浙江2019版高考数学第一轮复习 第三章 导数 32 导数的应用

考点二 导数与极值、最值
1.设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)< f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0);如果对x0附近的所 有的点,都有f(x)>f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0).极 大值与极小值统称为极值 . 2.当函数f(x)在x=x0处连续时,判断f(x0)是极大(小)值的方法: (1)如果x<x0时有f '(x)>0,x>x0时有f '(x)<0,则f(x0)是① 极大值 ; (2)如果x<x0时有f '(x)<0,x>x0时有f '(x)>0,则f(x0)是② 极小值 . 3.函数的最大值与最小值
方法技巧
方法 1 函数的单调性的解题策略
f '(x)>0(或f '(x)<0)仅是f(x)在某个区间上为增函数 (或减函数)的充分条 件,在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f '(x) ≥0(或f '(x)≤0),x∈(a,b)恒成立,且f '(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等 于0.这就是说,函数f(x)在区间上的增减性并不排除在区间内个别点处 有f '(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处有f '(x0)=0,只要这样的点不充满所 给区间的任何一个子区间即可 .因此,在已知函数f(x)是增函数(或减函 数)求参数的取值范围时,应令f '(x)≥0(或f '(x)≤0)恒成立,解出参数的取 值范围(一般可用不等式恒成立理论求解 ),然后检验参数的取值能否使 f '(x)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去,若f '(x)不恒为0,则由 f '(x)≥0(或f '(x)≤0)恒成立解出的参数的取值范围即为所求 .
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,先求f(x)在(a,b)内的极值;将f(x)
的各极值与f(a)、 f(b)比较,其中最大的一个是③ 最大值 ,最小的一
个是④ 最小值 . 4.可导函数的极值点必须是导数为零的点 ,但导数为零的点不一定是极 值点,如f(x)=x3在x=0处的导数f '(0)=0,但x=0不是它的极值点,也就是说, 可导函数在x=x0处的导数f '(x0)=0是该函数在x=x0处取得极值的必要不 充分条件.特别地,函数的不可导点也可能是极值点 . 5.函数的极值与函数的最值的区别 :函数的极值是一个局部性概念 ,而最 值是某个区间的整体性概念 ;函数的极值可以有多个,而函数的最大(小) 值最多只有一个. 6.极值点不一定是最值点,最值点也不一定是极值点,但如果连续函数在 开区间(a,b)内只有一个极值点,则极大值就是最大值,极小值就是最小 值.
当-1≤x≤1时,x+1≥0,又a≥2,
所以x2-x-a≤0,
故g(x)≤0,所以F(x)=x3-x.? (13分)
由F'(x)=3x2-1=0,
得x=±?3 , 3
? ? 所以函数F(x)在区间???1,?
?
3 3
?? 和 ??
??
3 3
,1??上单调递增,
?
? 在区间???
?
3, 3
3 3
??上单调递减,
例1 (2017浙江湖州期末调研,20)已知a≥2,函数F(x)=min{x3-x,a(x+1)}. (1)若a=2,求F(x)的单调递减区间; (2)求函数F(x)在[-1,1上] 的最大值.
解题导引 (1)写成分段函数→利用导函数小于零得单调减区间 (2)由条件得F(x)=x3-x→利用导数得F(x)的单调性→利用单调性得F(x) 的最大值
例2 (2017浙江台州调研卷(一模),20)已知函数f(x)=?1 x3+?1 ax2+bx(a,b∈
32
R). (1)若函数f(x)在(0,2)上存在两个极值点,求3a+b的取值范围;
(2)当a=0,b≥-1时,求证:对任意的实数x∈[0,2],f|(x)|≤2b+?8 恒成立.
3
解题导引 (1)由导函数在区间(0,2)上有两个不同的零点,得关于a,b的不等式组→由线 性规划知识得结论 (2)分b≥0和-1≤b<0讨论,利用导数判断函数的单调性→求函数|f(x)|在
?
? ? 所以F(x)max=max
?? ?
F
? ?
?
??
3 3
? ?, ?
F
(1)??? ?
ຫໍສະໝຸດ Baidu
=max
?
? ?
2
9
3
,0
?
? ?
=?2
9
3
.?
(15分)
评析 本题考查分段函数,利用导数判断函数的单调性 ,求函数的最值, 考查逻辑推理能力和化归与转化思想 .
方法 2 函数的极值和最值的解题策略
在闭区间[ a,b]上连续的函数f(x)的最大(小)值,是开区间(a,b)内所有极大 (小)值与端点处函数值f(a)、f(b)中的最大(小)值.函数的最大(小)值与函 数的单调性密不可分,研究函数的最值,一般先研究导函数的符号,进而 确定函数的单调性,最后再求函数的最值.
高考数学
§3.2 导数的应用
知识清单
考点一 导数与单调性
1.设函数y=f(x)在某个区间内可导,若f '(x)>0,则f(x)为增函数;若f '(x) <0,则f(x)为减函数. 2.在确定函数的单调区间,求函数的极大(小)值时,都应先考虑所给函数 的定义域,函数的单调区间应是其定义域的子集 . 3.当求出的函数单调区间(如单调增区间)有多个时,不能把这些区间取 并集. 4.f '(x)>0(或f '(x)<0)是f(x)在某一区间上为增函数(或减函数)的充分不必 要条件.
?
?,
?
? 由F
'(x)<0,得-? 3
3
<x<? 3
3
,所以F(x)在区间??
?
?
3, 3
3 3
?
? ?
上单调递减.?
(6分)
当x>2时,F(x)=2x+2在区间(2,+∞)上单调递增,
? 所以,F(x)的单调递减区间是???
?
3, 3
3 3
??.?
?
(7分)
(2)令g(x)=x3-x-a(x+1)=(x+1)(x2-x-a).? (9分)
解析 (1)若a=2,则x3-x-a(x+1)=x3-x-2(x+1)=(x+1)(x2-x-2)=(x+1)2(x-2),
? 所以F(x)=
? ?
x3
?
x,
x
?
2,
?
(3分)
?2(x ? 1),x ? 2.
? ? 当x≤2时,
F
'(x)=3x2-1=3
? ?
x
?
?
3 3
?
? ?
?
? ?
x
?
3 3