2006北航应用数理统计试期末考试题及参考答案
1月北京航空航天大学数学分析期末试题答案
北京航空航天大学2005-2006学年第一学期考试统一用答题册考试课程数学分析B班级成绩姓名学号20XX年1月数学分析(上)期终考试试题班级 学号 姓名 日期：2006.1.20一、填空题（每小题4分，共20分）1． sin 0tan 00limx →+⎰⎰= 12． 不定积分dx x ⎰sec = ln sec tan x x C ++3． 设()f x 有一阶连续导数，则'()d f x x ⎰=()f x C +，10'(2)d f x x ⎰=[]1(2)(0)2f f -。
4． 设函数()2xf x xe -=，则()f x 在0=x 处的5阶带Peano 余项的泰勒公式为()3551()2f x x x x o x =-++ 5． 111lim ......12n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭= ln 2 二、单项选择（每小题4分，共20分）1. 设()f x 连续, 220()()d x F x f t t =⎰, 则 '()F x 等于 【 C 】A. 4()f xB. 24()x f xC. 42()xf xD. 22()xf x2．下列命题中正确的是 【 B 】.A 若级数1n nn u v∞=∑收敛，则2211,nnn n uv∞∞==∑∑一定都收敛。
B ．若级数2211,nnn n uv∞∞==∑∑收敛，则1n nn u v∞=∑ 一定收敛 。
.C 若正项级数1n n u ∞=∑发散，则必有 1,1,2,3n u n n>= 。
.D 若1nn u∞=∑收敛，且,1,2,3,.....n n u v n ≥=，则1nn v∞=∑也收敛。
3． 设正项数列{}n a 单调递减 ，()11nn n a ∞=-∑发散，则级数111nn n a ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ 【 C 】A. 和等于1 B . 发散C . 收敛 D. 收敛性不能确定4. 设 1220011()d d 11xxF x t t t t =+++⎰⎰，则 【 B 】 A ．()0F x ≡ B.()2F x π≡C. ()arctan F x x =D.()2arctan F x x =5. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00 ,1sin )(x x x x x f , 则⎰=x dt t f x F 0)()(在x = 0处 【 D 】Ａ．不连续 Ｂ. 连续但不可导Ｃ．连续且可导 D . 导函数连续三、计算题（每小题6分，共24分）1.x x d arctan⎰1arctan 11arctan (1)x x dx x dx x xx C x C=-=+++=+=+⎰⎰ 2. 221d (1)(2)x x x x +++⎰ 2245112(1)24ln 15ln 21dx x x x x C x⎛⎫=-+ ⎪+++⎝⎭=--+++++⎰3.x x xd ln 12⎰∞+221111211ln -1ln 1d ln d d x 11d 1x x x x x x x x x x x +∞+∞+∞+∞+∞+∞⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭==-=⎰⎰⎰⎰4. 设D 是由曲线 1sin +=x y 与三条直线 0,,0===y x x π 所围成的曲边梯形，求D 绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积。
应用统计学期末复习试卷8套含答案大学期末复习资料
E．样本指标是样本变量的函数
9．销售额与流通费用率，在一定条件下，存在相关关系，这种相关关系属于（）。
A．正相关B．单相关
C．负相关D．复相关
E．完全相关
10．职工平均工资上调8%，职工人数减少了10%，则（）。
A．平均工资指数为108%B．职工人数指数为90%
6．任何两个总体比较其平均数的代表性时，都可以采用标准差指标。
7．所谓序时平均数就是将同一总体的不同时期的平均数按时间顺序排列起来。
8．全面调查包括普查和统计报表。
9．某地区某年人均工资7500元，这是个相对指标。
10．若逐期增长量每年相等，则其各年的环比发展速度是年年下降的。
四.计算题(20%,每小题10分)
E．平均增长速度
7．某企业产品总成本报告期为183150元，比基期增长10%，单位成本综合指数为104%，则（ABC）。
A．总成本指数为110%
B．产量增长了%
C．基期总成本为166 500元
D．单位成本上升使总成本增加了7 044元
E．产量增产使总成本增加了9 606元
8．简单随机抽取调查单位时其方法有（ABE）。
2．某地区粮食生产资料如表5-21所示。
表5-21某地区粮食生产资料
耕地每公顷生产量分组（千克）
耕地面积（万公顷）
5 250以下
5 250～6 000
6 000～6 375
6 375～6 750
6 750～7 050
7 050～7 500
3．将某地区40个工业企业按产值多少分组而编制的变量数列中，变量值是（D）。
A．产值B．工厂数
C．各组的产值数D．各组的工厂数
北航数理统计答案
北航数理统计答案【篇一：北航数理统计考试题】术部2011年12月2007-2008学年第一学期期末试卷一、（6分，a班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体n(?,?2)的样本，令t?x?x)，试证明t服从t-分布t（2）二、（6分，b班不做）统计量f-f(n,m)分布，证明1f的?（0?1）的分位点x?是1f1??(n,m)。
三、（8分）设总体x的密度函数为?(1??)x?,0?x?1p(x;?)??0,其他?其中???1，是位置参数。
x1，x2，…，xn是来自总体试求参数?的矩估计和极大似然估计。
四、（12分）设总体x的密度函数为?1?x???exp???，x???p(x;?)??????，??0,其它其中???????,?已知，??0,?是未知参数。
x1，x2，…，xn是来自总?体x的简单样本。
