最新《现代控制理论基础》考试题a卷及答案

0.707 ；阶跃响
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闭环特征多项式为 f ( ) det I A
0 6 k1
6 k1
1 x
5 k2
1 5 k2
2 5 k2
6 k1
根据题意的要求，
0.707
2 ， tP
2
n1
项式为
f*( )
根据多项式恒等的条件可得：
解得
22 n
2 n
5 k2 2 6 k1 2
k1 4 k2 3
状态反馈控制律为 u
40 10 x1(0) 18 7 x2(0)
五．（本题满分 10 分） 对下列系统
01
0
x
xu
65 1
试设计一个状态反馈控制器，满足以下要求：闭环系统的阻尼系数
应的峰值时间等于 3.14 秒。 【解答】
假设状态反馈控制律为 u
k1
k2
x1 x2 ，代入状态方程得闭环系统
01
0
x
6
x 5
1
k1 k2 x
x1
2 k x1
1 u
x2
1 0 x2 1
x1 y 10
x2
（2）使系统状态完全能控且完全能观时，参数 k 3 且 k 0 。
四．（本题满分 10 分）
离散系统的状态方程为
x1( k 1)
41
x2 (k 1) 2 3
（1）是否存在一个有限控制序列 u(0) u(1)
x1(k ) x2 (k )
0 u(k )
z 5 l z l 5 l y 100u
根据题意，降维观测器的极点为 -10，即 5 l 10，解得 l 5 。
e 2t 2e t e 2t e t
2e 2t 2e t 1
2e 2t e t
3
7e 2t 8e t 7e 2t 4e t
三．（本题满分 10 分） 已知某系统的方块图如下，
回答下列问题： （1）按照上图指定的状态变量建立状态空间表达式；
（2）确定使系统状态完全能控且完全能观时，参数 k 的取值范围。 【解答】（1）系统的状态空间表达式为
x3 x4 k
x4 4 M x1
g
k
f
x1
x3
L
4M
2ML
kg 4M L x3
0
1
0
0
x1 x2
kg0
k
4M L
4M
x1
0
0 x2
1
2ML f
x3
0
0
0
1 x3
0
x4
k
0
k
g
0 x4
0
4M
4M L
二．（本题满分 10 分）
设一个线性定常系统的状态方程为 x
1
若 x(0)
时 ， 状 态 响 应 为 x(t)
由上面最后一步可得
Ghu(0) hu(1) G 2x(0)
即
u(1) h Gh
u(0)
G2 x(0)
u(1) Qc u(0)
G 2 x(0)
即 u(0)
u(1) u(0)
Qc 1G 2 x(0)
40 10 x(0)
18 7
18 x1(0) 7x2(0) ， u(1) 40 x1(0) 10 x2 (0) 。
1
Ax ，其中 A R2 2 。
e 2t
2
e 2t ； x(0)
1
时，状态响应为
2e t
x(t )
e t 。试求当 x(0)
【解答】系统的状态转移矩阵为
1 3 时的状态响应 x(t) 。
Φ( t ) x(t)
eAt ，根据题意有
e 2t e 2t
eAt 1 1
2e t
x(t)
et
eAt 2 1
合并得
1
u( N ) ，使得系统由已知的初始状态
x1(0) ， x2(0) 转移到 x1( N 1) 0 ， x2 (N 1) 0 ？试给出判断依据和判断过程。
（2）若存在，求 N 的最小值及控制序列 u(0) u(1)
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u(N) 。
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【解答】
（1）由题意，
41
G
，h
23
0 1 ， Qc
h Gh
在位移足够小的条件下，近似写成：
L
cos 2
2
MgL sin 2
f kL
ML 1
1 2 Mg 1
24
kL
ML 2
1 2 Mg 2
4
即
（2）定义状态变量
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kg
k
f
1
1
2
4M Lຫໍສະໝຸດ Baidu
4M
2 ML
k
kg
2
1
2
4M
4M L
x1 1 ， x2
1 ， x3
2 ， x4
2
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则
或写成
x1 x2 k
x2 4M
求得状态转移矩阵为 eAt
e 2t e 2t
2e t et
eAt 1 2 11
e 2t e 2t
2e t et
1
12 11
e 2t e 2t
2e t et
12 11
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e 2t 2e t e 2t e t
2e 2t 2e 2t
2e t et
当 x(0)
1 时的状态响应为
3 x(t ) eAt 1 3
尼，而且位移足够小，满足近似式 sin
， cos 1 。
（ 1）写出系统的运动微分方程；
（ 2）写出系统的状态方程。
【解】
（ 1）对左边的质量块，有
ML2 1
L f cos 1
2
对右边的质量块，有
L k sin 1
2
sin 2
L cos 1
2
MgL sin 1
ML2 2
L k 2 sin 1 sin 2
x2 的估计方程。
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进一步写成
x1 x2 x2 5 x2 100u y x1
设降维观测器方程为
x2 5x2 100u y x2
x2 5 l x2 100u l
x2 5 l x2 100u ly
引入中间变量 z x2 ly ，两边求导数得
z x2 ly
5 l x2 100u ly ly 5 l x2 100u z 5 l z ly 100u
k1
k2
x1 x2
4x1 3x2 。
2
，n
22 2
2 ，期望特征多
六．（本题满分 10 分） 设系统的状态空间表达式为 x
y
01 x
05 1 0x
0 u
100
若该系统的状态 x2 不可测量，试设计一个降维状态观测器， 使降维观测器的极点为 10 ，
要求写出降维观测器动态方程，并写出状态 【解答】将状态空间表达式写成：
01 ， rankQc 2 ，由系统能控性的定义可
13
知：存在有限控制序列，使得在有限时间内由状态初值转移到零。 （2）由系统状态完全能控的性质可知，此系统为二阶系统，可用适当的
u(0) ， u(1)，使
得 x(2) 0 ，即 N 的最小值为 1。
根据状态方程 x( k 1) Gx( k) hu( k) 进行递推如下： x(1) Gx (0) hu(0) x(2) Gx (1) hu(1) G Gx(0) hu(0) hu(1) G 2 x(0) Ghu(0) hu(1) 0 ，
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一．（本题满分 10 分）
如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为 L ，摆杆的质量忽略不计，
摆杆末端两个质量块 （质量均为 M ）视为质点， 两摆杆中点处连接一条弹簧，
1 与 2 分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当 1 2 时，弹簧没有伸长和压缩。
水平向右的外力 f (t ) 作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