第二课时函数的最大(小)值

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单调性与最大(小)值(第二课时)教案

1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小)值(第二课时)一、教材分析：二、学习目标：①通过实例,使学生体会、理解函数的最大(小)值及其几何意义,能够借助函数图象的直观性得出函数的最值,培养以形识数的解题意识;②能够用函数的性质解决日常生活中简单的实际问题,使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学生学习函数的紧迫感,激发学生学习的积极性.三、教学重点：理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．四、教学难点：了解函数的最大(小)值与定义区间有关，会求一次函数、二次函数及反比例函数在指定区间上的最大(小)值．五、课时安排：1课时六、教学过程（一）、自主导学（课堂导入）1、设计问题,创设情境某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m2的矩形新厂址,新厂址的长为x m,则宽为m,所建围墙y m,假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短?2、自主探索,尝试解决老师给出学生们一些问题让学生思考，并对学生的回答进行点评，然后一起总结得出结论.层层引入，完成本节课学习的主题.问题1:作出函数y=-x2-2x,y=-2x+1(x∈[-1,+∞)),y=f(x)的图象如图所示.观察这三个图象的共同特征.函数y=-x2-2x图象有最高点A,函数y=-2x+1,x∈[-1,+∞)图象有最高点B,函数y=f(x)图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.问题2:你是怎样理解函数y=f(x)的图象的?函数图象是点的集合,是函数y=f(x)的一种表示形式,其上每一点的坐标(x,y)的意义是:自变量x的取值为横坐标,相应的函数值y为纵坐标.图象从“形”的角度描述了函数的变化规律.问题3:你是怎样理解函数图象最高点的?图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.问题4:问题1中,在所作函数y=f(x)的图象上任取一点A,设图像最高点C的坐标为(x0,y0),谁能用数学符号解释:函数y=f(x)的图象的最高点C?由于点C是函数y=f(x)图象的最高点,则点A在点C的下方,即对定义域内任意x,都有y≤y0,即f(x)≤f(x0),也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x,均有f(x)≤f(x0)成立.3、信息交流,揭示规律问题5:在数学中,形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义?函数最大值的定义：一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最大值.问题6:函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0),这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点?其图象又具有什么特征?f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M;这个函数的特征是图象有最高点,并且最高点的纵坐标是M.问题7:函数最大值的几何意义是什么?函数图象上最高点的纵坐标,体现了数形结合思想的应用.问题8:函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗?为什么?函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)没有最大值,因为函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的图象没有最高点.问题9:点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高点?不是,因为该函数的定义域中没有-1.问题10:由这个问题你发现了什么值得注意的地方?讨论函数的最大值,要坚持定义域优先的原则;函数图象有最高点时,这个函数才存在最大值,最高点必须是函数图象上的点.问题11:类比函数的最大值,请大家思考一下给出函数最小值的定义及其几何意义.函数最小值的定义：一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值.函数最小值的几何意义:函数图象上最低点的纵坐标.问题12:类比问题10,你认为讨论函数最小值应注意什么?讨论函数的最小值,也要坚持定义域优先的原则;函数图象有最低点时,这个函数才存在最小值,最低点必须是函数图象上的点.（二）、合作学习让学生合作做练习，教师巡视指导然后讲解例题. 【例1】“菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h m 与时间t s 之间的关系为h (t ) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m ）？解：作出函数h (t ) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18的图象(如图). 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h (t ) = – 4.9t 2 + 14.7t +18，我们有：当t =14.72( 4.9)-⨯-=1.5时，函数有最大值h =24( 4.9)1814.74( 4.9)⨯-⨯-⨯-≈29.于是，烟花冲出后1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.【例2】已知函数y =21x -(x [2，6])，求函数的最大值和最小值.分析：由函数y =21x -(x [2，6])的图象可知，函数y =21x -在区间[2，6])的图象可知，函数y =21x -在区间[2，6]上递减. 所以，函数y =21x -在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：设x 1，x 2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1) – f (x 2) =122211x x --- =21122[(1)(1)](1)(1)x x x x -----=21122()(1)(1)x x x x ---. 由2≤x 1＜x 2≤6，得x 2 –x 1＞0，(x 1–1) (x 2–1)＞0，于是 f (x 1) – f (x 2)＞0，即 f (x 1)＞f (x 2).所以，函数y =21x -是区间[2，6]上是减函数. 因此，函数y =21x -在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x =2时取得的最大值，最大值是2，在x = 6时的最小值，最小值是0.4（三）、当堂检测1、课本题组题，1,5,3932B p p2、已知函数f (x ) = x 2 – 2x – 3，若x ∈[t ，t +2]时，求函数f (x )的最值.解：∵对称轴x = 1，（1）当1≥t +2即t ≤–1时，f (x )max = f (t ) = t 2 –2t –3，f (x )min = f (t +2) = t 2 +2t –3.（2）当22t t ++≤1＜t +2，即–1＜t ≤0时，f (x )max = f (t ) = t 2 –2t –3，f (x )min = f (1) = – 4.（3）当t ≤1＜22t t ++，即0＜t ≤1，f (x )max = f (t +2) = t 2 + 2t – 3，3、.某超市为了获取最大利润做了一番试验,若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时,每天可销售60件,现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨1元,其销售量就要减少10件,问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大,并求出最大利润.解:设商品售价定为x 元时,利润为y 元,则y=(x-8)[60-(x-10)·10]=-10[(x-12)2-16]=-10(x-12)2+160(10<x<16).当且仅当x=12时,y 有最大值160元,即售价定为12元时可获最大利润160元.（四）、课堂小结（教师根据学生具体的的学习接受情况提问并和学生一起做总结概括)请同学们从下列几方面分组讨论:1．最值的概念2．应用图象和单调性求最值的一般步骤.3..函数的最值及几何意义如何?4..你学了哪几种求函数最值的方法?5..求函数最值时,要注意什么原则?七．课外作业课本P39习题1.3 A组第5题,B组第1,2题.八、教学反思：。

3.2.1函数的单调性与最值(第2课时)

域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有_f_(_x_)_≤__M_；（2）存在x0∈I，使得_f_(_x_0)_=_M_. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.
函数最小值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义
域为I，如果存在实数M满足：请同学们仿此给（1）对于任意的x∈I，都有_f_(_x出_)_≥函__M数_定；最义小值的（2）存在x0∈I，使得_f_(_x_0)_=_M_. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值.
解：因为函数f(x)在区间[-2,2]上是增函数，且
f(1-m)<f(m)，
- 2 1- m 2
所以， - 2 m 2
1- m m
解得 1 m 2
2
故实数m的取值范围是
( 1 ,2] .
2
喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落，经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让我们来研究——函数的最大值与最小值.
对函数最值的理解
1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在 x0 I ,
使得 f x0 M .并不是所有满足 f (x) M 的函数都有
最大值M.
2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函
数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小
y
的函数值.
3.最值几何意义：f(x)的最大值 M
所以函数 f(x)图像的对称轴为直线x=a,
①当a 5时，f (x)在[5,5]为增函数，
所以f (x)min f (5) 27 10a ②当- 5 a 5时，则f (x)min f (a) 2 a2

第一章 1.3 1.3.1 第二课时函数的最大(小)值

(1)对于任意的x∈I，都有 f(x)≤M ； (2)存在x0∈I，使得 f(x0)＝M . 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．
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2．最小值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有 f(x)≥M ；
(2)存在x0∈I，使得 f(x0)＝M .
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3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数 a的值是________．解析：a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2； a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，∴a＝－2.
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解：设销售价为 x 元/瓶(3≤x≤4)，则根据题意(销售量等于进货 4－x 量)，正好当月销售完的进货量为 ×40＋400(瓶)，即 400(9 0.05 －2x)瓶．此时所得的利润为 f(x)＝400(9－2x)(x－3)＝400(－2x2＋15x－27)(元)， 15 根据函数性质，当 x＝时，f(x)取得最大值 450. 4 15 这时进货量为 400(9－2x)＝400(9－2× )＝600(瓶)． 4 15 答：销售价定为每瓶元，并且从工厂购进 600 瓶时，才可获 4 得最大利润 450 元．
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[活学活用] 1 在题设条件不变的情况下，求 f(x)在[ ，2]上的最值． 3
1 1 解：设 x1x2∈[ ，1]，并且 x1<x2，同理可证 f(x1)>f(x2)，即 f(x)在[ ， 3 3 1]上是减函数． 1 结合例题可知，函数 f(x)在[ ，1]上单调递减，在(1,2)上单调递增． 3 ∴当 x＝1 时，f(x)取得最小值 f(1)＝2； 1 1 10 5 1 10 又 f( )＝＋3＝ >f(2)＝，∴f(x)在[ ，2]上的最大值为，最小 3 3 3 2 3 3 值为 2.