（1）试求参数?的一致最小方差无偏估计?；（2）?是否为?的有效估计？证明你的结论。
五、（6分，a班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体n(?简单样本，y1，y2，…，yn是来自正态总体n(?两样本相互独立，其中?设h0:?1??2,h1:?1??2,1221?,?1)2的,?2)的简单样本，且21,?1,?2,?222是未知参数，???22。
为检验假可令zi?xi?yi, i?1,2,...,n ,???1??2 ,则上述假设检验问题等价于h0:?1?0,h1:?1?0,这样双样本检验问题就变为单检验问题。
基于变换后样本z1，z2，…，zn，在显著性水平?下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。
六、（6分，b班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体n(?简单样本，?0已知，?2未知，试求假设检验问题h0:?2,?)02的??0,h1:?22??02的水平为?的umpt。
七、（6分）根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？八、（6分）设方差分析模型为?xij????i??j??ij?2??ij服从正态总体分布n(0,?)且?ij相互独立??i?1,2,...,p;j?1,...,q?pq??和?满足??i?0,??j?0.j?ii?1j?1?总离差平方和pst?sa?sb?se中sa?q?(xi??x),x?i?1x??pqi?1j?11pqij,xi??1qijx?qj?1,且e(se)=(p-1)(q-1)?.?...??p?0的拒绝2试求e(sa)，并根据直观分析给出检验假设h0:?1??2域形式。
北航数理统计期末考试题
材料学院研究生会学术部2011年12月2007-2008学年第一学期期末试卷一、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，令)x x T -=，试证明T 服从t -分布t （2）二、（6分，B 班不做）统计量F-F(n,m)分布，证明111(,)F F n m αααα-的（0<<1）的分位点x 是。
三、（8分）设总体X 的密度函数为其中1α>-，是位置参数。
x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计。
四、（12分）设总体X 的密度函数为1x exp x (;) 0 , p x μμσσσ⎧⎧-⎫-≥⎨⎬⎪=⎭⎨⎩⎪⎩，其它，其中,0,μμσσ-∞<<+∞>已知，是未知参数。
x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本。
（1）试求参数σ的一致最小方差无偏估计σ∧； （2）σ∧是否为σ的有效估计？证明你的结论。
五、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体211(,)N μσ的简单样本，y 1，y 2，…，y n 是来自正态总体222(,)N μσ的简单样本，且两样本相互独立，其中221122,,,μσμσ是未知参数，2212σσ≠。
为检验假设012112:, :,H H μμμμ=≠可令12, 1,2,..., , ,i i i z x y i n μμμ=-==-则上述假设检验问题等价于0111:0, :0,H H μμ=≠这样双样本检验问题就变为单检验问题。
基于变换后样本z 1，z 2，…，z n ，在显著性水平α下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。
六、（6分，B 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体20(,)N μσ的简单样本，0μ已知，2σ未知，试求假设检验问题22220010:, :H H σσσσ≥<的水平为α的UMPT 。
2010新版北航研究生应用数理统计习题参考答案
n
xi 1
2
1
n
2n
e
2
(1 x )
， 1 xi （ i ）
由 2 0 ，则似然函数为 1 的单调递增函数，且 - 1 xi （ i ） ，由极大似
ˆ min{x } 。 然估计定义可知， 1 的极大似然估计为 1 i
i
对 2 ， ln L(1， 2 ) -n ln 2
- 2 ， x1 ，x 2 ，…，x n 为来自总体的简单样本，求参数 1 及 2 的极大似然估计。
解：由 f ( x;1 , 2 ) 为概率密度函数可知， 2 0 。 似然函数为 L(1 , 2 ; x1 , x2 ,, xn )
1
2n
e
i 1
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北京航空航天大学
研究生应用数理统计
书后部分习题解答整理版
ˆ 0 min{xi } 。 x 0 的极大似然估计为 x
i
12. （ P81.11） ）设总体 X 的概率密度函数为 f ( x;1 , 2 )
1
2
e
x 1
2
， - 1 x ，
2 1m
2
2 (n 1) S 2 n
2
( x 1 ) ( y 2 )
2 (m 1) S12m (n 1) S 2 n mn2
2
m
2
n
~ t (m n 2) 。
6． （ P80.1）设总体 X 服从两点分布 B(1, ) ， 0 1 ， x1 ， x 2 ，…， x n 为简单随机样 本，⑴ 求 q( ) Var ( x ) ；⑵ 求 q( ) 的频率估计。
2006北航应用数理统计期末考试试题及参考答案
