函数与方程思想总结
函数和方程的思想方法总结
函数和方程的思想方法总结函数和方程是数学中两个非常重要的概念,它们在不同的数学领域和学科中具有广泛的应用。
在解决实际问题、研究数学定理和推导数学公式时,函数和方程的思想方法非常有用。
下面我将总结函数和方程的思想方法,并举例说明它们的应用。
一、函数的思想方法:1. 函数是一种映射关系,将自变量映射为因变量。
在研究函数时,我们常常关注函数的定义域、值域、图像和性质等特征。
例如,对于一个电商平台的销售额函数,我们可以通过输入商品价格来计算销售额。
我们可以研究函数的增减性、最大值和最小值等,以优化销售策略。
2. 函数具有一些重要的性质,如奇偶性、周期性和可导性等。
这些性质可以帮助我们进一步研究函数的特点和行为。
例如,对于一个正弦函数,它是一个周期函数,周期为2π。
我们可以利用这个性质来分析正弦函数的周期性变化和极值点。
3. 函数的组合和复合是函数思想方法的重要工具。
通过将多个函数进行组合或复合,我们可以得到新的函数,从而解决更加复杂的问题。
例如,对于一个物体在空中自由落体运动的高度函数和速度函数,我们可以通过将这两个函数进行复合,得到物体的位置函数和加速度函数,进一步分析物体的运动规律。
二、方程的思想方法:1. 方程是含有未知数的等式,通过求解方程,我们可以确定未知数的值。
解方程是数学中的一个重要问题,有很多不同的解法和技巧。
例如,对于一个一元一次方程,我们可以通过移项、消元和代入等方法求解。
对于一个一元二次方程,我们可以通过配方法、因式分解和求根公式等方法求解。
2. 方程的应用非常广泛,它可以用来描述和解决各种实际问题。
在解决实际问题时,我们常常将问题抽象成一个方程,然后通过求解方程来得到问题的解。
例如,对于一个汽车行驶的问题,我们可以根据汽车的速度、时间和距离的关系建立一个方程,然后求解这个方程来得到汽车行驶的时间或速度。
3. 方程的解有可能是多个,也有可能是无解。
我们在解方程时,需要考虑方程的解集和解的存在性等问题。
函数与方程知识点总结资料
函数与方程知识点总结资料函数与方程是数学中的重要概念,是许多其他数学分支的基础。
本文将对函数与方程的知识点做一个总结,帮助读者更好地理解和掌握这些概念。
一、函数的基本概念1. 函数定义函数是一种特殊的关系,即将一个自变量映射到一个因变量上的过程。
函数的定义方式可以有多种,最常见的定义方式是:f(x)=y\qquad y=f(x)其中,x 是自变量,f 是函数名,y 是因变量。
2. 函数的图像函数的图像是指函数在直角坐标系中的表现形式,即以自变量x 为横坐标,对应的因变量 y 为纵坐标所构成的图形。
函数的图像可以用数学软件绘制,也可以手绘出来。
3. 函数的定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围,是使函数有意义的自变量的集合。
函数的值域是函数在定义域内的所有可能输出值的集合。
函数的定义域和值域可以用数学符号表示,例如:\text{定义域:}D(f)=\{x\mid x\text{ 是实数}\}\text{值域:}R(f)=\{y\mid y\text{ 是实数}\}4. 奇偶性、单调性和周期性函数的奇偶性指函数图像相对于 y 轴的对称性,分为偶函数和奇函数。
偶函数满足 f(-x)=f(x),奇函数满足 f(-x)=-f(x)。
函数的单调性指函数图像在定义域内是否单调递增或单调递减。
如果对于任意 x_1<x_2,都有 f(x_1)<f(x_2),则称函数 f 在定义域内是单调递增的;如果对于任意 x_1<x_2,都有f(x_1)>f(x_2),则称函数 f 在定义域内是单调递减的。
函数的周期性指函数在定义域内是否有重复的输出值。
如果存在一个正数 T,使得对于任意 x\in D(f),都有 f(x+T)=f(x),则称函数 f 是周期函数,T 称为函数的周期。
5. 复合函数和反函数复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入,并得到新函数的过程。
反函数是指对于一个函数 f,存在一个函数g,使得 g(f(x))=x 在定义域内成立。
方程与函数转换思想总结
方程与函数转换思想总结方程与函数是数学中的两个基本概念,它们之间存在着紧密的关联和转换关系。
方程是描述数学关系的式子,函数则是一种特殊的方程,描述了输入-输出的对应关系。
方程与函数转换思想包括方程转化为函数的思想和函数转化为方程的思想。
方程转化为函数的思想是指将方程转化为函数的形式,从而更好地研究和利用方程的性质。
具体而言,可以通过以下几种方法将方程转化为函数:首先,可以将方程表示为函数的图像。
例如,对于一元方程y=f(x),可以将其表示为函数y=f(x)的图像,从而直观地了解方程的解集和图像的性质。
其次,可以将方程转化为显式函数或隐式函数。
对于一元方程y=f(x),如果能将y表示为x的函数形式,即y=g(x),那么方程就转化为了显式函数。
而对于隐式函数,可以通过一些技巧将方程转化为y=f(x)的形式,从而更好地研究和解决问题。
另外,可以通过反函数的思想将方程转化为函数。
对于一元方程y=f(x),如果存在反函数x=g(y),那么方程就可以转化为函数x=g(y),从而更好地求解方程的解集。
函数转化为方程的思想是指将函数表达式转化为方程,从而求解函数的性质和解集。
具体而言,可以通过以下几种方法将函数转化为方程:首先,可以通过函数的性质将函数转化为方程。
例如,对于奇偶函数,可以利用函数的对称性质将函数转化为方程,求解函数的对称轴和零点等信息。
其次,可以通过函数的图像将函数转化为方程。
例如,对于函数y=f(x),可以通过观察函数的图像,求解函数的最值、极值、单调性等问题。
另外,可以通过函数的表达式将函数转化为方程。
例如,对于复合函数,可以通过将函数表达式进行反向求解,得到符合条件的方程。
综上所述,方程与函数转换思想是数学中重要的思想方法,可以帮助我们更好地研究和理解数学问题。
通过方程转化为函数和函数转化为方程,我们可以从不同的角度分析和解决问题,发现问题的本质和潜在规律,提高数学分析和解决问题的能力。
因此,掌握方程与函数转换思想对于数学学习和应用都具有重要意义。
高中数学必修一函数与方程知识点总结
高中数学必修一函数与方程知识点总结函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。
从本质上讲,函数与方程没是没有什么区别,如函数y=f(x),就可以看作关于x、y的二元方程f(x)-y=0。
可以说,函数的研究离不开方程。
列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。
典型例题1:很多时候,在高考数学学习中,如果我们能实现函数与方程的互相转化、接轨,就能达到解决问题的目的。
我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式,哪里就有方程;求值问题是通过解方程来实现的等等;不等式问题也与方程是近亲,密切相关。
函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究。
它体现了联系和变化的辩证唯物主义观点。
一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是:f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等,要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。
在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。
对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。
另外,方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答非函数问题。
