圆锥曲线轨迹问题

B

C D

与圆锥曲线有关的点的

轨迹问题复习题

有关动点的轨迹问题是解析几何中的一类重要的问题，求动点的轨迹和圆锥曲线的定义、性质有着密切的关系．在求解时要先画出相应的草图进行分析，再选择好相应的解题策略和具体方法．

探求曲线轨迹的基本方法：直接法（轨迹法） 、定义法、 相关点法（代入法）、 参数法、代入法、待定系数法、点差法。

教学重点：灵活运用题设条件，确定动点所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义确定曲

线的类型。

教学难点：理解轨迹的完备性与纯粹性，并能准确地运用。（完备性是指符合条件的点都

要在轨迹上，不能遗漏；纯粹性是指轨迹上的所有点都符合条件，没有“假冒”。）

思考并回答：

（1）已知)3,2(A 且7||=PA ，则点P 的轨迹是 圆

（2）已知∆ABC 的一边BC 的长为6，周长为16，则顶点A 的轨迹是什么？（椭圆，除去与BC 边共线的两个顶点。）

（3）若4||||)0,5(),0,1(=--MB MA B A 且则点M 的轨迹是 双曲线右支 （4）过点（2，3）且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹是什么？（抛物线） （5）(2003222220by =

(0)a b >>的曲线大致

是（ ）

解析:将方程2

2

2

2

1a

x b y +>与2

0ax by +=转化为标准方程：22

22111x y a b

+=,2a y x b =-．因为

0a b >>,因此

11

0b a

>>,所以有：椭圆的焦点在y 轴,抛物线的开口向左,得D 选项．

答案: D

（6）已知圆C ：091622=-++x y x 及圆内一点P （3，0），求过点P 且与已知圆内切的

圆的圆心M 的轨迹方程。

分析：（1）圆C 的半径与圆心坐标可定。

（2）两圆内切可得：外圆半径＝内圆半径＋连心距。 （3）动点M 满足的等量关系：| MC | + | MP | = 10＞| PC | （4）由定义可确定动点M 的轨迹为以P 、C 为焦点的椭圆。

（7）已知动圆与圆49)5(:221=++y x C 和圆C 2：1)5(22=+-y x 都外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。

分析：（1）从已知条件可以确定圆C 1、C 2的圆心与半径。 （2）两圆外切可得：两圆半径和＝圆心距

（3）动圆半径r,依题意有

r 1 + r = | P C 1 | , r 2 + r = | P C 2 |

两式相减得：| PC 1 | -- | PC 2 | = r 1 -r 2 < | C 1 C 2|

（4）由双曲线定义得：点P 的轨迹是C 1 、C 2以为焦点的双曲线的右支。 （5）再根据题设条件求出参数a 、b 即可。

1直接法

如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；

常见的等量关系：已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式、几何量中的等量关系等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

例1 动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2

=PB

PA

），

求动点P 的轨迹方程？

解：∵|PA|=2

222)3(||,)3(y x PB y x +-=++

代入2

||||=PB PA 得2222222

24)3(4)3(2)3()3(y x y x y x y x +-=++⇒=+-++ 化简得

16)5(2

2=+-y x ，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆. 例2 动点P 到一高为h 的等边△ABC 两顶点A 、B 的距离的平方和等于它到顶点C 的距离平方，求点P 的轨迹？

解 以C 为原点，AB 上的高线CD 所在直线为x 轴建立直角坐标系

设动点P （x,y ），则A （

3,h h ），B （

3,h

h -

）列出等式

2

22222222)3

()()3

()(y x h y h x h y h x PC PB PA +=+

+-+-+-⇒=+

化简得

2

2234)2(h y h x =

+-

评析：

1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明 可以省略，但要注意“挖”与“补”。

2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 2定义法

圆锥曲线是解析几何中研究曲线和方程的典型问题，当动点符合圆锥曲线定义时，可直接写出其轨迹方程。这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．

例3、已知ΔABC 中，∠A,∠B,∠C 所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b 成等差数列，|AB|=2,求顶点C 的轨迹方程

【解析】|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的定义可知，点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，其长

轴为4，焦距为2, 短轴长为23, ∴椭圆方程为1

342

2=+y x ,

又a>b, ∴点C 在y 轴左侧，必有x<0,而C 点在x 轴上时不能构成三角形，故x ≠─2,

因此点C 的轨迹方程是：13422=+y x (─2

评析：定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。 3 相关点代入法

若轨迹点P （x ,y ）依赖于某一已知曲线上的动点Q （x 0, y 0），则可先列出关于x 、y, x 0、y 0的方程组，利用x 、y 表示出x 0、y 0，把x 0、y 0 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程。

例4 已知P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线

19

2

162=-y x 上的动点，求ΔF 1F 2P 的重心G 的轨迹