高三文科数学一轮复习不等式64PPT课件
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第四节基本不等式课件高三数学一轮复习
基本不等式再理解:变形公式
ab a b (a 0,b 0) 2
和定积最大
积定和最小
2.利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当_x__＝__y__时，x＋y 有
_最___小___值是__2__p___．(简记：积定和最小)
(2)如果和 x ＋y 是定值 p，那么当且仅当_x_＝___y__时，xy 有
答案 (1)C (2)5＋2 6
某厂家拟定在 2018 年举行促销活动，经调查测算，该产 品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 m(m≥0)万 元满足 x＝3－m＋k 1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产 品的年销量只能是 1 万件．已知 2018 年生产该产品的固定投 入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家 将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍． (1)将 2018 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元 的函数；(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金) (2)厂家 2018 年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大？
制 50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小
时耗油
2＋ x2 360
升，司机的工资是每小时
14
元.
(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；
(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.
(1)y＝m(kx2＋9)＝m x
x＋9x
，x∈[1，10].
值，则 a＝________． (2)不等式 x2＋x<a＋b对任意 a，b∈(0，＋∞)恒成立，
高考数学一轮复习 基本不等式课件
4abcd.故原不等式得证，等号成立的条件是a2＝b2
且c2＝d2且ab＝cd.
1.已知a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，
求证：(11)(11)(11)≥8. abc
证明：∵a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，
(11)(11)(11) abc
当且仅当a＝b＝c＝ 时取等号.
1.利用基本不等式求最值需注意的问题 (1)各数(或式)均为正； (2)和或积为定值； (3)等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件 缺一不可.
三、算术平均数与几何平均数
设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为
，几何平均
数为 ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数
不小于它们的几何平均数 .
四、利用基本不等式求最值
设x，y都是正数. (1)如果积xy是定值P，那么当 x＝y 时，和x＋y有
最小值
.
(2)如果和x＋y是定值S，那么当 x＝y 时积xy有最大
x 1 (x1) 1;1=3 答案：C
4.已知
＋＝2(x＞0，y＞0)，则xy的最小值是
.
解析：2＝
，所以xy≥15，当且仅当
时等号成立.所以xy的最小值是15.
答案：15
5.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4
万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费
4.基本不等式的几种变形公式 对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它 的几种常见的变形形式及公式的逆运用等，如：
2ab≤ ab≤ ab≤ a2b2(a0,b0).
ab
2
2
求下列各题的最值. (1)已知x＞0，y＞0，lgx＋lgy＝1，求z＝ (2)x＞0，求f(x)＝ ＋3x的最小值. (3)x＜3，求f(x)＝ ＋x的最大值.
不等式的性质基本不等式课件高三数学一轮复习
常用变形 ab≤(a＋4b)2≤a2＋2 b2
举题说法
不等式的性质
1 (1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一
定成立的是
( BCD
)
A．ac(a－c)＞0
B．c(b－a)＜0
【解C析．】c因b2为＜aa，b2b，c满足c＜a＜b，且Dac．＜a0b，＞所a以c c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b
3．已知 x＞1，则 x＋x－1 1的最小值为 ( C )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】因为 x＞1，所以 x－1＞0，所以 x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 (x－1)·x－1 1 ＋1＝3，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2(x＝0 舍去)时等号成立，此时 x＋x－1 1取最小 值 3.
4．(多选)下列说法正确的是
()
A．若
x＜1，则函数 2
y＝2x＋2x1－1的最小值为－1
B．若实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小值
是3
C．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 2a＋b＋ab＝6，则 2a＋b 的最大值是 4
D．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 a＋b＝2，则a＋a21＋b＋b21的最小值是 1
【解析】设 2α－β＝m(α＋β)＋n(αห้องสมุดไป่ตู้β)，则mm＋ －nn＝ ＝2－，1， 解得mn＝＝3212，，
所以 2α－β
＝12(α＋β)＋32(α－β).
因为 π＜α＋β＜54π，－π＜α－β＜－π3，所以π2＜12(α＋β)＜58π，－32π＜32(α－β)＜－π2，所
以－π＜12(α＋β)＋32(α－β)＜π8，即－π＜2α－β＜π8，所以 2α－β 的取值范围是－π，π8.
举题说法
不等式的性质
1 (1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一
定成立的是
( BCD
)
A．ac(a－c)＞0
B．c(b－a)＜0
【解C析．】c因b2为＜aa，b2b，c满足c＜a＜b，且Dac．＜a0b，＞所a以c c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b
3．已知 x＞1，则 x＋x－1 1的最小值为 ( C )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】因为 x＞1，所以 x－1＞0，所以 x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 (x－1)·x－1 1 ＋1＝3，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2(x＝0 舍去)时等号成立，此时 x＋x－1 1取最小 值 3.
4．(多选)下列说法正确的是
()
A．若
x＜1，则函数 2
y＝2x＋2x1－1的最小值为－1
B．若实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小值
是3
C．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 2a＋b＋ab＝6，则 2a＋b 的最大值是 4
D．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 a＋b＝2，则a＋a21＋b＋b21的最小值是 1
【解析】设 2α－β＝m(α＋β)＋n(αห้องสมุดไป่ตู้β)，则mm＋ －nn＝ ＝2－，1， 解得mn＝＝3212，，
所以 2α－β
＝12(α＋β)＋32(α－β).
因为 π＜α＋β＜54π，－π＜α－β＜－π3，所以π2＜12(α＋β)＜58π，－32π＜32(α－β)＜－π2，所
以－π＜12(α＋β)＋32(α－β)＜π8，即－π＜2α－β＜π8，所以 2α－β 的取值范围是－π，π8.
2015高考数学一轮总复习课件：6.4 基本不等式
第二十四页，编辑于星期五：十二点 三十五分。
点评：对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘 ，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后 再利用基本不等式求最值.
规律总结：应用不等式可以解决生产、生活中的实际问题，在解决此类问 题时需注意：一要过“阅读”关，读懂题目，能够概括出问题所涉及的内容； 二要过“理解关”，准确理解和把握这些变量之间的关系；三要过“建模关”，在 前两步的基础上，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型；四要过“解 题关”，通过解决数学问题得出实际问题的结论.
第六页，编辑于星期五：十二点 三十五分。
自主测评
判断下列命题是否正确.