典型例题2:典型例题3:函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,所以是高考中考查的重点。
我们应用函数思想的几种常见题型是:遇到变量,构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题,利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系;实际应用问题,翻译成数学语言,建立数学模型和函数关系式,应用函数性质或不等式等知识解答。
函数与方程知识点总结
函数与方程知识点总结函数与方程是数学中重要的概念,在数学学习过程中起着重要的作用。
本文将对函数与方程的知识点进行总结,帮助读者更好地理解和掌握这两个概念。
一、函数函数是数学中一个非常基础且重要的概念,它描述了两个变量之间的依赖关系。
通常情况下,我们将函数表示为f(x),其中x是自变量,f(x)是因变量。
函数可以以不同的形式和方式进行表示,例如数学公式、图表、表格等。
1. 定义与符号函数的定义可以简单表示为:给定一个自变量x的集合,对于这个集合中的每一个x,都存在这样一个唯一的因变量f(x)与之对应。
函数的符号一般使用小写字母f(x)表示。
2. 函数的性质函数具有以下几个重要的性质:(1)定义域与值域:定义域是自变量x的取值范围,值域是因变量f(x)的取值范围。
(2)奇偶性:函数的奇偶性是指函数关于y轴对称(偶函数)或关于原点对称(奇函数)。
(3)单调性:函数的单调性描述了函数在定义域内的递增或递减特性。
(4)周期性:周期函数是指函数在一定区间内重复出现的函数。
3. 常见函数类型(1)线性函数:线性函数的表达式为f(x) = kx + b,其中k和b为常数。
(2)二次函数:二次函数的表达式为f(x) = ax^2 + bx + c,其中a、b、c为常数。
(3)指数函数:指数函数的表达式为f(x) = a^x,其中a为大于0且不等于1的常数。
(4)对数函数:对数函数的表达式为f(x) = loga(x),其中a为大于1的常数。
二、方程方程是描述等式的数学语句,它通常包含未知数和已知数,并以等号连接。
方程的解是使得方程成立的未知数的值。
1. 一元一次方程一元一次方程是一个未知数的一次方程,其一般形式为ax + b = 0,其中a和b为已知数,x为未知数。
解一元一次方程的基本思路是通过移项和化简,将方程转化为x的形式。
2. 二元一次方程二元一次方程是包含两个未知数和一次方程的方程。
一般形式为ax + by + c = 0,其中a、b、c为已知数,x和y为未知数。
高一数学函数与方程的基本性质总结
高一数学函数与方程的基本性质总结函数与方程是高中数学中的重要概念,它们在数学和其他学科的研究中都具有广泛的应用。
本文将对高一数学中函数与方程的基本性质进行总结,帮助学生更好地理解和掌握这些概念。
一、函数的定义和性质函数可以看作是两个集合之间的一种特殊关系,它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用公式或图形表示,常见的函数形式包括代数函数、三角函数等。
1. 函数的定义:函数由定义域、值域和对应关系三部分组成。
定义域是指函数输入的所有可能值的集合,值域是指函数输出的所有可能值的集合。
对应关系表示输入和输出之间的关系。
2. 函数的性质:- 单射:如果不同的输入对应不同的输出,即函数的每个输出对应唯一的输入,这个函数就是单射函数。
- 满射:如果函数的值域等于其真值域,即函数的所有输出都能找到对应的输入,这个函数就是满射函数。
- 双射:如果一个函数既是单射又是满射,即每个输出都对应唯一的输入,且所有的输出都能找到对应的输入,这个函数就是双射函数。
二、方程的定义和性质方程是含有未知数的等式,通过解方程可以求出未知数的值。
方程是数学和实际问题中常见的工具,深入理解方程的性质对解题非常重要。
1. 方程的定义:方程是等式的一种特殊形式,它将一个或多个未知数与已知数之间的关系表示为等式。
解方程就是要找到使等式成立的未知数的值。
2. 方程的性质:- 根:方程成立的解称为方程的根。
一元方程的根是使方程成立的未知数的值。
多元方程有多个未知数,其根是使其成立的未知数值组成的组合。
- 方程等价变形:通过等价变形可以从一个方程推导出另一个与之等价的方程,等价变形不改变方程的根。
- 方程的解集:方程的解的全体称为方程的解集,解集是使方程成立的所有根组成的集合。
三、函数与方程的关系函数与方程密切相关,函数可以用方程来表示,而方程中的未知数的取值也可以看作函数的输入。
1. 方程表示函数关系:给定函数的定义域和对应关系,可以通过方程来表示这种函数关系。
初中数学函数与方程知识点归纳总结
初中数学函数与方程知识点归纳总结函数是数学中的一个重要概念,它是一种特殊的对应关系,描述了输入和输出之间的关系。
在初中数学中,函数是一个重要的学习内容,它具有广泛的应用背景,例如在几何、代数以及实际应用问题中。
一、函数的基本概念函数由定义域、值域和对应关系三个要素组成。
其中,定义域是指函数的自变量取值的范围,值域是函数的因变量取值的范围。
函数可以用集合、图像、公式等多种形式表示。
二、函数的表示方法函数可以通过多种方式表示。
最常见的方式是用函数的公式表示,例如y = f(x)。
另外,还可以用函数的图像、函数的表格等方式表示函数。
三、函数的性质1. 奇偶性:奇函数和偶函数是函数的两个重要性质。
奇函数满足f(-x) = -f(x),而偶函数满足f(-x) = f(x)。
2. 单调性:函数的单调性是指函数在定义域上的增减关系。
可以分为增函数和减函数,增函数满足f(x₁) < f(x₂),减函数满足f(x₁) >f(x₂)。
3. 周期性:周期函数是指函数在一定范围内具有重复的规律性。
周期函数可以通过一个周期内的值来表示整个函数。
四、函数的图像和性质函数的图像是函数性质的一种直观表现形式。
在二维坐标系中,通过绘制函数的曲线来表示函数的图像。
函数的图像可以反映函数的奇偶性、单调性以及其他特点。
五、一次函数一次函数也被称为线性函数,它的形式是y = kx + b。
其中,k是斜率,b是直线在y轴上的截距。
一次函数的图像在坐标系中是一条直线。
六、二次函数二次函数是一个非常重要的函数类型,它的形式是y = ax² + bx + c。
其中,a不等于0,a决定了二次函数的开口方向,b决定了二次函数的位置,c决定了二次函数的纵坐标偏移量。
七、指数函数和对数函数指数函数的形式是y = aˣ,其中a是正数且不等于1。
指数函数的图像是一个逐渐增长或逐渐减小的曲线。
对数函数是指数函数的逆运算,它的形式是y = logₐx,其中a是正数且不等于1。
二次函数与二次方程全面解析与总结
二次函数与二次方程全面解析与总结二次函数与二次方程是高中数学中的重要内容,通过对其进行全面解析与总结,可以更好地理解其性质和特点,并为解题提供更加便捷的方法。
本文将从二次函数和二次方程的定义、性质、图像、解的求法以及应用等方面进行详细分析。
1. 二次函数的定义与性质二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数,其中a、b、c为实数且a≠0。
二次函数的图像为抛物线,其开口方向取决于a的正负。
通过研究二次函数的性质,我们可以更好地理解它的变化规律。
例如,二次函数的顶点坐标即为抛物线的最值点,其横坐标为-x坐标轴与抛物线的对称轴的交点,纵坐标则是在对称轴上的函数值。
2. 二次函数的图像在分析二次函数的图像时,我们可以通过计算顶点、根的求法以及对称轴的确定来描绘出具体的抛物线形状。
特别地,当a>0时,抛物线开口向上,顶点为最小值点;当a<0时,抛物线开口向下,顶点为最大值点。
对称轴方程的求法为x = -b / (2a)。
借助这些关键点,我们可以直观地绘制出二次函数的图像,从而更清晰地理解函数的性质。
