第二章 随机变量的概率分布与数字特征
概率论-随机变量的几种重要分布及数字特征
2. 若X 是随机变量，若C是常数，则 E(CX ) CE( X );
3. 若 ( X ,Y )是二维随机向量，则
E( X Y ) E( X ) E(Y );
注： 推广到 n 维随机向量，有
n
n
E( Xi ) E(Xi )
i 1
ห้องสมุดไป่ตู้
i 1
数学期望的性质
4. 若 ( X ,Y ) 是二维随机向量，且 X ,Y相互独立,
E( X )E(Y ) E( XY ) E( X )E(Y ).
特别地，当X与Y 独立时，有 cov( X ,Y ) 0.
协方差的性质 1. 协方差的基本性质
(1) cov( X , X ) D( X ); (2) cov( X ,Y ) cov(Y , X ); (3) cov(aX ,bY ) abcov( X ,Y ), 其中 a,b 是
定理1 设 X 是一个随机变量，Y g( X ), 且E(X ) 存
在, 于是
(1) 若X 为离散型随机变量，其概率分布为
P{ X xi } pi , i 1,2,
若 g(xi ) pi 绝对收敛，则Y的数学期望为
i 1
E(Y ) E[g( X )] g(xi ) pi;
cov( X ,Y )
[x E( X )][ y E(Y )] f ( x, y)dxdy.
协方差的定义
利用数学期望的性质，易将协方差的计算化简.
cov( X ,Y ) E{[ X E( X )][Y E(Y )]} E( XY ) E( X )E(Y ) E(Y )E( X )
x0
2.2随机过程的分布律和数字特征
2.2随机过程的分布律和数字特征
任 意 有 限 个 时 刻 过 程 各个 状 态 的 联 合 概 率 分 布 : 给定随机过程 { X (t), t T }.
对任意n (1)个不同的时刻 t1, ,tn T , 相应
的状态可由 n维随机变量 X (t1), X (t2), , X (tn)
描述 .
a cost
,t
,
其中a
0,
且P1
2 3
,
P2
1 3
,
试求随机过程 X (t)，t (,)
的数字特征。
解
mX
EX t a cos t 1 a cos t 2 1 cos t，
3
33
t (,)
RX s,t EX sX t
a coss a cost 1 a cossa cost 2
示一条固定的曲线。如图蓝色曲线
2.2随机过程的分布律和数字特征
2.称 BX(s,t) = E{[X(s) - mX(s)][X(t) - mX(t)]},s,t T
为 XT 的协方差函数；
3.称 DX (t) BX t,t E[X (t) mX (t)]2 ,t T 为 XT
的方差函数；
4.称 RX (s,t) E[X (s)X (t)]，s,t T 为 XT
2019级研究生课程
彭晓华
辽宁工大基础部数学教研室
第2章 随机过程的基本概念
2.1随机过程的基本概念 2.2随机过程的分布律和数字特征 2.3 复随机过程 2.4几种重要的随机过程
本章小结 思考题与作业
复习2.1 1.怎样理解随机过程？它与函数及随机变量有何不同？
2.随机过程的五个要素都是什么？
概率论与数理统计第二章 随机变量及其分布
15
例4: 甲、乙两名棋手约定进行10盘比赛，以赢的盘数 较多者为胜. 假设每盘棋甲赢的概率都为0.6，乙赢的概 率为0.4，且各盘比赛相互独立，问甲、乙获胜的概率 各为多少？ 解 每一盘棋可看作0-1试验. 设X为10盘棋赛中甲赢的 盘数，则 X ～ b(10, 0.6) . 按约定，甲只要赢6盘或6盘 以上即可获胜. 所以
定义：若随机变量X所有可能的取值为x1，x2，…，xi，…，且 X 取这些值的概率为 P(X=xi)= pi , i=1, 2, ... (*)
则称(*)式为离散型随机变量X 的分布律。 分布律的基本性质： (1) 表格形式表示: pi 0, i=1，2，... (2)
i
pi 1
X pk
x1 p1
这里n=500值较大，直接计算比较麻烦. 利用泊松定理作近似计算: n =500, np = 500/365=1.3699>0 ，用 =1.3699 的泊松分布作近似 计算：
(1.3669) 5 1.3669 P{ X 5} e 0.01 5!
23
例2: 某人进行射击，其命中率为0.02，独立射击400次，试求击 中的次数大于等于2的概率。 解 将每次射击看成是一次贝努里试验，X表示在400次射击中 击的次数，则X~B(400, 0.02)其分布律为
k 0,1
14
(2) 二项分布 设在一次伯努利试验中有两个可能的结果，且有 P(A)=p 。则在 n 重伯努利试验中事件 A发生的次数 X是一个 离散型随机变量，其分布为
P ( X k ) C nk p k q n k
k =0, 1, 2 ,, n
称X 服从参数为n，p的二项分布，记为 X~b(n, p) 对于n次重复一个0-1试验. 随机变量X表示: n次试验中, A发生的次数. 如： 掷一枚硬币100次, 正面出现的次数X服从二项分布. b(100, 1/2) 事件 X～
1032随机变量的数字特征
k p(x)( X )k E[( X )k ] 一阶中心矩=0
x
二阶中心矩=方差
The End
2023/12/27
11
2.方差 & 标准差
▪ 反映随机变量取值偏离均值的分散程度 ▪ 方差 Variance D(X)/ Var(X)
2
D(X ) E[(X E(X )) ]
▪ 标准差 standard deviation
(X ) D(X )
方差的运算与性质
D(X ) E[(X )2 ] E(X 2) [E(X )]2
E[(X E( X )]• E[(Y E(Y )]
Covariance
E( XY) E( X )E(Y )
▪ 相关系数
XY
Cov( X ,Y ) D( X ) D(Y )
若随机变量X与Y相互独立
▪ X与Y一定不相关
Cov(X ,Y ) Cov((Y ) D(X Y) D(X ) D(Y)
E( X ) xk pk k 1
E( X ) xf (x)dx
数学期望的性质
X/Y为相互独立的随机变量，a/b/c为常数
▪ E(c) = c ▪ E(cX) = cE(X) ▪ E(aX+b) = aE(X)+b
▪ E(X+Y) = E(X)+ E(Y) ▪ E(XY) = E(X)*E(Y)
D(X ) p(x)(x )2 (x )2 f (x)dx x
离散型变量
连续型变量
D(X+c) = D(X) D(cX) = c2D(X)
D(cX+Y) = c2D(X) + D(Y)
3.协方差 & 相关系数
随机变量及其分布
• 则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称 概率密度或者密度函数.