（1）ab≤a＋2 b2成立的条件是 ab>0.（ ）
（2）函数
f（x）＝cos
4 x＋cos
x，x∈0，π2的最小值等于
4.（
）
xy （3）“x>0 且 y>0”是“y＋x≥2”的充要条件.（ ）
1 （4）若 a>0，则 a3＋a2的最小值为 2 a.（ ）
第十四页，编辑于星期五：十二点 三十五分。
规范解题：（1）∵x＞－3，∴x＋3＞0，
2
2
∴x＋x＋3＝（x＋3）＋x＋3－3≥2 2－3，当且仅当 x＝ 2－3 时取等号，∴最小
值为 2 2－3.
（2）∵a＋b＝1，
∴原式＝1＋a＋a b1＋a＋b b＝2＋ba·2＋ba
＝5＋2ba＋ba≥9，当且仅当
规范解答：（1）设休闲区的宽为 a m，则长为 ax m，
20 10
由 a2x＝4 000，得 a＝
.（3 分）
x
则 S（x）＝（a＋8）（ax＋20） ＝a2x＋（8x＋20）a＋160
高考数学第一轮基础复习 不等式的性质及解法课件
●命题趋势 1．不等式的性质是主要考查点之一，主要以客观题 形式考查．常见考查方式： ①依据给定的条件，利用不等式的性质，判断不等 式或有关的结论是否成立； ②利用不等式的性质与实数的性质、函数的性质相 结合，比较数的大小； ③判断不等式中条件与结论之间的关系，是充分条 件或必要条件或充要条件； ④解证不等式中的等价变形．
2．解不等式主要是一次、二次、分式、指对不等式， 结合函数单调性的抽象不等式，一般都比较容易．与其 它知识揉合在一块命题是主要考查形式，如和函数的定 义域结合，和集合结合，和逻辑用语结合等等，要注意 含参数的讨论 3．基本不等式是考查的重点和热点，常与其它知识 交汇在一起．
4．线性规划是高考考查的重要内容之一，一般为客 观题． 5．证明不等式是考查的重点，经常与一次函数、二 次函数、指对函数、导数等函数知识相结合．有时也与 向量、数列、解析几何各种知识交汇命题，重点考查不 等式知识，试题的立意高、难度大、综合性强，这两年 高考命题难度稍降．
6．应用题是高考命题的热点，而且应用问题多数与 不等式相关，需要根据题意，建立不等关系，设法求解； 或者用均值不等式、函数单调性求出最值等．
●备考指南 1．加强与函数性质、三角、数列、平面向量、解析 几何、导数的交汇训练，难度不宜太大，注意体现不等 式的工具作用． (1)要加强对不等式性质的理解与复习，对于常混易 错点应反复训练强化．可通过判断不等式是否成立，找 不等式成立的条件，比较数的大小等形式命题练习．
3．二元一次不等式组与简单线性规划问题 ①从实际情境中抽象出二元一次不等式组． ②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域 表示二元一次不等式组． ③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问 题，并能加以解决．
a＋b 4．基本不等式： ab≤ (a，b>0)． 2 ①探索并了解基本不等式的证明过程． ②会用基本不等式解决简单的最大 (小 )值问题．
高三数学一轮复习公开课课件基本不等式多维探究共14张PPT.ppt
xy x y
xy
即a2 26a 25 ，0 解得
，1 当a且仅25当 等号成立y 6x
经检验：当x
5
，y 1时5 ，
当a； 25,
2
x 1时y， 3 10 5
a 1
函数f (x, y) 4x y的最大值为25，最小值为1.
【评注】本题我们是通过构造“两个整体”，即 将所求函数作为一个整体，结合题设条件再得一 个整体,通过把两个整体相乘和换元，由基本不等 式生成得到一个关于新元的不等式从而求解，体 现了整体处理的思想与构造的方法.
函数
是题设条件等式左边中某两项和，可
以运用整体处理的思想即通过换元来处理.
解答：设 4x
a(26 a)
y 则a
(4x y)(
1
1 x9 )
9 y
， 26 a 13 y
x
36x
0, y
13
0
2
,所以 y 36x 25
xy
xy
xy
a(26 a) (4x y)(1 9) 13 y 36x 13 2 y 36x 25
3、椭圆中的最值：
4
2
3
1
四、小结与课后思考
（当且仅当a b时等号成立）
1、 本 节 课 主 要 内 容
2、两个结论:（1）两个正数积为定值，和有最小值. （2）两个正数和为定值，积有最大值.
3、基本不等式的适用条件：一正二定三相等
思考题:若直线 ax by 1 0 平分圆 C：
x2 y2 2x 4y 1 0 的 周 长 且
探究：在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，
AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.
高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式 4基本不等式课件
≤ + 30 − 2
2
8
=
225
，
2
当且仅当 = 30 − ，即 = 15时等号成立，所以这个矩形的长为15 m时，菜园的最
225
大面积是
2
225
2
m .故填15； .
2
【巩固强化】
1.下列命题中正确的是(
)
1
A.当 > 1时， + 的最小值为2
C.当0 < < 1时， +
即 = 2时，等号成立.所以 ≤
=
1
9
+1
1
6−4
=
.
9
+1++1−4
≥2
+1 ⋅
1
1
.故填 .
2
2
9
+1
= 6,当且仅当 + 1 =
9
,
+1
命题角度2 常数代换法
例2 设正实数，满足 + =
3
A.
2
且
4
)
5
C.
4
1
+ 的最小值是(
2
√
5
B.
2
解：因为 + = 2，所以 +
−2=
1
2−4
1
2 −2
=−2+
，即 = 2 +
1
2 −2
+2≥2
2
时取等号.
2
所以 的最小值为2 + 2.故选A.
−2 ⋅
1
2 −2
+ 2 = 2 + 2，当且仅当
2
8
=
225
，
2
当且仅当 = 30 − ，即 = 15时等号成立，所以这个矩形的长为15 m时，菜园的最
225
大面积是
2
225
2
m .故填15； .
2
【巩固强化】
1.下列命题中正确的是(
)
1
A.当 > 1时， + 的最小值为2
C.当0 < < 1时， +
即 = 2时，等号成立.所以 ≤
=
1
9
+1
1
6−4
=
.
9
+1++1−4
≥2
+1 ⋅
1
1
.故填 .
2
2
9
+1
= 6,当且仅当 + 1 =
9
,
+1
命题角度2 常数代换法
例2 设正实数，满足 + =
3
A.
