高等数学：第四节 有理函数的积分

则 P(x) Q( x)
A1 ( x a)
(
x
A2 a) 1
A
xa
(
x
B1 b)
(
x
B2 b)
1
B xb
( x2 rx s) ,
M1x N1 ( x2 px q)
M2x N2 ( x2 px q) 1
M x N x2 px q
(
M1 x2
x px
N1 q
)
M2x N2 ( x2 px q)1
x
e3
)
x
3arctan(e 6
)
C.
2
13
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况：
(1) 多项式；
(2)
A (x a)n ;
Mx N (3) ( x2 px q)n ;
讨论第（3）类积分
(
x
Mx 2 px
N q)n
dx,
x2
px q x
p
2
q
p2 ,
令x
x
1 1
u2 u2
,
dx
1
2 u2
du
R(sin x,cos x)dx
R
1
2u u2
,
1 1
u2 u2
1
2
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这有理函数是真分式；
(2) n m, 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和.
例
x3 x2
x 1
1
x
1 x2
. 1
难点 将真分式化为部分分式之和.
3
真分式化为部分分式之和要用到如下性质：
Q( x) b0 ( x a) ( x b) ( x2 px q)
第四节 有理函数的积分
一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的函数的积分举例 三、小结 思考题 练习题 四、作业
一、有理函数的积分
有理函数的定义：
两个多项式的商表示的函数称之.
P( Q(
x) x)
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x bm1 x
an bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, an 及 b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C
取 x 0, A 1 取 x 1, B 1
取 x 2, 并将 A, B 值代入(1) C 1
x(
1 x
1)2
1 x
(x
1 1)2
1. x1
1 x( x 1)2 dx
1
1
1
dx x
(
x
1)2
dx
x
dx 1
ln | x | 1 ln | x 1 | C.
)n
dt .
16
综上所述：以下三类函数
(1) 多项式；
(2)
(
x
A a
)n
;
(3)
(
x
Mx 2 px
N q)n
;
的积分均可积出, 且原函数都是初等函数.
结论 有理函数的原函数都是初等函数.
17
二、可化为有理函数的积分举例
三角有理式的积分
由三角函数和常数经过有限次四则运算构成
的函数称为三角有理式，记为R(sin x,cos x)
x1
8
例3
(1
1 2 x )(1
x2
)
1
A 2x
Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
A 2B 0,
B 2C 0, A C 1,
1
(1 2x)(1
A x2 )
3 x
3)
A x2
B, x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
A (3
B A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
x
6
. 3
7
例2
1 x( x1)2
A x
(x
B 1)2
C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
1
4, B 5 4
5 2x
2,C 5
2x1 55 1 x2
1 5
.
,
9
例4 求积分
1
xx
x dx.
1e2 e3 e6
x
解 令 t e 6 x 6ln t,
dx 6 dt,
t
1
xx
x
dx
1
t
3
1
t
2
t
6 t
dt
1e2 e3 e6
6
t(1
t
1 )(1
t
2
)
dt
6 t
1
3
t
3t 1 t
Mt (t 2 a2 )n dt
b (t 2 a2 )n dt
(1)
Mx N
n 1,
x2
px
dx q
M ln( x2 px q) b arctan
x
p 2
C;
2
a
a
Mx N
(2) n 1, ( x2 px q)n dx
M 2(n 1)(t 2
a 2 )n1

b
(t
2
1 a2
3
2
dt
12
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
6ln t 3ln 1 t 3 2
d
(1 t 2 1 t2
)
3
1 1 t 2 dt
6 ln | t | 3 ln | 1 t | 3 ln(1 t 2 ) 3arctan t C 2
x
3ln(1
x
e6
)
3 ln(1
2
p
t,
a2
4 q
p2 ,
2
4
14
则 x2 px q t 2 a2 ,
Mx N M(t p ) N Mt b, (b N Mp)
2
2
(
x
Mx 2 px
N q)n
dx
(t2
Mt a
2
)n
dt
(t2
b a2 )n dt
15
Mx N ( x2 px q)n dx
M1x ( x2 px
N1 q)k
M2x N2 ( x2 px q)k1
Mk x Nk x2 px q
其中Mi , N i 都是常数(i 1,2,, k).
特殊地：k
1,
分解后为
x
Mx 2
N px
q
;
6
真分式化为部分分式之和的待定系数法或赋值法
例1
x
2
x
3 5x
6
(
x
x 2)(
Mx N x2 px q
.
4
注：
（1）分母中若有因式 ( x a)k ，则分解后为
(x
A1 a)k
(x
A2 a)k1
Ak , xa
其中A1 , A2 ,, Ak 都是常数. 特殊地：k 1, 分解后为 A ;
xa
5
（2）分母中若有因式 ( x2 px q)k ，其中 p2 4q 0 则分解后为
x
2 tan
sin x
2,
1 tan2 x
2
1 tan2 x
cos x
2,
1 tan2 x
2
18
2tan x
1 tan2 x
sin x
2 , cos x
2
1 tan2 x
1 tan2 x
2
2
令u tan x x 2arctan u（万能置换公式）
2
sin
x
1
2u u2
,
cos