3. 二次方程的定义与解的求法二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程,其中a、b、c为实数且a≠0。
解二次方程的方法有很多,例如因式分解、配方法、完成平方、求根公式等。
具体选择解的方法需要根据方程类型和题目要求来决定。
其中,求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) 是解二次方程最常用的方法之一,但也需要注意判断方程是否有实根、重根还是虚根。
4. 二次函数与二次方程的应用二次函数和二次方程在实际问题中有广泛的应用。
例如,通过二次函数可以描述物体的抛物线运动、计算天体的轨迹等;而二次方程则可用于解决几何问题、物理问题以及经济学模型等。
通过将实际问题转化为二次函数或二次方程的形式,我们可以更加灵活地进行解题,并更好地分析问题的本质。
综上所述,二次函数与二次方程是高中数学中的重要知识点,通过全面解析与总结可以更好地理解和应用。
方程与函数的关系与应用知识点总结
方程与函数的关系与应用知识点总结方程与函数是数学中的重要概念,它们在数学以及其他学科的应用中起到了关键的作用。
本文将对方程与函数的关系进行探讨,并总结其应用的相关知识点。
一、方程与函数的基本概念方程是含有未知数的等式,通常表示为:f(x) = 0,其中f(x)为函数,0为常数。
方程的解即为使等式成立的未知数的值。
函数是一种映射关系,将一个自变量的值映射到一个因变量的值,通常表示为:y = f(x),其中x为自变量,y为因变量。
二、方程与函数的关系1. 方程可以看作是函数的特殊形式,即当函数的因变量等于0时,可以表示为方程。
2. 方程与函数可以相互转化。
通过解方程可以得到函数的零点,即函数图像与x轴的交点;而对于已知函数,将其转化为方程可以求解函数的特定值。
三、一元一次方程与一元一次函数1. 一元一次方程是未知数的最高次数为1的方程,形式为ax + b = 0,其中a和b为已知常数,a≠0。
一元一次函数的表达式为y = kx + b,其中k和b为已知常数,k≠0。
2. 一元一次方程与一元一次函数呈现一一对应的关系。
方程的解即为函数的零点,函数的斜率即为方程中x的系数。
四、二元一次方程与二元一次函数1. 二元一次方程是含有两个未知数的最高次数为1的方程,形式为ax + by + c = 0,其中a、b和c为已知常数,a和b不同时为0。
二元一次函数的表达式为z = mx + ny + p,其中m、n和p为已知常数,m和n不同时为0。
2. 二元一次方程与二元一次函数具有一一对应的关系。
方程的解即为函数在二维坐标系上的零点集合,函数的斜率即为方程中x、y的系数比。
五、方程与函数的应用1. 方程与函数广泛应用于科学研究和工程领域,如物理学中的运动方程、化学中的反应速率方程等。
2. 方程与函数也应用于经济学、金融学等社会科学领域,如经济学中的供求关系方程、金融学中的利率计算等。
3. 方程与函数在日常生活中也有许多应用,如计算器的使用、家庭预算的制定等。
一次函数和方程知识点总结
一次函数和方程知识点总结一次函数和一次方程是初中阶段的数学知识,它们是数学的基础知识之一。
在学习一次函数和一次方程之前,我们需要了解一些基本的代数知识,比如变量、系数、常量、多项式等等。
一次函数和一次方程的学习是为了让学生了解和掌握线性关系。
接下来,我将详细介绍一次函数和一次方程的概念、性质、图像、解法等知识点。
一次函数的概念一次函数,又称为线性函数,是数学中的一种基本函数。
一次函数的一般形式为y=kx+b,其中x是自变量,y是因变量,k是斜率,b是截距。
一次函数的定义域为整个实数集合R。
一次函数的性质一次函数的斜率k代表了函数图像的倾斜程度,当k>0时,函数图像是向上倾斜的,当k<0时,函数图像是向下倾斜的。
而截距b代表了函数图像与y轴的交点,当b>0时,函数图像与y轴的交点在y轴的上方,当b<0时,函数图像与y轴的交点在y轴的下方。
一次函数的图像一次函数的图像是一条直线,其斜率和截距决定了直线的倾斜程度和位置。
当斜率为1时,函数图像是一条45°的直线,当斜率大于1时,函数图像是向上倾斜的,当斜率小于1时,函数图像是向下倾斜的。
一次函数的解法解一次函数就是找出函数的零点,也就是函数与x轴的交点。
解一次函数的方法有多种,比如代入法、图像法、消元法等。
通过这些方法,可以很容易地求得一次函数的解。
一次方程的概念一次方程是数学中的一种常见的代数方程,其一般形式为ax+b=0,其中a和b都是常数,而x是未知数。
解一次方程就是找到使得等式成立的未知数的值。
一次方程的性质一次方程有且仅有一个未知数,其最高次数为1。
一次方程的解的个数可以是无穷多个(当方程成立的时候),也可以是零个(当方程不成立的时候)。
一次方程的解法解一次方程的方法有多种,比如加减法、代入法、化简法、消元法等,可以根据具体的问题来选择合适的解法。
在解一次方程时,可以通过加减法将未知数的系数进行消去,然后再求解未知数的值。
总结方程函数思想解题思路
总结方程函数思想解题思路方程函数思想是解决问题时使用方程与函数的性质、关系与运算方法进行分析、建模与求解,是一种非常重要的工具和方法。
通过方程函数的思想,我们可以将复杂的实际问题转化为简单的代数方程,从而能够更加深入地研究和分析问题的本质。
方程函数思想的解题思路可以概括为以下几个步骤:1.理解问题:首先要充分理解题目中给出的条件和要求,确定问题的背景和目标。
仔细阅读题目,提取关键信息,明确问题的具体内容。
2.分析问题:分析问题的性质和特点,确定需要求解的未知量,并且尽可能简化问题的形式和结构。
通过观察和思考,寻找问题中存在的模式、规律和关系。
3.建立方程:根据问题的要求,建立一个或多个与问题相关的方程。
这些方程可以是线性方程、二次方程、指数方程、对数方程等等,也可以是通过函数的关系进行建立的方程。
4.求解方程:使用代数运算的方法,求解建立好的方程。
根据方程的性质和特点,逐步推导解的过程,找到符合题目要求的解。
在解题的过程中,可以使用因式分解、配方法、二次根判别式、公式法等方法来求解方程。
5.检验结果:将求得的解带入原方程中进行验证,确保求解的结果符合实际问题的要求。
这一步非常重要,可以帮助我们发现和纠正可能存在的错误。
6.讨论和思考:对于复杂和困难的问题,可能需要进一步思考和讨论。
可以考虑使用函数的性质、图像和变化规律来解决问题,通过构造函数的关系、组合和分解来解决问题。
7.总结和应用:通过解题的过程,总结问题的解题思路和方法。
将解题经验运用到其他类似的问题中,加深对方程函数思想的理解和熟练应用。
方程函数思想在数学、物理、化学、经济等各个领域都有着广泛的应用。
它不仅可以解决实际问题,也可以帮助我们理解数学的本质和思维方式。
掌握方程函数思想的方法和技巧,可以提高数学思维的灵活性和创造性,培养解决问题的能力和思维方式。
在实际生活中,方程函数思想可以用于解决很多实际问题。
比如在经济学中,我们可以通过建立成本、收入和利润的方程来分析企业的经营状况和盈利能力;在物理学中,我们可以通过建立运动方程和牛顿定律的方程来研究物体的运动和力学规律。
初中数学的函数与方程知识总结
初中数学的函数与方程知识总结函数与方程是数学学科中的重要内容,它们在初中阶段就开始被系统地学习和应用。
通过学习函数与方程,学生不仅可以提高数学解决问题的能力,还能培养逻辑思维和抽象思维能力。
本文将对初中数学中的函数与方程知识进行总结,包括定义、性质、解法等方面,以帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
函数是数学中非常重要的一个概念,它描述了两个变量之间的关系。
在初中阶段,我们主要学习了一次函数、二次函数和反比例函数。
一次函数的表达式为y = kx + b,其中k和b分别是函数的斜率和截距。
通过分析斜率和截距的正负、大小关系,可以判断一次函数的变化趋势和图像特征。
二次函数的表达式为y = ax² +bx + c,其中a、b和c都是常数,通过解析二次函数的顶点、轴对称和零点等特征,可以绘制二次函数的图像,并分析其凹凸性和开口方向。
