抗电场力所做的 全部功
本章小结
一、静电场性质的表现 1、对置于场内带电体有力的作用 2、带电体在场中移动时，电场力对其作功 二、描述静电场的物理量 1、电场强度
点电荷：E
定义： E F q
q
2
4 0r 1 n qi 点电荷组： E r 2 ri 4 0 i 1 i
ˆ r
分布电荷：
n i 1
(1)
形式对称的表达式
• 可以证明，静电能值与电荷移动的次序无关
电荷体系在变化外电场中的能量(势能)与受力
私内 ・ ＝ 。
这 是 因为
Ｏ ｒ
＿ ＿
Ｌ＋ 。
咄
。
＝。
场的电荷体系的 自能也要发生变化 ， 这个能量 的 变 化必然 也是 由于外 力 做 功 的缘 故 。 因而外 力 做
的功等 于两 电荷体 系相 互作 用能 的增 量与产 生外
电场 的电荷体 系 自能 的增量 。 故这 种情 况下 ， 一定
ｒ ｓ ｚ ｎｏ ｄ‘ ｐ
）
尺ｏ
一
卜
ｇ
一
根据镜像法求解静 电场 的结果 ， 我们可以 求 出接 地 导体 球 的感应 面 电荷 密度
，
ｑ （ ｒ 一瑶）
４ ７ ｒ ｏ （ ｒ ＋ 一２ ｒ Ｒ ０ ｃ ｏ ｓ Ｏ ） 丁
—
＝
一
Ｖ Ｖ
定 电荷 分布 的 电荷体 系在另 一 电荷体 系 电
Ｌ ＝Ｑ ４＋Ｑ ５＋Ｑ
第 ５期
景义林 ： 电荷体系在变化外 电场 中的能量 （ 势能） 与受力
Ｒ。
一
２ ５
４ 举 例
一
ｑ
定 电荷 分布 的电荷体 系 在变 化外 电场 中的
Ｖ ＝ 。＋
电荷 体 系在 变 化 外 电场 中 的 能 量 （ 势能 ） 与受 力
景 义林
（ 安 阳师范学 院 物理 与电气工程学院 ， 河 南 安阳 ４ ５ ５ ０ ０ ０ ）
［ 摘 要］ 实际 中 ， 一般情况下 ， 一定 电荷分布 的电荷体 系在 外电场 中的位 置发生 变化时 ， 外 电场 的分布情 况和产生 外
解： 这一例题 中， 电荷体 系 —— 接地导体球
的 电荷分 布不 仅 随 它 与 另一 电荷 体 系 —— 点 电
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利用上述关系可以给出带电体系的静电能与体系 受力的关系
2013/3/13
北京大学物理学院王稼军编写
平移
设想带电体系有一微小位移 l
A F l Fll W
电场力在 l方向上的投影
转动
l 0
Fl
W l
设想带电体系绕某一方向的轴作微小的角位移
力矩在转轴 方向的投影
A L
W
0
L
W
总相 互作
用能
we
1
4 0
12e2 (
b
12e2 2b
4e2 3b
32e2 )
3b
0.344e2
0b
2013/3/13
北京大学物理学院王稼军编写
自能和相互作用能
相互作用能：把每一个带电体看作一个不 可分割的整体，将各带电体从无限远移到 现在位置所做的功等于它们的相互作用能。
自能：把全部电荷从无限分散的情况下聚 集到带电体上的过程中外力克服电场力所 做的功。
Q12 2R1
Q22 2R2
Q1Q2 R2
相互作用能
2013/3/13
Q2自能
北京大学物理学院王稼军编写
例题三：原子核静电能——近似模型为均匀 带电球体，半径为R，带电量为Q，球外真空
E
1
4
1
0
4 0
Q
R3 Q
r2
r， r
r R
R U
Q
81
0
(3 R Q
4 0 r
r2 R3
)
We
1 2
2013/3/13
北京大学物理学院王稼军编写
两个点电荷的情形
先移动q1 到M点，———外力不做功
再移动q2 到N点，———外力做功
q1 单 独 存 在 时N的点电势
N
N
A' A F12 d l q2 E1 d l q2U12
交换移动次序可得
N
N
A'' A F 21 dl q1 E 2 dl q1U21
(3) 处的电势总和
2013/3/13
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电荷连续分布情形的 静电能 p268/p59
We
1 2
n i 1
qiU i
将上式推广到电荷连续分布的情形，假定电荷是体
分 多电布荷，元体，密其度电为量e，q把i=连e续Vi分，布则的有带电体分割成许
总静电能
We
1 2
i
e ViU i
静电场
程
0
＋边界条件 的边值
or 2U＝0 拉 普 拉 斯 方 程
问题
2013/3/13
北京大学物理学院王稼军编写
如图所示，孤立球形导体空
腔本身带正电Q，内半径为R1 ，外半径为R2，在其球心处 放置一点电荷，带正电q ，
求空腔内、外表面的电荷分 布和和空腔内外各点的电场 分布
例题
确定电荷分布：
4R 2
1
4R2
W R
1
2 0
R
(4R
2 e
)
4 2 0
2 e
与前面得到的不同，那个对？为什么？
求导过程中认为电荷密度不变，对吗？