2
且
4
)
5
C.
4
1
+ 的最小值是(
2
√
5
B.
2
解：因为 + = 2，所以 +
−2=
1
2−4
1
2 −2
=−2+
，即 = 2 +
1
2 −2
+2≥2
2
时取等号.
2
所以 的最小值为2 + 2.故选A.
−2 ⋅
1
2 −2
+ 2 = 2 + 2，当且仅当
2023年高考数学(文科)一轮复习课件——二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
第七章 不等式、推理与证明
索引
考试要求
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式 的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情 境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层训练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
方加1，
结合图形得到 zmin＝
12＋|1（＋－1| 1）22＋1＝3.
索引
角度3 求参数值或取值范围
x≥2，
例 3 已知 x，y 满足x＋y≤4， 若目标函数 z＝3x＋y 的最大值为 10，则实数 2x－y－m≤0.
m 的值为___5_____. 解析 作出可行域，如图中阴影部分所示.作出 直线3x＋y＝0，并平移可知，当直线过点A时， z取得最大值为10，当直线过点B时，z取得最 小值.
索引
(2)(2022·南昌模拟)已知变量
x，y
x－2y＋4≤0，
满足x≥2，
则
x＋y－6≥0，
k＝xy＋－13的取值范围是
__(_－__∞__，__－__5_]∪___12_，__＋__∞____.
解析 由题意作出可行域如图阴影部分所示，
由于 k＝xy＋－13＝y－（x－－31）表示动点 M(x，y)与
索引
(2)电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解 设总收视人次为z万 ，则目标函数为z＝60x＋25y.
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识梳理
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的
索引
考试要求
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式 的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情 境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层训练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
方加1，
结合图形得到 zmin＝
12＋|1（＋－1| 1）22＋1＝3.
索引
角度3 求参数值或取值范围
x≥2，
例 3 已知 x，y 满足x＋y≤4， 若目标函数 z＝3x＋y 的最大值为 10，则实数 2x－y－m≤0.
m 的值为___5_____. 解析 作出可行域，如图中阴影部分所示.作出 直线3x＋y＝0，并平移可知，当直线过点A时， z取得最大值为10，当直线过点B时，z取得最 小值.
索引
(2)(2022·南昌模拟)已知变量
x，y
x－2y＋4≤0，
满足x≥2，
则
x＋y－6≥0，
k＝xy＋－13的取值范围是
__(_－__∞__，__－__5_]∪___12_，__＋__∞____.
解析 由题意作出可行域如图阴影部分所示，
由于 k＝xy＋－13＝y－（x－－31）表示动点 M(x，y)与
索引
(2)电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解 设总收视人次为z万 ，则目标函数为z＝60x＋25y.
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识梳理
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的
2024年高考数学一轮复习+ppt+利用导数解决不等式恒(能)成立问题
解
随着x变化，r′(x)与r(x)的变化情况如下表所示：
x
0，34π
3π 4
34π，3
r′(x)
＋
0
－
r(x)
单调递增
极大值
单调递减
所以r(x)在0，34π上单调递增，在34π，3上单调递减．
r(x)在(0,3)上有唯一的一个极大值，即最大值r34π＝
22e-34π，故a≥
2 2
3π
e- 4 .
解 (1)存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于g(x)max－ g(x)min≥M.
由g(x)＝x3－x2－3， 得g′(x)＝3x2－2x＝3xx－23. 由g′(x)＞0得x＜0或x＞23，又x∈[0,2]， 所以g(x)在0，23上是单调递减函数， 在23，2上是单调递增函数，
解析
(2)证明：f′(x)＝ex－ax，当a>0时，易知f′(x)为(0，＋∞)上的增函 数，
当a>e时，f′(1)＝e－a<0；当a＝e时，f′(1)＝e－a＝0；当a<e时， f′ae＝eae－e<0，
而f′(a)＝ea－1>0，所以存在x0∈(0，＋∞)，使f′(x0)＝ex0－xa0＝0， 即x0＝ln a－ln x0，
解 解法一：(分离参数法)
依题意，得f(x)≥ax－1在[1，＋∞)上恒成立，即不等式a≤ln
x＋
1 x
在x
∈[1，＋∞)上恒成立，亦即a≤ln
x＋1xmin，x∈[1，＋∞)．
设g(x)＝ln x＋1x(x≥1)，
则g′(x)＝1x－x12＝x－x2 1.
解
令g′(x)＝0，得x＝1. 当x≥1时，因为g′(x)≥0， 故g(x)在[1，＋∞)上单调递增． 所以g(x)在[1，＋∞)上的最小值是g(1)＝1. 故实数a的取值范围是(－∞，1]．
随着x变化，r′(x)与r(x)的变化情况如下表所示：
x
0，34π
3π 4
34π，3
r′(x)
＋
0
－
r(x)
单调递增
极大值
单调递减
所以r(x)在0，34π上单调递增，在34π，3上单调递减．
r(x)在(0,3)上有唯一的一个极大值，即最大值r34π＝
22e-34π，故a≥
2 2
3π
e- 4 .
解 (1)存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于g(x)max－ g(x)min≥M.
由g(x)＝x3－x2－3， 得g′(x)＝3x2－2x＝3xx－23. 由g′(x)＞0得x＜0或x＞23，又x∈[0,2]， 所以g(x)在0，23上是单调递减函数， 在23，2上是单调递增函数，
解析
(2)证明：f′(x)＝ex－ax，当a>0时，易知f′(x)为(0，＋∞)上的增函 数，
当a>e时，f′(1)＝e－a<0；当a＝e时，f′(1)＝e－a＝0；当a<e时， f′ae＝eae－e<0，
而f′(a)＝ea－1>0，所以存在x0∈(0，＋∞)，使f′(x0)＝ex0－xa0＝0， 即x0＝ln a－ln x0，
解 解法一：(分离参数法)
依题意，得f(x)≥ax－1在[1，＋∞)上恒成立，即不等式a≤ln
x＋
1 x
在x
∈[1，＋∞)上恒成立，亦即a≤ln
x＋1xmin，x∈[1，＋∞)．
设g(x)＝ln x＋1x(x≥1)，
则g′(x)＝1x－x12＝x－x2 1.