反比例函数的表达式为y = k/x,其中k是常数。
通过分析变量之间的比例关系,可以计算出反比例函数的特征点,并绘制出其图像。
在初中数学中,方程是另一个重要的概念。
方程是等式的一种特殊形式,它描述了一种平衡状态。
我们主要学习了一元一次方程、一元二次方程和一元一次不等式。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0,其中a和b为已知常数。
通过反运算,可以解出方程的未知数x值。
一元二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0,其中a、b和c为已知常数。
通过配方法、因式分解和求根公式等方法,可以解出方程的根。
在解根的过程中,我们还会遇到判别式的讨论,通过判别式的正负与零的关系,可以分析方程的根的情况。
一元一次不等式主要是讨论未知数x所满足的大小关系。
通过转化成方程、利用性质和区间分析等方法,可以解出一元一次不等式的解集。
在解函数和方程的过程中,我们经常会用到一些特殊的方法和技巧。
比如,函数的平移、伸缩和翻转等变换方式,可以改变函数图像的位置和形状。
在解方程时,我们要掌握合并同类项、去括号和整理项数的技巧。
初中数学函数与方程知识点总结与提高策略
初中数学函数与方程知识点总结与提高策略函数与方程是初中数学中重要的内容,也是后续学习数学的基础。
掌握函数与方程的基本知识点,并采取有效的提高策略,对于学习数学具有重要意义。
本文将对初中数学函数与方程的知识点进行总结,并提供一些提高策略供学生参考。
一、函数的基本概念和性质函数是一种特殊的数学关系,它的每一个自变量(输入值)只对应唯一一个因变量(输出值)。
初中阶段,函数的概念主要围绕着定义域、值域、图像、自变量和因变量展开。
在学习函数的过程中,需要掌握以下知识点:1.1 定义域和值域:函数的定义域是自变量可能取值的集合,值域是函数所有可能的输出值的集合。
通过理解函数的定义域和值域,可以帮助学生正确理解函数的范围和取值情况。
1.2 函数的图像:通过画出函数的图像,可以直观地了解函数的变化趋势和特点。
在学习函数图像时,要特别注意函数的特殊点和特殊类型(如阶梯函数、绝对值函数等)。
1.3 自变量和因变量:自变量是函数中可以随意取值的变量,通常用x表示;因变量是自变量对应的输出值,通常用y表示。
理解自变量和因变量的关系,有助于正确理解函数的定义和意义。
二、一元一次方程与一元一次不等式1. 一元一次方程一元一次方程是数学中最基本的方程类型,它的一般形式为ax + b = 0(其中a 和b为已知数,a≠0)。
初中阶段,主要围绕解一元一次方程的方法和解的意义展开教学。
学习一元一次方程时,应掌握以下知识点:2.1 方程的解的概念:方程的解即能使方程成立的未知数的值。
要理解解的意义,了解解在方程和实际问题中的应用。
2.2 方程的解的确定方法:主要通过逆运算的方式解方程。
这包括加减法逆运算和乘除法逆运算两种基本方法。
在解题过程中,要掌握灵活运用这些方法的技巧。
2.3 方程的解集表示形式:当方程有唯一解时,解集可表示为{x = a}(其中a为一个实数);当方程有无穷多解时,解集可表示为{x | x ∈ R};当方程无解时,解集为空集。
函数与方程知识点总结
函数与方程知识点总结一、函数的基本概念及性质1.什么是函数函数是一种特殊的关系,它将一个数集的每个元素对应到另一个数集的唯一元素上。
通常用f(x)表示函数,表示自变量x经过函数f(x)的映射后得到的因变量。
2.定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围,值域是函数的所有可能的输出值。
3.函数的图像函数的图像是函数的自变量和因变量的关系在坐标系中的几何表示。
4.常用函数的特点常用函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
线性函数:函数的图像是一条直线。
二次函数:函数的图像是抛物线。
指数函数:函数的图像呈现上升或下降的曲线。
对数函数:函数的图像也是上升或下降的曲线。
三角函数:函数的图像是周期性的波形。
5.奇偶性函数的奇偶性是指函数在自变量为x和-x时的对称性。
奇函数:f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。
偶函数:f(-x)=f(x),图像关于y轴对称。
6.函数的单调性单调递增:对于自变量x1<x2,有f(x1)<f(x2)。
单调递减:对于自变量x1<x2,有f(x1)>f(x2)。
7.函数的周期性如果存在一个正数T,使得对于任意的x,有f(x+T)=f(x),则称函数为周期函数,T称为函数的周期。
二、方程的基本概念及性质1.什么是方程方程是一个等式,其中包含一个或多个未知数,并且要求找出未知数满足等式的关系。
2.方程的解方程的解就是使方程成立的未知数的取值。
3.一元一次方程一元一次方程是未知数的最高次数为 1 的代数方程,通常采用ax+b=0 的形式。
4.一元二次方程一元二次方程是未知数的最高次数为 2 的代数方程,通常采用ax^2+bx+c=0 的形式。
它的解可以通过求根公式来求得。
5.二元一次方程组二元一次方程组是包含两个未知数的一次方程的集合,通常采用ax+by=c 和 dx+ey=f 的形式。
6.三元一次方程组三元一次方程组是包含三个未知数的一次方程的集合,通常采用ax+by+cz=d、ex+fy+gz=h 和 ix+jy+kz=l 的形式。
初三数学复习函数与方程知识点总结
初三数学复习函数与方程知识点总结函数与方程是初中数学中的重要知识点,对于初三学生来说,掌握好这些知识点对于提高数学成绩至关重要。
下面是初三数学复习函数与方程知识点的总结。
一、函数的基本概念1. 定义:函数是一种特殊的关系,其中每个输入值(自变量)只对应一个输出值(因变量)。
2. 自变量和因变量:函数中自变量是输入的值,通常用x表示;因变量是对应的输出值,通常用f(x)或y表示。
3. 函数的表示方法:函数可以通过图像、表格、公式或文字描述来表示。
4. 定义域和值域:函数的定义域是自变量的取值范围,而值域是因变量的取值范围。
二、一次函数与二次函数1. 一次函数:a. 定义:一次函数是自变量的最高次数为1的多项式函数。
b. 表达式:一次函数的一般形式为:y = kx + b,其中k和b分别为常数,k称为斜率,决定了函数的增减趋势;b称为截距,决定了函数与y轴的交点位置。
c. 图像特征:一次函数的图像是一条直线,斜率为k,正值表示增加,负值表示减少。
2. 二次函数:a. 定义:二次函数是自变量的最高次数为2的多项式函数。
b. 表达式:二次函数的一般形式为:y = ax^2 + bx + c,其中a、b和c为常数,a决定了函数的开口方向和开口大小,正值表示开口向上,负值表示开口向下。
c. 图像特征:二次函数的图像是一个抛物线,开口方向和开口大小由a决定,顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
三、函数的性质1. 奇偶性:若对于定义域内任意x,有f(-x) = -f(x),则函数为奇函数;若对于定义域内任意x,有f(-x) = f(x),则函数为偶函数。
2. 单调性:若对于定义域内的任意两个数x1和x2,若x1<x2,则有f(x1)<f(x2),则函数为增函数;若x1<x2,则有f(x1)>f(x2),则函数为减函数。
3. 周期性:若存在正数T,使得对于定义域内任意x,有f(x+T) =f(x),则函数具有周期性。
方程与函数转换思想总结
方程与函数转换思想总结在数学中,方程与函数是两个重要的概念。
方程是一种数学等式,将未知数和已知数通过特定的关系联系起来。
函数是一种数学映射,将输入值映射到输出值。
虽然方程和函数是两个不同的概念,但在数学中,它们之间存在着密不可分的联系。
方程与函数的转换思想是将方程表达为函数的形式,或者将函数用方程的形式表示。
