排队论及其应用(唐加山)思维导图
排队论
(t )n et P( X (t ) n) n!
E ( X (t )) t
e t f T (t ) 0 1 E (T )
for t 0 for t 0
服务时间的概率 = t 1/ : 平均服务时间
在t时间内已经服务n个顾客 的概率 平均服务率=
队列
队列容量
有限/无限 先来先服务（FCFS）；后来先服务； 随机服务； 有优先权的服务；
排队规则
3.服务机构
服务机构
服务设施， 服务渠道与服务台 服务台数量:1台和多台 服务时间分布:
指数, 常数,
排队模型分类－Kendall记号
Kendall 记号: X/Y/Z/ A/B/C 顾客到达时间间隔分布/服务时间分布/服务台数 目/排队系统允许的最大顾客容量/顾客总体数量/ 排队规则 M/M/1///FCFS M/M/1 / M: 指数分布 (Markovian) D: 定长分布 (常数时间) Ek: k级Erlang 分布 GI:一般相互独立的时间间隔分布 G: 普通的概率分布 (任意概率分布)
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 NUMBER IN SYSTEM 26 28 30 32 34 36 38 40
Probability
74.94% 0.2506 1.2294 1.9788 0.2734 0.4401 0.7494 0.1007
排队模型的记号
系统状态 = 排队系统顾客的数量。 N(t) = 在时间 t 排队系统中顾客的数量。 队列长度 = 等待服务的顾客的数量。 Pn(t) = 在时间t,排队系统中恰好有n个顾客的概率。 s = 服务台的数目。
第十二章排队论
排队是在日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店购买物品、病人到医 院看病常常要排队。
此时要求服务的数量超过服务机构（服务台、服务员等） 的容量，也就是说，到达的顾客不能立即得到服务，因而出现了排队现象。
这 种现象不仅在个人日常生活中出现，电话局的占线问题，车站、码头等交通枢 纽的车船堵塞和疏导，故障机器的停机待修，水库的存贮调节等都是有形或无 形的排队现象。
由于顾客到达和服务时间的随机性，可以说排队现象几乎是不 可避免的。
如果增添服务设备，就要增加投资或发生空闲浪费；如果服务设备太少， 排队现象就会严重，对顾客个人和对社会都会带来不利影响。
因此，管理人员 必须考虑如何在这两者之间取得平衡，经常检查目前处理是否得当，研究今后 改进对策，以期提高服务质量，降低成本。
排队论（Queueing Theory ）也称随机服务系统理论，就是为解决上述问题 而发展的一门学科，它研究的内容有下列三部分：（ 1）性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性， 主要是研究队长分布、 等待时间分布和忙期分布等，包括了瞬态和稳态两种情形。
（ 2）最优化问题， 又分静态最优和动态最优， 前者指最优设计，后者指现 有排队系统的最优运营。
（ 3）排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统符合于那种模型， 以便根据排队理论进行分析研究。
这里将介绍排队论的一些基本知识，绍排队系统的最优化问题。
排队论一、排队过程的一般表示图 12-1 就是排队过程的一般模型。
各个顾客由顾客源（总体）出发，到达 服务机构（服务台、服务员）前排队等候接受服务，服务完了后就离开。
排队结构指队列的数目和排列方式，排队规则和服务规则是说明顾客在排队系统中 按怎分析几个常见的排队模型，最后将介第一节 基本概念样的规则、次序接受服务的。
我们所说的排队系统就指图中虚线所包括的部分。
在现实中的排队现象是多种多样的，对上面所说的“顾客”和“服务员”，要作广泛地理解，它现可以是人，也可以是非生物；队列可以是具体地排列，也可以是无形的（例如向电话交换台要求通话的呼唤）；顾客可以走向服务机构，也可以相反（如送货上门）。
排队论及其应用