解
令g′(x)＝0，得x＝1. 当x≥1时，因为g′(x)≥0， 故g(x)在[1，＋∞)上单调递增． 所以g(x)在[1，＋∞)上的最小值是g(1)＝1. 故实数a的取值范围是(－∞，1]．
高考一轮复习基本不等式ppt课件
2．基本不等式的变形
(1)重要不等式：a2＋b2≥___2_a_b__ (a，b∈R)．当且仅当 a＝b 时取等号．
(2)ab≤a＋2 b2，(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号．
(3)a＋a1≥_2___(a>0)，当且仅当 a＝1 时取等号．
a＋a1≤__-_2__(a<0)，当且仅当 a＝－1 时取等号．
a
4
b
8
2 8,如果不
(1)C
对，错
(2)9
在
哪
儿
？
考向二 利用基本不等式证明不等式
【例 2】►已知 a＞0，b＞0，c＞0， 求证：bac＋cba＋acb≥a＋b＋c.
【审题视点 】 先局部运用基本不 等式，再利用不等式
正明 ∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴bac＋cba≥2 bac·cba＝2c；
)．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知 a，b∈(0,1)，且 a≠b，下列各式中最大的是( )．
A．a2＋b2 B．2 ab C．2ab D．a＋b
3．若 lg x＋lg y＝2，则1x＋1y的最小值是( )．A.210 B.15 C.12 D．2
4．(2012·福建)下列不等式一定成立的是( )．
进行恒等变形，如构 造“1”的代换等．
≥2 x－2×x－1 2＋2＝4，当且仅当 x－2＝x－1 2(x>2)，(式3)，若但可等用号基不本成不立等，
即 x＝3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，x＝3，则 一 般 是 利 用 函 数
即 a＝3.
单调性求解．
【考训练向1一】利(2用01基3·福本州不模等拟式)已求知最f值(x)＝x＋1x－2(x<0)，则 f(x)有(
高考数学一轮复习课件：专题四函数、不等式中的恒成立问题
(2)若∃x∈[－3,3]，使得 f(x)≤g(x)成立，求实数 k 的取值 范围；
(3)若对∀x1，x2∈[－3,3]，都有f(x1)≤g(x2)，求实数k的取 值范围.
解：(1)设h(x)＝g(x)－f(x)＝2x3－3x2－12x＋k，
问题转化为x∈[－3,3]时，h(x)≥0恒成立，即h(x)min≥0， x∈[－3,3].
专题四 函数、不等式中的恒成立问题
近几年高考对于函数、不等式中恒成立问题的考查重点 是一次函数、二次函数的性质、不等式的性质及应用，图象、 渗透换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论、转化 等数学思想方法.有的学生看到就头疼的题目，分析原因除 了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题 的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生恐惧心理.本 文就高中阶段出现的这类问题进行总结和探讨.
与最值的关系 ∀x∈D，f(x)min＞M ∀x∈D，f(x)max＜M ∀x∈D，f(x)max＞M ∀x∈D，f(x)min＜M ∀x∈D，[f(x)－g(x)]min＞0 ∀x∈D，[f(x)－g(x)]max＜0 ∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)min＞g(x)max
∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)min＞g(x)min ∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)max＞g(x)max ∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)max＞g(x)min
(2)讨论函数 f(x)的单调性； (3)设g(x)＝x2－2x，对任意的x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]， 使得f(x1)<g(x2)，求实数a的取值范围.
解：(1)f′(x)＝ax－(2a＋1)＋2x(x>0)， 依题意，得 f′(1)＝f′(4)，解得 a＝12. (2)f′(x)＝ax2－2ax＋1x＋2＝ax－1xx－2(x>0). ①当 a≤0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减 区间为(2，＋∞)； ②当 0<a<12时，函数 f(x)的单调递增区间为(0,2)和1a，＋∞， 单调递减区间为2，1a；
(3)若对∀x1，x2∈[－3,3]，都有f(x1)≤g(x2)，求实数k的取 值范围.
解：(1)设h(x)＝g(x)－f(x)＝2x3－3x2－12x＋k，
问题转化为x∈[－3,3]时，h(x)≥0恒成立，即h(x)min≥0， x∈[－3,3].
专题四 函数、不等式中的恒成立问题
近几年高考对于函数、不等式中恒成立问题的考查重点 是一次函数、二次函数的性质、不等式的性质及应用，图象、 渗透换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论、转化 等数学思想方法.有的学生看到就头疼的题目，分析原因除 了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题 的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生恐惧心理.本 文就高中阶段出现的这类问题进行总结和探讨.
与最值的关系 ∀x∈D，f(x)min＞M ∀x∈D，f(x)max＜M ∀x∈D，f(x)max＞M ∀x∈D，f(x)min＜M ∀x∈D，[f(x)－g(x)]min＞0 ∀x∈D，[f(x)－g(x)]max＜0 ∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)min＞g(x)max
∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)min＞g(x)min ∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)max＞g(x)max ∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)max＞g(x)min
(2)讨论函数 f(x)的单调性； (3)设g(x)＝x2－2x，对任意的x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]， 使得f(x1)<g(x2)，求实数a的取值范围.
解：(1)f′(x)＝ax－(2a＋1)＋2x(x>0)， 依题意，得 f′(1)＝f′(4)，解得 a＝12. (2)f′(x)＝ax2－2ax＋1x＋2＝ax－1xx－2(x>0). ①当 a≤0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减 区间为(2，＋∞)； ②当 0<a<12时，函数 f(x)的单调递增区间为(0,2)和1a，＋∞， 单调递减区间为2，1a；
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版 提优版)：一元二次方程、不等式
(2)当a<0时，求关于x的不等式f(x)>0的解集.
不等式f(x)>0，即ax2＋(2－4a)x－8>0，
因为 a<0，所以不等式可化为x＋2a(x－4)<0， 当 4<－2a，即－12<a<0 时，原不等式的解集为4，－2a； 当 4＝－2a，即 a＝－12时，原不等式的解集为∅； 当 4>－2a，即 a<－12时，原不等式的解集为－2a，4.
根x1＝x2＝－2ba
没有实数根
不等式的解集 __{_x_|x_<_x_1_，__或__x_>_x_2}__
{x|x≠－ b }
R
2a
知识梳理
2.分式不等式与整式不等式
(1)
fx gx
>0(<0)⇔
f(x)g(x)>0(<0) ；
(2)
fx gx
≥0(≤0)⇔
f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0 .