这种转换思想在数学中有着重要的应用,能够帮助我们更好地理解和分析问题。
下面将围绕方程与函数的转换思想展开探讨。
首先,方程转换为函数是一种常见的转换思想。
当我们有一个方程时,可以将方程中的未知数表示为一个函数的自变量,已知数表示为函数的参数。
通过这种转换,我们可以将原来的方程转化为一个函数,从而利用函数的性质来求解问题。
例如,当我们遇到一个关于直线的方程时,可以将方程转换为斜率截距形式的函数,从而方便我们分析直线的性质。
这种转换思想在几何学和物理学等领域都有广泛的应用。
其次,函数转换为方程也是一种重要的转换思想。
当我们有一个函数时,可以通过将函数表达式等于某个值的方式,将函数转化为一个方程。
这种转换思想在求解方程的过程中非常有用。
例如,当我们需要求解一个方程的根时,可以将方程转化为一个函数,然后通过求函数的零点来求解方程的根。
这种转换思想在方程的具体求解中能够帮助我们更好地选择合适的方法和技巧。
除了以上两种基本的转换思想,方程和函数的转换还可以通过一些具体的变换方法来实现。
下面列举了几种常见的变换方法:1. 消元法:通过对方程中的未知数进行代换或消去,将方程转化为含有更少未知数的方程。
这种方法常用于线性方程组的求解中。
2. 变量替换法:通过将方程中的未知数替换为新的变量,将方程转化为一个关于新变量的方程。
这种方法常用于复杂的函数表达式中。
3. 分式约分法:通过对方程中的分式进行约分,将方程转化为一个更简单的方程。
这种方法常用于分式方程的求解中。
4. 双曲线方法:通过将方程的图像与某种双曲线的图像进行对比,从而得到方程的性质和解的形式。
函数与方程知识点总结
函数与方程知识点总结函数与方程知识点总结一、函数的概念与表示1、映射(1)映射:设A、B是两个集合,如果按照某种映射法则f,对于集合A 中的任一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:AB。
注意点:(1)对映射定义的理解。
(2)判断一个对应是映射的方法。
一对多不是映射,多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据:(1)分式的分母不为零;(2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义;(3)对数函数的真数必须大于零;(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;2求函数定义域的两个难点问题(1)已知f(x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。
(2)已知f(2x-1)的定义域是[-1,3],求f()x的定义域三、函数的值域1求函数值域的方法①直接法:从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围,适合于简单的复合函数;②换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式;③判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出y的取值范围;适合分母为二次且xR的分式;④分离常数:适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);⑤单调性法:利用函数的单调性求值域;⑥图象法:二次函数必画草图求其四、函数的奇偶性1.定义:设y=f(x),xA,如果对于任意xA,都有f(?x)?f(x),则称y=f(x)为偶函数。
如果对于任意xA,都有f(?x)??f(x),则称y=f(x)为奇函数。
2.性质:①y=f(x)是偶函数?y=f(x)的图象关于y轴对称,y=f(x)是奇函数?y=f(x)的图象关于原点对称,②若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f(0)=0高一数学函数与方程知识点就为大家介绍到这里,希望对你有所帮助。
高一数学函数与方程知识点的总结
高一数学函数与方程知识点的总结高一数学函数与方程知识点的总结「篇一」1.函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x);(2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法:若已知的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3.函数图像(或方程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性,即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上,反之亦然;(3)曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对x∈R时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)图像关于直线x=a对称,高中数学;(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;高一数学函数与方程知识点的总结「篇二」一、直线与方程高考考试内容及考试要求:考试内容:1.直线的倾斜角和斜率;直线方程的点斜式和两点式;直线方程的一般式;2.两条直线平行与垂直的条件;两条直线的交角;点到直线的距离;考试要求:1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程;2.掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系;二、直线与方程课标要求:1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素;2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式;3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系;4.会用代数的方法解决直线的有关问题,包括求两直线的交点,判断两条直线的位置关系,求两点间的距离、点到直线的距离以及两条平行线之间的距离等。
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函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题:二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是历年高考的重点。
1.函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决。
2.方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决。
方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系;3.函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的,对于函数y=f(x),当y=0时,就转化为方程f(x)=0,也可以把函数式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0。