排队系统的符号表述描述符号：①/②/③/④/⑤/⑥各符号的意义：①——表示顾客相继到达间隔时间分布，常用以下符号：M——表示到达的过程为泊松过程或负指数分布；D——表示定长输入；EK——表示K阶爱尔朗分布；G——表示一般相互独立的随机分布。
②——表示效劳时间分布，所用符号与表示顾客到达间隔时间分布一样。
③——表示效劳台(员)个数：“1〞表示单个效劳台，“s〞(s>1)表示多个效劳台。
④——表示系统中顾客容量限额，或称等待空间容量。
如系统有K个等待位子，那么，0<K<∞，当K=0时，说明系统不允许等待，即为损失制。
K=∞时为等待制系统，此时一般∞省略不写。
K为有限整数时，表示为混合制系统。
⑤——表示顾客源限额，分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，一般∞也可省略不写。
⑥——表示效劳规那么，常用以下符号FCFS：表示先到先效劳的排队规那么；LCFS：表示后到先效劳的排队规那么；PR：表示优先权效劳的排队规那么。
二、排队系统的主要数量指标描述一个排队系统运行状况的主要数量指标有：1．队长和排队长(队列长)队长是指系统中的顾客数(排队等待的顾客数与正在承受效劳的顾客数之和)；排队长是指系统中正在排队等待效劳的顾客数。
队长和排队长一般都是随机变量。
2．等待时间和逗留时间从顾客到达时刻起到他开场承受效劳止这段时间称为等待时间。
等待时间是个随机变量。
从顾客到达时刻起到他承受效劳完成止这段时间称为逗留时间，也是随机变量。
3. 忙期和闲期忙期是指从顾客到达空闲着的效劳机构起，到效劳机构再次成为空闲止的这段时间，即效劳机构连续忙的时间。
这是个随机变量，是效劳员最为关心的指标，因为它关系到效劳员的效劳强度。
与忙期相对的是闲期,即效劳机构连续保持空闲的时间。
在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。
4．数量指标的常用记号(1)主要数量指标L——平均队长，即稳态系统任一时刻的所有顾客数的期望值；L q——平均等待队长，即稳态系统任一时刻等待效劳的顾客数的期望值；W——平均逗留时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客逗留时间的期望值；W q——平均等待时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客等待时间的期望值。
运筹学排队论2
换为 t ,得到
pn
(t)
(t)n
n!
et
,
t
0,
n
0,1,2,.
表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率为 pn (t) ,且服从泊松分布.这称为泊松流或泊松过 程或简单流. 设t时间内到达的顾客数为随机变量N(t),则有
E[N(t)] t, D[N(t)] t.
服务台
2.C个服务台,一个公共队伍
服务台1 服务台2 服务台C
3.C个服务台,C个队伍
服务台1 服务台2 服务台C
二.排队系统的三个组成部分
1.输入过程:指顾客按怎样的规律到达. ⑴顾客的总体数或顾客源:指可能到达服务机
构的顾客总数.顾客总体数可以是有限的,也可 以是无限的; ⑵顾客到达的类型:顾客是单个到达还是成批 到达; ⑶顾客相继到达时间间隔的分布,如按泊松 分布,定长分布还是负指数分布.
排队论的创始人是丹麦哥本哈根市电话局的 工程师爱尔朗(A.K.Erlang),他早期研究电话 理论,特别是电话的占线问题,就是早期排队 论的内容.
§2 排队论的基本概念
一.排队现象的共同特征:为了获得某种服务而 到达的顾客,如不能立即得到服务而又允许排 队等候,则加入等待的队伍,获得服务后离开.我 们把包含这些特征的系统称为排队系统. 排队系统的几种情况: 1.单服务台排队系统
例9.1 某仓库全天都可以进行发料业务，假设 顾客到达的时间间隔服从均值为1的负指数分 布现在有一位顾客正好中午12：00到达领料， 试求：
（1）下一个顾客将在下午1：00前到达的概率； （2）在下午1：00与2：00之间到达的概率： （3）在下午2：00以后到达的概率。
排队论 第2章PPT课件
出现次数fn