对应的方程(mx－2)(x－1)＝0 的两根为m2 和 1， 当 0<m<2 时，m2 >1，解得 1<x<m2 ； 当 m＝2 时，m2 ＝1，原不等式无解； 当 m>2 时，m2 <1，解得m2 <x<1. 综上所述，当 0<m<2 时，原不等式的解集为1，m2 ；
当m＝2时，原不等式的解集为空集； 当 m>2 时，原不等式的解集为m2 ，1.
4.(2023·孝感模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(n>m)，且α，β(α<β)是方
程y＝0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是
A.α<m<n<β
二次函数与一元二次方程、不等式课件-2025届高三数学一轮复习
2025届高考数学一轮复习讲义
集合、常用逻辑用语与不等式之
二次函数与一元二次方程、不等式
一、知识点讲解及规律方法结论总结
1. 二次函数的图象与性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
开口向上的抛物线
开口向下的抛物线
定义域
R
R
值域
4−2
[
，＋∞)
4
4−2
(－∞，
1.
−3
不等式
＜0的解集为(
−2
B )
A. ∅
B. (2，3)
C. (－∞，2)∪(3，＋∞)
D. (－∞，＋∞)
[解析]
−3
＜0等价于( x －3)( x －2)＜0，解得2＜ x ＜3.
−2
2. 已知函数 f ( x )＝ ax 2＋ ax ＋5的图象在 x 轴上方，则 a 的取值范围是(
根与系数的关系得
−2 + 3 =
−2 × 3 =
− ，
2
，
2
＝ − 2，
解得
所以 m ＋ n ＝－14.故选D.
＝ − 12，
4. [多选]下列说法不正确的是(
BCD )
A. 若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0
B. 若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R
a ＝1，所以 f ( x )＝( x －1)( x －3)＝ x 2－4 x ＋3.
方法技巧
识别二次函数图象应学会“三看”
一看符号
看二次项系数的符号，它的正负决定二次函数图象的开口方向.若符
集合、常用逻辑用语与不等式之
二次函数与一元二次方程、不等式
一、知识点讲解及规律方法结论总结
1. 二次函数的图象与性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
开口向上的抛物线
开口向下的抛物线
定义域
R
R
值域
4−2
[
，＋∞)
4
4−2
(－∞，
1.
−3
不等式
＜0的解集为(
−2
B )
A. ∅
B. (2，3)
C. (－∞，2)∪(3，＋∞)
D. (－∞，＋∞)
[解析]
−3
＜0等价于( x －3)( x －2)＜0，解得2＜ x ＜3.
−2
2. 已知函数 f ( x )＝ ax 2＋ ax ＋5的图象在 x 轴上方，则 a 的取值范围是(
根与系数的关系得
−2 + 3 =
−2 × 3 =
− ，
2
，
2
＝ − 2，
解得
所以 m ＋ n ＝－14.故选D.
＝ − 12，
4. [多选]下列说法不正确的是(
BCD )
A. 若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0
B. 若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R
a ＝1，所以 f ( x )＝( x －1)( x －3)＝ x 2－4 x ＋3.
方法技巧
识别二次函数图象应学会“三看”
一看符号
看二次项系数的符号，它的正负决定二次函数图象的开口方向.若符
高三一轮复习课件绝对值不等式的解法(共16张PPT)
高三一轮复习
谢 谢观 看
读书当将破万卷；求知不叫一疑存。读书之法，在循序而渐进，熟读而精思，喜欢读书，就等于把生活中寂寞的辰光换成巨大享受的时刻。自得读书乐，不邀为 善名。有时间读书，有时间又有书读，这是幸福；没有时间读书，有时间又没书读，这是苦恼。不读书的人，思想就会停止。读书时要深思多问。只读而不想， 就可能人云亦云，沦为书本的奴隶；或者走马看花，所获甚微。为乐趣而读书。立身以立学为先，立学以读书为本读书而不能运用，则所读的书等于废纸。读书 可以培养一个完人，谈话可以训练一个敏捷的人，而写作则可造就一个准确的人。读书是在别人思想的帮助下，建立起自己的思想。养心莫若寡欲；至乐无如读 书。身边永远要着铅笔和笔记本，读书和谈话时碰到的一切美妙的地方和话语都把它记下来。凿壁偷光，聚萤作囊；在读书上，数量并不列于首要，重要的是书 的品质与所引起的思索的程度。劳于读书，逸于作文。、没有比读书更廉价的娱乐，更持久的满足了。从来没有人为了读书而读书，只有在书中读自己，在书中 发现自己，或检查自己。不怕读得少，只怕记不牢。莫等闲，白了少年头，空悲切！书籍是培育我们的良师，无需鞭答和根打，不用言语和训斥，不收学费，也 不拘形式，对图书倾注的爱，就是对才智的爱。熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。书到精绝潜心读；文穷情理放声吟读万卷书，行万里路。书犹药也，善读之 可以医愚。如果把生活比喻为创作的意境，那么阅读就像阳光。书籍是少年的食物，它使老年人快乐，也是繁荣的装饰和危难的避难所，慰人心灵。在家庭成为 快乐的种子，在外也不致成为障碍物，但在旅行之际，却是夜间的伴侣。读书是在别人思想的帮助下，建立起自己的思想。饭可以一日不吃，觉可以一日不睡， 书不可以一日不读。、读过一本好书，像交了一个益友。读书有三到，谓心到，眼到，口到立身以立学为先，立学以读书为本。读书而不思考，等于吃饭而不消 化。为中华之崛起而读书。来书籍是在时代的波涛中航行的思想之船，它小心翼翼地把珍贵的货物运送给一代又一代。书籍是最好的朋友。当生活中遇到任何困 难的时候，你都可以向它求助，它永远不会背弃你。1、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。有些事情本身我们无法控制，只好控制自己。