2013/3/13
北京大学物理学院王稼军编写
电容器储能 p57/p64
电容器的能量是如 何储存起来的？
电容器极板上的电 荷是一点一点聚集 起来的，聚集过程 中，外力克服电场 力做功 ——电容 器体系静电能。
一极板上电子 （拉出 e为正）
另一极板上 （得电子为
负）
电源做功 消耗化学能
2013/3/13
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设电容器的电容为C，某一瞬时极板带电量绝对值 为q(t)，则该瞬时两极板间电压为 u(t) q(t)
C
此时在继续将电量为-dq的电子从正极板—>负 极板，电源作多少功？
dA' dA dWe dq(U U )
不是相互
作用能
We
1 2
eUdV
Vi 0
带电体各部分电荷
(4) 在积分处的总电势
线电荷：We
1 2
eUdl；面 电 荷：We
1 2
eUdS
2013/3/13
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P267/p58例题15/17：一个边长为b的立 方体各顶点放一个负点电荷-e，在立方 体中心放一个点电荷 +2e，求体系 相互 作用能We
用虚功原理：虚设位形变化时，电（或磁） 场力做虚功——求力
2013/3/13
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例题:利用虚功原理证明均匀带电球壳在
单位面积上受到的静电排斥力为
2 e
/
2 0
一个总电量为q，半径为R 均匀带电的球壳的自能为
设想球面稍有膨胀
则单位面积所受的斥力
W自
q2
8 0
R
R R R
能与电荷分布情况有关
实际上一个电子的质量与它的精度自能有关，按 相对论的质能关系可估算出电子的经典半径为
rc
e2
4 0mc2
2.8 1015 m
2013/3/13
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电荷或电荷组在外电场中的能量
电荷或电荷组（最简单的是偶极子）在其他带 电体产生的电场（外场）中具有电势能
我们可以先分别求出电荷q 、-q及Q+q单独
存在时在空间各区域产生的场强分布，再利 用场强叠加原理，求出空间各区域的场强分 布
2013/3/13
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设0 空间某0 点到球壳中心的距离为r，则q 、-q、 Q0 +q及0它们在各区域的叠加结果为：
点电荷 q
r R1
1q
4 0 r2
q2 单 独 存 在 时 M点的电势
q2U1
q1U 2
1
4 0
q1q2 r
A'
A' '
q1 单 独 存 在 时 q2 处的电势
系统的静电能
2013/3/13
We
1
4 0
q1q2 r
1 2 (q1U 2
q2U1)
q2 单 独 存 在 时
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在q1处的电势
多个点电荷的情形 p265/p56
/p57 (1.57)、(1.58)、(1.59)
We
1
4
0
n i1
qj qi r i1 j1 ji
n i1
qi U ji
i1 j1
(1)
We
1
8 0
n i1
n qiq j r j1, ji ji
(2)
Ui:除 点 电 荷 i 外 其 它 点
We
1 2
n i1
qiU i
电荷单独存在时qi 所在
Ui
U (Pi )
1
4 0
n qj r j1, ji ji
4.108 /1.59
Ui: 除 点 电 荷 i 外 其 它 点电荷单独存在时qi 所在处的电势总和
2013/3/13
A'
1 2
n i 1
qiU i
(3)
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点电荷组的相互作用能 p266/p57
点电荷组的静电势能We等于克服电场力所做的功A’ 相应的表达式为p266(4.109)、(4.110)、(4.111)
1q
R1 r R2 4 0 r 2
内表面-q
0
1 q
4 0 r2
外表面Q+q
0
0
叠加结果
1q
4 0 r 2
0
r R2
1q
4 0 r 2
1 q
4 0 r 2
1 Qq
4 0 r 2
1 Qq
4 0 r 2
表中列出的叠加结果就是达到静电平衡以后，空腔内
外各区域的场强分布。
2013/3/13
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f F 1 W 1 ( q2 )
4R2 4R2 R 4R2 R 8 0 R
1
4R2
q2