(2)函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f(x),当y>0时,就转化为不等式f(x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式;(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点处理数列问题十分重要;(4)函数f(x)=(1+x)^n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的,利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题;(5)解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才能解决,涉及到二次方程与二次函数的有关理论;(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
【例1】. 关于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0,给出下列四个命题:①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根;②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根;③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根;④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题是_____________解答:根据题意可令|x 2-1|=t(t≥0),则方程化为t 2-t +k =0,(*)作出函数t =|x 2-1|的图象,结合函数的图象可知①当t =0或t >1时,原方程有两上不等的根,②当0<t <1时,原方程有4个根,③当t =1时,原方程有3个根. (1)当k =-2时,方程(*)有一个正根t =2,相应的原方程的解有2个; (2)当k =14时,方程(*)有两个相等正根t =12,相应的原方程的解有4个;(3)当k =0时,此时方程(*)有两个不等根t =0或t =1,故此时原方程有5个根; (4)当0<k <14时,方程(*)有两个不等正根,且此时方程(*)有两正根且均小于1,故相应的满足方程|x 2-1|=t 的解有8个答案:1234【例2】若不等式x 2+ax +1≥0对于一切x∈(0,12]成立,则a 的最小值为_____________解答:1. 分离变量,有a≥-(x +1x ),x∈(0,12]恒成立.右端的最大值为-52,a≥-52.2. 看成关于a 的不等式,由f(0)≥0,且f(12)≥0可求得a 的范围.3. 设f(x)=x 2+ax +1,结合二次函数图象,分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4. f(x)=x 2+1,g(x)=-ax ,则结合图形(象)知原问题等价于f(12)≥g(12),即a≥-52.【例3】 设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x <0时,f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集为___________解析:以函数为中心,考查通性通法,设F(x)=f(x)g(x),由f(x),g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,所以F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),即F(x)为奇函数.又当x <0时,F′(x)=f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,所以x <0时,F(x)为增函数. 因为奇函数在对称区间上的单调性相同,所以x >0时,F(x)也为增函数.因为F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3).如上图,是一个符合题意的图象,观察知不等式F(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(0,3)【例4】已知实数,a b 分别满足553,1532323=+-=+-b b b a a a ,则a b +=_________解答:已知的等式都是三次方程,直接通过方程解出,a b 有一定的困难,但是,题设的两个等式的左边的结构相同,使我们想到用 统一的式子来表示这两个等式,对题设的两个等式变形为()()()()331212,1212a a b b -+-=--+-=,根据这两个等式的特征,构造函数()32f x x x =+. 函数()f x 是一个奇函数,又是R 上的增函数,则有 ()()12,12,f a f b -=--=于是, ()()()111,f a f b f b -=--=-因而得 11.2.a b a b -=-+=【例5】 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是___________解答: 圆0104422=---+y x y x 整理为222(2)(2)x y -+-=,∴圆心坐标为(2,2),半径为32,要求圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则圆心到直线0:=+by ax l 的距离应小于等于2,241a a b b ⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,∴ 22a b ⎛⎫-≤≤-+ ⎪⎝⎭a kb =-,∴ 22k -≤≤+,直线l 的倾斜角的取值范围是51212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,【例6】如果实数,x y 满足等式()2223,x y -+=那么yx的最大值为___________解答:根据已知等式,画出以()2,0为圆心,,则yx的几何意义是圆上一点(),x y 与原点()0,0所连直线的斜率.显然,yx的最大值是过原点()0,0与圆相切的直线OA 的斜率,由2,OC CA ==3AOC π∠=.于是,y x 的最大值是tan 3π=【例7】设是方程0sin 1tan 12=-+θθx x 的两个不等实根,那么过点和的直线与圆的位置关系是___________解答:由题意,, 因此和都在直线上,∴原点到该直线的距离,∴过的直线与单位圆相切.【例8】设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ,则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是__________解答:画出函数()x f 的图像,该图像关于对称,且()0≥x f ,令()t x f =, 若0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解,则方程02=++c bt t 有2个不同实数解,且为一正根,一零根.因此, 充要条件是0<b 且0=c【例9】. 设函数)(x f =x 2-1,对任意x∈),23(+∞,)(4)1()(4)(2m f x f x f m mxf +-≤-恒成立,则实数m 的取值范围是____________. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞解析:(解法1)不等式化为f(x -1)+4f(m)-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m +4m 2f(x)≥0,即(x -1)2-1+4m 2-4-x 2m2+1+4m 2x 2-4m 2≥0,整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1m 2+4m 2x 2-2x -3≥0,因为x 2>0,所以1-1m 2+4m 2≥2x +3x 2,设g(x)=2x +3x 2,x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞.