数学建模 在医药领域的应用

数学建模在医药卫生领域中的研究与应用

摘要:介绍数学模型及其重要性,讨论了数学建模的一般步骤,包括模型的准备、假设、建立、求解、检验、分析及其应用的全过程;并结合医药卫生领域中不允许缺货的存储模型、机械化传送系统的效率模型、流行病学以及肿瘤生长的数学模型等几个实际问题,探析了数学建模的技巧、分析了模型应用的局限性,对实际工作具有一定的指导意义和较好的借鉴作用。关键词:数学建模;创新思维;医药卫生;应用

1引言

数学是一切科学和技术的基础,是研究现实世界数量关系、空间形式的科学。随着社会的发展,电子计算机的出现和不断完善,数学不但运用于自然科学各学科、各领域,而且渗透到经济、管理以至于社会科学和社会活动的各领域。众所周知,利用数学解决实际问题,首先要建立数学模型,然后才能在该模型的基础上对实际问题进行分析、计算和研究。

数学建模(Mathematical Modeling)活动是讨论建立数学模型和解决实际问题的全过程,是一种数学思维方式。

2数学建模的过程

数学建模的过程是通过对现实问题的简化、假设、抽象提炼出数学模型;然后运用数学方法和计算机工具等,得到数学上的解答;再把它反馈到现实问题,给出解释、分析,并进行检验。若检验结果符合实际或基本符合,就可以用来指导实践;否则再假设、再抽象、再修改、再求解、再应用。其过程如图1所示。

构造数学模型不是一件容易的事,其建模过程和技巧具体主要包括以下步骤:

2·1模型准备

在建模前要了解实际问题的背景,明确建模的目的和要求;深入调研,去粗取精,去伪存真,找出主要矛盾;并按要求收集必要的数据。

2·2模型假设

在明确目的、掌握资料的基础上,抓住复杂问题的主要矛盾,舍去一些次要因素;对实际问题作出几个适当的假设,使复杂的实际问题得到必要的简化。

2·3建立模型

首先根据主要矛盾确定主要变量;然后利用适当的数学工具刻划变量间的关系,从而形成数学模型。模型要尽量简化、不必复杂,以能获得实际问题的满意解为标准。

2·4模型检验

建模后要对模型进行分析,用各种方法(主要是数学方法,包括解方程、逻辑推理、稳定性讨论等;同时利用计算机技术、计算技巧)求得数学结果;将所求得的答案返回到实际问题中去,检验其合理性;并反复修改模型的有关内容,使其更切合实际,从而更具有实用性。

2·5模型应用

用建立的模型分析、解释已有的现象,并预测未来的发展趋势,以便给人们的决策提供参考。总之,数学建模是一种创造性劳动,成功的模型往往是科学与艺术的结晶。一个“好”的数学模型应该具有以下特点:①考虑全面,抓住本质;②新颖独特,大胆创新;③善于检验,结果合理。而模型检验一般包括下列几个方面:①稳定性和敏感性分析;②统计检验和误差分析;③新旧模型的比较;④实际可行性检验。

因此,数学建模的分析方法和操作途径不可能用一些条条框框规定得十分死板,下面通过实例探析建模过程与技巧。

3模型Ⅰ:药厂不允许缺货的存储模型

3·1模型准备(背景介绍)

企业或商品流动部门需要存储原料或货物。若存量过多(供过于求),会导致资金占用过多、存储费用过高等问题;但存量过少(供不应求),会导致订货批次增多而增加订货费用,有时造成的缺货也会发生经营的损量、订货量和订货时间是一个需要研究的现实问题。

实例1:某药厂平均每天需要某种原料0.2吨,已知每吨原料每天的保管费为0.75元,每次的订货费用为75元。如果药厂不允许缺货并且每次订货均可立即补充,请为该药厂做出最佳决策:即多长时间订一次货,每次订多少货才能使每天所花费的总费用最少。

3·2模型假设(分析问题)

在求解时需要考虑的费用问题有以下两项:①进货费用:包括固定费用(每次订货费用c1元)和可变费用(货物的成本费用元/吨,与订货数量有关)。②单位时间内的存储费用:c2元/吨。由于题设“药厂不允许缺货并且每次订货均可立即补充”,即缺货费用为零,因此,总费用T=T1+T2,其中T1为进货费用,T2为存储费用。

3·3模型建立

设每隔t天订一次货,每次订货数量为x ,每次订货费为c1,每天(单位时间)每单位货物存储费为c2,每天内对货物的需求量为r。

经分析,在上述假定条件下有x=rt ,每次的进货费为:c1+cx=c1+crt ,则平均每天的进货费为:T1=+cr ;又每天的平均库存量为,则每天的平均库存费为T2=c2·=c2rt ;则每天总费用为:T(t)= +rc+失。

3·4模型求解

制定最优存储方案,可归结为确定订货周期t ,使T(t)达到最小值。根据“微分法”:

式(2)是经济学中著名的经济订货批量公式,它表明:订货费越高,需求量越大,则每次订货批量应越大;存储费越高,则每次订货批量应越小。这种分析与实际意义相符合。

3·5模型应用

在(1)、(2)式中,代入实例1中的已知数值: c1=75, c2=0.75, r=0.2,得最佳订货时间间隔和每批最佳订货量分别为:

x0=6.3246(吨)。

实证研究表明,存储模型能提供科学、合理、经济的管理思路,从而有效地提高管理效益。

4模型Ⅱ:机械化传送系统的效率模型

实例2:假设在某药厂机械化生产车间里,排列整齐的工作台旁工人们紧张地生产同一种药品;工作台上方一条设置若干钩子的传送带在运转,工人们将药品挂在经过他上方的钩子上带走;当生产进入稳定状态后,每个工人生产出一件药品所需时间是不变的,而他要挂药品的时刻却是随机的。衡量这种传送系统的效率可以看它能否及时把工人们生产的药品带走。显然,在工人数目不变的情况下传送带速度越快,带上钩子越多,效率会越高。要求构造一个衡量传送系统效率的指标,并且在一些简化假设下建立一个模型来描述这个指标与工人数目、钩子数量等参数的关系。

4·1模型分析

为了用传送带及时带走的药品数量来表示传送系统的效率,在工人们生产周期(即生产一件药品的时间)相同的情况下,需要假设工人在生产出一件药品后,要么恰好有空钩子经过他的工作台,使他可以将药品挂上带走;要么没有空钩子经过,迫使他将药品放下并立即投入下一件药品的生产,以保持整个系统周期性地运转。

工人们的生产周期虽然相同,但是由于各种随机因素的干扰,经过相当长时间后,他们生产完一件药品的时刻就会不一样,可以认为是随机的,并且在一个生产周期内任一时刻的可能性是一样的。