2006级硕士研究生《应用数理统计》试题一、选择题（每小题3分，共12分）1.统计量T~t（n）分布，则统计量T2的α（0<α<1）分位点xα（P{T2≤xα}=α）是（）A.212()t nα-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 12()t nα+C.12()t nα-D212()t nα+⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.设随机变量X～N(0，1)，Y～N(0，1)，则（）A. t-分布B.X2+Y2服从2χ-分布C. X2和Y2都服从2χ-分布D. X2/Y2服从F-分布3.某四因素二水平实验，选择正交表L8(27)，已填好A，B，C三个因子，分别在第一，第四，第七列，若要避免“混杂”，应安排因子D在第（）列.A.5 B.2 C.3 D.6（1） 3（2）21（3）567（4）4761（5）74523（6）654321（7）4.假设总体X服从两点分布，分布率为P{X=x}=p x(1-p)1-x，其中x=0或1，p 为未知参数，X1,X2,…，Xn 是来自总体的简单样本，则下面统计量中不是充分统计量的是（ ）A. 1i ni X =∑ B. 11i n i X n =∑ C. 111i n i X n =-∑ D. 11i ni X p n =-∑二.填空题(每小题3分,共12分)1. 设X1,X2,…，Xn 是来自总体N(0，2σ)的简单样本,则常数c=_________mic X ∑服从t-分布（1m n ≤<），其自由度为____________2. 设X1,X2,…，Xn 是来自总体N(μ，2σ)的简单样本,其中2σ已知。
则在满足P{X a X b μ-≤≤+}=1-a 的均值μ的置信度为1-α的置信区间类{[,X a X b -+]:a ,b 常数}中区间长度最短的置信区间为（ ）3. 设X1,X2,…，Xn 是来自总体N(μ，2σ)的简单样本, μ已知，则2σ的无偏估计22111()1n k k S X X n ==--∑，22211()n k k S X n μ==-∑中较优的是（ ）4．在双因素实验的方差分析中，总方差T S 的分解中包含误差平方和2.111()pqrE ijk i j i j k S x x ====-∑∑∑，则E S 的自由度为（ ）三，（12分）设X1,X2,…，Xn 来自指数分布10()00xe xf x x θθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 的简单样本，试求参数θ的极大似然估计θ∧，它是否是无偏估计？（2）求样本的Fisher 信息量；（3）求θ的一致最小方差无偏估计;(4)问θ∧是否是θ的有效估计？四．（6分，A 班不做）在多元线性回归Y X βε=+中，参数β的最小二乘估计为1(')'X X X Y β∧-=，残差向量为1((')')e Y Y I X X X X Y ∧-=-=-。
应用数理统计期末试卷 (2)
应用数理统计期末试卷题目一一位医生想要调查 COVID-19 病例在抵达医院时的体温情况，他随机抽查了50 名确诊患者，记录了他们入院时的体温（单位：摄氏度），得到以下数据：37.1 37.2 38.5 37.8 38.138.2 38.4 37.9 38.3 37.638.0 38.2 37.4 38.5 38.637.3 37.9 38.9 37.8 37.538.6 37.7 38.4 37.1 38.137.4 38.3 37.9 37.7 37.638.0 38.2 38.8 37.5 38.338.1 38.5 37.8 37.9 38.737.6 37.7 37.9 38.3 38.0请根据这份数据回答以下问题：1.请计算这 50 名患者的平均体温并进行解释。
2.请建立适当的直方图并解释。
3.请计算这批数据的标准差并解释。
题目二一项关于发动机寿命的研究显示，在正常使用情况下，某型号航空发动机寿命服从均值为 1200 小时、标准差为 100 小时的正态分布。
为了确保安全，该型号发动机的安全寿命必须在 1000 小时以上。
在一架飞机上，该型号的 5 台发动机已经工作了 895、1020、1140、1260 和1375 小时。
请回答以下问题：1.五台发动机的寿命各是多少，哪台发动机应该先更换？2.如果该型号发动机的标准差为 80 小时，五台发动机的寿命各是多少，哪台发动机应该先更换？题目三在某公司的管理培训课程中，有 120 名学员参加了一次考试，总分为 100 分。
以下是这 120 名学员的成绩：49 59 63 86 71 62 75 71 82 7259 51 58 64 57 27 68 76 80 4671 67 48 64 65 45 57 69 90 5261 51 29 41 77 57 65 58 72 4150 63 73 51 55 61 83 84 92 6491 69 60 72 70 88 89 86 77 5980 80 34 52 59 73 60 69 37 4634 66 67 86 56 41 65 93 73 8958 62 54 47 83 64 44 53 40 8571 67 35 45 73 73 59 81 56 7368 55 49 65 79 69 96 47 60 34请回答以下问题：1.请计算这批成绩的平均分、中位数、众数、极差、四分位数并进行解释。
北航数理统计期末考试题
材料学院研究生会学术部2011 年12 月2007-2008学年第一学期期末试卷一、(6 分，A 班不做)设x1，x2，⋯，x n是来自正态总体N( , 2) 的样本，令2(x1 x2)T(x3 x4)2 (x5 x6)2 ，试证明T 服从t-分布t(2)二、( 6 分， B 班不做 ) 统计量F-F(n,m) 分布，证明1的 (0< <1)的分位点x 是1。
F F1 (n,m) 。
三、(8分)设总体X 的密度函数为其中1，是位置参数。
x1，x2，⋯，x n是来自总体X 的简单样本，试求参数的矩估计和极大似然估计。
四、(12分)设总体X 的密度函数为1xexp ，xp(x; )0 , 其它其中, 已知，0, 是未知参数。
x1，x2，⋯，x n 是来自总体X 的简单样本。
1)试求参数的一致最小方差无偏估计；2) 是否为的有效估计？证明你的结论。
五、(6分，A 班不做)设x1，x2，⋯，x n是来自正态总体N( 1, 12) 的简单样本，y1，y2，⋯，y n 是来自正态总体N( 2, 22) 的简单样本，且两样本相互独立，其中1, 12, 2, 22是未知参数，1222。