1.3.1.第二课时_函数的最大(小)值

1.3.1. 第二课时函数的最大（小）值1、函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上的最大值为( )A ．9B ．9(1－a )C ．9－aD ．9－a 22、函数y ＝x ＋1－x －1的值域为( )A ．(－∞， 2 ]B ．(0， 2 ]C ．[2，＋∞)D ．[0，＋∞)3、函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2在[0，a ]上取得最大值3，最小值2，则实数a 为( )A ．0或1B ．1C ．2D ．以上都不对4、函数f (x )＝x 2在[0,1]上的最小值是( )A ．1B ．0 C.14 D ．不存在 5、函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ＋6，x ∈[1，2]x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值分别为( ) A ．10,6 B ．10,8 C ．8,6 D ．以上都不对6、函数y ＝－x 2＋2x 在[1,2]上的最大值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．不存在7、函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( ) A ．2 B.12 C.13 D ．－128、某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元9、已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．210、已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1.则xy 的最大值为________． 11、函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是________．12、已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是________．13、函数f (x )＝xx ＋2在区间[2,4]上的最大值为________；最小值为________．14、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－12≤x ≤11x 1＜x ≤2，求f (x )的最大、最小值．15、某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？16、求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值．17、已知函数f (x ) = x 2 – 2x – 3，若x [t ，t +2]时，求函数f (x )的最值.18、、甲、乙两地相距s km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度x (km / h)的平方成正比，比例系数为a ，固定部分为b 元，请问，是不是汽车的行驶速度越快，其全程成本越小？如果不是，那么为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？19、已知函数f (x ) =22x x a x ++，x ∈[1，+∞).（Ⅰ）当a =12时，求函数f (x )的最小值；（Ⅱ）若对任意x ∈[1，+∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围.20、已知函数f (x )对任意x ，y R，总有f (x ) + f ( y ) = f (x + y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1) =23-.（1）求证f (x )是R 上的减函数；（2）求f (x )在[–3，3]上的最大值和最小值.。

新教材苏教版高中数学选择性必修一第二课时函数的最大(小)值

第二课时函数的最大(小)值课标要求 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法.素养要求通过学习求函数最大(小)值的方法，提升学生的数学抽象素养.1.思考函数f(x)＝x2＋1≥1，则f(x)的最小值为1吗？提示当x＝0时，f(x)的最小值为1.2.填空函数的最大(小)值：一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D. (1)如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；(2)如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点；(3)最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点.温馨提醒求函数最值的常用方法(1)图像法：作出y＝f(x)的图像，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值.(2)运用已学函数的值域.(3)运用函数的单调性.(4)分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个.3.做一做函数y＝f(x)在[－2，2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A.－1，0B.0，2C.－1，2D.12，2答案 C题型一图像法求函数的最值例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x ，x >1.求f (x )的最大值、最小值.解作出函数f (x )的图像(如图).由图像可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (1)＝f (－1)＝1. 当x ＝0时，f (x )取最小值为f (0)＝0，故f (x )的最大值为1，最小值为0. 思维升华图像法求函数最值的一般步骤训练1 已知函数y ＝－|x －1|＋2，画出函数的图像，确定函数的最值情况，并写出值域.解 y ＝－|x －1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x ≥1，x ＋1，x <1，图像如图所示，由图像知，函数y＝－|x＋1|＋2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(－∞，2].题型二利用函数的单调性求最值例2 已知函数f(x)＝x－1x＋2，x∈[3，5].(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数f(x)的最大值和最小值.解(1)f(x)是增函数，证明如下：任取x1，x2∈[3，5]且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x1－1x1＋2－x2－1x2＋2＝3（x1－x2）（x1＋2）（x2＋2），因为3≤x1<x2≤5，所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).所以f(x)在[3，5]上为增函数.(2)由(1)知，f(x)在[3，5]上为增函数，则f(x)的最大值为f(5)＝47，f(x)的最小值为f(3)＝2 5.思维升华利用单调性求最值的步骤：(1)判断函数的单调性；(2)利用单调性写出最值.训练2 已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2，6])，求函数的最大值和最小值. 解设x 1，x 2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2[（x 2－1）－（x 1－1）]（x 1－1）（x 2－1）＝2（x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）.由2≤x 1<x 2≤6，得x 2－x 1>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2). 所以，函数f (x )＝2x －1在区间[2，6]上是减函数. 因此，函数f (x )＝2x －1在区间[2，6]上的两个端点处分别取得最大值和最小值，即在x ＝2时取得最大值，最大值是2，在x ＝6时取得最小值，最小值是25. 题型三二次函数的最值问题例3 (1)求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2，4]上的最小值； (2)求函数f (x )＝x 2－4x －4在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值. 解 (1)∵函数图像的对称轴是x ＝a ， ∴当a <2时，f (x )在[2，4]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2，4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2. 设f (x )在[2，4]上的最小值为g (a ).∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.(2)f (x )＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8. 设f (x )在[t ，t ＋1]上的最小值为g (t ). 当t >2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， ∴g (t )＝f (t )＝t 2－4t －4；当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，g (t )＝f (2)＝－8；当t ＋1<2即t <1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数， ∴g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7. 综上，g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －7，t <1，－8，1≤t ≤2，t 2－4t －4，t >2.思维升华二次函数在闭区间上的最值对于二次函数f (x )＝a (x －h )2＋k (a >0)在区间[m ，n ]上的最值问题，有以下结论： (1)若h ∈[m ，n ]，则y min ＝f (h )＝k ， y max ＝max{f (m )，f (n )}；(2)若h ∉[m ，n ]，则y min ＝min{f (m )，f (n )}， y max ＝max{f (m )，f (n )}(a <0时可仿此讨论).训练3 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3，若x ∈[0，2].求函数的最小值. 解 f (x )＝x 2－2ax －3的对称轴为x ＝a . ①当a ≤0时，f (x )在[0，2]上为增函数，∴f(x)min＝f(0)＝－3；②当0<a≤2时，f(x)min＝f(a)＝－a2－3；③当a>2时，f(x)在[0，2]上为减函数，∴f(x)min＝f(2)＝1－4a.综上所述，当a≤0时，最小值为－3；当0<a≤2时，最小值为－a2－3；当a>2时，最小值为1－4a.[课堂小结]1.若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中取出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值.2.函数的最值与单调性的关系：(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).一、基础达标1.函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小值、最大值分别为()A.3，5B.－3，5C.1，5D.5，－3答案 B解析因为f(x)＝－2x＋1在[－2，2]是减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.2.(多选)下列说法中正确的有()A.若x 1，x 2∈I ，对任意的x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数B.函数y ＝x 2在R 上是增函数C.函数y ＝－1x 在定义域上是增函数D.y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞) 答案 AD解析对于B ，在[0，＋∞)上是增函数；对于C ，在整个定义域内不是增函数，如－3<5，而f (－3)>f (5)，故不正确. 3.函数y ＝x －1x 在[1，2]上的最大值为( ) A.0 B.32 C.2 D.3答案 B解析函数y ＝x 在[1，2]上是增函数，函数y ＝－1x 在[1，2]上是增函数，所以函数y ＝x －1x 在[1，2]上是增函数. 当x ＝2时，y max ＝2－12＝32. 4.函数f (x )＝11－x （1－x ），x ∈[1，2]的最大值是( )A.54B.43C.1D.34答案 C解析令g (x )＝1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，则g (x )在[1，2]上单调递增，所以g (x )∈[1，3]，所以13≤11－x （1－x ）≤1.故f (x )的最大值为1.5.函数f (x )＝x －1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 B.[－1，2]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 答案 A解析 f (x )＝x －1x ＝1－1x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )为增函数，∴当x ＝12时，函数取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－112＝1－2＝－1，当x ＝2时，函数取得最大值，最大值为f (2)＝1－12＝12，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，故选A.6.函数y ＝⎩⎨⎧x ＋1，x ∈[－3，－1]，－x －1，x ∈（－1，4]的最小值为________，最大值为________.答案－5 0解析由题意可知，当x ∈[－3，－1]时，函数y ＝x ＋1单调递增，∴当x ＝－3时，y min ＝－2；当x ∈(－1，4]时，函数y ＝－x －1单调递减，当x ＝4时，y min ＝－5，故最小值为－5，同理可得，最大值为0. 7.函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为________. 答案 12 解析易知y ＝1x －1在[2，3]上递减， ∴y min ＝f (3)＝12.8.函数f (x )＝6－x －3x 在区间[2，4]上的最大值为________. 答案－4 解析 ∵函数f (x )＝6－x －3x 在区间[2，4]上是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝6－2－3×2＝－4. 9.已知函数f (x )＝61－x＋3(x ∈[2，4])，求函数f (x )的最大值和最小值.解设x 1，x 2是[2，4]上任意两个实数，且x 1<x 2，所以f (x 1)－f (x 2)＝61－x 1＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫61－x 2＋3＝61－x 1－61－x 2＝6（1－x 2）－6（1－x 1）（1－x 1）（1－x 2）＝6（x 1－x 2）（1－x 1）（1－x 2），因为2≤x 1<x 2≤4，所以x 1－x 2<0，1－x 1<0，1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在[2，4]上是增函数，所以f (x )的最大值为f (4)＝1，f (x )的最小值为f (2)＝－3.10.已知函数f (x )＝ax 2－4ax ＋b (a >0)在区间[0，1]上有最大值1和最小值－2. (1)求a ，b 的值；(2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x )>－x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)∵f (x )＝a (x －2)2＋b －4a ，又a >0，∴函数图像开口向上，对称轴x ＝2， ∴f (x )在[0，1]上是减函数，∴f (0)＝b ＝1，且f (1)＝b －3a ＝－2， ∴a ＝b ＝1.(2)f (x )>－x ＋m ⇔x 2－4x ＋1>－x ＋m即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于0即可. ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1). 二、能力提升11.(多选)如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中正确的是( ) A.f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0B.(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C.f (a )≤f (x 1)<f (x 2)≤f (b )D.f (x 1)>f (x 2) 答案 AB解析由函数单调性的定义可知，若函数y ＝f (x )在给定的区间上是增函数，则x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，由此可知，选项A ，B 正确；对于选项C ，D ，因为x 1，x 2的大小关系无法判断，所以f (x 1)与f (x 2)的大小关系也无法判断，故C ，D 不正确.12.定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a <b ，b ，a ≥b ，设函数f (x )＝min{－x 2＋2x ＋5，x ＋3}，则f (1)＝________；f (x )的最大值为________. 答案 4 5解析由－x 2＋2x ＋5<x ＋3，得x <－1或x >2；由－x 2＋2x ＋5≥x ＋3，得－1≤x ≤2，据题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋5，x <－1或x >2，x ＋3，－1≤x ≤2，∴f (1)＝4，当x <－1或x >2时，f (x )＝－(x －1)2＋6，则f (x )<5；当－1≤x ≤2时，2≤f (x )≤5，∴f (x )的最大值为5.13.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞). (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x 2＋2x ＋12x＝x ＋12x ＋2.设任意x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1≠x 2，则Δf Δx ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＝1－12x 1x 2 ＝2x 1x 2－12x 1x 2. 因为x 1≠x 2且x 1≥1，x 2≥1，所以x 1x 2>1，2x 1x 2－1>0，所以2x 1x 2－12x 1x 2>0，所以Δf Δx >0，即函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数.所以函数f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝1＋12＋2＝72.(2)因为f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0在[1，＋∞)上恒成立，所以x 2＋2x ＋a >0在[1，＋∞)上恒成立.记y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，所以y ＝(x ＋1)2＋a －1在[1，＋∞)上单调递增，故当x ＝1时，y 取得最小值，最小值为3＋a .所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立，所以实数a的取值范围为(－3，＋∞).三、创新拓展14.(多选)已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有()A.y＝2x＋x2B.y＝4x＋1 xC.y＝3x－1 xD.y＝x－1＋4 x＋1答案ACD解析A中，x≥1，y＝2x＋x2≥22x·x2＝2，当且仅当x＝2取得最小值2；B中，y＝4x＋1x在[1，＋∞)上递增，可得y的最小值为5；C中，y＝3x－1x在[1，＋∞)上递增，可得y的最小值为2；D中，y＝x－1＋4x＋1＝(x＋1)＋4x＋1－2≥2（x＋1）·4x＋1－2＝2，当且仅当x＝1时，取得最小值2.故选ACD.。

