高等数学定积分可积性理论补叙
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*§6 可积性理论补叙
本节首先证明达布定理, 然后用达 布定理证明函数可积的第一、第二、 第三充要条件, 其中第二充要条件即 为第三节中介绍的可积准则. 一、 上和与下和的性质
二、 可积的充要条件
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一、上和与下和的性质
由§2, 若 f 在 [a, b] 上有界, 则对 [a , b] 的分割
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S (T ) s(T ) ( M i mi )xi i xi ,
i 1 i 1
n
n
其中
i M i mi
sup | f ( x) f ( x) | x, x [ xi 1 , xi ] ,
是 f 在 [ xi-1 , xi ] 上的振幅.
i 1 n
xi S (T ) . b a i 1
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n
所以证得
n S (T ) sup f ( i )Δxi i [ xi 1 , xi ], i 1,2, i 1 , n .
类似可证 :
n s(T ) inf f ( i )Δxi i [ xi 1 , xi ], i 1,2, i 1 , n .
, n
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的一个上界.
0, 由于 M i sup f ( x ) x [ xi 1 , xi ] , 因此
i [ xi 1 , xi ], 使
f ( i ) M i
于是
n n
ba
.
f ( i )xi ( M i )x i ba i 1 i 1 M i xi
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性质2 设 T' 为分割 T 添加 p 个新分点后所得到
的分割, 则
S (T ) S (T ) S (T ) ( M m ) p || T ||, s(T ) s(T ) s(T ) ( M m ) p || T || .
证 为方便起见, 记 T0 T , Ti 为添加 i 个新分点后
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同理有
0 S (Ti ) S (Ti 1 ) ( M m ) || Ti || .
因此证得
0 S (T0 ) S (Tp ) [ S (Ti ) S (Ti 1 )]
( M m ) || Ti || ( M m ) p || T || .
证 i [ xi 1 , xi ], f ( i ) M i , i 1,2,, n,
f ( i )Δxi M i Δxi S (T ),
i 1 i 1
n
n
n 即 S (T ) 是 f ( i )Δxi i [ xi 1 , xi ], i 1, 2, i 1
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定义3 设 f 是 [a , b] 上的有界函数, 由性质4 知道
S inf S (T ) , s sup s(T )
T T
都存在,分别称为 f 在 [ a, b ]上的上积分与下积分. 性质5 m (b a ) s S M (b a ). 定理9.14 (达布定理) lim S (T ) S , lim s(T ) s .
i 1 i k
n
Δxk ) ( M k Δxk Mk Δxk ) M k (Δxk )Δxk ( Mk Mk )Δxk . ( Mk Mk
由于
(或 M k ) M k M , m Mk
故有
0 S (T0 ) S (T1 ) ( M m )Δxk ( M m ) || T || .
S (T ) S (T ), S (T ) S (T ), s(T ) s(T ), s(T ) s(T ).
性质4 对于任意分割 T 与 T , 总有 s(T ) S (T ). 证 令 T T T , 则
s(T ) s(T ) S (T ) S (T ).
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上和的几何意义:
y
y f ( x)
曲边梯形“外接”矩 形 面积之和.
O a y
y f ( x)
b
x
下和的几何意义:
曲边梯形“内接”矩 形 面积之和.
O a
b
x
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性质1 对固定分割 T : a x0 x1
xn b, 有
n S (T ) sup f ( i )Δxi i [ xi 1 , xi ], i 1,2, , n , i 1 n s(T ) inf f ( i )Δxi i [ xi 1 , xi ], i 1,2, , n . i 1
T : a x0 x1 xn b ,
n
有相应的上和与下和:
S (T ) M i Δxi , s(T ) mi Δxi ,
i 1 i 1 n
其中
M i sup{ f ( x ) | x [ xi 1 , xi ]}, i 1,2, mi inf{ f ( x ) | x [ xi 1 , xi ]}, i 1,2, ,n , , n.
i 0 p 1 i 0
p 1
类似可证
s(T ) s(T ) s(T ) ( M m ) p || T || .
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由性质2 可直接得到: 性质3 若 T 与 T 为任意两个Leabharlann Baidu割, T T T
表示把 T 与 T 的所有分点合并得到的分割, 则
所得到 的分割, T' Tp .
