七年级数学培优数与形的第一次联姻

专题5 数与形的第一次联姻

阅读与思考

数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的，我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助与几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想．

运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在一下几个方面：

1．利用数轴能形象地表示有理数； 2．利用数轴能直观地解释相反数； 3．利用数轴比较有理数的大小；

4．利用数轴解决与绝对值相关的问题．

例题与求解

【例1】 已知数轴上有A ，B 两点，A ，B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于_____________．

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

解题思路：确定A ，B 在数轴上的位置，求出A ，B 两点所表示的有理数．

【例2】 在数轴上和有理数c b a ,,对应的点的位置如图所示．有下面四个结论：

①0---a c c b b a ，④bc a -<1，其中，正确的结论有（ ）个．

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：从数轴上得到101<<<<-

【例3】 如图所示，已知数轴上点C B A ,,所对应的数c b a ,,都不为0，且C 是AB 的中点．如果0222=-+--+--+c b a c b c a b a ，试确定原点O 的大致位置．

解题思路：从化简等式入手，而2

b

a c +=是解题的关键．

【例4】 （1）阅读下面材料：

点B A ,在数轴上分别表示实数,,b a B A ,两点之间的距离表示为AB ．当B A ,两点中有一点在原点时，

当A 、B 两点都不在原点时，

①如图2，点A 、B 都在原点的右边|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝b －a ＝|a －b |；

②如图3，点A 、B 都在原点的左边，|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝b －a ＝|a －b |；③如图4，点A 、B 在原点的两边，|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝－b －（－a ）＝|a －b |； 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离|AB |＝|a －b |． （2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是______________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________________； ②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是______________，如果|AB |＝2，那么x 为_________； ③当代数式|x ＋1|十|x －2|取最小值时________，相应的x 的取值范围是___________．

（江苏省南京市中考试题）

解题思路：通过观察图形，阅读理解代数式b a -所表示的意义，来回答所提出的具体问题．

【例5】 某城市沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校，现规定一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，要使电脑调动台数最小，应该做怎样的安排？

（湖北省荆州市竞赛试题）

解题思路：通过设未知数，把调动的电脑台数用相关代数式表示出来．解题的关键是怎样将实际问题转化为求n a x a x a x y -+•••+-+-=21的最小值．

【例6】 如图，A 是数轴上表示－30的点，B 是数轴上表示10的点，C 是数轴上表示18的点，点C B A ,,在数轴上同时向正方向运动．点A 运动的速度是6个单位长度/秒，点B 和点C 运动的速度是3个单位长度/秒．设三个点运动的时间为t （秒）． （1）当t 为何值时，线段AC ＝6（单位长度）？

（2）t ≠5时，设线段OA 的中点为P ，线段OB 的中点为M ，线段OC 的中点为N ，求2PM －PN ＝2时t 的值．

（湖北省荆州市竞赛试题）

解题思路：（1）C B A ,,三点在数轴上同时向正方向运动，分别当A 点运动到C 点左侧和右侧两种情况来分析求解．

（2）先将N M P ,,三个点在数轴上表示的数分别写出来，因点M 始终在点N 左侧，则分为“点P 在N M ,左边”，“点P 在N M ,之间”，“点P 在N M ,右边”三种情况来求解．

能力训练

A 级

1．已知数轴上表示负数有理数m 的点是点M ，那么在数轴上与点M 相距m 个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是______________．

（江苏省竞赛试题）

2．如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么B A ,两点的距离为______________．

3．点B A ,分别是数3-，2

1-

在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动到'

'B A 的中点对应数3，则点'

A 对应的数是________________，点A 移动的距离是____________．

（“希望杯”邀请赛试题）

4．已知0>a ，0

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

5．在数轴上任取一条长度为9

1

1999

的线段，则此线段在数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）． A ．1998 B ．1999 C ．2000 D ．2001

（重庆市竞赛试题）

6．如图，b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

（“祖冲之”邀请赛试题）

7．有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，式子c b b a b a -++++化简结果为（ ）． A ．c b a -+32 B ．c b -3 C ．c b + D ．b c -

8．如图所示，在数轴上有六个，且EF DE CD BC AB ====，则与点C 所表示的数最接近的整数是（ ）．