高等数学：第四节 高阶导数

其中 p5( x) 为x的5次多项式, 故 y(6) 108 6!.
7
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明) 例3 设 y e x , 求y(n) .
解 y e x , y e x , y e x , , (e x )(n) e x .
4
二、 高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
解
y
1
1 x
2
y
( 1
1 x
2
)
2x (1 x 2 )2
y
(
(1
2x x2
)2
)
2(3x 2 1) (1 x 2 )3
f
(0)
(1
2x x2 )2
x0
y
y 0,
y 2 y 1 x
eax (a sin bx b cos bx) eax a 2 b2 sin( bx ) ( arctan b)
a y a 2 b2 [aeax sin(bx ) beax cos(bx )]
a 2 b2 eax a 2 b2 sin(bx 2)
n
y(n) (a 2 b2 ) 2 e ax sin( bx n)
f (4) ( x),
y(4) ,
d4y .
dx 4
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数, 记作
f (n) ( x), y(n) , d n y 或 d n f ( x) .
dx n
dx n
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
( f ( x)) lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
存在,则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
记作
f
( x),
y,
d2y dx 2
或
d
2 f (x) dx 2
.
3
二阶导数的导数称为三阶导数,
f ( x),
y,
d3y .
dx 3
三阶导数的导数称为四阶导数,
例4 设 y ln(1 x), 求y(n) .
解 y 1
1 x
y
(1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 x
)
2
y
(1
2! x)3
y(4)
3! (1 x)4
y(n) (1)n1 (n 1)! (1 x)n
(n 1, 0! 1)
8
例5 设 y sin x, 求y(n) .
解 y cos x sin( x ) 2
的二阶导数
d2y dx 2
.
解：方程 两边同时关于x求导得(注意y是x的函数)，
1 y x y y 0, （1）
y
y ,
1 x
y
y (1 x) y (1) (1 x)2
2y (1 x)2 .
法二： (1)两端同时关于x求导得: 注意y和y都是x的函数！
y 1 y x
令x 0, y(n1) (0) n(n 1) y(n1) , 递推关系！
由y(0) 0, y(0) 1, y(0) 0及递推关系得：
y(2m)(0) 0 (m 1, 2, 3, ), y(2m1) (0) (1)m (2m)! (m 1, 2, 3, ).
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例9 求由方程 xy y e 0所确定的隐函数y( x)
y(n) ( xn )(n) n!, y(n1) (n!) 0.
6
例 设y ( x 2)(2x 3)2(3x 4)3, 求y(6).
分析 此函数是6次多项式, 故不需将函数因式全乘出来. 解 因为
又是求6阶导数,
y x(2x)2(3x)3 p5( x) 108x6 p5( x)
2 e 20 2 x x 2 20 2 e 19 2 x 2 x 20 19 2 e 18 2 x 2 2!
220 e2x ( x2 20x 95)
12
例8 设 y arctan x, 求y(n)(0).
解
y
1
1 x2
,
(1 x2 ) y 1, 由莱布尼兹公式,
（1 x2 ) y(n1) 2nxy(n) n(n 1) y(n1) 0,
n
C u v k (nk ) (k ) n
k0
莱布尼兹公式
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例7 设 y x2e2x , 求y(20) . 解 设u e2x , v x2 ,则由莱布尼兹公式知
y(20) (e ) 2 x (20) x 2 20(e 2 x )(19) ( x 2 ) 20(20 1) (e2x )(18) ( x 2 ) 0 2!
0;
f (0)
2(3x 2 1) (1 x 2 )3
x0
2.
5
例2 设 y x ( R), 求y(n) . 解 y x1
y (x1 ) ( 1)x2 y (( 1)x2 ) ( 1)( 2)x3
y(n) ( 1)( n 1)xn (n 1)
若 为自然数n,则
y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 )
2
22
2
y
cos(
x
2
2
)
sin(
x
3
) 2
y(n) sin( x n ) 2
同理可得 (cos x)(n) cos( x n ) 2
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例6 设 y eax sin bx (a, b为常数), 求y(n) . 解 y aeax sin bx beax cos bx
第四节 高阶导数
一、高阶导数的定义 二、高阶导数求导举例 三、小结、思考题、作业
1
一、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度.
设 s f (t),
则瞬时速度为
v
ds dt
或v
s'
,
加速度a是速度v对时间t的变化率
a dv d ( ds )或a (s' )' dt dt dt
2
定义 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即
( arctan b)
a
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2. 高阶导数的运算法则:
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v)(n) u(n) v (n)
(2) (Cu)(n) Cu(n)
(3) (u v)(n) u(n)v nu( v n1) n(n 1) u(n2)v 2!
n(n 1)(n k 1) u v (nk ) (k ) uv (n) k!