为检验假设H0 :可令z i x i y i, i 1,2,..., n ,1 2 ,1 2, H1 : 1 2,则上述假设检验问题等价于H0 : 1 0, H1: 1 0,这样双样本检验问题就变为单检验问题。
基于变换后样本z1，z2，⋯，z n，在显著性水平下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。
六、(6 分，B 班不做)设x1，x2，⋯，x n是来自正态总体N( 0, 2) 的简单样本，0 已知，2未知，试求假设检验问题H0: 202, H1: 202的水平为的UMPT。
七、(6 分)根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？八、(6 分)设方差分析模型为总离差平方和试求E(S A ) ，并根据直观分析给出检验假设H0 : 1 2 ... P 0的拒绝域形式。
航空航空数学期末考试试题及答案
航空《航空数学》期末考试试题及答案基本信息：[矩阵文本题] *1. 下列语句是命题的是（）. [单选题] *A. 4大于3吗?B. 请关门C. x大于yD. 4>3(正确答案)2. 下列命题是真命题的是（） [单选题] *A. 正方形是矩形,且正方形是菱形(正确答案)B. -1<0,且-1是正数C. π>3,且π是有理数D. 3是偶数,且2是奇数3. 下列命题是假命题的是（） [单选题] *A. 5>4,或5=4B. 5>5,或5=5C. 5<4,或5=4(正确答案)D. 实数a的绝对值等于a或-a.4.下列命题不是简单命题的是（） [单选题] *A. 5>4B. 5=5C. 5<4D. 4≤5(正确答案)5. 下列不是复合命题的联结词的是（） [单选题] *A. 且B. 或C. 不是D. 联结(正确答案)6. 当p为真，q为假时,下列复合命题是真命题的是（） [单选题] *A. p且qB. p或q(正确答案)C. 非pD. 以上都不是7. 设p和q是两个命题,如果p q,那么称p是q的（）[单选题] *A. 充分条件(正确答案)B. 必要条件C. 充分必要条件D.等价条件8. ab>0是a>0且b>0的（） [单选题] *A. 充分条件B. 必要条件(正确答案)C. 充分必要条件D.等价条件9. (1) 如果p,那么q;(2) 如果q,那么p,则(2)叫做(1)的（） [单选题] *A. 逆命题(正确答案)B. 否命题C. 逆否命题D.假命题10.如果原命题是真，下列正确的是（） [单选题] *A. 逆命题一定真B.否命题一定假C. 逆否命题一定真(正确答案)D.逆命题一定假11. (1) 如果p,那么q; (2) 如果非q,那么非P。
则 (2)叫做(1)的（） [单选题] *A. 逆命题B. 否命题C. 逆否命题(正确答案)D.假命题12. (1) 如果p,那么q; (2) 如果非p,那么非q; 则 (2)叫做(1)的（） [单选题] *A. 逆命题B. 否命题(正确答案)C. 逆否命题D.假命题13. 若植树这件事的算法表示为:挖坑→栽树苗→填土→浇水，这种算法结构为（） [单选题] *A. 顺序结构.(正确答案)B. 条件结构C. 循环结构.D.模块结构14.不属于算法的三种结构的是（） [单选题] *A. 顺序结构.B. 条件结构C. 循环结构.D.模块结构(正确答案)15.有关数组，下列叙述不正确的是（） [单选题] *A. 两个数组之和即两个数组的对应分量相加,得到的新数组B. 两个数组之差即两个数组的对应分量相减,得到的新数组C. 数组中分量的个别数叫做数组的维数D. 数组的加、减运算的维数不必相同.(正确答案)16. 有关数乘，下列说法不正确的是（） [单选题] *A. 数乘就是一个实数乘一个数组B.数乘的法则就是把实数分别与分量相乘C.数乘后还是一个数组D.数乘后数组的维数会改变.(正确答案)17.有关数组的内积,下列说法正确的是（） [单选题] *A. 内积即是数乘,即一个实数与数组的乘积B. 不同维数的数组可以求内积C. 两数组的内积还是一个数组D.内积的结果是一个实数(正确答案)18.对编制计划的理解下列不正确的是（） [单选题] *A.编制计划就是对工作进行合理的安排B. 一个合理的计划不需考虑工期。
《应用数理统计》考试试题与参考答案
《应用数理统计》试卷 第 1 页 共 4 页《应用数理统计》期末考试试卷一、单项选择题：(每小题2分，共20分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1、设随机事件A 与B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则（ ）A.P(A)=1-P （B ）B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(A ∪B)=1D.P(AB )=1 2、设A ，B 为随机事件，P(A)>0,P （A|B ）=1，则必有（ ） A.P(A ∪B)=P(A) B.A ⊂B C.P(A)=P(B) D.P(AB)=P(A)3、将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ ）A.2422B .C C 2142 C .242!A D.24!!4、某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为34，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是（ ） A.()343B.41)43(2C. 43)41(2D.C 4221434()5、已知随机变量X 的概率密度为f X (x )，令Y=-2X ，则Y 的概率密度f Y (y)为（ ）A.2f X (-2y)B.f X ()-y2C.--122f y X () D.122f y X ()- 6、如果函数f(x)=x a x b x a x b,;,≤≤或0<>⎧⎨⎩是某连续随机变量X 的概率密度，则区间[a,b]可以是（ ）A.〔0，1〕B.〔0，2〕C.〔0,2〕D.〔1，2〕7、下列各函数中是随机变量分布函数的为（ ）A.F x xx 1211(),=+-∞<<+∞B..0,1;0,0)(2x x x x x F ≤C.F x e x x 3(),=-∞<<+∞-D.F x arctgx x 43412(),=+-∞<<+∞π8 则P{X=0}=A.112B.212 C. 412 D. 5129、已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E(XY)=（ ） A. 3 B. 6 C. 10 D. 12 10、设Ф(x)为标准正态分布函数，X i =10,,事件发生；事件不发生，A A ⎧⎨⎩ i=1，2，…，100，且P(A)=0.8,X 1,X 2,…,X 100相互独立。