挫折时，要 像大树一样，被砍了，还能再长；也要像杂草一样，虽让人践踏，但还能勇敢地活下去。人的活动如果没有理想的鼓舞，就会变得空虚而渺小。莫向不幸屈服， 应该更大胆、更积极地向不幸挑战！一个人炫耀什么，说明内心缺少什么。志在山顶的人，不会贪念山腰的风景。当一个人先从自己的内心开始奋斗，他就是个 有价值的人。旁观者的姓名永远爬不到比赛的计分板上。强者向人们揭示的是确认人生的价值，弱者向人们揭示的却是对人生的怀疑。不要对挫折叹气，姑且把 这一切看成是在你成大事之前，必须经受的准备工作。成功源于不懈的努力。积极思考造成积极人生，消极思考造成消极人生。对的，坚持；错的，放弃！理想 的路总是为有信心的人预备着。这社会你改变不了就得适应，适应不了就得被淘汰！这叫适者生存！宁愿跑起来被拌倒无数次，也不愿规规矩矩走一辈子，就算 跌倒也要豪迈的笑。没有伞的孩子必须努力奔跑。你不勇敢，没人替你坚强。态度决定一切，实力捍卫尊严！人要经得起诱惑耐得住寂寞！虽然你的思维相对于 宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水，但这滴水却凝聚着海洋的全部财富；是质量上的一而非数量上的一；你的思维拥有一切宇宙智慧。成功者绝不放弃，放 弃者绝不会成功。人生不售来回票，一旦动身，绝不能复返。自己要先看得起自己，别人才会看得起你。即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。1、 人生的光荣，不在于永不言败，而在于能够屡扑屡起。——拿破仑游手好闲的人最没有空闲不经风雨，长不成大树；不受百炼，难以成钢过去属于死神，未来属 于你自己。人的一生，是很短的，短暂的岁月要求我好好领会生活的进程……攀登顶峰，这种奋斗的本身就足以充实人的心。人们必须相信，垒山不止就是幸福。 老骥伏枥，志在千里；烈士暮年，壮心不已。大鹏一日同风起，扶摇直上九万里。不会宽容人的人，是不配受到别人的宽容的。不经过本身的努力，就永远达不 到自己的目的，任何外来的帮助也不能代替本身的努力。子女中那种得不到遗产继承权的幼子，常常会通过自身奋斗获得好的发展。而坐享其成者，却很少能成 大业。明日复明日，明日何其多！日日待明日，万事成蹉跎。世人皆被明日累，明日无穷老将至。晨昏滚滚水东流。今古悠悠日西坠。百年明日能几何？请君听 我《明日歌》我希望你照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被别人的意见引入歧途。百金买骏马，千金买美人；万金买高爵，何处买青春除非一个人有大 量的工作要做，否则他不可能从懒散空闲中得到乐趣。如果我们以为只有野心和爱情这类强烈的激情才能抑制其他情感，那就错了。懒惰尽管柔弱似水，却常常 把我们征服：它渗透进生活中一切目标和行为，时钟随着指针的移动滴答在响：“秒”是雄赳赳气昂昂列队行进的兵士，“分”是士官，“小时”是带队冲锋陷阵的骁勇 的军官。，所以当你百无聊赖，胡思乱想的时候，请记住你掌上有千军万马；你是他们的统帅。检阅他们时，你不妨问问自己——他们是否在战斗中发挥了最大 的作用。沧海可填山可移，男儿志气当如斯。从来便没有什么救世主，也不靠神仙皇帝，要创造人类的幸福，全靠我们自己。任何人都应该有自尊心自信心独立 性，不然就是奴才。但自尊不是轻人，自信不是自满，独立不是弧立。三更灯火五更鸡，正是男儿发愤时。黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。醉斩长鲸倚天剑， 笑凌骇浪济川舟。富贵不淫贫贱乐，男儿到此是豪雄。滴自己的汗，吃自己的饭。自己的事情自己干，靠人靠天靠祖上，不算是好汉。你要做一个勇敢的少年人， 不可为一些芝麻小事在那儿大惊小怪。你知道，弱者在这世界上是不好过日子的。真正的敏捷是一件很有价值的事。因为时间是衡量事业的标准，如金钱是衡量 货物的标准时间是一位可爱的恋人，对你是多么的爱慕倾心，每分每秒都在叮嘱；劳动创造别虚度了一生。与善人居，如入兰芷之室，久而不闻其香；与恶人居。 如入鲍鱼之肆，久而不闻其。光勤劳是不够的，蚂蚁也非常勤劳。你在勤劳些什么呢？有两种过错是基本的，其他一切过错都由此而生：急躁和懒惰。时间会刺 破青春的华丽精致，会把平行线刻上美人的额角，会吃掉稀世珍宝，天生丽质，什么都逃不过他横扫的镰刀。人，只要有一种信念，有所追求，什么艰苦都能忍 受，什么环境也都能适应。我年轻时注意到，我每做十件事有九件不成功，于是我就十倍地去努力干下去。滴自己的汗，吃自己的饭。自己的事情自己干，靠人 靠天靠祖上，不算是好汉。”天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物。古今中外，凡成就事业，对人类有所作为的人，无一不是脚踏实地艰苦登攀的 结
谢 谢观 看
读书当将破万卷；求知不叫一疑存。读书之法，在循序而渐进，熟读而精思，喜欢读书，就等于把生活中寂寞的辰光换成巨大享受的时刻。自得读书乐，不邀为 善名。有时间读书，有时间又有书读，这是幸福；没有时间读书，有时间又没书读，这是苦恼。不读书的人，思想就会停止。读书时要深思多问。只读而不想， 就可能人云亦云，沦为书本的奴隶；或者走马看花，所获甚微。为乐趣而读书。立身以立学为先，立学以读书为本读书而不能运用，则所读的书等于废纸。读书 可以培养一个完人，谈话可以训练一个敏捷的人，而写作则可造就一个准确的人。读书是在别人思想的帮助下，建立起自己的思想。养心莫若寡欲；至乐无如读 书。身边永远要着铅笔和笔记本，读书和谈话时碰到的一切美妙的地方和话语都把它记下来。凿壁偷光，聚萤作囊；在读书上，数量并不列于首要，重要的是书 的品质与所引起的思索的程度。劳于读书，逸于作文。、没有比读书更廉价的娱乐，更持久的满足了。从来没有人为了读书而读书，只有在书中读自己，在书中 发现自己，或检查自己。不怕读得少，只怕记不牢。莫等闲，白了少年头，空悲切！书籍是培育我们的良师，无需鞭答和根打，不用言语和训斥，不收学费，也 不拘形式，对图书倾注的爱，就是对才智的爱。熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。书到精绝潜心读；文穷情理放声吟读万卷书，行万里路。书犹药也，善读之 可以医愚。如果把生活比喻为创作的意境，那么阅读就像阳光。书籍是少年的食物，它使老年人快乐，也是繁荣的装饰和危难的避难所，慰人心灵。