• 下面给出概率密度函数f(x)的性质: • (1)f(x)≥0 • (2)由分布函数的性质易得
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• 二、离散型随机变量的分布函数
• 设离散型随机变量X的分布律为:
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2. 3随机变量的分布函数
• 其中 • 则随机变量X的分布函数仿照例1可得
• 如图2一1所示，F(x)为阶梯函数，分段区间为半闭半开区间，并且右 连续
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2. 4连续型随机变量及其概率密度
• 一、连续型随机变量及其概率分布
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2. 2离散型随机变量及其分布律
• 一、离散型随机变量
• 在某些试验中(例如 2. 1中的例1，例2，例3)，随机变量的取值是有 • 限个或者无穷可列个.这一类随机变量通常称为离散型随机变量，下
面我们给出离散型随机变量的精确定义: • 定义1若随机变量X的所有可能取值为x1，x2，…，xn…，并且其 • 对应的概率分别为p1, p2,…，p n，…，即
• 注:实值单值函数指的是每一个。仅存在唯一一个实数X (ω)与之对应， 其中X (ω)是一个关干样本点的函数，值域为实数集.
• 随机变量可以根据它的取值分为离散型随机变量与非离散型随机变量， • 其中非离散型随机变量又可以进一步分为连续型随机变量与混合型随
机变量.在本书中我们主要学习的是离散型与连续型随机变量.
• 则称X为离散型随机变量，并且式(2.均称为随机变量X的概率分布， 又称分布律或分布列.
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概率论与数理统计课件：随机变量的数字特征
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例7 （正态分布的数学期望）设 X ~ N( μ, σ 2 ), 求E(X).
解:
E(X) =
+
-
xf ( x )dx =
+
-
1
x
e
2πσ
( x - μ )2
2σ 2
dx
x-μ
, 则
令 t=
σ
E(X) =
+
-
t2
2
t2
+ 2
-
1
μ
( μ + t σ)
+
若级数 | g( xk ) | pk < + , 则 Y = g( X ) 的数学期望为
k =1
+
E(Y ) = E(g( X )) = g( xk ) pk
k =1
随机变量的数字特征
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定理4.2 (连续型随机变量函数的数学期望) 设连续型随
机变量X的概率密度函数为f(x),若
随机变量的数字特征
第一节 随机变量的数学期望
第二节 方差
第三节 协方差和相关系数
第四节 R实验
随机变量的数字特征
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第一节 随机变量的数学期望
一、离散型随机变量数学期望
二、连续型随机变量数学期望
二、随机变量函数的数学期望
三、数学期望的性质
随机变量的数字特征
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§4.1随机变量的数学期望
P{X = xi } = pi , i = 1,2,
如果
+
| x
i
.
| pi < +
概率论与数理统计2.2
若μ k= E ( X EX ) k 存在，称之为 X 的 k 阶中心矩。
2. 矩不等式 定理：
设 h(x) 是x的一个非负函数， X是一个随机变量，
且Eh(X)存在, 则对任意 > 0,有
Eh( X ) P{h( X ) }
证明： （只证 X 是连续型）
Eh( X )
1、定义
设 X 是随机变量，若E ( X EX ) 2 存在，称其 为随机变量 X 的方差，记作 DX，Var(X)，即： DX=Var(X)= E ( X EX ) 2 。 DX 称为标准差。
DX E ( X EX ) ( xi EX ) 2 pi ， 离散型。 显然方差是
0
2 x 1 nl 1 x d 2 x 2 x d 2 x 1 x d x f x x 1 x 1 0
于由
1 1 x x f 2 x 1 为数函度密率概的 X 量变机随设
例6
三、随机变量函数的数学期望 定理 1： 设 Y=g(X), g(x) 是连续函数. (1) 若 X 的概率分布为 p k P{ X xk } k 1,2, 且
为什么要研究随机变量的数字特征
与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地 描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面 的重要特征。这些数字特征在理论和实践上都 有重要的意义。 本章将介绍随机变量的常用数字特征：数学期 望、方差和矩。
一、离散型随机变量的数学期望
例1. 一射手进行打靶练习，规定射入区域e2得2分，射入区域e1
a x0 x1 xn 1 b
则X落在区间 [xi, xi+1]中的概率为
概率论与数理统计随机变量的数字特征课件
03
通过数值模拟方法可以直观地 展示随机变量的分布情况，帮 助理解概率论与数理统计中的 概念和理论。
06
总结与展望
主要内容回顾
随机变量的概念与分类
常见随机变量的性质与 分布
01
02
03
随机变量的数字特征： 均值、方差、协方差等
04
大数定律和中心极限定 理的应用