《应用数理统计》习题解答
2214243.(1)[||]0.140(2)[||]0.144(,4),(,),(0,)[||]20.1800255(3){||0.1}2(10.9521.9615372tnE a D nnE aN a N a t a NnnE t t dtnP t Pnξξξξξξπ-+∞-==≤⇒=-≤=-==≤==≤=≤=Φ-≥=⇒≥⎰《应用数理统计》参考答案习题一0.51.(,0.5)(,){||0.1}0.9972.97442N a N anP a Pnξξξξ⇒-<=<==⇒=2242.(,4)(,)100||(1)(||)()0.90,0.330.20.2(2):P(||)N a N aa UP a U P Uaξξξξσξεε⇒--<=<==-≥≤挈比学夫不等式(5)(5)125515(3){15}1{15}1{15,15,,15}1215121[{}]221[1(1.5)]0.292P P P P ξξξξξξ>=-≤=-≤≤≤--=->=--Φ=1121212111()(1){}{,,,}{1,1,,1}()()(1)(1)k n n nn m nm n m n m ni i P k pq P M m P m m m P m m m pqpq q q ξξξξξξξ----======≤≤≤-≤-≤-≤-=-=---∑∑4.5. 6. 13.0)25(1}8.012138.012{}13{)54,12(~)1()4,12(~=Φ-=->-=>ξξξξP P N N (1)(1)1255511515(2){10}1{10}1{10,10,,10}1[{10}]1[1{10}]1210121[1{}]221[11(1)]0.579P P P P P P ξξξξξξξξ<=-≥=->>>=->=--≤--=--≤=--+Φ=6(1)0.001567.2800~(0.0015)(1){800}[{800}][0.0015]x E P P e dx e ξξξ∞-->=>==⎰6(6)30000.00156 4.56(2){3000}[{3000}][0.0015](1)x P P e dx e ξξ--<=<==-⎰1212(2){}{,,,}{1,1,,1}n n nn P K k P k k k P k k k ξξξξξξ==≥≥≥-≥+≥+≥+7．8.均值的和（差）等于和的均值，方差的和差都等于方差的和9.由中心极限定理：10.11.22222(1)(1)(1)()222~()()()[()](,)it itit n e n n e n e it i t t tn it it n n nn p t e t t ee n e e e N n λξλλξξλλλλλξλϕϕϕλξλ---+--∴=∴======∴12121233~(20,3),~(20,),~(20,)10151~(0,)2{||0.3}1220.67N N N N P P ξξξξξξξξξ-∴->=->=-Φ=2(),(),E a D ξξσ==121(0,1)(0,1)~(,)n n i i i ni i na a n N N N a n nξξσξσξ==--∴∴=∑∑∑22222222,(),()()(),(),(),(,)k k k k k k k k k k k k k kk k E a E a D E E a a a a E A a D A n a a A N a nξξξξξ===-=--∴==-∴22121212222(),()(),()0,()()()2,()()()2,i i E E a D D E D D D E E D ξξξξσξξξξξξσξξξξξξσ====∴-=-=+=∴-=-+-=13.14.15.16.2212221221,(),(),()()0,()()()(1),11[()](1)1niii ii i iniiniiE a E a D DnE D D DnDn D nDES n Dn nE ES Dn n nσξξξσξξξξξξξσξξξξξξξ=======∴-=-=+--===--==--∑∑∑222222222424222(1),11()(1)()2(1)21 ()2(1)() nsnns nE n Es On nns nD n Ds On n n χσσσσσσσ--=-⇒==+-=-⇒==+112323''' '2(121)(1)()()()()5231()(121)23023021AD E E E EA E E A AVar Aξξξξξξηξηηηηηξξξξξ⎛⎫⎪-+=-==⎪⎪⎝⎭=--=--⎛⎫⎛⎫⎪⎪==--=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭11223''''110(2)(,)111()()()()5231()(121)23023021BE E E EB E E B BVar Bξηηηξξξηηηηξξξξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪===⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭∑=--=--⎛⎫⎛⎫⎪⎪==--=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭11222211()2822121(2)||2241128116xx xxe dx dxπ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪∞∞⎝⎭⎝⎭-∞-∞-=∑-⎛⎫⎛⎫∑==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰⎰17.18.21.22.