10 28 29 16 10 6 1 100
表9-4
为病人完成手术时 间v(小时)
0.0－0.2 0.2－0.4 0.4－0.6 0.6－0.8 0.8－1.0 1.0－1.2 1.2以上 合计
出现次 数fv
38 25 17 9 6 5 0 100
表9-5
26
1.参数的确定
nfn
算出每小时病人平均到达率＝ 1 0 0 ＝2.1(人/小时)
41
例 设船到码头，在港口停留单位时间损失cI元， 进港船只是最简单流，参数为 ，装卸时间服从参数为
的负指数分布，服务费用为
是一个正常数．
求使整个系统总费用损失最小的服务率
解 因为平均队长
的损失费为
服务费用为
所以船在港口停留 因此总费用为
42
求 使F达到最小，先求F的导数
让
解出
因为
最优服务率是
当
它说明服务机构(手术室)有84％的时间是繁忙(被利用)，有16 ％的时间是空闲的。
27
4.依次算出各指标： 在病房中病人数(期望值)
排队等待病人数(期望值)
Ls
2.1 5.25(人) 2.52.1
L q0 .8 4 5 .2 54 .4 1 (人 )
病人在病房中逗留时间(期望值) Ws 2.51 2.12.5(小 时 )
结
Ls Ws
Ws
Wq
1
Lq Wq
Ls Lq
平均服务 时间
平均在忙的服务 台数/正在接受 服务的顾客数
20
服
4. 系统的忙期与闲期
务
强
度
系统处于空闲状态的概率： P0 1
系统处于繁忙状态的概率： P (n0)1P 0
第六章 排队论
对于S0
1P10P0
Pt0 h t Ph t0
t0
Ph
t t0 Ph Ph t0
t0
1
e (tt0 ) (1 e 1 (1 e t0 )
t0
)
1
e
t
Q .E.D
21
6.3.3 小结
• 如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客单 位时间内的到达数服从泊松分布。
• 如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客到 达的时间间隔服从负指数分布。
iP iiP i (ii)P i
转入率的期望值为
P P i1i1 i1i1
λ0
λ1
λ2
λi-2
λi-1
λi
λi+1
λk-2
λk-1
S0
S1
S2
…
Si-1
Si
Si+1
…
Sk-1
Sk
μ1
μ2
μ3
μi-1
μi
μi+1
μi+2
μk-1
μk
P0
P1
P2
Pi
30
则
( i i)Pi P P i1i1 i1i1
Pn(t)(n！ t)n et n=0
可知： P0(h >△t)= P{h >△t}=e△t
故间隔时间 h 的分布为 P{ h △t}=1e△t
F (t) 1 et
f (t ) et h t et dt 1 / 0
0
F(t)
f(t)
t
20
（2）负指数分布的特点
• 负指数分布之所以常用，是因为它有很好的特性，使数学 分析变得方便
12
第十章 排队论(1)
等待起飞的飞机 飞机
为一致起见, 服务的对象统称为" 为一致起见,将服务的对象统称为"顾 统称为 客",将提供服务的服务者称为"服务员" 提供服务的服务者称为"服务员" 称为 或"服务机构". 服务机构" 千差万别的排队系统可以描述为:顾客为 千差万别的排队系统可以描述为: 了得到某种服务到达系统, 了得到某种服务到达系统,若不能立即获 得服务而又允许排队等待, 得服务而又允许排队等待,则加入等待队 伍,待获得服务后离开系统. 待获得服务后离开系统.
输入过程
Poisson流(M):顾客相继到达时间间隔 n}是 流 顾客相继到达时间间隔{X 是 顾客相继到达时间间隔 相互独立的,服从负指数分布(Exponential 相互独立的,服从负指数分布 负指数分布 distribution),其密度函数为, ,其密度函数为
λe λt a(t) = 0 t≥0 t<0
需求 群体
排队结构
离开
服务过程
排队论是研究排队系统的数学理论 排队论是研究排队系统的数学理论 排队系统 和方法,是运筹学的一个重要分支. 和方法,是运筹学的一个重要分支.在 日常生活中, 日常生活中,人们会遇到各种各样的排 队问题. 队问题.