存在的问题与不足之处
学生对概念的理解不够深入 ，容易混淆不同概念之间的
掷骰子
假设掷一个六面体的骰子，每个数字出现的概率为1/6。通过数值模拟方法计算在掷n次骰子时，每个 数字出现的次数。
结果解释与讨论
01
对于投掷硬币的实例，当n逐 渐增大时，正面和反面出现的 次数逐渐接近，符合理论上的 期望值。
02
对于掷骰子的实例，当n逐渐 增大时，每个数字出现的次数 也逐渐接近理论上的期望值。
相关系数
相关系数是协方差与两个随机变量方差的比值， 用于衡量两个随机变量的线性相关程度。
意义
协方差和相关系数可以反映两个随机变量之间的 线性相关程度，正值表示正相关，负值表示负相 关，值为0表示无关。
03
随机变量的矩与特征
矩的定义
01
矩：对于实随机变量X，其k阶原点矩定义为E[X^k]
，k为非负整数。
概率论与数理统计随机变量 的数字特征课件
目 录
• 随机变量的基本概念 • 随机变量的期望值与方差 • 随机变量的矩与特征 • 随机变量的函数与变换 • 随机变量的数值模拟与实例分析 • 总结与展望
01
随机变量的基本概念
随机变量的定义
定义
设E是随机试验，S是样本空 间，对于E的每一个样本点e ，都有唯一的实数X(e)与之对 应，则称X(e)为随机变量。
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征随机变量是概率论中的重要概念，描述了在一定概率分布下可能取得的不同取值。
在实际问题中，我们常常需要对随机变量的数字特征进行分析，以揭示其分布规律和潜在规律。
本文将介绍随机变量的数字特征及其应用。
1. 期望值期望值是描述随机变量平均取值的一个重要数字特征。
对于离散型随机变量，期望值的计算公式为：$$ E[X] = \\sum_{i} x_i \\cdot P(X = x_i) $$其中，X表示随机变量，x i为X可能取得的值，P(X=x i)为X取值为x i的概率。
对于连续型随机变量，期望值的计算公式为：$$ E[X] = \\int_{-\\infty}^{\\infty} x \\cdot f(x) dx $$其中，f(x)为X的概率密度函数。
2. 方差方差是描述随机变量取值分散程度的数字特征。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var[X]=E[(X−E[X])2]对应连续型随机变量的方差计算公式为：$$ Var[X] = \\int_{-\\infty}^{\\infty} (x - E[X])^2 \\cdot f(x) dx $$3. 协方差协方差描述了两个随机变量之间的线性相关性。
对于两个随机变量X和Y，其协方差的计算公式为：Cov[X,Y]=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]协方差的正负值表示了两个随机变量的相关性程度，当协方差为正时，表示两个随机变量正相关，为负时表示负相关。
4. 相关系数相关系数是协方差标准化后的结果，用以衡量两个随机变量之间的线性相关性强弱。
相关系数的计算公式为：$$ \\rho_{X,Y} = \\frac{Cov[X,Y]}{\\sigma_X \\cdot \\sigma_Y} $$其中，$\\sigma_X$和$\\sigma_Y$分别为X和Y的标准差。
相关系数的取值范围在-1到1之间，绝对值越接近1表示相关性越强。
5. 大数定律大数定律是概率论中的一个重要定理，指出在独立重复试验中，随着试验次数的增多，样本平均值将趋近于总体期望值。
《概率论与数理统计)考试重点
《概率论与数理统计》考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识点。
第一章 随机事件与概率1．随机事件的关系与计算 （一级重点）填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念2．古典概型中概率的计算 （二级重点）选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式3. 利用概率的性质计算概率 （一级重点）选择、填空)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃,)()()(AB P B P A B P -=-（考得多）等，要能灵活运用。
4. 条件概率的定义 （一级重点）选择、填空 记住条件概率的定义和公式：)()(B P AB P = 5. 全概率公式与贝叶斯公式 （二级重点）计算记住全概率公式和贝叶斯公式，并能够运用它们。
一般说来，如果若干因素（也就是事件）对某个事件的发生产生了影响，求这个事件发生的概率时要用到全概率公式；如果这个事件发生了，要去追究原因，即求另一个事件发生的概率时，要用到贝叶斯公式，这个公式也叫逆概公式。
6. 事件的独立性（概念与性质） （一级重点）选择、填空定义：若)()()(B P A P AB P =，则称A 与B 相互独立。
结论：若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 都相互独立。
7. n 重贝努利试验中事件A 恰好发生k 次的概率公式 （一级重点）选择、填空在n 重贝努利试验中，设每次试验中事件A 的概率为p （10 p ），则事件A 恰好发生k 次的概率n k p p C k P k n k k n n ,,2,1,0,)1()( =-=-。
第二章 随机变量的分布及其数字特征8．离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 （一级重点）选择、填空、计算、综合。
随机变量的分布及其数字特征
k!
k
e 2 e 2
k
k!