()11223'122'111110(,),211151,1101221111111100130111100310110N A A AAA Aξηξηξηηθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭∑⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪∑=-=⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭‘＝，由引理1.2.3，则－的联合分布为－－11223''12111111~(,),1011111432111111121301111210.2N A A AA Aξηξξηξηθρρρρρρρρρηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭∴∑⎛⎫⎛⎫+--⎛⎫⎛⎫⎪⎪∑=-=⎪ ⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎪-⎝⎭⎝⎭∴--=⇒=-＝=A，－－时与独立2''44''22'''''' 44224(0,)(,)()()2()()()()()cov(,)(,)()() ()()2()()()2()nN IE A B tr A tr B tr ABE A E B tr A tr BA B E A B E A E Btr A tr B tr AB tr A tr B tr AB ζσζζζζσσζζζζσσζζζζζζζζζζζζσσσσσ=+=∴=-=+-=()11112222121122,1,1,0822177,122477yay y Qyba babθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫--=⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⇒===-=⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫∴=∑== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭23.24.又 则令 则与 独立，则 与独立，且26.则2212221~(,),~(0,),~(1),(0,1)/(1)n n N a N n n ns n N T t n σξξξσξξχσξξ++----=-'11111(,,),(,,)111(,,),()11n n n ij n n n n i i i ia a B D nn n ξξθξσσσσδσσ⨯======-∑∑'2,0,D D D BD ===221(,)(,)1()n ni i nnB N a N I ηξθσσ===∑,i i i aξγσ-=2'11,()()()ni i i a D n ηγζγγξθξθσ=-==-=--∑∑B nηξ=ξηζ)1(~2-n χζ11(,)22U ξθθ-+(1)()121111221111()2201()121()()[1()]1[]21()()[()][]2(,)(1)()()[()()](1)[]n x n n n n n n n x f x other F x dx x f x nf x F x n x f x nf x F x n x f x y n n f x f y F y F x n n y x ξξθξξθθθθθ-------⎧-<<+⎪=⎨⎪⎩==-+∴=-=⋅⋅-+==⋅+-=--=⋅-⋅-⎰27.33.2222122222212222(0,),1()||2 ()()()()22(1)iyniniiY a NE d Y dynaD dE d E d Ennn nσξσσξσσσπσσσππ-∞-∞===-==-=-=-=⋅-=-∑⎰∑2222122122210.3(0,0.3),(0,)1010()(9)0.310()100.18{}0.30.3{(2}0.01iniiniiniN NPPξξξξχξξξ===--⨯<=<=∑∑∑222(2)(0,1),(1)0.3(9){0.9}0.9932nsN ntP Psnξχσξξξ--<=<=12121222221221212(3)(0,0.18),(0,0.18)(0,1),(0,1)0.18(1),()(1)0.18{()40}0.9N NN NPξξξξχχξξξξ+-+-+<=-224132244(4)~(1),~(0,0.12),10.73 {10.73}{}0.95NP Pξχξξξξ-<=<=34.《应用数理统计》参考答案2211222212222211(1)(0,),(0,)(1),()(1)11,()()(2)nn miii i n nniii nn mi i i i n N n N m n m m a b n m a b n m ξσξσξξχχσσσξξχ+==+=+==+--==++-∑∑∑∑∑∑222211112(2)(),(0,)(0,1),/(),n mni ii n i nniii i i m N n N t m c m n ξχξσσξξσσ+=+===∴=∑∑∑∑∑2222221121221(3)(),()()/(1,1),/nn mi i i i n ni i n mi i n n m n mF n m d nm ξξχχσσξσξσ+==+=+=+--∴=∑∑∑∑1. 