高中数学《函数的最大(小)值第二课时》专题突破含解析

第二课时　函数的最大(小)值课标要求素养要求1.能利用导数求某些函数的在给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.2.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.区别函数的极值和最大(小)值，借助于求函数的最大(小)值的运算，提升学生的数学运算和直观想象素养.新知探究观察如图所示的函数y ＝f (x )，x ∈[－3，2]的图象，回忆函数最值的定义，回答下列问题：问题1　图中所示函数最值点与最值分别是什么？提示　最大值点是x ＝2，最大值是3；最小值点是x ＝0，最小值是－3.问题2　图中所示函数的极值点与极值分别是什么？提示　极大值点是x ＝－2，极大值是2；极小值点是x ＝0，极小值是－3.问题3　一般地，函数的最值与函数的极值有什么关系？提示　函数的最值可能是极值，也可能是区间端点的函数值.1.函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值　函数的最大值与最小值最多只有一个，极大值与极小值则可能有多个(1)函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得.(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上最值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值.②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.2.最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言.(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有).(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点.(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.拓展深化[微判断]1.函数的最大值不一定是函数的极大值.(√)2.函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.(×)提示　也可能在极值点处取到.3.有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.(×)提示　有极值的函数不一定有最值，如图所示，导函数f(x)有极值，但没有最值.4.函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，则f (x )在区间[a ，b ]上一定有最值，但不一定有极值.(√)[微训练]1.连续函数y ＝f (x )在[a ，b ]上( )A.极大值一定比极小值大B.极大值一定是最大值C.最大值一定是极大值D.最大值一定大于极小值解析　由函数的最值与极值的概念可知，y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值一定大于极小值.答案　D2.(多空题)函数f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋6在[－4，4]上的最大值为________，最小值为________.解析　f ′(x )＝x 2－2x －3，令f ′(x )>0，得x <－1或x >3，令f ′(x )<0，得－1<x <3，故f (x )在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单调递增，在(－1，3)上单调递减，故f (x )的极大值为f (－1)＝233，极小值为f (3)＝－3，又f (－4)＝－583，f (4)＝－23，故f (x )的最大值为f (－1)＝233，最小值为f (－4)＝－583.答案　233　－583[微思考]1.若函数的最大值与最小值所构成的集合为A ，则A 中的元素个数可能是多少？提示　可能为0，1，2.2.在开区间内的连续函数f (x )在此开区间上只有一个极值点，那么这个极值是最值点吗？提示　是.题型一　求函数的最值【例1】　求下列各函数的最值.(1)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1，1]；(2)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0，2π].解　(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3，∵f ′(x )在[－1，1]内恒大于0，∴f (x )在[－1，1]上为增函数.故当x ＝－1时，f (x )min ＝－12；当x ＝1时，f (x )max ＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2.(2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，又x ∈[0，2π]，解得x ＝2π3或x ＝4π3，计算得f (0)＝0，f (2π)＝π，f (2π3)＝π3＋32，f(4π3)＝2π3－32.所以当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0；当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.规律方法　求解函数在定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f ′(x )＝0的根是否在给定区间内.(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.【训练1】　求下列函数的最值：(1)f (x )＝2x 3－6x 2＋3，x ∈[－2，4]；(2)f (x )＝e －x －e x ，x ∈[0，a ]，a 为正实数.解　(1)f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2).令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表x －2(－2，0)0(0，2)2(2，4)4f ′(x )＋0－0＋f (x )－37↗极大值3↘极小值－5↗35∴当x ＝4时，f (x )取最大值35.当x ＝－2时，f (x )取最小值－37.即f (x )的最大值为35，最小值为－37.(2)f ′(x )＝(1e x)′－(e x )′＝－1e x－e x ＝－1＋e 2xe x.当x ∈[0，a ]时，f ′(x )＜0恒成立，即f (x )在[0，a ]上是减函数.故当x ＝a 时，f (x )有最小值f (a )＝e －a －e a ；当x ＝0时，f (x )有最大值f (0)＝e －0－e 0＝0.即f (x )的最小值为e －a －e a ，最大值为0.题型二　含参数的函数的最值问题【例2】　已知f (x )＝ax －ln x ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)是否存在实数a ，使f (x )在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.解　(1)当a ＝1时，f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，∴所求切线的斜率为f ′(2)＝12，切点为(2，2－ln 2)，∴所求切线的方程为y －(2－ln 2)＝12(x －2)，即x －2y ＋2－2ln 2＝0.(2)假设存在实数a ，使f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]有最小值3，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递减，故f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，解得a ＝4e(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a ；②当0<1a <e ，即a >1e时，f (x )在(0，1a )上单调递减，在(1a ，e )上单调递增，故f (x )min＝f(1a )＝1＋ln a ＝3，解得a ＝e 2，满足条件；③当1a ≥e ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上单调递减，故f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，解得a ＝4e(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a .综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时，f (x )有最小值3.规律方法　对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.【训练2】　已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2(x －a )，求f (x )在区间[0，2]上的最大值.解　f ′(x )＝3x 2－2ax .令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3.(1)当2a 3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0，2]上单调递增，从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .(2)当2a 3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0，2]上单调递减，从而f (x )max ＝f (0)＝0.(3)当0<2a3<2，即0<a <3时，f (x )在[0，2a 3]上单调递减，在[2a 3，2]上单调递增，从而f (x )max ＝{8－4a 　（0<a ≤2），0 （2<a <3），综上所述，f (x )max ＝{8－4a 　（a ≤2），0 （a >2）.题型三　由函数的最值求参数问题【例3】　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]时，f(x)的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.解　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数，与题设矛盾.∵f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).(1)当a>0时，列表如下：x－1(－1，0)0(0，2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋b b －16a＋b由表可知，当x＝0时，f(x)取得最大值.∴f(0)＝3，即b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得最小值f(0)＝－29，∴b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，∴a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.规律方法　已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.【训练3】　已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k 的取值范围.解　∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x (－∞，－3)－3(－3，1)1(1，＋∞)h ′(x )＋0－0＋h (x )28－4当x ＝－3时，取极大值28；当x ＝1时，取极小值－4.而h (2)＝3<h (－3)＝28，如果h (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，则k ≤－3.所以k 的取值范围为(－∞，－3].一、素养落地1.通过学习函数最值的概念及求解方法，培养数学抽象和数学运算素养.2.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值.3.已知最值求参数时，可先用参数表示最值，有时需分类讨论.二、素养训练1.函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( )A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值C.无最大值，但有最小值D.既无最大值，也无最小值解析　f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1，1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1，1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.答案　D2.函数y ＝x －sin x ，x ∈[π2，π]的最大值是( )A.π－1B.π2－1C.πD.π＋1解析　因为y ′＝1－cos x ，当x ∈[π2，π]时，y ′>0，则函数在区间[π2，π]上为增函数，所以y的最大值为y max＝π－sin π＝π，故选C.答案　C3.已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( )A.20B.18C.3D.0解析　因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3，2]，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，在[1，2]和[－3，－1]上单调递增.f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3，2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，又由题设知在[－3，2]上|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝20，所以t≥20，故选A.答案　A4.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________.解析　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.答案　－715.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值为________.解析　f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0.即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.答案　－4基础达标一、选择题1.已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A.f (a )－g (a ) B.f (b )－g (b )C.f (a )－g (b )D.f (b )－g (a )解析　令F (x )＝f (x )－g (x )，∵f ′(x )<g ′(x )，∴F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，∴F (x )在[a ，b ]上单调递减，∴F (x )max ＝F (a )＝f (a )－g (a ).答案　A2.函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围是( )A.[0，1) B.(0，1)C.(－1，1)D.(0，12)解析　∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2，又∵x ∈(0，1)，∴0<a <1，故选B.答案　B3.函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间[－π2，0]上的最小值是( )A.－π2B.2C.π6＋ 3 D.π3＋1解析　f ′(x )＝1－2sin x ，因为x ∈[－π2，0]，所以sin x ∈[－1，0]，所以－2sin x ∈[0，2].所以f ′(x )＝1－2sin x ＞0在[－π2，0]上恒成立.所以f (x )在[－π2，0]上单调递增.所以f (x )min ＝－π2＋2cos (－π2)＝－π2.答案　A4.若函数f (x )＝a sin x ＋13sin 3x 在x ＝π3处有最值，则a 等于( )A.2B.1C.233D.0解析　∵f (x )在x ＝π3处有最值，∴x ＝π3是函数f (x )的极值点.又∵f ′(x )＝a cos x ＋cos 3x ，∴f ′(π3)＝a cos π3＋cos π＝0，解得a ＝2.答案　A5.关于函数f (x )＝13x 3－4x ＋4.下列说法中：①它的极大值为283，极小值为－43；②当x ∈[3，4]时，它的最大值为283，最小值为－43；③它的单调减区间为[－2，2]；④它在点(0，4)处的切线方程为y ＝－4x ＋4，其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析　∵函数f (x )＝13x 3－4x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)·(x ＋2).由f ′(x )＝(x －2)(x ＋2)>0，得x >2或x <－2，此时函数单调递增；由f ′(x )＝(x －2)(x ＋2)<0，得－2<x <2，此时函数单调递减，∴③正确；当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值f (－2)＝283，当x ＝2时，函数f (x )取得极小值f (2)＝－43，∴①正确；x ∈[3，4]时，f (x )单调递增，它的最大值为f (4)＝433－4×4＋4＝283，最小值为f (3)＝333－4×3＋4＝1，∴②错误；f ′(0)＝－4，f (0)＝4，∴它在点(0，4)处的切线方程为y ＝－4x ＋4，∴④正确，故选C.答案　C二、填空题6.(多空题)设函数f (x )＝ln x x，x ∈[1，4]，则f (x )的最大值为________，最小值为________.解析　由f (x )＝ln x x 得f ′(x )＝1－ln x x 2，令f ′(x )>0，则1－ln x >0，解得0<x <e ；令f ′(x )<0，则1－ln x <0，解得x >e.∴函数f (x )在[1，e]上单调递增，在[e ，4]上单调递减，且f (1)＝0，f (4)＝ln 44>0，∴f (x )的最大值为f (e)＝ln e e ＝1e ，f (x )的最小值为f (1)＝0.答案　1e　07.已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间(－2，－1)上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________.解析　f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m 2.由题意得m 2∈(－2，－1)，故m ∈(－4，－2).答案　(－4，－2)8.已知函数f (x )＝－23x 3＋2ax 2＋3x (a >0)的导数f ′(x )的最大值为5，则在函数f (x )图象上的点(1，f (1))处的切线方程是________.解析　∵f ′(x )＝－2x 2＋4ax ＋3＝－2(x －a )2＋3＋2a 2，∴f ′(x )max ＝3＋2a 2＝5，∵a >0，∴a ＝1.∴f ′(x )＝－2x 2＋4x ＋3，f ′(1)＝－2＋4＋3＝5.又f (1)＝－23＋2＋3＝133，∴所求切线方程为y －133＝5(x －1).即15x －3y －2＝0.答案　15x －3y －2＝0三、解答题9.已知函数f (x )＝a ln x －bx 2，a ，b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切.(1)求a ，b 的值；(2)求f (x )在[1e ，e ]上的最大值.解　(1)f ′(x )＝a x－2bx (x >0).由曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，得{f ′（1）＝0，f （1）＝－12，即{a －2b ＝0，－b ＝－12，解得{a ＝1，b ＝12.(2)由(1)，得f (x )＝ln x －12x 2，定义域为(0，＋∞).f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x .令f ′(x )>0，得0<x <1，令f ′(x )<0，得x >1，所以f (x )在[1e，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在[1e ，e ]上的最大值为f (1)＝－12.10.已知函数f (x )＝2e x (x ＋1).(1)求函数f (x )的极值；(2)求函数f (x )在区间[t ，t ＋1](t >－3)上的最小值.解　(1)f ′(x )＝2e x (x ＋2)，由f ′(x )>0，得x >－2；由f ′(x )<0，得x <－2.∴f (x )在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减.∴f (x )的极小值为f (－2)＝－2e －2，无极大值.(2)由(1)，知f (x )在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减.∵t >－3，∴t ＋1>－2.①当－3<t <－2时，f (x )在[t ，－2)上单调递减，在(－2，t ＋1]上单调递增，∴f (x )min ＝f (－2)＝－2e －2.②当t ≥－2时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，∴f (x )min ＝f (t )＝2e t (t ＋1)，∴f (x )min ＝{－2e －2，－3<t <－2，2e t （t ＋1），t ≥－2.能力提升11.已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0，2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2，0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________.解析　由题意知，当x ∈(0，2)时，f (x )的最大值为－1.令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f(1a )＝－ln a －1＝－1.解得a ＝1.答案　112.已知函数f (x )＝ln x ＋a x .(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值.解　函数f (x )＝ln x ＋a x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax 2＝x －a x 2，(1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上是增加的.∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞).(2)当x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a ≤1时，f ′(x )≥0，函数f (x )是单调递增，其最小值为f (1)＝a ≤1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )是减少的，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )是增加的，所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e.③当a ≥e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋a e ≥2，与最小值是32相矛盾.综上所述，a 的值为 e.创新猜想13.(多选题)下列关于函数f (x )＝(2x －x 2)e x 的判断正确的是( )A.f (x )>0的解集是{x |0<x <2}B.f (－2)是极小值，f (2)是极大值C.f (x )没有最小值，也没有最大值D.f (x )有最大值无最小值解析　由f (x )>0得0<x <2，故A 正确.f ′(x )＝(2－x 2)e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝±2，当x <－2或x >2时，f ′(x )<0，当－2<x <2时，f ′(x )>0，∴当x ＝－2时，f (x )取得极小值，当x ＝2时，f (x )取得极大值，故B 正确.当x →－∞时，f (x )<0，当x →＋∞时，f (x )<0，且f (2)>0，结合函数的单调性可知，函数f (x )有最大值无最小值，故C 不正确，D 正确.答案　ABD14.(多选题)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x ，则下列结论正确的是( )A.函数f (x )存在两个不同的零点B.函数f (x )既存在极大值又存在极小值C.当－e<k <0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D.若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e 2，则t 的最小值为2解析　A.令f (x )＝0，解得x ＝－1±52，所以A 正确；B.f ′(x )＝－x 2－x －2e x ＝－（x ＋1）（x －2）e x ，当f ′(x )>0时，－1<x <2，当f ′(x )<0时，x <－1或x >2，(－∞，－1)，(2，＋∞)是函数的单调递减区间，(－1，2)是函数的单调递增区间，所以f (－1)是函数的极小值，f (2)是函数的极大值，所以B 正确.C.当x →＋∞时，y →0，根据B 可知，函数的最小值是f (－1)＝－e ，再根据单调性可知，当－e<k <0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根，所以C 正确；D.由图象可知，t 的最大值是2，所以不正确.故选ABC.答案　ABC。