1
k 0
二、随机变量的概率密度函数 1. 连续型随机变量 Def 设X 为随机变量，其分布函数记为F (x) ，如果存在非 负函数 f (x)，使得 x
2. 概率函数或分布列的性质 （1）pk 0 k 1,2,3,；（2） pk 1 （归一性）。 3. 概率函数与分布函数的关系 k 1 已知概率函数求分布函数 F ( x) P X x pk xk x xk 1
xk x
已知分布函数求概率函数 例2.8 设 X 的分布列为
0?????????xp一般正态分布的概率计算分布函数??222?12??txfxpxxedt?????????????papaxxbb????2212?xt??yyedy???????????x?????ba???????????在求解一般正态分布的概率计算问题时现将其转化为标准正态分布问题然后利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值从而解决概率计算问题
例2.11 设随机变量 X 的概率函数为
PX k
k
试求（1）常数 的值；（2）概率最大的 X 取值。 解: (1) 由概率函数的性质有
k 0
k!
e 2 k 0,1,2,3,
xk x 又有函数的幂级数展开知 e ，从而有 k 0 k! 2 e e 1 解得 2
所以有
PX c 0
该定理表明连续型随机变量的概率分布不能用逐点取 值的概率表达，而只能用概率密度来表达。
高中数学 第2章 概率 2.1 随机变量及其概率分布讲义 苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学
2.1 随机变量及其概率分布学习目标核心素养1.了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列刻画随机现象的重要性，会求某些简单离散型随机变量的分布列．(重点、难点)2．掌握离散型随机变量分布列的性质，掌握两点分布的特征．(重点)1.通过对离散型随机变量的学习，提升数学抽象素养．2．借助随机变量的分布列，提升逻辑推理素养.1．随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示．思考1：随机变量是自变量吗？[提示] 不是，它是随试验结果变化而变化的，不是主动变化的．思考2：离散型随机变量的取值必须是有限个吗？[提示] 不一定．离散型随机变量的取值可以一一列举出来，所取值可以是有限个，也可以是无限个．2．概率分布列假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，x n，且P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n，①则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．称表X x1x2…x nP p1p2…p np i(i ＝1,2，…，n)满足条件：①p i≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋p n＝1.思考3：在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数吗？[提示] 错误．每一个可能值对应的概率为[0,1]中的实数．思考4：离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1吗？[提示] 不可以．由离散型随机变量的含义与分布列的性质可知不可以．思考5：离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的吗？[提示] 是．离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生，是彼此互斥的．3．两点分布如果随机变量X的分布表为X 10P p q其中0<p<1，q＝1－p，这一类分布称为01分布或两点分布，并记为X～01分布或X～两点分布．1．掷均匀硬币一次，随机变量为( )A．掷硬币的次数B．出现正面向上的次数C．出现正面向上的次数或反面向上的次数D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和B[掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.A项中，掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的概率的和必是1，对应的是必然事件，所以不是随机变量．] 2．设离散型随机变量ξ的分布列如下：ξ－1012 3P 0.100.200.100.200.40 Pξ0．40 [P(ξ<1.5)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.10＋0.20＋0.10＝0.40.] 3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述一次试验成功与否(记X＝0为试验失败，记X＝1为试验成功)，则P(X＝0)等于________．1 3[设试验失败的概率为p，则2p＋p＝1，∴p＝13.]随机变量的概念【例1】(1)国际机场候机厅中2019年5月1日的旅客数量；(2)2019年1月1日至5月1日期间所查酒驾的人数；(3)2019年6月1日某某到的某次列车到站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．[思路探究] 利用随机变量的定义判断．[解] (1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)列车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．随机变量的辨析方法(1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．(2)随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．1．(1)下列变量中，是随机变量的是________．(填上所有正确的序号)①某人掷硬币1次，正面向上的次数；②某音乐歌曲《小苹果》每天被点播的次数；③标准大气压下冰水混合物的温度；④你每天早晨起床的时间．(2)一个口袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X，则X的可能取值构成集合________．事件{X＝k}表示取出________个红球，________个白球，k＝0,1,2,3,4.(1)①②④(2){0,1,2,3,4} k4－k[(1)①②④中每个事件的发生是随机的，具有可变性，故①②④是随机变量；标准大气压下冰水混合物的温度为0 ℃，是必然的，不具有随机性．(2)由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3,4.{X＝k}表示取出的4个球中含k个红球，4－k个白球．]随机变量的分布列及应用【例2】ξ表示取出的3只球中的最大，写出随机变量ξ的概率分布．[思路探究] 由本例中的取球方式可知，随机变量ξ与球的顺序无关，其中球上的最大只有可能是3,4,5，可以利用组合的方法计算其概率．[解] 随机变量ξ的可能取值为3,4,5.当ξ＝3时，即取出的三只球中最大为3，则其他两只球的编号只能是1,2，故有P(ξ＝3)＝C22C35＝110；当ξ＝4时，即取出的三只球中最大为4，则其他两只球只能在编号为1,2,3的3只球中取2只，故有P(ξ＝4)＝C23C35＝310；当ξ＝5时，即取出的三只球中最大为5，则其他两只球只能在编号为1,2,3,4的4只球中取2只，故有P(ξ＝5)＝C24C35＝610＝35.因此，ξ的分布列为ξ34 5P11031035利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意∑i＝1np i＝1，而且要注意p i≥0，i＝1,2，…，n.2．设随机变量ξ的概率分布为P⎝⎛⎭⎪⎫ξ＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)．求：(1)常数a的值；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ≥35； (3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜ξ<710.[解] 题目所给的ξ的概率分布表为ξ 15 25 35 45 55 Pa2a3a4a5a(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝15.