由矩估计法2. (1) 由矩估计法(2)(3)(4)(5)818226212266174.00281610(74.002)88610 6.85710181ii i i a X x S x n S S n σ=-=--⎧===⎪⎪⎨⎪==⨯=-⎪⎩∴==⨯⨯=⨯--∑∑11'1202()33A x EX x dx θαξθθαξθθξ==-====∴=⎰111'101(1)2211A EX x x dx θαξθαθξθξθξ==+==+==+-∴=-⎰1211211122222221212222222121112()2x x n i i e xdx e x dx A X n A S S S θθθθθθαθθξθαθθξθξθξθθξθξθ--+∞--+∞==⋅=+==⋅===+∴=+==-+⎧=-⎪∴⎨=⎪⎩⎰∑⎰111(1)122Ni N NA x N NN ξξ=+===⋅⇒=∑11102()1A dx ξξθξ===⇒=-⎰2∞3.4.2()2{0},(){0}{}()0.7,110.7,0.525x aA X AP A P dxa aP a pp aξξξ--=<=<=--=<=Φ-=≈∴≈=-⎰设表示出现的次数，(1)11111(1)()ln()[ln ln(1)ln]ln()1[ln ln]ln ln0 ln lnniiniin ni ii iniiL c xL c xLc x n c xnnx n cθθθθθθθθθθθθθ-+=======+-+∂=+-=+-=∂=-∏∑∑∑∑1111221(2)()ln()[ln1)ln]ln()]0(ln)niniiniiniiLL xLxnxθθθθθ======+∂=+=∂=∑∑∑11()()()()11(3)()ln()lnln()11,,,,()0,0,11,()()nnin nn nnn nnnLL nL nLother otherL Lθθθθθθθθξξθξθθθθθξθξθξ====-∂=-=∂⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩≤≤=∏11()()()()11(3)()ln()lnln()11,,,,()0,0,11,()()nnin nn nnn nnnLL nL nLother otherL Lθθθθθθθθξξθξθθθθθξθξθξ====-∂=-=∂⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩≤≤=∏5.221()212212241(5)()()ln()[ln]22()2()ln()[022in xiniini iiLxLx xLθθθθθθθθθθθθθξθ--====-=-----∂==∂=∑∑(1)11(1)11(1)(1)(6)()ln()[ln ln(1)ln]ln()(),,,()()nc ciiniinc ci niL c xL c c c xL ncL c xL Lθθθθθθθθθθθξξθξθξ-+==-+===--+∂=-=∂=≤≤⇒=∏∑∏不能解出，所以由22111(7)()1)(1)ln()[2ln(2)ln(1)ln(1)]2ln()22]01inxiini iiniiL xL x xx nL nθθθθθθθθθθθξ-====--=+--+--∂=-=⇒=∂-∏∑∑（~(,0)11nUξθ∏6.7.所以不唯一。
2006级概率论与数理统计试卷A卷参考答案[2]
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2006级概率论与数理统计试卷A 卷参考答案一、 1.D1(1)()X uu uP X u P σσ-+-≤+=≤注释：=1()σΦ2.C注释：参考课本第8页 3.A注释：连续型随机变量在某一个点上的概率取值为零，故A 正确 ？B 项是否正确 4.B注释：参考课本86页 5.A 二、1. 1.33(或者填13591024)2．25注释：参考课本86页3. 0.254. （X+Y ）～B(7,p)注释：E(X)=3p,E(Y)=4p,故E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3p+4p=7p;D(X)=3p(1-p),D(Y)=4p(1-p)且X 、Y 独立，故D(X+Y)=D(X)+D(Y)= 3p(1-p)+ 4p(1-p)设（X+Y ）～B(n,P),则有E(X+Y)=7p=nPD(X+Y)=3p(1-p)+4p(1-p)=nP(1-P)⎧⎨⎩解得n=7,P=p5. 2/52215041()5b 4(2)41(54)0,1 4.112555X f x ac X X X X P dx dx =∆=-=-⨯⨯-≥≤≥=+=⎰⎰的密度函数为方程有实根，则必须满足即或者故方程有实根的概率6.0.3522(35)112(35)9322242{24}0.15,{}0.15333200.1532233202222}33333E X EX D X DX X P X P X σσσσσσσσσσσσσσ+==+===---<<=<<=ΦΦ=-ΦΦ----<=ΦΦΦ由得由得因故所以（）-（）所以（）-（）=0.3P{X<0}=P{（）=[1-（）-（）]/2______=[1-0.3]/2=0.35?7. 相关 三、A=B =B =B =B B B B (B )|)0.50.9|)0.540.83P A ⨯⨯⨯⋅⨯====甲乙丙乙甲丙甲甲甲甲设“取出的产品是正品”； ?取出的产品是甲厂生产的” ?取出的产品是乙厂生产的” ?取出的产品是丙厂生产的”则P(A)=P(A )+P(A )+P(A ) =0.50.9+0.30.8+0.20.7=0.83P(A )P(A B P(B P(A)P(A)1__1___30.3_0.5_0.2(1)0.310.530.20.8XEX -⎛⎫ ⎪⎝⎭=-⨯+⨯+⨯= 五、10500022201____02(1)()1___021____02()11_0211(2)(510)1)()221111(3[(1)][(1)]2222_____012xx xx x x x x x e x f x e x e x F x e x P X e e x e dx x e dx x e x e EX x e dx x ----∞--+∞-∞-∞-∞⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩-<<=--⋅+⋅=-+--==⋅+⋅⎰⎰⎰0+0由题意故（）EX=202021211___[22][22]222(2x x x x x x x e dxx e xe e x e xe e DX EX ∞----+∞-∞=-++---==-=⎰+2EX)？