8 0R2
1
2 0
(
q
4 0
R2
)2
2 e
2 0
2013/3/13
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问题：
若先将带电球壳自能用电荷面密度表示
W自
q2
8 0R
4R3 2 0
(
q
4R
2
)2
4R3 2 0
e2
f
F
静
dq(U U ) u(t)dq
电
能
We
Q
u(t)dq
0
Q q(t) dq 1 Q2
0C
2C
电量 0——>Q
2013/3/13
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电容器储能公式的推广
孤立导体
Q=CU
We
1 2
Q2 C
1 CU 2 2
1 QU 2
一组导体1、2、…、n
1
We 2
n i
1 QiUi 2
第二种表达式
可以证明，静电能值与电荷移动的次序无关
q jUij
qiU ji
1
4 0
qiq j rij
q jUij
qiU ji
1 2 (q jUij
qiU ji )
A'
1 2
n i 1
qi
n
U
j1, ji
ji
1
8
0
n i 1
n qiq j r j1, ji ji
2013/3/13
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平移
设想带电体系有一微小位移 l
A F l Fll W
电场力在 l方向上的投影
转动
l 0
Fl
W l
设想带电体系绕某一方向的轴作微小的角位移
力矩在转轴 方向的投影
A L
W
0
L
W
总相 互作
用能
we
1
4 0
12e2 (
b
12e2 2b
4e2 3b
32e2 )
3b
0.344e2
0b
2013/3/13
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自能和相互作用能
相互作用能：把每一个带电体看作一个不 可分割的整体，将各带电体从无限远移到 现在位置所做的功等于它们的相互作用能。
自能：把全部电荷从无限分散的情况下聚 集到带电体上的过程中外力克服电场力所 做的功。
Q12 2R1
Q22 2R2
Q1Q2 R2
相互作用能
2013/3/13
Q2自能
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例题三：原子核静电能——近似模型为均匀 带电球体，半径为R，带电量为Q，球外真空
E
1
4
1
0
4 0
Q
R3 Q
r2
r， r
r R
R U
Q
81
0
(3 R Q
4 0 r
r2 R3
)
We
1 2
2013/3/13
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两个点电荷的情形
先移动q1 到M点，———外力不做功
再移动q2 到N点，———外力做功
q1 单 独 存 在 时N的点电势
N
N
A' A F12 d l q2 E1 d l q2U12
交换移动次序可得
N
N
A'' A F 21 dl q1 E 2 dl q1U21
(3) 处的电势总和
2013/3/13
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电荷连续分布情形的 静电能 p268/p59
We
1 2
n i 1
qiU i
将上式推广到电荷连续分布的情形，假定电荷是体
分 多电布荷，元体，密其度电为量e，q把i=连e续Vi分，布则的有带电体分割成许
总静电能
We
1 2
i
e ViU i
静电场
程
0
＋边界条件 的边值
or 2U＝0 拉 普 拉 斯 方 程
问题
2013/3/13
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如图所示，孤立球形导体空
腔本身带正电Q，内半径为R1 ，外半径为R2，在其球心处 放置一点电荷，带正电q ，
求空腔内、外表面的电荷分 布和和空腔内外各点的电场 分布
例题
确定电荷分布：
4R 2
1
4R2
W R
1
2 0
R
(4R
2 e
)
4 2 0
2 e
与前面得到的不同，那个对？为什么？
求导过程中认为电荷密度不变，对吗？
2013/3/13
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电容器储能 p57/p64
电容器的能量是如 何储存起来的？
电容器极板上的电 荷是一点一点聚集 起来的，聚集过程 中，外力克服电场 力做功 ——电容 器体系静电能。
一极板上电子 （拉出 e为正）
另一极板上 （得电子为
负）
电源做功 消耗化学能
2013/3/13
北京大学物理学院王稼军编写