在家庭成为 快乐的种子，在外也不致成为障碍物，但在旅行之际，却是夜间的伴侣。读书是在别人思想的帮助下，建立起自己的思想。饭可以一日不吃，觉可以一日不睡， 书不可以一日不读。、读过一本好书，像交了一个益友。读书有三到，谓心到，眼到，口到立身以立学为先，立学以读书为本。读书而不思考，等于吃饭而不消 化。为中华之崛起而读书。来书籍是在时代的波涛中航行的思想之船，它小心翼翼地把珍贵的货物运送给一代又一代。书籍是最好的朋友。当生活中遇到任何困 难的时候，你都可以向它求助，它永远不会背弃你。1、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。有些事情本身我们无法控制，只好控制自己。挫折时，要 像大树一样，被砍了，还能再长；也要像杂草一样，虽让人践踏，但还能勇敢地活下去。人的活动如果没有理想的鼓舞，就会变得空虚而渺小。莫向不幸屈服， 应该更大胆、更积极地向不幸挑战！一个人炫耀什么，说明内心缺少什么。志在山顶的人，不会贪念山腰的风景。当一个人先从自己的内心开始奋斗，他就是个 有价值的人。旁观者的姓名永远爬不到比赛的计分板上。强者向人们揭示的是确认人生的价值，弱者向人们揭示的却是对人生的怀疑。不要对挫折叹气，姑且把 这一切看成是在你成大事之前，必须经受的准备工作。成功源于不懈的努力。积极思考造成积极人生，消极思考造成消极人生。对的，坚持；错的，放弃！理想 的路总是为有信心的人预备着。这社会你改变不了就得适应，适应不了就得被淘汰！这叫适者生存！宁愿跑起来被拌倒无数次，也不愿规规矩矩走一辈子，就算 跌倒也要豪迈的笑。没有伞的孩子必须努力奔跑。你不勇敢，没人替你坚强。态度决定一切，实力捍卫尊严！人要经得起诱惑耐得住寂寞！虽然你的思维相对于 宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水，但这滴水却凝聚着海洋的全部财富；是质量上的一而非数量上的一；你的思维拥有一切宇宙智慧。成功者绝不放弃，放 弃者绝不会成功。人生不售来回票，一旦动身，绝不能复返。自己要先看得起自己，别人才会看得起你。即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。1、 人生的光荣，不在于永不言败，而在于能够屡扑屡起。——拿破仑游手好闲的人最没有空闲不经风雨，长不成大树；不受百炼，难以成钢过去属于死神，未来属 于你自己。人的一生，是很短的，短暂的岁月要求我好好领会生活的进程……攀登顶峰，这种奋斗的本身就足以充实人的心。人们必须相信，垒山不止就是幸福。 老骥伏枥，志在千里；烈士暮年，壮心不已。大鹏一日同风起，扶摇直上九万里。不会宽容人的人，是不配受到别人的宽容的。不经过本身的努力，就永远达不 到自己的目的，任何外来的帮助也不能代替本身的努力。子女中那种得不到遗产继承权的幼子，常常会通过自身奋斗获得好的发展。而坐享其成者，却很少能成 大业。明日复明日，明日何其多！日日待明日，万事成蹉跎。世人皆被明日累，明日无穷老将至。晨昏滚滚水东流。今古悠悠日西坠。百年明日能几何？请君听 我《明日歌》我希望你照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被别人的意见引入歧途。百金买骏马，千金买美人；万金买高爵，何处买青春除非一个人有大 量的工作要做，否则他不可能从懒散空闲中得到乐趣。如果我们以为只有野心和爱情这类强烈的激情才能抑制其他情感，那就错了。懒惰尽管柔弱似水，却常常 把我们征服：它渗透进生活中一切目标和行为，时钟随着指针的移动滴答在响：“秒”是雄赳赳气昂昂列队行进的兵士，“分”是士官，“小时”是带队冲锋陷阵的骁勇 的军官。，所以当你百无聊赖，胡思乱想的时候，请记住你掌上有千军万马；你是他们的统帅。检阅他们时，你不妨问问自己——他们是否在战斗中发挥了最大 的作用。沧海可填山可移，男儿志气当如斯。从来便没有什么救世主，也不靠神仙皇帝，要创造人类的幸福，全靠我们自己。任何人都应该有自尊心自信心独立 性，不然就是奴才。但自尊不是轻人，自信不是自满，独立不是弧立。三更灯火五更鸡，正是男儿发愤时。黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。醉斩长鲸倚天剑， 笑凌骇浪济川舟。富贵不淫贫贱乐，男儿到此是豪雄。滴自己的汗，吃自己的饭。自己的事情自己干，靠人靠天靠祖上，不算是好汉。你要做一个勇敢的少年人， 不可为一些芝麻小事在那儿大惊小怪。你知道，弱者在这世界上是不好过日子的。真正的敏捷是一件很有价值的事。因为时间是衡量事业的标准，如金钱是衡量 货物的标准时间是一位可爱的恋人，对你是多么的爱慕倾心，每分每秒都在叮嘱；劳动创造别虚度了一生。与善人居，如入兰芷之室，久而不闻其香；与恶人居。 如入鲍鱼之肆，久而不闻其。光勤劳是不够的，蚂蚁也非常勤劳。你在勤劳些什么呢？有两种过错是基本的，其他一切过错都由此而生：急躁和懒惰。时间会刺 破青春的华丽精致，会把平行线刻上美人的额角，会吃掉稀世珍宝，天生丽质，什么都逃不过他横扫的镰刀。人，只要有一种信念，有所追求，什么艰苦都能忍 受，什么环境也都能适应。我年轻时注意到，我每做十件事有九件不成功，于是我就十倍地去努力干下去。滴自己的汗，吃自己的饭。自己的事情自己干，靠人 靠天靠祖上，不算是好汉。”天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物。古今中外，凡成就事业，对人类有所作为的人，无一不是脚踏实地艰苦登攀的 结
基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习
2 ab≥1＋1(a>0，b>0)的应用
ab
【多选题】若正实数 a，b 满足 a＋b＝2，则下列结论中正确的有( )
2.（2024•江苏模拟）设 x＞0，y＞0， + = ，则 + 的最小值为（ ）
A．
B．
C． +
D．3
解：因为 x＞0，y＞0， + = ， 则 + = （x+ ）（ + ）= （3+ + ）≥ （3+2 ）， 当且仅当 2xy= ，即 xy= ，此时 x= + ，y＝2− 时取等号． 故选：C．
－2≥2
（1－x）×1－4 x－2＝2
当且仅当 1－x＝1－4 x，即 x＝－1 时取等号 ，所以 a≥2.