商业服务系统
系统类型 银行出纳服务 ATM机服务 机服务 商店收银台 管道服务 机场检票处 经纪人服务 顾客 人 人 人 阻塞的管道 人 人 服务台 出纳 ATM机 机 收银员 管道工 航空公司代理人 股票经纪人
排队系统的主要数量指标和记号
忙期B 忙期 闲期 I (服务机构连续忙碌的时间 这一指标决定 服务机构连续忙碌的时间), 服务机构连续忙碌的时间 (服务机构连续保持空闲的时间 忙期与闲 服务机构连续保持空闲的时间),忙期与闲 服务机构连续保持空闲的时间 了服务人员的服务强度. 了服务人员的服务强度 期交替出现. 期交替出现 当系统处于状态n时 λn:当系统处于状态 时,新来顾客的平均到达率 当系统处于状态 (即单位时间内来到系统的平均顾客数) 即单位时间内来到系统的平均顾客数) 当系统处于状态n时 整个系统的平均服务率, n:当系统处于状态 时,整个系统的平均服务率, 当系统处于状态 即单位时间内可以服务完的顾客数) 即单位时间内可以服务完的顾客数)
排队论
泊松输入中的顾客到达间隔时间 T 相互独立且服从同参数 λ 的负指数分 布，其密度函数为
其平均到达间隔时间为
λ 称为到达率。
三. 排队系统的主要特征
1. 输入过程 ⑴ 定长输入( D, Deterministic ) ⑵泊松输入 (最简单流， M ) ⑶ 一般独立输入( G，General Independent ) —— 指顾客到达间隔时间 T 为相互独立且同分布的随机变量。最简单 流是它的一个特例。 此外，在本章所讨论的排队系统中，总假定输入过程是平稳的，或 称对时间是齐次的。 平稳的输入过程 —— 指顾客到达间隔时间的分布与时间无关。否则就称 为非平稳的。
服务台m
服务台 1
⑸
服务台 2
服务台 1 服务台 2
···
···
服务台 m
服务台 m
三. 排队系统的主要特征
1. 输入过程 2. 服务时间 τ 的分布 3. 服务机构(服务台) 4. 服务规则
⑴ 先到先服务(FCFS) ⑵ 后到先服务(LCFS)
如信息处理、仓库中堆积的货物等。 ⑶ 随机服务(SIRO) ⑷ 优先权服务(PR) ⑸ 一般服务规则(GD)
1909年，由丹麦工程师爱尔朗(A.K.Erlang)在研究电话系统时初创的。
§l 排队论的基本概念及研究的问题
一.排队论中有两个基本概念:
顾客:把提出需求的对象称为顾客(或需求); 服务:把实现服务的设施称为服务机构(或服务台)。
顾客和服务机构组成一个排队系统，称为随机服务系统。 因此也称排队论为随机服务系统理论
⑴ 定长输入( D, Deterministic ) —— 每隔一定时间 α 到达一个顾客，顾客到达间隔时间 T 的分布函数为
三. 排队系统的主要特征
第七章 排队论
第七章排队论Chapter 7Queuing Theory§7.1 排队的基本概念7.1.1 顾客、服务台、服务先举一些排队系统的例子。
排队的过程可表示为：队列服务台顾客到达进入队列接受服务顾客离去7.1.2 排队系统的分类7.1.2.1、按顾客到达的类型分类(1)按顾客源顾客的数量，可分为有限顾客源和无限顾客源；(2)按顾客到达的形式，可分为单个到达和成批到达；(3)按顾客相继到达的时间间隔分布，可分为定长分布和负指数分布；7.1.2.2、按排队规则分类(1)等待制：顾客到达后，一直等到服务完毕以后才离去；(2)损失制：到达的顾客有一部分未接受服务就离去；例如：*队列容量有限的系统。
设队列容量为L0，顾客到达时的队长为L。
若L<L0，则顾客进入队列等待服务，若L=L0，则顾客离去。
*顾客对等待时间具有不耐烦性的系统。
设最长等待时间是W0，某个顾客从进入队列后的等待时间为W。
若W<W0，顾客继续等待；若W=W0，则顾客脱离队列而离去。
7.2.1.3、按服务规则分类(1)先到先服务（FCFS，First Come First Serve）；(2)后到先服务（LCFS，Last Come First Serve）；(3)有优先权的服务（PR，Priority）(4)随机服务（SIRO，Service in Random Order）7.1.2.4、根据服务台的数量及排队方式，排队系统可以分为(1)单服务台单队(2)多服务台单队(3)多队多服务台(4)多服务台串联服务7.1.3 排队论中常用的记号及各类排队系统的符号7.1.3.1、排队论中常用的记号n ––系统中的顾客数；λ––顾客到达的平均速率，即单位时间内平均到达的顾客数；μ––平均服务速率，即单位时间内服务完毕离去的顾客数；P n(t) ––时刻t系统中有n个顾客的概率；c ––服务台的个数；M ––顾客相继到达的时间间隔服从负指数分布；D ––顾客相继到达的时间间隔服从定长分布；E k––顾客相继到达的时间间隔服从k阶Erlang分布。