六、2220001(0.005,0.035)0.0050.03510.02,(0.0350.005)0.000075212a 1(,),,())2120.0250.025200050{50}iii i i i i ii X i X U EX DX b X U a b EX DX b a Y X Y P Y P =+===-=+==-=<⨯=<=∑设为第台机床生产的次品率（注：对于均匀分布有设总次品率若要满足这批产品的平均次品率小于，则(25.8)<=Φ？试卷中没有给出(25.8)Φ的值，且直观上感觉(25.8)Φ的值太大了，故不能肯定题中的做法是否可行____,0_______2________()0__________2________()0__________22(2)0,0a b a b aba x ab y b a x ax ab y by bEX x dx EY y dy a b ππππππ--=⎧-≤≤-≤≤⎪⎨⎪⎩⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩=⋅==⋅=⎰⎰椭圆X Y (1)S 1故（x,y)的联合密度函数f(x,y)=ab其它X 的边缘密度函数f 其它Y 的边缘密度函数f其它222222222222,2424,3344()25,()4332(3),22()()a b a b a b EX x dx EY y dy a b a b DX EX EX DY EY EY a b a x a b y b x y a b πππππππππ--=⋅==⋅==-===-====-≤≤-≤≤⋅=⋅≠⎰⎰X Y 解得时，1f f ，故X与Y不独立ab八、555511___________5()1(1)(x z z Z dx ze dx e e F z z e ----≤⋅≤≤=-=-=--⋅-⎰⎰1z 1z的分布函数F(z)=P{Z z}=1-P(Z>z)=1-P{min(X,Y)>z}_______________=1-P(X>z,Y>z)=1-P(X>z)P(Y>z)当z 0时，P(X>z)=P(Y>z)=1故F(z)=1-1=0当0<z 1时，P(X>z)=P(Y>z)=故555555)z 1()1010__________________0()1(1)()__0_____________________0()65_______010_____________________1z z z e F z z F z z e e z f z e ze e z z ------>=-=≤⎧⎪=--⋅-≤⎨⎪⎩≤⎧⎪=--<≤⎨⎪>⎩当时，P(X>z)=0故所以0<z 11__________________z>1。
北航研究生数理统计答案完全版
) ， y ~ N ( 2 ,
2
n
)，
(m 1) S12m
2
~ (m 1) ，
2
2 (n 1) S 2 n
2
~ 2 (n 1) ，
于是有， ( x 1 ) ~ N (0,
2
m
2 ) ， ( y 2 ) ~ N (0,
2
n
2)，
则
( x 1 ) ( y 2 ) ~ N (0, (
解：
E( X )
1 1 1 xdx xdx 0 2 2(1 ) 1 1 2 1 1 (1 2 ) 2 2 2(1 ) 2 1 1 1 2 (1 ) 4 4 4
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北京航空航天大学
研究生应用数理统计
书后部分习题解答整理版
做矩估计， x
1 2 ， 4 1 。 2
ˆ 2x 可得 的矩估计，
9. （ P80.7）
解： （1）由分布函数得出概率密度函数
f ( x; )
d ( F ( x; ) x 1 x 1 dx 0x 1
n
2
(1 x ) ，
令
ln L n n - 2 (1 x ) 0 ，得到 2 x 1 ， 2 2 2
i
ˆ x ˆ x min{x } 。 于是 2 的极大似然估计为 2 1 i
13. （ P81.12） x1 ， x 2 ，…， x n 为来自总体 X 的简单样本，试证明下列估计量来自m ， nm n
。
ˆz 于是有，
北华航天工业学院概率论与数理统计期末复习题
复习题1.设123,,X X X 是取自总体X 的一个样本，α是未知参数，以下函数是统计量的为（ ）. A. ()123X X X α++ B. 123X X X ++ C. 1231X X X α D. ()32113i i X α=-∑2.设总体),(~2σμN X ，其中μ已知，2σ未知。
321,,X X X 是取自总体X 的一个样本，则非统计量是（ ）。
A.)(31321X X X ++ B. μ221+X X C. ),,max(321X X X D.)(12322212X X X ++σ。
3.设123,,X X X 为总体X 的样本，参数μ和σ均未知，则下列选项是统计量的是（ ）；A. 1233X X X σ++B. 123X X X μ++-C.1X μσ-D.222123X X X ++. 4. 设12,,...,n X X X 为取自总体()2,XN μσ的样本，则()k E X 的矩法估计量为____.A.()1ki X X n-∑ B.()11ki X Xn --∑ C.1kiX n ∑ D.11k i X n -∑ 5.设12(,,,)(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的一个样本，2122(1)____________.ni i n X X =-∑6.设随机变量21(),X t n Y X =，则Y 服从（）分布 A. (,1)F n B. (1,1)F C. (1,)F n D. ()2n χ 7. 下列关于 分布、t 分布和F 分布的分位数的性质正确的是（ ）.A. 1()()z n z n αα-=B. 221()()n n ααχχ-=C. 1()()t n t n αα-=-D.8.设12,,,n X X X 是来自总体2()n χ的分布, 则()_____.D X =2χ()()21211,1,n n F n n F αα=-9.设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的样本，X 为样本均值，2211()1ni i S X X n ==--∑，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（ ）。