跟踪训练
（2024•浙江模拟）已知实数 x，y 满足 x＞3，且 xy+2x﹣3y＝12，则 x+y 的最小值为（ ）
A． +
B．8
C．
D． +
解：xy+2x﹣3y﹣6＝（x﹣3）（y+2）， 则（x﹣3）（y+2）＝6， 故 x＞3，y＞﹣2， 故 x+y＝x﹣3+y+2+1≥ ( − )( − ) + = 时，等号成立． 故选：A．
模型 2、已知正数 , 满足 + =1，求 mx+ny 的最小值. (a> , > ,m> , > ) （2024•徐汇区模拟）若正数 a、b 满足 + = ，则 2a+b 的最小值为 ．
解：因为正数 a、b 满足 + = ， 则 2a+b＝（2a+b）（ + ）＝3+ + ≥3+2 ⋅ =3+2 ， 当且仅当 b= ，即 a＝1+ ，b＝1+ 时取等号． 故答案为：3+2 ．
高三数学一轮复习第七章不等式第四节基本不等式及其应用课件文
ab
3.利用基本不等式求最值 已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当⑤ x=y 时,x+y有最⑥ 小 值,是
⑦ 2 p .(简记:积定和最小)
(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当⑧ x=y 时,xy有最⑨ 大 值,是
s 2
4
.(简记:和定积最大)
判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
)
2
3 4
当且仅当x=1-x,
即x= 1 时,“=”成立.
2
(2)∵a>b,b>0,a+b=1,
∴ 1 +1 a = b +a b=2+ b + a ≥2+2 b =a 4,
ab a
b
ab
ab
即 1 +1 的最小值为4,
ab
当且仅当a=b= 1 时等号成立.
2
(3)因为xy+2x+y=4,所以x= 4 .y
(1)当a≥0,b≥0时,a+b≥2 a. b (√)
(2)两个不等式a2+b2≥2ab与 a ≥b 成a立b 的条件是相同的. (×)
2
(3)(a+b)2≥4ab(a,b∈R). (√)
(4)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. (√)
(5)函数y=x+ 1 的最小值是2. (×)
x
(6)x>0且y>0是 x +y ≥2的充要条件. (×)
答案 1
解析 ∵x< 5 ,∴5-4x>0,
4
∴y=4x-2+ 4 x 1=-5 +53≤4x-2+53=114,x
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两个防范
(1)画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次
不等式标准化．
(2)求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by
转化为直线的斜截式：y＝－
a b
x＋
z b
，通过求直线的截距
z b
的最
值间接求出z的最值．要注意：当b＞0时，截距
答案
50x＋40y≤2 000 x∈N＋ y∈N＋
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考向一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 【例1】►(2011·湖北)直线2x＋y－10＝0与不等式组
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2．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的点是 ( )．
A．(0,0) B．(－1,1) C．(－1,3) D．(2，－3) 解析 逐一代入得点(－1,3)不在x＋y－1≤0表示的平面区域 内． 答案 C
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基础梳理 1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个 部分： ①直线l上的点(x，y)的坐标满足 ax＋by＋c＝0 ； ②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＞ 0；
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③直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c ＜0. 所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点 (x0，y0)，从ax0＋by0＋c值的正负，即可判断不等式表示的平 面区域． (2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐 标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都相同 ，所以只需 在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符 号 即可判断Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平 面区域．
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2．线性规划相关概念
名称
意义
目标函数 欲求最大值 或最小值 的函数
约束条件 目标函数中的变量所要满足的不等式组
线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 线性目标函数 目标函数是关于变量的一次函数
可行解 满足线性约束条件的解
可行域 最优解
第4讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
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【2013年高考会这样考】 1．考查二元一次不等式组表示的平面区域． 2．考查线性目标函数的最值． 【复习指导】 1．线性规划是高考的重点和热点，本节复习过程中，解题时 要注重目标函数的几何意义的应用． 2．准确作图是正确解题的基础，解题时一定要认真仔细作 图，这是解答正确的前提．
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4．(2012·山东省实验中学模拟)实数x，y满足不等式组
x－y＋5≥0，
x＋y≥0，
那么目标函数z＝2x＋4y的最小值是( )．
x≤3，
A．6 C．－2
B．－6Байду номын сангаасD．4
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解析
作出可行域如图，z＝2x＋4y变形为y＝－
若不等式含有等号，把直线画成实线．
(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊
点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表 示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别
地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)
或者(0,1)作为测试点．
1 2
x＋
z 4
，显然
当直线经过点A时，目标函数z取得最小值，由方程组
y＝－x， x＝3，
解得A(3，－3)，所以最小值为z＝6－12＝－6.
答案 B
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5．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付 工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算 2000元，设木工x人，瓦工y人，请工人的约束条件是 ________．
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3．如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表 示的是( )．
x＋y－1≥0 A.x－2y＋2≥0
x＋y－1≤0 B.x－2y＋2≤0
x＋y－1≥0 C.x－2y＋2≤0
x＋y－1≤0 D.x－2y＋2≥0
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解析 两条直线方程为：x＋y－1＝0，x－2y＋2＝0. 将原点(0,0)代入x＋y－1得－1＜0， 代入x－2y＋2得2＞0， 即点(0,0)在x－2y＋2≥0的内部， 在x＋y－1≤0的外部， 故所求二元一次不等式组为xx＋－y2－y＋1≥2≥0，0. 答案 A
所有 可行解 组成的集合 使目标函数取得最大值 或 最小值的点的坐标
在线性约束条件下，求线性目标函数 线性规划问题 的 最大值或 最小值 问题
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一种方法
确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定
界，特殊点定域”的方法．
(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；
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一个步骤 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域； (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形； (3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直 线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小 值．
z b
取最大值时，
z也取最大值；截距
z b
取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，
截距
z b
取最大值时，z取最小值；截距
z b
取最小值时，z取最大
值．
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双基自测 1．(人教A版教材习题改编)如图所示的平面区域(阴影部分)， 用不等式表示为( )． A．2x－y－3＜0 B．2x－y－3＞0 C．2x－y－3≤0 D．2x－y－3≥0 解析 将原点(0,0)代入2x－y－3得2×0－0－3＝－3＜0，所以 不等式为2x－y－3＞0. 答案 B