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝45＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝55＝315＋415＋515＝45或P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝1－P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≤25＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫115＋215＝45.(3)因为110<ξ<710，所以ξ＝15，25，35.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<ξ<710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＝a ＋2a ＋3a ＝6a ＝6×115＝25.随机变量的可能取值及试验结果[1．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？[提示] 可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X ，则X 可取哪些数字？ [提示] X ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？[提示] “ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．【例3】 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1,2,3,4,5,6的6X卡片中任取2X，所取卡片上的数字之和．[思路探究] 分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果[解] (1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2， (11)(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5， (11)X＝3，表示“取出标有1,2的两X卡片”；X＝4，表示“取出标有1,3的两X卡片”；X＝5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两X卡片”；X＝6，表示“取出标有2,4或1,5的两X卡片”；X＝7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两X卡片”；X＝8，表示“取出标有2,6或3,5的两X卡片”；X＝9，表示“取出标有3,6或4,5的两X卡片”；X＝10，表示“取出标有4,6的两X卡片”；X＝11，表示“取出标有5,6的两X卡片”．用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．3．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)在2018年大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．[解] (1)X可能取值0,1,2,3,4,5，X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.(2)ξ可能取值为0,1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．1．本节课重点是随机变量的概念及随机变量的分布列及其性质，以及两点分布，难点是随机变量的取值及概率．2．判断一个试验是否为随机试验，依据是这个试验是否满足以下三个条件：(1)试验在相同条件下是否可以重复；(2)试验的所有可能结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个；(3)每次试验的结果恰好是一个，而且在一次试验前无法预知出现哪个结果．3．本节课的易错点：在利用分布列的性质解题时要注意：①X＝xi的各个取值所表示的事件是互斥的；②不仅要注意i＝1np i＝1，而且要注意0≤p i≤1，i＝1,2，…，n.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )(2)在概率分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )(3)概率分布列中每个随机变量的取值对应的概率都相等．( )(4)在概率分布列中，所有概率之和为1.( )[解析] (1)√因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．(2)×因为在概率分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]X围内．(3)×因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件．(4)√由分布列的性质可知，该说法正确．[答案] (1)√(2)×(3)×(4)√2．下列叙述中，是随机变量的为( )A．某人早晨在车站等出租车的时间B．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度C．射击十次，命中目标的次数D ．袋中有2个黑球，6个红球，任取2个，取得1个红球的可能性 C [根据随机变量的含义可知，选C.] 3．随机变量η的分布列如下：则x 0 0.55 [由分布列的性质得 0．2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.故P (η≤3)＝P (η＝1)＋P (η＝2)＋P (η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.] 4．袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量X 为此时已摸球的次数，求随机变量X 的概率分布列．[解] 随机变量X 可取的值为2,3,4， P (X ＝2)＝C 12C 13C 12C 15C 14＝35；P (X ＝3)＝A 22C 13＋A 23C 12C 15C 14C 13＝310；P (X ＝4)＝A 33C 12C 15C 14C 13C 12＝110；所以随机变量X 的概率分布列为：。
2.2随机变量的数字特征
数学期望也称为均值。
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二、 随机变量的函数的分布
随机变量的函数
设 X 是一随机变量，Y 是 X 的函数， g X , 则 Y Y
也是一个随机变量．当 X 取值 x时，Y 取值 y g x
本节的任务就是：
已知随机变量 X 的分布，并且已知Y g X ， 要求随机变量Y 的分布．
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此时称Y 服从自由度为1的 2分布。
二、 随机变量的函数的分布
例 6
设 随机变量 X 的密度函数为 f X x ， X ，试 Y 求随机变量Y 的密度函数 f Y y ．
设随机变量X 的分布函数为FX y ，随机变量 Y 的分布函数为FY y
解：
FY y P y P X y Y
解：(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y)：
10 由于 Y X 2 0, 故当 y 0 时 FY ( y) 0.
20 当 y 0 时, FY ( y ) P{Y y} P{ X 2 y} P{ y X y }
y y
f X ( x)dx.
Y = (X-1)2
的分布律.
1 2 X -1 0 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
解: Y 有可能取的值为 0，1，4. 且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0， 解得 X=1， 所以, P{Y=0}=P{X=1}=0.1,
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二、 随机变量的函数的分布
例 2（续） Y=(X-1)2 同理,
(1) 旅客 8:00 到站，求他侯车时间的数学期望。 (2) 旅客 8:20 到站，求他侯车时间的数学期望。
解：设旅客的候车时间为 X（以分记）
随机变量的数字特征
求 X 的数学期望 EX 。
解 由连续型随机变量数学期望的定义，有
EX xf (x)dx
0
1
2
x 0dx+ x xdx+ x (2 x)dx x 0dx
0
1
2
1 x2dx+ 2 (2x x2 )dx 1.
0
1
三、随机变量函数的数学期望
定理 设 X 为随机变量，y g(x)为实函数，
EX 2 2EX 2 EX 2 EX 2 EX 2.
方差的性质： （1）D(C) 0;
（2）DX C D(X );
（3）DCX C2DX ;
x,
例3.6 设随机变量 X 的密度函数为 f (x) 2 x,
0,
0 x 1 1 x 2 . otherwise
求 X 的方差D(X ).
