初中数学的逆向思维培养和提高解题效率

逆向思维在数学解题中的应用
（成都市武侯高级中学 610043） 张信联
思维就是人的理性认识的过程，根据思维过程的指向性，可将思维分为：常规思维（正向思维）和逆向思维，中学数学课本中的逆向思维，中学数学课本中的逆运算、否命题、反证法、分析法、充要条件等都涉及到思维的逆向性，在数学解题中，通常是从已知到结论的思维方式，然而有些数学总是按照这种思维方式则比较困难，而且常常伴随有较大的运算量，有时甚至无法解决，在这种情况下，只要我们多注意定理、公式、规律性例题的逆用，正难则反，往往可以使 问题简化，经常性地注意这方面的训练可以培养学生思维的敏捷性。

1.定义的逆用
在数学解题中“定义法”是一种比较常见的方法，但定义的逆用容易被人们忽视，只要我们重视定义的逆用，进行逆向思维，就能使有些问题解答简捷。

例1 若化简|1-x|—|x-4|的结果为2x-5，求x 的取值范围。

分析：原式=|1-x|-|x-4|
根据题意，要化成：x-1-（4-x ）=2x-5
从绝对值概念的反方向考虑，推出其条件是：
1-x ≤0，且x-4≤0
∴x 的取值范围是：1≤x ≤4
例2、a 2+2a-1=0，b 4-2b 2-1=0，且1-ab 02
≠。

则199322)1(a b ab ++的值是______. 分析：常见的方法是先解出a ，b 的值，然后再代入199322)1(a
b ab ++中求解，这样将十分麻烦，但如果我们逆用方程根的定义，把199322)1(a
b ab ++化成199322
)1(a a b b ++，把a 1,2b 看成是一个方程的两个根，这样可以使此题的运算量减少，解答非常简捷。

解：∵a 2+2a-1=0，∴a 0≠.011·2)1(2=--a
a 又∵012)(22=--
b b 而1-ab 02≠.即21b a
≠ ∴2,1b a
是方程0122=--x x 的两个实数根。

∴1·1,2122-==+b a
b a ∴199322)1(a b ab ++=199322)1(a
a b b ++=(2-1)1993=1
例3.设124)(+-=x x x f ,求
分析：常见的方法是：先求反函数)(1x f -，然后再求)0(1-f 的值，但只要我们逆
用反函数定义，令f(x)=0，解出x 的值即为)0(1-f 的值，)0(1-f =1。

例4.如图已知)0,0)(sin(>>+=ωφωA x A y 在一个周期内的图象，求其解析式。

分析：由已知易得周期T=π，ω=2，此题的难点是定φ，而
且极易出错，只要我们逆用“五点法”的定义，则问题极易解决，其中点)0,3(π
为“五点法”中的第三点，其相为π。

即：
πϕπ
=+⋅32，所以3π
ϕ=，最后定A=3，所以
)32sin(3π+
=x y 。

2.式的逆用
对于定理而言，众所周知，不是所有的定理的逆命题都是正确的，但是，在教学中重视引导学生探讨定理的逆命题是否正确，不失是指导学生研究新问题的一个有效方法，它对于激发学生的学习兴趣和指导学生正确地运用逆定理解题，更具有重要意义。

例2、已知，在平行四边形ABCD 中的AD 和CD 边上取E 、F 两点，且有AF=CE ，AF 与CE 相交于O 点，连接OB 。

求证：OB 平分∠AOC
分析：我们知道角平分线定理，角平分线上的点到这个角两边距离相等。

这道题要证OB 平分∠AOC ，只要用角平分线定理的逆定理，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上。

所以只要证到OB 上有一点到∠AOC 两边的距离相等，
那么问题就解决了。

例3.化简)3
2(cos )32(cos cos 333A A A -+++ππ 分析：此题如果用和差角公式后再立方，则运算量太大，但我们只要联系与三次方有关的三倍角公式：A A A cos 33cos 4cos 3-=，变形逆用三倍角公式。

所以，)cos 33(cos 4
1cos 3
A A A -=这样就可以使原式降次，然后用和差化积公式，就能很快得出结果A 3cos 43。

例4..已知：1
1)(1)(222--⋅=--=-a a a a a a a a x f n n n n n n n n n a a a n a
a a a a a a 22422242)1(-->+++= n a
a n n n =⋅=--11
，所以原不等式成立。

3.逆向分析法
分析法的实质是“执果索因”，要证明结论成立，只需找使结论成立的充分条件即可。

这种方法在证明题中用得较多，这也是逆向思维在数学解题中的具体运用。

例1 设f (x)=tanx ，)2,0(π∈x ，当)2,0(,21π
∈x x 时，且x 1≠x 2，证明：
)2
()]()([212121x x f x f x f +>+ 分析：要证明原不等式成立，即证
2
tan )tan (tan 212121x x x x +>+只需证 )(2
1cos )(21sin cos cos 2)sin(21212121x x x x x x x x ++>⋅+即证 2
cos 1cos cos 2cos 212121x x x x x +>+)02sin (21≠+x x 即21212cos cos 2
cos x x x x >+ （0cos cos 2cos
,21212121≠+∴≠+≠x x x x x x x x π ）
2.反证法
反证法就是把假设结论的反面成立，由此导出与题设、定义、公理相矛盾的结论，从而推翻假设，肯定结论的证明方法，这种应用逆向思维的方法，可使很多问题处理起来相当简捷。

例1.有f(x)=x2+ax+b 求证：|f(1)|、|f(2)、|f(3)|中至少有一个不小于
2
1。

分析：此题直接证比较困难，但只要用反证法则较为简便。

设|)1(|f 2
1<
、|)2(|f 21<、|)3(|f 21< 所以|)1(|f +2|)2(|f +|)3(|f 21<+1+21=2 （1） 但|)1(|f +2|)2(|f +|)3(|f ≥|)1(|f －2|)2(|f +|)3(|f
=|（1+a+b ）－2（4+2a+b ）+（9+3a+b ）|=2 （2）
（1） 与（2）矛盾，所以假设不成立，故原结论成立。

例2 如图，已知a 、b 为异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，
求证：AC 和BC 是异面直线。

分析：如果按异面直线的定义直接证明比较困难，但如果从反
面证明则比较简单，如果AB 与CD 共面，则得出a 、b 共面，与a 、
b 是异面直线矛盾，因此，AB 、CD 为异面直线。

5 逆向排除法
在有些数学问题中，正面复杂，反面简单，只要逆向分析，进行排除，就能使问题得到简捷的解答，同时这也是解有些选择题的有效捷径解法。

例 若二次函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间[-1，1]内至少有一个点C ，使f （C ）>0，求实数p 的取值范围。

分析：此题从反面分析，采取补集法则比较简单。

如果在[-1，1]内没有点满足f （C ）>0 则23p 323
p 31 210)1(0)1(≥≤⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥-≤≥-≤⇒⎩⎨⎧≤≤-或或或a p p p p f f 取补集为2
33 p -，即为满足条件的p 的取值范围。

综上所述：在数学解题中，根据问题的特点，在应常规数学思维的同时，注意逆向思维的应用，往往能使很多问题运算简化，对培养学生的数学思维，特别是培养学生思维的敏捷性，提高学生的数学能力具有重要的意义。