5.3 5.3.2 第二课时函数的最大[小]值公开课

[跟踪训练] 已知 a 是实数，函数 f(x)＝x2(x－a)，求 f(x)在区间[0，2]上的最大值．解：f′(x)＝3x2－2ax.
令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝23a. ①当23a≤0，即 a≤0 时，f′(x)在[0，2]上满足 f′(x)≥0，所以 f(x)在[0，2]上单调递增，从而 f(x)max＝f(2)＝8－4a. ②当23a≥2，即 a≥3 时，f′(x)在[0，2]上满足 f′(x)≤0，所以 f(x)在[0，2]上单调递减，从而 f(x)max＝f(0)＝0. ③当 0<23a<2，即 0<a<3 时，f(x)在0，23a上单调递减，在23a，2上单调递增，从而 f(x)max＝80－（42a<（a<03<）a≤. 2），综上 f(x)max＝80－（4aa>（2）a≤. 2），
(2)①当1a≤1，即 a≥1 时，函数 f(x)在区间[1，2]上是减函数，所以 f(x)的最小值是 f(2)＝ln 2－2a.
②当1a≥2，即 0<a≤12时，函数 f(x)在区间[1，2]上是增函数，所以 f(x)的最小值是 f(1)＝－a.
③当 1<1a<2，即12<a<1 时，函数 f(x)在1，1a上是增函数，在1a，2上是减函数．又 f(2)－f(1)＝ln 2－a. 所以当12<a<ln 2 时，最小值是 f(1)＝－a. 当 ln 2≤a<1 时，最小值为 f(2)＝ln 2－2a. 综上可知，当 0<a<ln 2 时，函数 f(x)的最小值是－a；当 a≥ln 2 时，函数 f(x)的最小值是 ln 2－2a.
－m
∴g(t)在[0，2]上有最小值 g(2)＝－3－m，存在 t∈[0，2]，使 h(t)<－2t＋m 成立，等价于 g(t)的最小值 g(2)<0. ∴－3－m<0，∴m>－3， ∴实数 m 的取值范围为(－3，＋∞)．