于是题目化为1-1m 2+4m 2≥g(x),对任意x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞恒成立的问题.为此需求g(x)=2x +3x 2,x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞的最大值.设u =1x ,则0<u≤23. 函数g(x)=h(u)=3u 2+2u 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0,23上是增函数,因而在u =23处取得最大值.h ⎝ ⎛⎭⎪⎫23=3×49+2×23=83,所以1-1m 2+4m 2≥g(x)max =83,整理得12m 4-5m 2-3≥0,即(4m 2-3)(3m 2+1)≥0, 所以4m 2-3≥0,解得m≤-32或m≥32, 因此实数m 的取值范围是m∈⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞. (解法2)(前面同解法1)原题化为1-1m 2+4m 2≥g(x),对任意x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞恒成立的问题.为此需求g(x)=2x +3x 2,x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞的最大值.设t =2x +3,则t∈[6,+∞).g(x)=h(t)=4tt 2-6t +9=4t +9t-6. 因为函数t +9t 在(3,+∞)上是增函数,所以当t =6时,t +9t 取得最小值6+32.从而h(t)有最大值46+32-6=83.所以1-1m 2+4m 2≥g max (x)=83,整理得12m 4-5m 2-3≥0,即(4m 2-3)(3m 2+1)≥0,所以4m 2-3≥0,解得m≤-32或m≥32,因此实数m 的取值范围是m∈⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞. (解法3)不等式化为f(x -1)+4f(m)-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m +4m 2f(x)≥0,即(x -1)2-1+4m 2-4-x 2m 2+1+4m 2x 2-4m 2≥0,整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1m 2+4m 2x 2-2x -3≥0,令F(x)=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1m 2+4m 2x 2-2x -3.由于F(0)=-3<0,则其判别式Δ>0,因此F(x)的最小值不可能在函数图象的顶点得到,所以为使F(x)≥0对任意x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞恒成立,必须使F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32为最小值,即实数m 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1-1m2+4m 2>0,F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≥0,解得m 2≥34,因此实数m 的取值范围是m∈⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞. 【例10】.某工厂2005年生产利润逐月增加,且每月增加的利润相同,但由于厂方正在改造建设,一月份投入的建设资金恰与一月份的利润相等,随着投入资金的逐月增加,且每月增加投入的百分率相同,到十二月份投入的建设资金又恰与十二月份生产利润相同,问全年总利润W 与全年总投入资金N 的大小关系是___________解答: 设第一个月的投入资金与一月份的利润均为a ,每月的增加投入百分率为r .则每月的利润组成数列,每月投入资金组成数列, 如图,由两函数图象特点可知,有,可见,故W>N1. (2011·北京)已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=2,)1(2,2)(3x x x x x f 若关于x 的方程k x f =)(有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是________.2.(2011·广东)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和.若a 1=1,a k +a 4=0,则k =________.3.(2009·福建)若曲线f(x)=ax 3+lnx 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是________.4.(2010·天津)设函数f(x)=x -1x ,对任意x∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)<0恒成立,则实数m 的取值范围是________. 解答:1. (0,1) 解析:f(x)=2x (x≥2)单调递减且值域为(0,1],f(x)=(x -1)3(x <2)单调递增且值域为(-∞,1),结合函数的图象可得f(x)=k 有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是(0,1).2. 10 解析:S 9=S 4,9a 1+9×82d =4a 1+4×32d ,a 1=1,d =-16;由1+(k -1)⎝ ⎛⎭⎪⎫-16+1+3×⎝ ⎛⎭⎪⎫-16=0,得k =10.本题也可用数列性质解题,S 9=S 4a 7=0.3. (-∞,0) 解析:由题意可知f′(x)=3ax 2+1x ,又因为存在垂直于y 轴的切线,所以3ax 2+1x =0a =-13x3(x >0)a∈(-∞,0).4. (-∞,-1) 解析:因为对任意x∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)=2mx -1mx -mx<0恒成立,显然m≠0.所以当m <0时,有2m 2x 2-1-m 2>0对任意x∈[1,+∞)恒成立,即2m 2×1-1-m 2>0,解得m 2>1,即m <-1;当m >0时,有2m 2x 2-1-m 2<0对任意x∈[1,+∞)恒成立,m 无解,综上所述实数m 的取值范围是m <-1.解答题题型一 构造函数与方程思想【例1】 已知函数f(x)=x|x 2-3|,x∈[0,m],其中m∈R ,且m>0 (1) 若m<1,求证:函数f(x)是增函数;(2) 如果函数f(x)的值域是[0,2],试求m 的取值范围; (3) 如果函数f(x)的值域是[0,λm 2],试求实数λ的最小值.解答:(1) 证明:当m<1时,f(x)=x(3-x 2)=3x -x 3, 因为f′(x)=3-3x 2=3(1-x 2)>0,所以f(x)是增函数, (2) 解:令g(x)=x|x 2-3|,x≥0,则g(x)=⎩⎨⎧3x -x 3,0≤x≤3,x 3-3x ,x> 3.当0≤x≤3时,g′(x)=3-3x 2,由g′(x)=0得x =1, 所以g(x)在[0,1]上是增函数,在[1,3]上是减函数.当x>3时,g′(x)=3x 2-3>0,所以g(x)在[3,+∞)上是增函数, 所以x∈[0,3]时,g(x)max =g(1)=2,g(x)min =g(0)=g(3)=0, 所以0<m<1不符合题意,1≤m≤3符合题意. 