运筹学第10章 排队论
平均服务率（μ）＝42／130＝0.323（人／分钟）
平均服务时间（１／μ）＝130／42＝3.1（分钟／人）
这些指标都是排队系统分析中非常重要的数量指标。
二、泊松分布（Poisson） 设Ｎ(t)表示在时间区间（0，ｔ）内到达的顾客数，Pn(t)
Ｌ＝Ｌq＋ｓ
（假定服务强度为１）
2. 逗留时间和等待时间：顾客在系统中停留的时间包括等待时间和服
务时间称作逗留时间，其期望值记作ｗ；其排队等待的时间称作等待时间，期
望值记作ｗq。用λ和μ分别表示单位时间到达的顾客数和服务台平均完成服务的
顾客数，则有： Ｌ＝λｗ 或 ｗ＝Ｌ／λ
①
Ｌq＝λｗq 或 ｗq ＝Ｌq／λ
（三）少不了服务台
• 服务台是服务设施和服务人员的总称，没有服务台，就没有排队问题。
• 服务台可以是一个，也可以是多个。在多个服务台情况下，它们可以是 串联的，也可以是并联的，还可以是混合式的。
• 服务方式可以是单个进行的，也可以是成批进行的。
• 服务时间的分布可以是确定的，也可以是随机的。如自助洗衣店中全自 动洗衣机的服务就是定长的。在大多数服务系统中，服务时间都是随机的。
2
2
27 2
3
23 86 6 3
2
3
61 4
6
24 88 5 2
6
4 11 9 5
2
25 92 1 4
7
5 12 2 1
10
6 19 4 7
5
7 22 3 3
6
8 26 3 4
5
9 36 1 10
0
10 38 2 2
运筹学 第14章 排队论
n 0
1
即有 P0 P 1 P n 1
即有
P0
X0
1
P0
10 0 P0 n1 P0 1 2 1 n 1
N(t)具有可列个状态0，1，2„。
一般来说，随机过程 N (t )t 0 满足以下条件，称为生灭过程： 1) 假设N(t)=n，则从时刻t起到下一个顾客到达时刻为止的时间服 从参数为n 的负指数分布，n=0,1,2,„ 2) 假设N(t)=n，则从时刻t起到下一个顾客离去时刻为止的时间服 从参数为 n 的负指数分布，n=0,1,2,„ 3) 同一时刻时只有一个顾客到达或离去。即只在相邻状态间转换。
… …
…
顾客离去
图9-4 多服务台多队系统
(4)多服务台串联服务
顾客到达
…
服务台
…
服务台
…
顾客离去
图9-5 多服务台串联系统
排队过程的组成部分
• 实际中的排队系统各有不同，但概括起来都 由三个基本部分组成：输入过程、排队及排 队规则、服务机制 • 1、输入过程 • 输入过程说明顾客按怎样的规律到达系统， 需要从以下三个方面来刻画一个输入过程。 • （1）顾客总体数，又称顾客源、输入源。 顾客源可以是有限的，也可以是无限的。如 到售票处购票的顾客总数可以认为是无限的， 而某个工厂因故障待修的机床则是有限的。
• （3）服务机制 • 1）服务员的数量及构成形式。从数量上说， 服务台有单台和多台之分。从构成形式上看， 有单队单服务台式、单队多服务台并联式、 多队多服务台并联式、单队多服务台串联式 等。 • 2）服务方式。指在某一时刻接受服务的顾 客数，有单个服务和成批服务两种。 • 3）服务时间的分布。 • 定长分布(D)，指每个顾客接受服务的时间 是一个确定的常数。
排队论
服务机构
1
2
3
排队论的基本理论
1输入过程 输入过程就是指要求接受服务的顾客是按照一种 什么样的规律到达排队系统的一个过程，有时候， 也把它叫做顾客流。如果要想完整的刻画一个输 入过程，一般可以从 3 个方面来进行描述： A.顾客总体数（顾客源） B.顾客的到达方式 C.顾客流的概率分布
LOGO
排队论基本理论及其应用
华韶阳
LOGO 主题脉络
排队论的基本理论
排队论的相关软件 基于排队论的实际应用 排队论的局限性 排队问题的其他算法
排队论的基本理论
排队系统（或者称为服务系统）是一个可以用于 描述一个排队情况的系统。顾客为了得到某种服 务而来到了服务台。如果该服务台正处于忙碌之 中，顾客就不能够立即接收服务，但他却可以在 系统中进行排队等待，并且，顾客接受完服务之 后会立刻离开服务系统。一个排队系统的整个排 队等待的服务过程可以用一个图来表示：
基于排队论的实际应用（一）
•1.2排队规则 就一般停车设施而言, 当泊位利用率达到100%时, 很 少有车辆排队等待其他车辆驶离进行停车的可能性, 因此 排队规则可用损失制表达.即当到达某停车场时如已经没 有空余泊位, 则驾车者立即离去, 选择其他停车场所.