《函数单调性与最大(小)值(第2课时)》教学设计

第三节函数的基本性质1.3.1 第二课时函数的最大（小）值（李波）一、教学目标（一）核心素养教材以二次函数2()f x x =图象为例,观察出函数图象的最低点(0,0),这给我们提供了一种求函数最值的方法“图象观察法”,这也是一种最直接,最直观的方法.结合上一课时函数的单调性,学生通过函数图象,研究函数性质,寻求最值.在实际生活中,常遇到最值问题,我们是通过建立函数模型来进行研究,体现了数学与社会生活紧密联系.本节课,在探究函数的最值问题中,不断培育学生的数学运算、数学抽象、数学建模等数学核心素养.（二）学习目标1.通过函数图象,理解函数最大（小）值及几何意义．2.结合函数单调性求最大（小）值．3.函数最大（小）值的实际问题中的应用．（三）学习重点1.理解函数最大（小）值的概念及几何意义．2.求函数的最大（小）值．（四）学习难点结合函数单调性求最大（小）值．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务一般地,设函数()f x 的定义域为I ,如果存在实数M 满足:（1）对任意的x I ∈,都有______;（2）存在0x I ∈,使得_______,那么我们称M 是函数()y f x =的最____值. 详解:()f x M ≤;0()f x M =;大或 ()f x M ≥;0()f x M =;小．2．预习自测（1）作函数22y x x =-+的图象,指出函数是否有的最值？若有,请求出最值．详解:有最大值,无最小值;最大值为1．(二)课堂设计1.知识回顾（1）常见初等函数的图象．（2）函数的单调性．2.问题探究探究一通过函数图象,函数最高（低）点的位置特征及几何意义●活动① 学生作函数y x =,1y x =,2y x =图象,观察图象的最高（低）点生:y x =图象上下无限延伸,没有最高点,也没有最低点;1y x=图象上下无限延伸,没有最高点,也没有最低点,且中间断开; 2y x =图象往上无限延伸,没有最高点,最低点在(0,0)处;师:结合图像观察结论,能否阐述函数图象最高（低）点的位置特质及几何意义？生:2y x =图象最低点在(0,0)处.仔细观察发现,位置特征:最低点位于函数图象上,不是图像外的其他点;几何意义:函数图象上所有点在坐标系中的位置都高于它或和它一样高（最低点本身）.【设计意图】观察图象易找到最高（低）点,教学时对最高（低）点的位置特征、几何意义进行探究,展现数学概念生成的过程,培养学生严谨的逻辑推理能力. ●活动② 图象的最高（低）点所体现的函数对应关系本质师:点之间位置高度的如何量化,更显数学的严谨性.由第一课时函数单调性推导,我们在描述()f x 随着x 的增大而增大,任取点11(,)A x y 到22(,)B x y ,其中12x x <刻画x 的增大,因此,我们是借助于点的坐标来探究.同学们可以想一想:在坐标系中,图象的点的高度,是由构成图象点的纵坐标决定的.师:下面以2y x =图象最低点在(0,0)O 为例,探究函数对应关系本质图象上其他点的位置不低于点O⇔图象上任意点(,)Q x y 位置不低于点(0,0)O⇔任意点(,)Q Q Q x y 的纵坐标Q y 的值与(0,0)O 纵坐标O y 的值关系:Q O y y ≥;而任意点(,)Q Q Q x y 的横坐标Q x 的值与(0,0)O 横坐标O x 的关系:,Q O x x R ∈（定义域） ⇔定义域R 内,寻求纵坐标的最小值因此,我们可以下结论:函数图象的最高（低）点(,)Q Q Q x y 的实质是:函数在定义域内任取x 所对应的y 值小于或等于（大于或等于）该点的函数值Q y ;也可以这样描述,函数整个定义域I 内的函数值y 在Q x x =处有最大（小）值Q y ,称Q y 为函数的最大（小）值.关系流程如图:【设计意图】从图象的最高（低）点的“形”,如何过渡到最大（小）值这个“数”,是教学设计的重点.我们从最高（低）点的位置特征,几何意义分析,让学生充分认识到点的坐标,是图象的构成元素点的数量体现,对“形”的认识自然过渡到“数”的分析.点的坐标由横、纵坐标组成,在坐标系中图象上的点投影在x 轴所覆盖的范围、y 轴所覆盖的范围,分别对应了函数的定义域和值域.最高（低）点的横、纵坐标,在坐标系中该点投影在x 轴是其横坐标取值、y 轴上是其纵坐标取值,与其他点投影到y 轴上的值相比较,是最大（小）值,同时该点横、纵坐标分别对应了定义域内某个值,值域内的最大（小）值.●活动③函数最大（小）值的概念师:由以上的推导,我们能否生成函数最大（小）值的概念?生:存在某个值使得所有函数值都比它大（小）也可相等．师:由几何特征,这个值在值域中吗？请继续完善．生:这个值在值域中.值域中存在某个值,使得所有函数值都比它大（小）．师:函数定义域优先,值域中某个值是否有一个x 与之对应？生:至少有一个x 与之对应,即存在性．师:一般地,设函数()f x 的定义域为I ,如果存在实数M 满足:（1）对任意的x I ∈,都有()f x M ≤（()f x M ≥）;（2）存在0x I ∈,使得0()f x M =,那么我们称M 是函数()y f x =的最大（小）值.【设计意图】学生要充分认识图象的最高（低）点的位置、该点坐标形式、坐标的对应实质这三者之间的联系,才能从“形”的位置特征及几何意义,到“数”对应方式,呈现了函数最大（小）值概念的生成过程.探究二结合函数单调性求最大（小）值●活动①由图象观察函数最值．例1已知函数()11f x x x =++-．（1）画出()f x 的图象;（2）根据图象写出()f x 的最小值．【知识点】函数单调性最值．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）解:()11f x x x =++-2,12,112,1x x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩其图象如图所示:（2）由图象,得函数()f x 的最小值为2.【思路点拨】画出函数()y f x =的图象,依据函数最值的几何意义,借助图象写出最值．【答案】（1）略;（2）2.同类训练如图为函数()y f x =,[4,7]x ∈-的图象,指出它的最大值、最小值．【知识点】函数单调性．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】观察函数图象可以知道,图象上位置最高的点是(3,3),最低的点是( 1.5,2)--,所以当3x =时取得最大值,最大值是3;当 1.5x =-时取得最小值,最小值是－2.【思路点拨】从左至右观察图象,在最高（低）点对应的纵坐标值,为函数的最大（小）值.【答案】3,-2．【设计意图】考查学生如何观察函数最值●活动②利用函数单调性求最值例2:求函数21y x =-在区间[2,6]上的最大值和最小值．【知识点】函数单调性最值．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:12,[2,6]x x ∀∈,且12x x <211212122()22()()11(1)(1)x x f x f x x x x x --=-=----， 12,[2,6]x x ∈,12(1)(1)0x x ∴-->．12x x <,120x x ∴->,12()()0f x f x ∴->,即12()()f x f x >．21y x ∴=-是区间[2,6]上的减函数．因此,函数21y x =-在区间[2,6]的两个端点分别取得最大值与最小值,即在2x =时取得最大值,最大值为2,在6x =时取得最小值,最小值为0.4．【思路点拨】由图象可观察函数单减,在2x =处有最大值,在6x =处有最小值.在实际解答题中,能说明函数的单调性应先证明,再求最值．【答案】2，0.4．同类训练求函数4()f x x x=+在[1,2]x ∈上的最大值与最小值．【知识点】函数单调性．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:12,[1,2]x x ∀∈,且12x x <，则121212121212444()()()()()x x f x f x x x x x x x x x --=+-+=-． 12x x <,120x x ∴-<，1212,[1,2](1,4)x x x x ∈∴∈，，1212401x x x x ∴-＜，＞，1212()()0()().f x f x f x f x ∴-＞，即＞4()f x x x∴=+在[1,2]x ∈上是减函数．从而函数的最大值是(1)145f =+=,最小值是(2)224f =+=．【思路点拨】由函数单调性求最值．【答案】5,4．【设计意图】求函数最值时,首先判定函数在给定区间的单调性,结合函数图象,在区间的端点值处取得最值.●活动③二次函数的最值问题例3求函数2()22f x x ax =-+在[2,4]上的最小值．【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想．【解题过程】解:函数2()22f x x ax =-+的对称轴是x a =，当2a <时,()f x 在[2,4]上单增,min ()(2)64f x f a ==-，当4a >时,()f x 在[2,4]上单减,min ()(4)188f x f a ==-，当24a ≤≤时,2min ()()2f x f a a ==-．综上所述2min64,2()2,24188,4a a f x a a a a -<⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩【思路点拨】二次函数在闭区间上求最值,关键是根据图象的对称轴相对于所给区间的位置来确定,对于含字母系数的二次函数的最值,要注意分类讨论.【答案】2min 64,2()2,24188,4a a f x a a a a -<⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩同类训练求函数2()22f x x x =-+在[,1]t t +上的最小值．【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想．【解题过程】解:函数2()22f x x x =-+的对称轴是1x =．当110t t +<⇒<时,()f x 在[,1]t t +上单减,2min ()(1)1f x f t t =+=+；当1t >时,()f x 在[,1]t t +上单增,2min ()()22f x f t t t ==-+；当1101t t t ≤≤+⇒≤≤时,min ()(1)1f x f ==．