2011年高考数学 第二节 数列极限.ppt

如果
＝B，C为常数，那么：
(1) (an±bn)＝ A±B；
(2) (an·bn)＝ A·B ；
(3)
(B≠0)；
(4) (C·an)＝ C·A.
[思考探究] 如果 (an＋bn)存在，那么 an与 bn也存在，对吗？ 提示：不对，例如an＝n＋( )n，bn＝－n，二者的极限 均不存在，但 (an＋bn)存在．
(2)求bn和
，其中Sn＝b1＋b2＋…＋bn.
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)依题意得rqn－1＋rqn＞rqn＋1， 由题设r＞0，q＞0， 故从上式可得q2－q－1＜0，解得 又q＞0，故0＜q＜
∴{bn}是首项为1＋r，公比为q的等比数列， 从而bn＝(1＋r)qn－1. 当q＝1时，Sn＝n(1＋r)，∴ 当0＜q＜1时，Sn＝
计算下列极限：
[思路点拨] (1)通分化简后求极限． (2)分子有理化，然后求极限． (3)先利用等比数列的前n项和公式求和，然后求极限．
[课堂笔记] (1)原式＝
(3)原式＝
求含参变量的极限时，常需对参数进行分类讨论， 要注意分类的标准，分类时不重不漏，典型的题型是指 数型，分类的标准是底数a的绝对值与1的大小关系，注 意不要漏掉端点的讨论．
[课堂笔记] 原式＝
∵n3比n2的幂指数大， ∴a＝0. ∴原式＝ ∵n2比n的幂指数大， ∴3－4b＝0，即b＝
∴原式＝ ∴c＝ . 综上所述，a＝0，b＝ ，c＝ .
1.一般地，分母中n的最高次数项求极 限．
2.所求极限式为n项(n→∞)的和，通常先求和化简，后求 极限．
【解】 (1)由题意知1－ax＞0，
所以当0＜a＜1时，f(x)的定义域是(0，＋∞)；
当a＞1时，f(x)的定义域是(－∞，0)．
f′(x)＝
·logae＝
当0＜a＜1时，x∈(0，＋∞)．
因为ax－1＜0，ax＞0，故f′(x)＜0， 所以f(x)是减函数． 当a＞1时，x∈(－∞，0)． 因为ax－1＜0，ax＞0，故f′(x)＜0， 所以f(x)是减函数．
当q＞1时，Sn＝ 综上所述，
以选择题或填空题的形式考查数列极限的求法是 高考对本节内容的常规考法，且难度较小.09年四川高 考将数列极限问题同指数函数、对数函数、导数等问 题相结合，出现在解答题中，是一个新的考查方向.
[考题印证] (2009·四川高考)已知a＞0且a≠1，函数f(x)＝loga(1－ax)． (1)求函数f(x)的定义域，并判断f(x)的单调性； (2)若n∈N*，求 (3)当a＝e(e为自然对数的底数)时，设h(x)＝(1－ef(x))(x2－m ＋1)．若函数h(x)的极值存在，求实数m的取值范围及函数h(x) 的极值．
3．常用的几个极限
(1)若C为常数，则 C＝ C ；
(2)若C为常数，则
＝0 ；
(3)若|a|＜1，则
＝0；
(4)如果等比数列{an}的首项为a1，公比满足|q|＜1且q≠0，
Sn为其前n项和，则 Sn＝
.
1．若
＝A，则下面几个结论中，正确的是( )
A．数列{an－A}一定是递减数列 B．数列{an－A}一定是递增数列 C．数列{|an－A|}一定是递减数列 D．数列{an－A}的极限是零
1.了解数列极限的概念． 2.掌握极限的四则运算法则，会求某些数列
的极限．
1．数列极限的概念 如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋 近于某个常数a (即|an－a|无限地接近于0)，那么就说数 列{an}以a为极限，或者说a是数列{an}的极限，记作 .
2．数列极限的四则运算法则
求极限 [思路点拨]
(a≠1，a＞0)．
[课堂笔记] 原式＝ (1)当0＜a＜2且a≠1时，
(2)当a＝2时 原式＝ (3)当a＞2时，极限不存在．
若a＞0，求 解：(1)当a＝2时，原式＝ (2)当0＜a＜2时，原式＝
(3)当a＞2时， 原式＝
已知
＝5，求常数a，b，c.
[思路点拨] (1)逆向思维求参数值要充分运用极限运算法则，进行分析、 讨论． (2)在求解过程中要注意极限存在的条件，这是求参数值的 重要环节．
为常数)，或qn(q＝1或|q|＜1)，此时有
＝0，
＝1(q＝1)或
＝0(|q|＜1)．
2．数列极限的两个重要类型
[特别警示] 利用极限运算法则进行极限运算时，必须注 意其适用的条件：一是参加运算的各数列的极限都必须存 在；二是运算法则仅适用于有限个数列的和、差、积、商， 对于无限个数列的和或积，应先求出和或积，再求极限．
3．求含指数式的极限，通常要利用 ＝0(|q|＜1)这一 结论，求解时，分子、分母同除以指数式中底数绝对 值最大的一式．
4．对于无限项的和或积的极限应先把无限项转化为有限 项，再求极限．
已知数列{an}满足条件a1＝1，a2＝r(r＞0)，且{anan ＋1}是公比为q(q＞0)的等比数列，设bn＝a2n－1＋ a2n(n∈N*)． (1)求出使不等式anan＋1＋an＋1an＋2＞an＋2an＋3(n∈N*)成立 的q的取值范围；
解析： (an－A)＝
－A＝A－A＝0.
答案：D
2． A．3 C．1
的值为
解析： 答案：B
B．2 D.
()
3．如果数列{an}的极限存在，且an＋1＝ an＋1，则 an
的值为
()
A．0
B．1
C．－2
D．2
解析：∵an＋1＝ an＋1，且{an}的极限存在，
不妨设 an＝A，则 A＝ A＋1，∴A＝2. 答案：D
(2)因为f(n)＝loga(1－an)，所以af(n)＝1－an， 由函数定义域知1－an＞0， 因为n是正整数，故0＜a＜1. 所以
(3)h(x)＝ex(x2－m＋1)(x＜0)， 所以h′(x)＝ex(x2＋2x－m＋1)． 令h′(x)＝0，即x2＋2x－m＋1＝0， 由题意应有Δ≥0，即m≥0. ①当m＝0时，h′(x)＝0有实根x＝－1，在x＝－1点左右两 侧均有h′(x)＞0，故h(x)无极值．
4．计算： 解析： 答案：
＝________.
5．若 解析：∵
存在，则常数a的取值范围是________． 存在，
∴| |＜1或
＝1
即( )2＜1或a＝1
∴a≥1或a＜－ 答案：a≥1或a＜－
1.常见数列极限的求法
所求极限的代数式是an的单项形式，则先对通项an作适当 变形．分子、分母同除以某个因式，构造出 (k＞0，M