基于排队论的实际应用（一）
1.3车辆停放到达分布和服务时间分布
基于排队论的实际应用（三）
公交排队系统的特征： 当排队系统能够进入统计平衡状态后,系统内 顾客平均数L(平均队长)和系统内顾客所花费时间 的平均值w有以下公式:L=λW.类似地,系统内顾客 花在排队等候时间的平均值Wq与系统内排队等候 顾客的平均数Lq也有以下公式: Lq =λWq。
基于排队论的实际应用（三）
第7章 排队论
(3)忙期和闲期 • 忙期是指从顾客到达空闲着的服务机构起，到服 务再次成为空闲止的这段时间，服务机构连续忙 的时间。这是个随机变量。 • 与忙期相对的是闲期，即服务机构连续保持空闲 的时间。 显然，在排队系统中忙期与闲期，是交替出现的。
2. 记号 N(t) ： t 时刻系统中的顾客数（又称为系统的状态）， 即队长； Nq(t)： t 时刻系统中排队的顾客数，即排队长； w(t) ： t 时刻到达系统的顾客在系统中的逗留时间； wq(t)： t 时刻到达系统的顾客在系统中的等待时间 这些数量指标一般都和系统运行时间有关，其瞬时分 布的求解一般很困难。
(2)顾客到达的形式。这是描述顾客是怎样来到系统 的，是单个到达，还是成批到达。 如货品成批进入仓库。
(3)顾客流的概率分布，或称顾客相继到达的时间间 隔分布。这是首先需要确定的指标。 令T0=0，Tn表示第n个顾客到达的时间，则有 T0≤T1≤…≤ Tn ≤…，记Xn ＝ Tn － Tn-1，n=1,2,…，则 ≤… X n=1,2,… Xn是第n个顾客与第n-1个顾客到达的时间间隔。一 般地，假设{Xn}是独立同分布的。 关于{Xn}的分布（顾客流的概率分布），在排队论 中经常用到的有定长分布、负指数分布、爱尔朗分 布等等。
3.服务台（也称为服务机构） 服务台可以从以下三个方面来描述： (1)服务台数量及构成形式 从数量上说，服务台有单台和多台之分。从构成形 式上看，有单队单服务台式、单队多服务台并联式、 单队多服务台串联式\多队多服务台并联式等等；
顾客到达
进入队列
服务台 顾客离去 接受服务 服务台
…
顾客到达
…
服务台 服务台
指标之间的关系： (1)Little公式： L＝ λW， Lq＝ λWq 其中，λ为顾客到达的平均到达率，即单位时间内平 均到达的顾客数； W为平均逗留时间，即系统处于平稳状态时顾客逗 留时间的期望值； (2) W＝ Wq +1/µ 其中，1/µ为平均服务时间
运筹学-第十章-排队论
小结
排队系统又称随机服务系统 ① 有请求服务的人或物； ② 有为顾客服务的人或物； ③ 顾客到达时间与接受服务时间是随机的。
结构： 顾客到达 ----- 排队 ------ 服务机构服务 ------ 顾客离去
类似地还可画出许多其他形式的排队系统，如串并混联的 系统，网络排队系统等
尽管各种排队系统的具体形式不同，但都可以由图10-5 加以描述
图10-5 随机服务系统
通常称上图表示的系统为一随机聚散服务系统，任一排队系 统都是一个随机聚散服务系统。 这里，“聚”表示顾客的到达，“散”表示顾客的离去。
所谓随机性则是排队系统的一个普遍特点，是指顾客的 到达情况(如相继到达时间间隔)与每个顾客接受服务的时 间往往是事先无法确切知道的，或者说是随机的。
II
在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。
3、其他相关指标
(1)忙期服务量：指一个忙期内系统平均完成 服务的顾客数；
(2)损失率: 指顾客到达排队系统，未接受服务 而离去的概率;
（对损失制或系统容量有限而言） (3)服务强度： = /s ；
根据前面的约定，我们将主要分析系统的平稳分布。于是记： Pn ：当系统达到统计平衡时处于状态n的概率（pn(t)）
② 等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过 某一给定的长度T，当等待时间超过T 时，顾客将自动 离去，并不再回来。 如顾客到饭馆就餐，等了一定时间后不愿再等而自动 离去另找饭店用餐。
③ 逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。例如 用高射炮射击敌机，当敌机飞越高射炮射击有效区 域的时间为t 时，若在这个时间内未被击落，也就不 可能再被击落了。