综上所述2min21,0()1,0122,1t t f x t t t t ⎧+<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩【思路点拨】二次函数在闭区间上求最值,关键是根据图象的对称轴相对于所给区间的位置来确定,对于含字母系数的二次函数的最值,要注意分类讨论.【答案】2min 21,0()1,0122,1t t f x t t t t ⎧+<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩例4 函数2()34f x x x =--的定义域为[0,]m （0m >）,值域为25[,4]4--,求m 的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:2()34(4)(1)f x x x x x =--=-+如图min 325()()24f x f ==-,=-43[,3]2m ∴∈．【思路点拨】由值域求定义域,本质是求值域方法的逆向思维,根据图象找到最值所对应的图象段,投影到x 轴,找到相应的变化范围.同类训练:函数2()23f x x x =-+在[0,]a （0a >）上最大值是3,最小值是2,求a 的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:22()23(1)2f x x x x =-+=-+如图:要取到最小值2,a 必须对称轴1x =右侧取值．最大值为3,则a 的必须在对称轴1x =左侧取值．[1,2]a ∴∈．【答案】[1,2]a ∈．【思路点拨】由值域求定义域,本质是求值域方法的逆向思维,根据图象找到最值所对应的图象段,投影到x 轴,找到相应的变化范围.【设计意图】通过值域寻求定义域的问题,结合二次函数图象,找出对应的坐标轴的取值范围．●活动④函数关系中恒成立问题例5已知函数223()x x f x x++=([2,)x ∈+∞)． (1)求()f x 的最小值;(2)若()f x a >恒成立,求a 的取值范围．【知识点】函数单调性求最值，恒成立问题转化．【数学思想】变量分离思想、等价转化思想．【解题过程】解:(1) 12,[2,)x x ∀∈+∞,且12x x <，223()x x f x x++=则12121212(3)()()()x x f x f x x x x x --=-．12x x <,120x x ∴-<，12,[2,)x x ∈+∞,124x x ∴>,1230x x ∴->，12()()0f x f x ∴-<,即12()()f x f x <．故函数223()x x f x x++=在[2,)+∞上为增函数． ∴当2x =时,()f x 有最小值,即11(2)2f =． (2) ()f x 有最小值为11(2)2f =． ()f x a >恒成立,只需min ()f x a >,即112a <．【思路点拨】恒成立问题,常分离变量,转化为求函数最值问题．【答案】（1）112;（2）112a <．同类训练函数2()3f x x x a =++-,[1,1]x ∈-时,()0f x ≥恒成立,求实数a 的取值范围．【知识点】函数单调性、不等式恒成立问题．【数学思想】变量分离思想、等价转化思想．【解题过程】解:[1,1],()0x f x ∈-≥恒成立，23a x x ∴≤++,[1,1]x ∈-时恒成立．记:2()3g x x x =++，只需min 11()4a g x ≤=,即114a ≤．【思路点拨】恒成立问题,常分离变量,转化为求函数最值问题．【答案】114a ≤．例6 函数2()3,f x x ax a =++-若[2,3]a ∈-时,()0f x ≥恒成立,求实数x 的取值范围.【知识点】一次函数图象性质、不等式恒成立问题．【数学思想】变量分离思想、等价转化思想、分类讨论思想．【解题过程】解:22()3(1)(3)f x x ax a a x x =++-=-++,[2,3]a ∈-,()0f x ≥恒成立，记:2()(1)(3)g a a x x =-++，转化为()0g a ≥恒成立,[2,3]a ∈-．当1x =时,()40g a =>恒成立1x ∴=…………….①当1x >时,2()(1)(3)g a a x x =-++在[2,3]-上单增,22min ()(2)25(1)40g a g x x x =-=-+=-+>恒成立,1x ∴>…………….②当1x <时,2()(1)(3)g a a x x =-++在[2,3]-上单减，2min ()(3)30g a g x x ==+> 31x x ∴≤-≤<或0…………….③由①②③:(,3][,)x ∈-∞-⋃+∞0．【思路点拨】也可用二次函数图象问题求解,若向一次函数图象问题转化,问题变得相对容易．【答案】(,3][,)-∞-⋃+∞0．同类训练函数2()3,f x x ax a =++-[2,2]x ∈-时,()0f x ≥恒成立,求实数a 的取值范围．【知识点】一次函数图象性质、不等式恒成立问题．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】函数2()3f x x ax a =++-图象的对称轴是2a x =-．当22a -≤-,即4a ≥时,()f x 在[2,2]-上单增,min ()(2)730f x f a =-=-≥73a ∴≤． a ∴∈Φ………….① 当22a -≥,即4a ≤-时,()f x 在[2,2]-上单减,min ()(2)70f x f a ==+≥7a ∴≥-， [7,4]a ∴∈--．…………….②当222a -<-<,即44a -<<时,2min 412()()024a a a f x f ---+==≥62a ∴-≤≤， (4,2]a ∴∈-．………….③由①②③:[7,2]a ∈-．【思路点拨】对称轴与给定区间位置不同关系,由函数图象观察单调性,结合最值求解．【答案】[7,2]a ∈-．【设计意图】函数的最值与单调性的关系:若函数在闭区间[,]a b 上是减函数,则()f x 在[,]a b 上的最大值为()f a ,最小值为()f b ;若函数在闭区间[,]a b 上是增函数,则()f x 在[,]a b 上的最大值为()f b ,最小值为()f a ．探究三函数最大（小）值的实际问题中的应用●活动① 生活问题构建函数模型例7 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:2400,0400()280000,400x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩,其中x 是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数()f x ;（2）当月产量为何值时,公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)【知识点】数学建模．【数学思想】函数与方程思想．【解题过程】解:（1）月产量为x 台,则总成本为20000100x +元,从而⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+-=)400(,10060000)4000(,2000030021)(2x x x x x x f（2）当0400x ≤≤时,21()(300)25000,2f x x =--+ 当300x =时,max ()25000f x =；当400x >时,()60000100f x x =-是减函数,()60001004002000025000.f x <-⨯=<综上所述：300x ∴=时,max ()25000f x =．即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25000元．【思路点拨】分段函数模型要注意x 的不同取值范围,所对应的利润求值问题．【答案】（1）2130020000,(0400)()260000100,(400)x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩;（2）每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25000元．同类训练将进货单价为40元的商品按50元一个出售时,能卖出500个,已知这种商品每涨价1元,其销售量就减少10个,为得到最大利润,售价应为多少元？最大利润是多少？【知识点】数学建模．【数学思想】函数与方程思想．【解题过程】解:设售价为x 元,利润为y 元,单个涨价50x -元,销量减少10(50)x -个． 2(40)[50010(50)](40)(100010)10(70)9000.y x x x x x =---=--=--+故当70x =时,max 9000y =所以售价为70元时,利润最大为9000元．【思路点拨】构建一元二次方程求最值．【答案】售价为70元时,利润最大为9000元．【设计意图】（1）解决实际问题,首先要理解题意,然后建立数学模型转化成数学问题解决．（2）分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键．3. 课堂总结知识梳理（1）通过函数图象,探究函数最大（小）值及几何意义．（2）结合函数单调性求函数最大（小）值．（3）函数最大（小）值在实际问题中的应用．重难点归纳（1）函数最大（小）值概念的生成．（2）求函数最大（小）值．（三）课后作业基础型自主突破1.若函数()f x x =则（） A ()f x 的最大值为0,无最小值 B ()f x 无最大值,最小值为0C ()f x 的最大值为+∞,最小值为0D ()f x 的最大值为0,最小值为-∞【知识点】图象应用【数学思想】数形结合思想【解题过程】如图: ()f x x =在(,0),[0,)-∞+∞在0x =处有最小值(0)0f =,无最大值【思路点拨】由图象观察求最值【答案】B 2.若函数26,12()7,11x x f x x x +<≤⎧=⎨+-≤≤⎩,则()f x 的最大值、最小值分别为（） A 10,6 B 10,8 C 8,6 D 8,8【知识点】一次函数图象性质【数学思想】【解题过程】解:由一次函数单调性26,(1,2]y x x =+∈,7,[1,1]y x x =+∈-,因此26,12()7,11x x f x x x +<≤⎧=⎨+-≤≤⎩在区间[1,2]x ∈-,min max ()(1)6,()(2)10f x f f x f =-===【思路点拨】也可用图象观察的方法.【答案】A3.函数2()2f x x x =+（1）在(2,5]-的最大值,最小值分别是________（2）在(1,2]-的最大值,最小值分别是________【知识点】二次函数图象【数学思想】数形结合思想【解题过程】函数2()2f x x x =+对称轴1x =-（1）(2,5]x ∈-,函数在1x =-处有最小值,min ()(1)1f x f =-=-在5x =处有最大值,max ()(5)35f x f ==（2）函数在(1,2]-上单增,在2x =处有最大值,max ()(2)8f x f ==【思路点拨】给定区间求最值,作图观察.