（1）设
X 为离散型随机变量，概率分布为
PX
xi
pi ,i
1, 2,
,
若 g(xi ) pi 绝对收敛，则 Eg(X ) 存在，且
i 1
E g( X )= g(xi ) pi.
i 1
（2）设 X为连续型随机变量，密度函数为 f (x) ，若
g(x)
f
(x)dx
绝对收敛，则
Eg(X )
存在，且
机变量 X 的方差，记为 D(X ) ，或 Var(X ) ，并称 D(X )
为 X 的标准差。
方差的计算：
考虑到方差实际上为随机变量函数的数学期望：g( X ) X EX 2，因此
若 X 为离散型随机变量，概率分布为 pi PX xi , i 1,2, ，则
D( X ) EX EX 2 xi EX 2 pi. i 1
第二章随机变量的分布和数字特征习题课
4. 设随机变量X的概率密度 = ， x0，求Y=的概率密度。
解：当y＜1时，0 当y≥1时， 由于，则知当y＜1时，=0, 当y≥1时，= 注：由于Y=在(1,∞)内是单调函数，可直接用公式做！ 5. 设随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,写 出其分布函数F(x)。 [答案：当x＜1时，F(x)=0; 当1≤x＜2 时，F(x)=0.2; 当2≤x＜3时，F(x)=0.5;当3≤x时，F(x)=1 6. 设随机变量X在区间[1，2]上服从均匀分布，求Y=的概率密度f(y)。 [答案：当时，f(y)=，当y在其他范围内取值时，f(y)=0.]
令，即，即，取。 答：此商店每周最小进货量为21个单位，可使获利的期望不少于9280
元。 设随机变量与相互独立，均在区间上服从均匀分布，引进事件， 且。求：（1）值；（2）的数学期望。 解：（1）由与在上均服从均匀分布，可知 ， 当时
17.
由随机变量与相互独立，可知事件与也是相互独立的。 与相矛盾，因而。 当时，
)。
8. 设XU(0,2),则Y=在(0,4)内的概率密度（ ）。
[答案 填：] 分析：当0＜y＜4时， 此时，= 注：由于Y=在(0,4)内是单调函数，可直接用公式做！ 9. 设X的分布函数 ,则A=( ),P |x|＜ =( )。 [答案 填：1； ] 10. 设X的分布函数F(x)为： , 则X的概率分布为（ ）。 分析：其分布函数的图形是阶梯形，故x是离散型的随机变量 [答案： P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.] 11. 设随机变量X的概率密度函数则 E(X)=( ),=( ). 分析：由X的概率密度函数可见X～N(1, ),则E(X)=1，=. [答案 填：1；.] 12. 设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则E(X)=( [答案 填：4] 13. 设X～N(2，)且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0}=（ ）。 即,则 [答案 填：0.2] 14. 设随机变量X服从参数为1的指数分布,则（ ）.
概率论与数理统计2.1随机变量的分布与数字特征
对于任意的实数 x1, x2 (x1< x2) ，有：
P{x1 X x2} P{X x2} P{ X x1}
X
F ( x2 ) F ( x1 ).
o
x1
x2
x
随机变量的分布函数定义了事件域σ(X)上的一个概
率测度。分布函数也为随机变量的统计规律性提供了
直观的描述。
例8
等可能地在数轴上的有界区间[a,b]上投点，记X为 落点的位置(数轴上的坐标)，求随机变量X的分布 函数
例2
掷一颗骰子，用 X 表示出现的点数。则 X 就是一 个随机变量．它的取值为1，2，3，4，5，6。则
X 4表示掷出的点数不超过 4 这一随机事件；
X 取偶数表示掷出的点数为偶数这一随机事件．
在同一个样本空间上可以定义不同的随机变
例量如．我们可以定义：
Y
1 0
出现偶数点 出现奇数点
Z
1 0
点数为 6 点数不为 6
例4
观察某生物的寿命（单位：小时），用Z表示该生
物的寿命。则 Z 就是一个随机变量。它的取值为 所有非负实数。
Z 1500
表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事
件．
Z 3000
表示该生物的寿命大于 3000小时这一随机事件．
注意 Z 的取值是无界的区间 个！
二、离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量的定义 如果随机变量 X 的全部不同取值是有限个或可列无 穷多个，则称 X 为离散型随机变量。 离散型随机变量的概率分布
第 2 章 随机变量的分布与数字特征
§2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量的数字特征 §2.3 常用的离散型分布 §2.4 常用的连续型分布 §2.5 随机变量函数的分布
2.1随机变量及其分布(1,2)课件
是右连续的, 即对任何实数 a 有 lim F x F (a )
x a
任一随机变量 的分布函数 都满足以上性质, 反之, 任一满足以上性质的函数, 都可作为某一 随机变量的分布函数.
X 服从离散均匀分布.
三、分布函数 离散型随机变量的特点是： 其取值范围是有限集
或可列集. 其概率分布可用列表法表示: X x1 , x2 , x3 , ..., xn , ... p p1 , p2 , p3 , ..., pn , ...
但有些随机变量是非离散的,它的取值可能是 某一
区间内的一切值.
