工程优化目标函数的几种极值求解方法c++编程

目标函数极值求解的几种方法

题目：分别用最速下降法，牛顿法，共轭梯度法,拟牛顿法求函数

2

42

32

22

1)

5(5)1()5(5)1(-+-+-+-=x x x x f 的最小值，初始点自拟。

一维搜索法：

迭代下降算法大都具有一个共同点，这就是得到点()k x 后需要按某种规则确定一个方向()k d ，再从()k x 出发，沿方向()k d 在直线（或射线）上求目标函数的极小点，从而得到()k x 的后继点()1+k x ，重复以上做法，直至求得问题的解，这里所谓求目标函数在直线上的极小点，称为一维搜索。

一维搜索的方法很多，归纳起来大体可以分为两类，一类是试探法：采用这类方法，需要按某种方式找试探点，通过一系列的试探点来确定极小点。另一类是函数逼近法或插值法：这类方法是用某种较简单的曲线逼近本来的函数曲线，通过求逼近函数的极小点来估计目标函数的极小点。这里采用的是第一类试探法中的黄金分割法。实现过程如下：

⑴ 置初始区间[11,b a ]及精度要求L>0,计算试探点1λ和1μ，计算函数值

()

1λf 和()1μf ，计算公式是：()1111382.0a b a -+=λ，()1111618.0a b a -+=μ。令

k=1。

⑵ 若

L

a b k k <-则停止计算。否则，当()K f λ>()k f μ时,转步骤⑶;当

()K f λ≤()k f μ时,转步骤⑷ 。

⑶ 置k

k a λ=+1,

k

k b b =+1,

k

k μλ=+1,

()

1111618.0++++-+=k k k k a b a μ,计算函

数值

()

1+k f μ,转⑸。

⑷ 置k

k a a =+1,

k

k b μ=+1,

k

k μμ=+1,

()

1111382.0++++-+=k k k k a b a λ,计算

函数值

()

1+k f λ,转⑸。

最速下降法

实现原理描述：在求目标函数极小值问题时,总希望从一点出发,选择一个目

标函数值下降最快的方向,以利于尽快达到极小点,正是基于这样一种愿望提出的最速下降法,并且经过一系列理论推导研究可知,负梯度方向为最速下降方向。

最速下降法的迭代公式是()()()k k k k d x x λ+=+1，其中()k d 是从()k x 出发的搜索方向，这里取在点()k x 处最速下降方向，即()()k k x f d -∇=。k λ是从()k x 出发沿方向()k d 进行的一维搜索步长，满足()()()()()()k k k k k d x f d x f λλλ+=+≥0

min 。

实现步骤如下：

⑴ 给定初点()n R x ∈1 ，允许误差0>ε，置k=1。

⑵ 计算搜索方向()()k k x f d -∇=， 若()ε≤k d ，则停止计算；否则，从()

k x 出发，沿方向()k d 进行的一维搜索，求k λ，使()()()()()()k k k k k d x f d x f λλλ+=+≥0

mi n 。

⑶ ()()()k k k k d x x λ+=+1，置k=k+1返回步骤 ⑵。

牛顿法

牛顿法迭代公式：()()()k k k k d x x λ+=+1，()k d 是在点()k x 处的牛顿方向，

()

()

()

()

()k k k x

f x

f d

∇-∇=-1

2

，k

λ

是从()k x 出发沿牛顿方向()k d 进行搜索的最优步长。

⑴ 给定初点()n R x ∈1 ，允许误差0>ε，置k=1。

⑵ 计算()()k k x f g ∇=， 若()ε≤k g ，则停止计算；否则，转⑶。 ⑶ 计算()()()k k k g x f d 1

2--∇=，从()k x 出发，沿方向()k d 进行的一维搜索，

求k λ，使()()()()()()k k k k k d x f d x f λλλ+=+≥0

min ，()()()k k k k d x x λ+=+1，置k=k+1返回

步骤 ⑵。

共轭梯度法

若()()()k d d d ,,,21 是n R 中k 个方向，它们两两关于A 共轭，即满足

()()

k

j i j i Ad

d

j T

i ,,1,;,0 =≠=，称这组方向为A 的k 个共轭方向。共轭梯度法的

基本思想是把共轭性与最速下降法相结合，利用已知点处的梯度构造一组共轭方

向，并沿这组方向进行搜索，求出目标函数的极小点，根据共轭方向的基本性质这种方法具有二次终止性。

实现步骤如下：

⑴ 给定初点()n R x ∈1 ，允许误差0>ε； ⑵ 若ε≤∇)(1x f ，则停止计算；否则，转⑶； ⑶ 置()()()11x f d -∇=，k=1。

⑷ 作一维搜索，求k λ，满足()()()()()()k k k k k d x f d x f λλλ+=+≥0

min ；

⑸ 令()()()k k k k d x x λ+=+1，求()()()11++∇=k k x f g 。 ⑹ 若()ε≤+1k g ，则停止计算；否则，转⑺； ⑺ 若k=n,则令()()11+=n x x ，转⑶；否则，转8）；

⑻ 令()()k k k k d g d β+-=++)1(1，其中()(

)

()

()

2

2

1k k k x

g x

g +=

β，置k=k+1，转⑷。

程序

#include #include #include

#define N 100

double F(double x[],double p[],double xi[],double ba[],int n,double t) { double f=0; int i;

for(i=0;i

f=f+xi[i]*(x[i]+t*p[i]-ba[i])*(x[i]+t*p[i]-ba[i]); return f;

}

double HJFC(double x[],double p[],double xi[],double ba[],int n) {

double a=0,b=10,x1,x2,f1,f2,e=0.0001,y; x2=a+0.618*(b-a); f2=F(x,p,xi,ba,n,x2); x1=a+0.382*(b-a); f1=F(x,p,xi,ba,n,x1);