【答案】（1）35,-1;（2）8,无4.函数1()12f x x=--在(2,5]x ∈上的值域是______ 【知识点】函数单调性【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:函数11()122x f x x x-=-=--,定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞ 由一次分函数图象知: ()f x 在(2,5]上单减min 4()(5)3f x f ==,函数无最大值【思路点拨】可用定义法证明函数单调性,也可分析法2y x =-在(2,5]为减,12y x =-在(2,5]为增, 112y x=--在(2,5]为减. 【答案】4[,)3+∞ 5. 已知二次函数()f x 满足且()f x 的最大值为8,求此二次函数的解析式【知识点】待定系数法求函数解析式【数学思想】函数与方程的思想【解题过程】解:设2()(0)f x ax bx c a =++≠ (2)(1)1f f =-=-,()f x 的最大值为824211484a b c a b c ac b a ⎧⎪++=-⎪⎪-+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩解得447a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2()447f x x x ∴=-++【思路点拨】也可以用顶点式、两点式求解【答案】2()447f x x x =-++6. ()1f x ax =+在[1,2]上的最大值与最小值之差为2,求a 的值【知识点】一次函数单调性【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解:()1f x ax =+当0a =时,()1f x =常值函数,在[1,2]上无单调性当0a >时,()1f x ax =+在[1,2]上单增,min max ()(1)1,()(2)21f x f a f x f a ==+==+ max min ()()(21)(1)2f x f x a a a ∴-=+-+==当0a <时,()1f x ax =+在[1,2]上单减,max min ()(1)1,()(2)21f x f a f x f a ==+==+max min ()()(1)(21)22f x f x a a a a ∴-=+-+=-=⇒=-【思路点拨】一次函数y kx b =+的单调性,0,();0,()k f x k f x ><【答案】2或-2能力型师生共研7.已知2()2(1)2f x x a x =+-+在区间[1,5]上的最小值为(5)f ,求a 的范围【知识点】二次函数单调性【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:2()2(1)2f x x a x =+-+对称轴为1x a =- min ()(5)f x f =2()2(1)2f x x a x ∴=+-+在区间[1,5]单减,称轴为154x a a =-≥⇒≤-【思路点拨】【答案】4a ≤-8.设1()1f x kx x =--,其中1k >,若()f x 在[2,)+∞上有最小值,求k 的值【知识点】单调性应用【数学思想】【解题过程】解:11()11f x kx kx x x =-=+--,其中y kx =,11y x =-在[2,)+∞均单调递增1()1f x kx x ∴=--在[2,)+∞单增min 3()(2)2f x f k ⇒=⇒= 【思路点拨】性质法判断函数单调性【答案】32k = 探究型多维突破9.若函数2(),[1,1]f x ax x a x =+-∈-的最大值为178,求a 的值.【知识点】二次函数根的分布【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想【解题过程】解:函数2(),[1,1]f x ax x a x =+-∈-当0a =时,()f x x =在[1,1]-上单增,max ()(1)1f x f ==矛盾当0a >时,函数2()f x ax x a =+-图象对称轴102x a =-< max ()(1)1f x f ∴==矛盾当0a <时,函数2()f x ax x a =+-图象对称轴102x a=-> 当112a -≤,即12a ≤-时, 2max14117()()248a f x f a a --=-==,2a ∴=- 当112a ->,即102a -<<时max ()(1)1f x f ∴== 矛盾综上所述:2a =-【思路点拨】二次函数根的分布问题,结合函数图象及函数在区间上的单调性讨论【答案】2a =-10.建造一个容积为6400立方米,深为4米的长方体无盖蓄水池,池壁的造价为每平方米200元,池底的造价为每平方米100元．（1）把总造价y 元表示为池底的一边长x 米的函数;（2）由于场地原因,蓄水池的一边长不能超过40米,问蓄水池的这个底边长为多少时总造价最低？总造价最低是多少？【知识点】数学建模【数学思想】函数与方程思想【解题过程】解:（1）由已知池底的面积为640016004=平方米,底面的另一边长为1600x 米, 则池壁的面积为:160024()x x⨯⨯+平方米．所以总造价: 16001600()160000,(0,)y x x x=++∈+∞ （2）由题意知16001600()160000,(0,40]y x x x=++∈ 设12040x x <<≤,则121212121212(1600)160016001600()1600()1600()x x y y x x x x x x x x --=+-+=- 12040x x <<≤,120x x ∴-<,1201600x x ∴<<1216000x x ∴-<,120y y ∴->即12y y >从而这个函数在(0,40]上是减函数,故当40x =时,min 288000y =所以当池底是边长为40米的正方形时,总造价最低为288000元.【思路点拨】函数单调性求最值【答案】边长为40米的正方形时,总造价最低为288000元.自助餐1.函数2()43,[1,4]f x x x x =-+∈,则()f x 的最大值为（）A. -1B.0C.3D.-2【知识点】二次函数求最值【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:2()43(1)(3)f x x x x x =-+=--, 如图:max ()(4)3f x f ==【思路点拨】给定区间求最值【答案】C2.函数()21f x x x =-+的值域为（）A.1[,)2+∞B.1(,]2-∞ C.[1,)+∞ D.(0,)+∞ 【知识点】函数值域【数学思想】等价转化思想【解题过程】()21f x x x =-+定义域1[,)2+∞ 21,y x y x =-=在1[,)2+∞上单增 ()21f x x x ∴=-+在1[,)2+∞上单增,∴值域1[,)2+∞ 【思路点拨】性质法判断函数单调性,再求最值【答案】A3. 函数2202,()02,x x x f x x x -≤≤⎧--=⎨<≤⎩,则()f x 的最大值、最小值分别为______ 【知识点】分段函数求最值【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:如图所示max ()(2)2f x f ==min ()(2)(0)0f x f f =-==【思路点拨】分段函数在对应区间求一次函数、二次函数的最值【答案】2,04.函数2()45f x x x =-+在[0,]m 上的最大值5,最小值1,则m 的取值范围______【知识点】二次函数图象性质【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:22()45(2)1f x x x x =-+=-+如图所示:max ()(0)(4)5f x f f ===min ()(2)1f x f == [2,4]m ∴∈【思路点拨】由值域反推定义域【答案】[2,4]5.已知函数2()22,[5,5]f x x ax x =++∈-（1）当1a =-时,求函数()f x 的最大值和最小值（2）函数()y f x =在区间[5,5]-上是单调函数,则a 的取值范围【知识点】二次函数图象性质【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:（1）当1a =-时,22()22(1)1f x x x x =++=++ [5,5]x ∈-,min ()(1)1f x f ∴=-=,max ()(5)37f x f =-=（2）22()()2f x x a a =++-,函数对称轴x a =-函数在区间[5,5]-上是单调函数,5a ∴≤-或5a ≥【思路点拨】二次函数的对称轴与开口方向,决定了函数单调区间6.求函数223,[1,2]y x ax x =--∈的最大值()M a 和最小值()m a .【知识点】二次函数单调性【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解:函数2()23f x x ax =--的对称轴是x a = 当1a <时,()f x 在[1,2]上单增,min ()(1)22()f x f a m a ==--=max ()(2)14()f x f a M a ==-=当2a >时,()f x 在[1,2]上单减,max ()(1)22()f x f a M a ==--=min ()(2)14()f x f a m a ==-=当12a ≤≤时,2min ()()3()f x f a a m a ==--= 最大值由区间端点与对称轴决定1 1.5a ≤≤max ()(2)14()f x f a M a ==-=1.52a <≤max ()(1)22()f x f a M a ==--=综上所述:222,1()3,1214,2a a m a a a a a --<⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩,14, 1.5()22, 1.5a a M a a a -<⎧=⎨--≥⎩ 【思路点拨】对称轴与区间的位置关系,分类讨论【答案】222,1()3,1214,2a a m a a a a a --<⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩,14, 1.5()22, 1.5a a M a a a -<⎧=⎨--≥⎩。