x x
lim F x 1
(4) F ( x ) 至多有可数多个间断点, 且在其间断点处,
是右连续的, 即对任何实数 a 有 lim F x F (a ) 证（1）0 F ( x ) P{ X x } 1 （2） a b 时, X a
1 P{ X 2 } P{ X 4 } P{ X 6 } ... P{ X 2n } ...
p 2 p 4 p 6 ... p 2 n ... 1 p2 1 2 2 2 1 p p 2p 1 p 2
p2
若离散型 r , v . X 的概率分布为
X p x1 p1
A x2 xk
p2
pk
则对于集合 xn n 1,2,3,... 的任一子集 A, 事件
“ X 在 A 中取值” 即“X A ” 的概率为
P{ X A } pk
xk A
只有两种对立结果： 对于贝努利试验， “A发生” 与“A不发生” 设事件A发生的概率为 p ( 0 p 1 ) 则事件 A 发生的概率为 q 1 p 令X表示 一次贝努利试验中， A发生的次数， 即
概率统计2-3 随机变量的数字特征
E连Y=续令型:Xyayf~Yf(X(yzx))d,Yy=aaX,则yzfa,1YX ~f(X|z(a1)day| zf)=Xday(EayX)a,不(3妨)ay自设f 证Xa>( 0ay,
)d(
y a
)
20
一元随机变量X的函数g(X)的期望
可以证明:随机变量X的密度为f (X)，则随机变量X 的函数g(X)的数学期望为
18 n18 19 n19 20 n20
n
n
n
18 p18 19 p19 20 p20 5
离散型随机变量的数学期望
统计平均值X与准确计算的平均值EX还可能 有差距, 但是当试验次数趋向于无穷时(频率 趋近概率), 统计平均值X就趋近于EX了。
定义2.6：设离散型随机变量X有概率 分布为：
假设连续型的随机变量X的概率密度为f(x), 现
在我们将整个实数轴划分成同样的宽度为x
的无穷多个小区间, 当试验的结果是落在第k 个小区间里时, 我们近似认为是x等于此小区 间中的点xk的事件发生了, 这样就将x转化成 为离散型的随机变量, 它等于xk的概率近似为
f(x)x, 如果x的值越小, 这样的近似越准确.
课堂练习课堂练习记住结论记住结论课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习41课堂练习解答课堂练习解答课堂练习解答课堂练习解答exxfdtdxtdt切比绍夫不等式切比绍夫不等式切比绍夫不等式切比绍夫不等式设随机变量设随机变量xx的方差存在的方差存在这时均值也存在这时均值也存在对任意正数对任意正数有下面不等式成立有下面不等式成立对任意正数对任意正数有下面不等式成立有下面不等式成立切比绍夫不等式反映了随机变量离差与方差切比绍夫不等式反映了随机变量离差与方差切比绍夫不等式反映了随机变量离差与方差切比绍夫不等式反映了随机变量离差X
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双侧下限
单侧上限 : 如：血清转氨酶、
正常 异常 单侧上限
体内有毒物质过高异常（越低越好,<P95）
单侧下限 : 如：肺活量过低异常（越高越好, >P5）
异常
正常
单侧下限
3、医学参考值范围有90%、95%、99% 等， 最常用的为95% 。
计算医学参考值范围的常用方法：
正态分布法
百分位数法
，即
值），记作
（二）、连续型随机变量的数学期望
定义2-11 设连续型随机变量X的密度函数为 称 均值），记作
，
的值为随机变量的X的数学期望（简称期望或
（三）、随机变量函数的数学期望 定义2-12 设X是一个随机变量，Y=g(X)也是随机变量，
且E(Y)存在，
（1）若X是离散随机变量，其概率分布为
案例2-12 设
，查表求
案例2-13 对使用过甘草的许多中药处方进行分析，若 已知每次的甘草用量X~N(8，4)，现任抽一张含甘草的 处方，求甘草的用量在5-10g范围内的概率。
五、正态曲线下面积分布规律
◆曲线下的面积即为概率，可通过公式求得。
（公式2-7）
◆曲线下的总面积为1或100%，以
为中心左右两侧面
值用小写字母x,y,z等表示。
假如一个随机变量仅取有限个或可列个值，则称其 为离散随机变量。假如一个随机变量的可能取值充满 数轴上的一个区间 （其中a可以是 ，则称其为连续随机变量。 ，b可以是 ）
例2-2 某药检所对某种送检的药品进行检查，按合 格与不合格进行分类，使用随机变量表示检验结果。
解：该试验的样本空间为Ω={合格，不合格}，若用
试求：
第二章 随机变量的概率分布 与数字特征
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ第二节
随机变量的分布函数
定义2-6 设X是一个随机变量，对任意实数x，称函数
式（2-3）
为随机变量X的分布函数。 说明：
对任意实数
，有
特别的：
（一）离散随机变量的分布函数
对于离散随机变量，由于分布函数的定义域为R，
所以任意的
相应概率值
，只要将小于等于x的一切取值 的
频率/组距
f(x)
X
定义2-5
数
对于随机变量X,如果存在一个非负可积函
，使对任意 ，都有
式（2-2） 则称 为连续型随机变量X的概率密度函数，简称
概率密度或密度函数。
概率密度函数的性质 1、非负性： 2、归一性： 这两个性质刻画了密度函数的特征，也就是说， 如果某个实值函数具有这两条性质，那么它必定是 某个连续随机变量的密度函数。
（3）采用某种新药对10名患者进行治疗，治愈的患 者人数。
（4）一个肝硬化病人的Hp感染情况，可能出现阳性 Hp（+），也可能出现阴性Hp（-）。
（5）对于某种新药疗效的试验结果，可能为“无
效”、“好转”、“显效”、“治愈”。
定义2-1 定义在样本空间Ω上的实值函数X=X（ω）称
为随机变量，常用字母X，Y，Z等表示随机变量，其取
对于正态分布
，参数