当m>3时,在x∈[0,3]时,f(x)∈[0,2], 在x∈[3,m]时,f(x)∈[0,f(m)],这时f(x)的值域是[0,2]的充要条件是f(m)≤2, 即m 3-3m≤2,(m -2)(m +1)2≤0,解得3<m≤2. 综上,m 的取值范围是[1,2].(3) 由(2)可知,0<m<1时,函数f(x)的最大值为f(m)=3m -m 3, 当1≤m≤2时,函数f(x)的最大值为f(1)=2.由题意知2=λm 2,即λ=2m 2,m∈[1,2]时这是减函数,∴ λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2.当m>2时,函数f(x)的最大值为f(m)=m 3-3m ,由题意知m 3-3m =λm 2,即λ=m -3m,这是增函数,∴ λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞. 综上,当m =2时,实数λ取最小值为12.变式训练已知函数g(x)=xlnx ,设0<a <b ,求证:0<g(a)+g(b)-2g ⎝⎛⎭⎪⎫a +b 2<(b -a)ln2.点拨:确定变量,构造函数证明不等式.证明:g(x)=xlnx ,g′(x)=lnx +1.构造函数F(x)=g(a)+g(x)-2g ⎝⎛⎭⎪⎫a +x 2,则F′(x)=g′(x)-2⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a +x 2′=lnx -ln a +x 2.当0<x <a 时,F′(x)<0,在此F(x)在(0,a)内为减函数; 当x >a 时,F′(x)>0,因此F(x)在(a ,+∞)上为增函数. 从而,当x =a 时,F(x)有极小值F(a). 因为F(a)=0,b >a ,所以F(b)>0, 即0<g(a)+g(b)-2g ⎝⎛⎭⎪⎫a +b 2.再构造函数G(x)=F(x)-(x -a)ln2,则G′(x)=lnx -ln a +x2-ln2=lnx -ln(a +x).当x >0时,G′(x)<0.因此G(x)在(0,+∞)上为减函数. 因为G(a)=0,b >a ,所以G(b)<0, 即g(a)+g(b)-2g ⎝⎛⎭⎪⎫a +b 2<(b -a)ln2.综上得0<g(a)+g(b)-2g ⎝⎛⎭⎪⎫a +b 2<(b -a)ln2.【例2】已知二次函数y =g(x)的导函数的图象与直线y =2x 平行,且y =g(x)在x =-1处取得最小值m -1(m≠0).设函数f(x)=g x x.(1) 若曲线y =f(x)上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m 的值 (2) k(k∈R )如何取值时,函数y =f(x)-kx 存在零点,并求出零点. 解:(1) 设g(x)=ax 2+bx +c ,则g′(x)=2ax +b ;又g′(x)的图象与直线y =2x 平行,∴ 2a=2,a =1.(1分) 又g(x)在x =-1取极小值,-b2=-1,b =2,∴ g(-1)=a -b +c =1-2+c =m -1,c =m ;(2分) f(x)=g x x =x +mx+2,设P(x 0,y 0), 则|PQ|2=x 20+(y 0-2)2=x 20+⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+m x 02=2x 20+m 2x 20+2m≥22m 2+2m ,(4分)当且仅当2x 02=m 2x 02时,|PQ|2取最小值,即|PQ|取最小值 2.当m>0时,22m +2m =2,∴ m=2-1(6分) 当m<0时,-22m +2m =2,∴ m=-2-1(7分) (2) 由y =f(x)-kx =(1-k)x +mx +2=0,得(1-k)x 2+2x +m =0. (*)当k =1时,方程(*)有一解x =-m 2,函数y =f(x)-kx 有一零点x =-m2;(8分)当k≠1时,方程(*)有二解Δ=4-4m(1-k)>0,若m>0,k>1-1m ,函数y =f(x)-kx 有两个零点x =-2±4-4m 1-k21-k=1±1-m 1-kk -1;(10分)若m<0,k<1-1m ,函数y =f(x)-kx 有两个零点,x =-2±4-4m 1-k21-k =1±1-m 1-kk -1;(12分)当k≠1时,方程(*)有一解Δ=4-4m(1-k)=0,k =1-1m, 函数y =f(x)-kx 有一个零点,x =1k -1.(14分)【例3】.对于定义域为D 的函数,若同时满足下列条件:①f(x)在D 内单调递增或单调递减;②存在区间使f(x)在上的值域为;那么把叫闭函数. (1)求闭函数符合条件②的区间; (2)判断函数是否为闭函数?并说明理由;(3)若是闭函数,求实数k的范围.分析:这是一个新定义型的题目,要能从题中所给信息,进行加工提炼,得出解题的条件.解:(1)由题意,上递减,则解得所以,所求的区间为[-1,1].(2)当所以,函数在定义域上不单调递增或单调递减,从而该函数不是闭函数.(3)若是闭函数,则存在区间[a,b],在区间[a,b]上,函数f(x)的值域为[a,b],即,的两个实数根,即方程有两个不等的实根.设f(x)=x2-(2k+1)x+k2-2.法一:当时有解得.当有此时不等式组无解.综上所述,.法二:只需满足方程x2-(2k+1)x+k2-2=0有两大于或等于k的不等实根,即:点评:在解数学题的过程中,寻找一个命题A的等价命题B往往是解题的关键,本题就是运用函数与方程的思想把一个看似函数性质讨论的问题转化为方程解的讨论问题.题型二函数与方程思想在不等式中的应用【例4】.设a>b>c,且a+b+c=0,抛物线被x轴截得的弦长为l,求证:.证明:,且.从而.故抛物线与x轴有两个不同的交点,即方程必有两个不相等的实数根,由韦达定理得..可见,是的二次函数.由及,得,解得.在上是减函数,,即.题型三函数与方程思想在三角函数中的应用【例5】.已知函数f(x)=x2-(m+1)x+m(m∈R).(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根,A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证:m≥5;(2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0,证明m≥3;(3)在(2)的条件下,若函数f(sinα)的最大值是8,求m.(1)证明:f(x)+4=0即x2-(m+1)x+m+4=0.依题意:又A、B锐角为三角形内两内角,∴<A+B<π.∴tan(A+B)<0,即.∴∴m≥5.(2)证明:∵f(x)=(x-1)(x-m),又-1≤cosα≤1,∴1≤2+cosα≤3,恒有f(2+cosα)≤0.即1≤x≤3时,恒有f(x)≤0即(x-1)(x-m)≤0,∴m≥x但x max=3,∴m≥x max=3.(3)解:∵f(sinα)=sin2α-(m+1)sinα+m=,且≥2,∴当sinα=-1时,f(sinα)有最大值8.即1+(m+1)+m=8,∴m=3.题型四函数与方程思想在解析几何中的应用【例6】.直线和双曲线的左支交于A、B两点,直线l过点P(-2,0)和线段AB的中点M,求l在y轴上的截距b的取值范围.解:由消去y,得.()因为直线m与双曲线的左支有两个交点,所以方程()有两个不相等的负实数根.所以解得.设,则由三点共线,得出.设,则在上为减函数,,且.,或,,或.题型五函数与方程思想在立体几何中的应用【例7】.如图,已知面,于D,.(1)令,,试把表示为x的函数,并求其最大值;(2)在直线PA上是否存在一点Q,使成立?解答:(1)∵面,于D,∴.∴..∵为在面上的射影.∴,即.∴.即的最大值为,等号当且仅当时取得.(2).令,解得:,与交集非空.∴满足条件的点Q存在.点评:本题将立体几何与代数融为一体,不仅要求有一定的空间想象力,而且,做好问题的转化是解决此题的关键.。