设电容器的电容为C，某一瞬时极板带电量绝对值 为q(t)，则该瞬时两极板间电压为 u(t) q(t)
C
此时在继续将电量为-dq的电子从正极板—>负 极板，电源作多少功？
dA' dA dWe dq(U U )
不是相互
作用能
We
1 2
eUdV
Vi 0
带电体各部分电荷
(4) 在积分处的总电势
线电荷：We
1 2
eUdl；面 电 荷：We
1 2
eUdS
2013/3/13
北京大学物理学院王稼军编写
P267/p58例题15/17：一个边长为b的立 方体各顶点放一个负点电荷-e，在立方 体中心放一个点电荷 +2e，求体系 相互 作用能We
用虚功原理：虚设位形变化时，电（或磁） 场力做虚功——求力
2013/3/13
北京大学物理学院王稼军编写
例题:利用虚功原理证明均匀带电球壳在
单位面积上受到的静电排斥力为
2 e
/
2 0
一个总电量为q，半径为R 均匀带电的球壳的自能为
设想球面稍有膨胀
则单位面积所受的斥力
W自
q2
8 0
R
R R R
能与电荷分布情况有关
实际上一个电子的质量与它的精度自能有关，按 相对论的质能关系可估算出电子的经典半径为
rc
e2
4 0mc2
2.8 1015 m
2013/3/13
北京大学物理学院王稼军编写
电荷或电荷组在外电场中的能量
电荷或电荷组（最简单的是偶极子）在其他带 电体产生的电场（外场）中具有电势能
我们可以先分别求出电荷q 、-q及Q+q单独
存在时在空间各区域产生的场强分布，再利 用场强叠加原理，求出空间各区域的场强分 布
2013/3/13
北京大学物理学院王稼军编写
设0 空间某0 点到球壳中心的距离为r，则q 、-q、 Q0 +q及0它们在各区域的叠加结果为：
点电荷 q
r R1
1q
4 0 r2
q2 单 独 存 在 时 M点的电势
q2U1
q1U 2
1
4 0
q1q2 r
A'
A' '
q1 单 独 存 在 时 q2 处的电势
系统的静电能
2013/3/13
We
1
4 0
q1q2 r
1 2 (q1U 2
q2U1)
q2 单 独 存 在 时
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在q1处的电势
多个点电荷的情形 p265/p56
/p57 (1.57)、(1.58)、(1.59)
We
1
4
0
n i1
qj qi r i1 j1 ji
n i1
qi U ji
i1 j1
(1)
We
1
8 0
n i1
n qiq j r j1, ji ji
(2)
Ui:除 点 电 荷 i 外 其 它 点
We
1 2
n i1
qiU i
电荷单独存在时qi 所在
Ui
U (Pi )
1
4 0
n qj r j1, ji ji
4.108 /1.59
Ui: 除 点 电 荷 i 外 其 它 点电荷单独存在时qi 所在处的电势总和
2013/3/13
A'
1 2
n i 1
qiU i
(3)
北京大学物理学院王稼军编写
点电荷组的相互作用能 p266/p57
点电荷组的静电势能We等于克服电场力所做的功A’ 相应的表达式为p266(4.109)、(4.110)、(4.111)
1q
R1 r R2 4 0 r 2
内表面-q
0
1 q
4 0 r2
外表面Q+q
0
0
叠加结果
1q
4 0 r 2
0
r R2
1q
4 0 r 2
1 q
4 0 r 2
1 Qq
4 0 r 2
1 Qq
4 0 r 2
表中列出的叠加结果就是达到静电平衡以后，空腔内
外各区域的场强分布。
2013/3/13
北京大学物理学院王稼军编写
f F 1 W 1 ( q2 )
4R2 4R2 R 4R2 R 8 0 R
1
4R2
q2
8 0R2
1
2 0
(
q
4 0
R2
)2
2 e
2 0
2013/3/13
北京大学物理学院王稼军编写
问题：
若先将带电球壳自能用电荷面密度表示
W自
q2
8 0R
4R3 2 0
(
q
4R
2
)2
4R3 2 0
e2
f
F
静
dq(U U ) u(t)dq
电
能
We
Q
u(t)dq
0
Q q(t) dq 1 Q2
0C
2C
电量 0——>Q
2013/3/13
北京大学物理学院王稼军编写
电容器储能公式的推广
孤立导体
Q=CU
We
1 2
Q2 C
1 CU 2 2
1 QU 2
一组导体1、2、…、n
1
We 2
n i
1 QiUi 2
第二种表达式
可以证明，静电能值与电荷移动的次序无关
q jUij
qiU ji
1
4 0
qiq j rij
q jUij
qiU ji
1 2 (q jUij
qiU ji )
A'
1 2
n i 1
qi
n
U
j1, ji
ji
1
8
0
n i 1
n qiq j r j1, ji ji