时 。
的正态分布称为标准正态分布，记作
其概率密度函数用
表示为
式（2-8）
图2-9 标准正态分布的密度函数图像
其概率分布函数用
表示为
式（2-9）
1 0.5
图2-10 标准正态分布的分布函数图像
常用公式：
案例2-11 设
，查表求：
四、正态分布的标准化 步骤：
1、找出
2、利用公式： 3、查表求值。
1 白细胞计数(WBC)
2 中性粒细胞百分率(NEUT%) 3 中间细胞百分率(MXD%) 4 淋巴细胞百分率(LYMPH%) 5 中性粒细胞绝对值(NEUT#) 6 中间细胞绝对值 (MXD# ) 7 淋巴细胞绝对值(LYMPH#) 8 红细胞计数(RBC)
7.20
0.667 0.033 0.300 4.80 0.20 2.20 3.48
随机变量X表示“随机取出某药品的检验结果”，用
数值1，表示合格；用数值0，表示不合格，则X作为
样本空间Ω的实值函数定义为：
离散型随机变量 随机变量 非离散型 随机变量
其中最重要的一种
连续型随机变量
二、离散型随机变量
（一）离散型随机变量的定义
定义2-2 如果一个随机变量只能取有限个或
可列无限个值，那么称这个随机变量为离散型
3、正态分布法
第二章 随机变量的概率分布 与数字特征
第四节
随机变量的数字特征
一、数学期望及其性质
问题：有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表表出：
试问：哪个射手技术较好？
（一）、离散型随机变量的数学期望 定义2-10 设离散型随机变量X的概率分布为
称
的值为随机变量X的数学期望（简称期望或均
随机变量。
例2-3 观察下列试验的结果，判断是否为离散型随机
变量。
（1）50件产品中有8件次品，其余为正品，从中取出4
件进行检验，则取到的次品数。
（2）某实验一次观测数据为5个，其中异常值的个数。
（3）某交通道口中午1小时内汽车流量。
（二）离散随机变量的概率分布
对于一个随机变量进行研究，首先要判断它
第二章 随机变量的概率分布 与数字特征
第一节
离散型随机变量及其概率分布
一、随机变量
在第一章中，我们曾提及随机变量，
我们把“用来表示随机试验结果的变
量”称为随机变量。
例2-1 观察些列随机试验的结果与数值之间的关系
。
（1）掷一颗骰子出现的点数。
（2）一位隐性遗传疾病的携带者有三个女儿，则女
儿中为该疾病携带者的人数。
3、设X为连续随机变量，则对任意指定实数
，有
即连续随机变量在
处概率为零； ，则
4、设连续随机变量X，对任意
5、几何意义：随机变量X落在区间
由密度函数
内的概率等于
所围成的曲边梯形
的面积。
图2-1 随机变量X落在区间
内概率的几何意义
例2-5 已知随机变量X的概率密度为
例2-6 设随机变量X的概率密度为
（一）方差的定义 定义2-13 设X是一个随机变量，称 为X的方差，记作 ，即
称
为X的标准差，记作
（二）方差的性质 性质1 若C是常数，则
性质2 若C是常数，则 性质3 若X、Y相互独立，则
的取值范围及可能取哪些值，其次还要知道它取
这些值的概率，也就是要知道它取值的规律。随
机变量X的取值规律称为X的概率分布，简称分布。
定义2-3 设离散随机变量X的所有可能取值 为 ，X取各个值 相应概率
为
，则称
式（2-1）
为离散随机变量X的概率分布或分布律，也 称概率函数。
X的概率分布也常用表2-1的方式来表达。
13 平均血红蛋白浓度(MCHC)
14 红细胞分布宽度CV(RDW%) 0.137 15 血小板计数(PLT) 16 血小板分布宽度(PDW) 17 平均血小板体积(MPV) 170 14.8 11.50 80-300 12-18 4.0-12.0 X10E9/L fl fl
3.45-6.50 X10E9/L
的解剖、生理、生化、免疫等各种指标数据的波动
范围。
由于存在个体差异，生物医学数据并非常数而
是在一定范围内波动，故采用医学参考值范围作为
判定正常和异常的参考标准，但不是“金标准”。
2、单、双侧问题，常依据医学专业知识而定。
双侧 : 血清总胆固醇无论过低或过高均属异常 白细胞数无论过低或过高均属异常
异常 正常 异常 双侧上限
3.5-10
0.5-0.7
X10E9/L
10 血细胞比容(HCT)
11 平均红细胞体积(MCV) 12 平均血红蛋白含量(MCH)
0.296
86.3 32.4 375
0.35-0.55
78.8-100 27-32 300-600 fl pg g/L
0.2-0.45 2.0-4.0 X10E9/L X10E9/L 1.0-3.3 X10E9/L
第二章 随机变量的概率分布 与数字特征
第二节
连续型随机变量及其概率分布
一、连续型随机变量的定义
定义2-4 如果一个随机变量可以取得某一区间内的
任何数值或在整个数轴上的取值，那么称这个随机变
量为连续型随机变量。
例如：
（1）某小学四年级某班50名女生的身高。
（2）100名健康成年男子血清总胆固醇的测定结果。
则随机变量函数g(X)的期望为
（2）设X是连续型随机变量，其密度函数为 随机变量函数 的期望为
，则
（四）、数学期望的性质
性质1 若C是常数，则 性质2 若C是常数，则 性质3 性质4 若X，Y相互独立，则
二、方差及其性质
问题：有丙、丁两个射手，他们的射击技术用下表表出：
试问：哪个射手技术较好？
图2-8 正态分布的分布函数的图像
位置参数
固定， 改变
的值
沿X轴平行移动
图像越靠右
3
1
2
形状参数
固定， 改变
的值
越大，图像越平坦 越小，图像越陡峭
2 1
3
1、正态分布曲线是以 值 ；
为对称轴，当
时，取得最大
2、图像在处
有拐点，且以X轴为渐近线；
3、正态分布完全由两个参数
和
决定：
—位置参数
描述：正态分布的平均水平
决定：正态曲线在X轴上的
位置 固定 ，改变 ，
曲线沿X轴水平移动，形状不变，只改变位置
—形状参数
描述：正态分布的变异程度