设 T1 中新加入的那个分点落在 T 的某小区间 Δk
内, 它把 Δk 分为两小区间, 记为 Δ k 与 Δk . 此时
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S (T0 ) S (T1 )
Δxk Mk Δxk ) M i Δ xi ( M i Δxi M k
本节首先证明达布定理, 然后用达 布定理证明函数可积的第一、第二、 第三充要条件, 其中第二充要条件即 为第三节中介绍的可积准则. 一、 上和与下和的性质
二、 可积的充要条件
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一、上和与下和的性质
由§2, 若 f 在 [a, b] 上有界, 则对 [a , b] 的分割
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S (T ) s(T ) ( M i mi )xi i xi ,
i 1 i 1
n
n
其中
i M i mi
sup | f ( x) f ( x) | x, x [ xi 1 , xi ] ,
是 f 在 [ xi-1 , xi ] 上的振幅.
i 1 n
xi S (T ) . b a i 1
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n
所以证得
n S (T ) sup f ( i )Δxi i [ xi 1 , xi ], i 1,2, i 1 , n .
类似可证 :
n s(T ) inf f ( i )Δxi i [ xi 1 , xi ], i 1,2, i 1 , n .
, n
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的一个上界.
0, 由于 M i sup f ( x ) x [ xi 1 , xi ] , 因此
i [ xi 1 , xi ], 使
f ( i ) M i
于是
n n
ba
.
f ( i )xi ( M i )x i ba i 1 i 1 M i xi
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性质2 设 T' 为分割 T 添加 p 个新分点后所得到
的分割, 则
S (T ) S (T ) S (T ) ( M m ) p || T ||, s(T ) s(T ) s(T ) ( M m ) p || T || .
证 为方便起见, 记 T0 T , Ti 为添加 i 个新分点后
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同理有
0 S (Ti ) S (Ti 1 ) ( M m ) || Ti || .
因此证得
0 S (T0 ) S (Tp ) [ S (Ti ) S (Ti 1 )]
( M m ) || Ti || ( M m ) p || T || .
证 i [ xi 1 , xi ], f ( i ) M i , i 1,2,, n,
f ( i )Δxi M i Δxi S (T ),
i 1 i 1
n
n
n 即 S (T ) 是 f ( i )Δxi i [ xi 1 , xi ], i 1, 2, i 1
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定义3 设 f 是 [a , b] 上的有界函数, 由性质4 知道
S inf S (T ) , s sup s(T )
T T
都存在,分别称为 f 在 [ a, b ]上的上积分与下积分. 性质5 m (b a ) s S M (b a ). 定理9.14 (达布定理) lim S (T ) S , lim s(T ) s .
i 1 i k
n
Δxk ) ( M k Δxk Mk Δxk ) M k (Δxk )Δxk ( Mk Mk )Δxk . ( Mk Mk
由于
(或 M k ) M k M , m Mk
故有
0 S (T0 ) S (T1 ) ( M m )Δxk ( M m ) || T || .
S (T ) S (T ), S (T ) S (T ), s(T ) s(T ), s(T ) s(T ).
性质4 对于任意分割 T 与 T , 总有 s(T ) S (T ). 证 令 T T T , 则
s(T ) s(T ) S (T ) S (T ).
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上和的几何意义:
y
y f ( x)
曲边梯形“外接”矩 形 面积之和.
O a y
y f ( x)
b
x
下和的几何意义:
曲边梯形“内接”矩 形 面积之和.
O a
b
x
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性质1 对固定分割 T : a x0 x1
xn b, 有
n S (T ) sup f ( i )Δxi i [ xi 1 , xi ], i 1,2, , n , i 1 n s(T ) inf f ( i )Δxi i [ xi 1 , xi ], i 1,2, , n . i 1
T : a x0 x1 xn b ,
n
有相应的上和与下和:
S (T ) M i Δxi , s(T ) mi Δxi ,
i 1 i 1 n
其中
M i sup{ f ( x ) | x [ xi 1 , xi ]}, i 1,2, mi inf{ f ( x ) | x [ xi 1 , xi ]}, i 1,2, ,n , , n.
i 0 p 1 i 0
p 1
类似可证
s(T ) s(T ) s(T ) ( M m ) p || T || .
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由性质2 可直接得到: 性质3 若 T 与 T 为任意两个Leabharlann Baidu割, T T T
表示把 T 与 T 的所有分点合并得到的分割, 则
所得到 的分割, T' Tp .
设 T1 中新加入的那个分点落在 T 的某小区间 Δk
内, 它把 Δk 分为两小区间, 记为 Δ k 与 Δk . 此时
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S (T0 ) S (T1 )
Δxk Mk Δxk ) M i Δ xi ( M i Δxi M k