高中数学选择性必修二 5 3 2第二课时函数的最大(小)值(作业)(含答案)

5.3.2 第二课时函数的最大(小)值[A 级基础巩固]1．函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．既无最大值，也无最小值解析：选D f ′(x )＝4x 3－4＝4(x －1)(x 2＋x ＋1)．令f ′(x )＝0，得x ＝1.又x ∈(－1,1)且1∉(－1,1)，∴该方程无解，故函数f (x )在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D. 2．函数f (x )＝2x ＋1x ，x ∈(0,5]的最小值为( ) A ．2 B ．3 C.174D ．22＋12解析：选B 由f ′(x )＝1x －1x2＝x 32－1x 2＝0，得x ＝1，且x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，x ∈(1,5]时，f ′(x )＞0，∴x ＝1时，f (x )取得极小值且为最小值，故最小值为f (1)＝3. 3．函数y ＝ln xx 的最大值为( ) A ．e －1 B ．e C ．e 2D ．10解析：选A 令y ′＝(ln x )′x －ln x x 2＝1－ln xx 2＝0得x ＝e.当x ＞e 时，y ′＜0；当0＜x ＜e 时，y ′＞0，所以y 极大值＝f (e)＝e －1，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝e －1.4．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[0,1) B ．(0,1) C ．(－1,1)D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选B ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2，又∵x ∈(0,1)，∴0＜a ＜1，故选B.5．若函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A ．－10 B ．－71 C ．－15D ．－22 解析：选B f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．由f ′(x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 又因为f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27， f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20. 由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )min ＝k －76＝－71.6．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为__________．解析：y ′＝12x－1＝1－2x 2x，令y ′＝0得x ＝14.∵0＜x ＜14时，y ′＞0；x ＞14时，y ′＜0.∴x ＝14时，y max ＝14－14＝14. 答案：147．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m ，n ，则m －n ＝________.解析：∵f ′(x )＝3x 2－3，∴当x ＞1或x ＜－1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0.∴f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1)＝1－3－a ＝－2－a ＝n . 又∵f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ，∴f (0)＜f (3)． ∴f (x )max ＝f (3)＝18－a ＝m ， ∴m －n ＝18－a －(－2－a )＝20. 答案：208．设函数f (x )＝12x 2e x ，若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )＞m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x e x＋12x 2e x ＝e x2·x (x ＋2)，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－2.当x ∈[－2,2]时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：∴当x ＝0时，f (x )min ＝f (0)＝0，要使f (x )＞m 对x ∈[－2,2]恒成立，只需m ＜f (x )min ，∴m ＜0. 答案：(－∞，0)9．设函数f (x )＝e x －k2x 2－x .(1)若k ＝0，求f (x )的最小值； (2)若k ＝1，讨论函数f (x )的单调性．解：(1)k ＝0时，f (x )＝e x －x ，f ′(x )＝e x －1. 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f (x )的最小值为f (0)＝1.(2)若k ＝1，则f (x )＝e x －12x 2－x ，定义域为R.所以f ′(x )＝e x －x －1，令g (x )＝e x －x －1，则g ′(x )＝e x －1，由g ′(x )≥0得x ≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增，由g ′(x )<0得x <0，所以g (x )在(－∞，0)上单调递减，所以g (x )min ＝g (0)＝0，即f ′(x )min ＝0，故f ′(x )≥0. 所以f (x )在R 上单调递增．10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)求a ，b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．解：(1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得， f (1)＝3×1＋1＝4，∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2，又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，而由切线y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3，∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－2，2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f ⎝⎛⎭⎫23＝9527，又∵f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.[B 级综合运用]11．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小值时t 的值为( ) A ．1 B.12 C.52D.22解析：选D 因为f (x )的图象始终在g (x )的上方，所以|MN |＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x ，设h (x )＝x 2－ln x ，则h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，令h ′(x )＝2x 2－1x ＝0，得x ＝22或x ＝－22(舍去)，所以h (x )在⎝⎛⎭⎫0，22上单调递减，在⎝⎛⎭⎫22，＋∞上单调递增，所以当x ＝22时有最小值，故t ＝22.12．(多选)设函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝f ′(x )x ，则下列命题正确的是( )A ．不等式g (x )＞0的解集为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞B ．函数g (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减C ．当x 1＞x 2＞0时，m 2()x 21－x 22＞f (x 1)－f (x 2)恒成立，则m ≥1 D ．若函数F (x )＝f (x )－ax 2有两个极值点，则实数a ∈(0,1)解析：选AC f (x )＝x ln x 的导函数为f ′(x )＝1＋ln x ，则g (x )＝f ′(x )x ＝1＋ln x x ，g ′(x )＝－ln xx 2，对于A ，g (x )＞0，即1＋ln x x ＞0，解得x ＞1e ，故A 正确；对于B ，g ′(x )＝－ln x x 2，当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0，g (x )在(0,1)上单调递增，故B 错误；对于C ，m 2()x 21－x 22＞f (x 1)－f (x 2)可化为f (x 2)－m 2x 22＞f (x 1)－m 2x 21.设φ(x )＝f (x )－m2x 2，又x 1>x 2＞0，∴φ(x )在(0，＋∞)上单调递减，∴φ′(x )＝1＋ln x －mx ≤0在(0，＋∞)上恒成立，即m ≥1＋ln x x 在(0，＋∞)上恒成立．又g (x )＝1＋ln xx在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g (x )在x ＝1处取得最大值，g (1)＝1，∴m ≥1，故C 正确；对于D ，若函数F (x )＝f (x )－ax 2有两个极值点，则f ′(x )＝1＋ln x －2ax 有两个零点，即1＋ln x －2ax ＝0有两个不等实根.2a ＝1＋ln x x ，又g (x )＝1＋ln xx在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，g (1)＝1，x →＋∞时，g (x )→0，即2a ∈(0,1)，a ∈⎝⎛⎭⎫0，12，故D 错误．故选A 、C.13．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a ＝________.解析：y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1， ∴函数在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．若a ＞－1，则最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12⎝⎛⎭⎫a ＝－32舍去；若a ≤－1，则最大值为f (－1)＝－1＋2＋3＝4≠154. 综上知，a ＝－12.答案：－1214．已知函数f (x )＝ln xx. (1)求f (x )在点(1,0)处的切线方程； (2)求函数f (x )在[1，t ]上的最大值．解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (x )的导数f ′(x )＝1－ln xx 2. (1)f ′(1)＝1，所以切线方程为y ＝x －1. (2)令f ′(x )＝1－ln xx 2＝0，解得x ＝e. 当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当1<t <e 时，f (x )在[1，t ]上单调递增， f (x )max ＝f (t )＝ln tt ，当t ≥e 时，f (x )在[1，e]上单调递增，在[e ，t ]上单调递减，f (x )max ＝f (e)＝1e，f (x )max＝⎩⎨⎧ln tt ，1<t <e ，1e ，t ≥e.[C 级拓展探究]15．已知函数f (x )＝ln x ＋ax .(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值．解：函数f (x )＝ln x ＋ax 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2，(1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增． (2)x ∈[1，e]时，分如下情况讨论： ①当a <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a <1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当a ＝1时，函数f (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为f (1)＝1，同样与最小值是32相矛盾；③当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e.④当a ＝e 时，函数f (x )在[1，e]上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，其最小值为f (e)＝2，这与最小值是32相矛盾；⑤当a>e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋ae>2，仍与最小值是32相矛盾；综上所述，a的值为 e.。

3.2.1单调性与最大(小)值(第二课时)课件(人教版)

= (x1 −
x2 −x1
x2 ) +
x 1 x2
1
)
x1
=
− (x2 +
1
)
x2
x1 −x2
(x1 x2
x1 x2
= (x1 − x2 ) +
1
(
x1
1
− )
x2
− 1).
由x1 , x2 ∈ (1, +∞)，得1 < x1 < x2 ，所以x1 x2 > 0, x1 x2 − 1 > 0.
又x1 < x2 ，所以x1 − x2 < 0，所以f(x1 ) − f(x2 ) < 0.即f(x1 ) < f(x2 ).
①存在x0∈I，使得f(x0)＝m
②对于任意x∈I，都有f(x)≥m
几何意义
函数y＝f(x)图象上
最高点的纵坐标
函数y＝f(x)图象上
最低点的纵坐标
常用的求函数最值的方法：
(1)利用函数图像判断最值.
(2)利用函数的单调性判断最值.
所以f(x1 ) − f(x2 ) < 0.即f(x1 ) < f(x2 ).
所以函数f(x) = −3 +
那么f(x)max = −3
1
在区间[2,4]上单调递增.
1−x

+
1−4
=
10
− ；f(x)min
3
= −3
1
+
1−2
= −4.
=
x1 −x2
.
(1−x1 )(1−x2 )
练习巩固
练习4：已知函数f(x) = x 2 − ax + 1.

高中数学单调性与最大(小)值教案(第二课时)新课标人教版必修1(A)

..专业. 单调性与最大〔小〕值(第二课时)教学目标：1.使学生理解函数最大〔小〕值及其几何意义；2.使学生掌握函数最值与函数单调性的关系；3.使学生掌握一些单调函数在给定区间上的最值的求法；4.培养学生数形结合、辩证思维的能力；5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。

教学重点：函数最值的含义教学难点：单调函数最值的求法教学方法：讲授法教学过程：〔I 〕复习回顾1．函数单调性的概念；2．函数单调性的判定。

〔II 〕讲授新课通过观察二次函数2y x =和2y x =-的最高点和最低点引出函数最值的概念〔板书课题〕1．函数最大值与最小值的含义一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：〔1〕对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；〔2〕存在0x I ∈，使得0()f x M =。

那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值〔maximum value 〕.思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数()y f x =的最小值〔minimum value 〕吗？2．二次函数在给定区间上的最值对二次函数2(0)y ax bx c a =++≠来说，假设给定区间是(,)-∞+∞，那么当0a >时，函数有最小值是244ac b a -，当0a <时，函数有最大值是244ac b a-；假设给定区间是[,]a b ，那么必须先判断函数在这个区间上的单调性，然后再求最值〔见以下例题〕。

3．例题分析例1．教材第36页例题3。

例2．求函数21y x =-在区间[2，6]上的最大值和最小值〔教材第37页例4〕。

分析：先判定函数在区间[2，6]上的单调性，然后再求最大值和最小值。

变式：假设区间为[6,2]--呢？例3．求函数21y x =+在以下各区间上的最值：〔1〕(,)-∞+∞ 〔2〕[1，4] 〔3〕[6,2]-- 〔4〕[2,2]- 〔5〕[2,4]-练习：教材第38页练习4及第二教材相关题目。

高中数学必修一课件 3.2.1 第二课时函数的最大(小)值

(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．
[解] 由(1)知 f(x)在[2,4]上单调递增，所以 f(x)的最小值为 f(2)＝2×2＋2＋1 1＝53，最大值为 f(4)＝2×4＋4＋1 1＝95.
[方法技巧] 利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． [提醒] (1)求最值勿忘求定义域． (2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
解：设售价为 x 元，利润为 y 元，单个涨价(x－50)元，销量减少 10(x－50)个，销量为 500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，则 y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000. 故当 x＝70 时，ymax＝9 000. 即售价为 70 元时，利润最大值为 9 000 元．
解析：∵f(x)＝1x在区间[1,2]上为减函数， ∴f(2)≤f(x)≤f(1)，即12≤f(x)≤1.
答案：1
1 2
题型一图象法求函数的最值问题
函数的最值和值域的联系与区别
(1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域．
(2)区别： ①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在； ②若函数的最值存在，则一定是值域中的元素，例如，函数 f(x)＝x2 对任意的 x∈R ，都有 f(x)≥－1，但是 f(x)的最小值不是－1，因为－1 不在 f(x)的值域内； ③若函数的值域是开区间(两端点都取不到)，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．
(1)求 y(万元)与 x(件)的函数关系式． (2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？

高中数学1.3.1函数的单调性与最大小值第2课时教学设计新人教A版必修1

1.3.1单调性与最大（小）值（第二课时）教学设计一、学情分析本节课是人教版《数学》（必修Ⅰ）第一章第3节函数的单调性与最大（小）值的第二课时，次要学惯用符号言语刻画函数的的最大（小）值，并能用函数的单调性和函数的图象进行一些常见函数最值的求值.在此之前，先生对函数曾经有了一个初步的了解，同时，由于上一节曾经学习函数单调性的定义，先生能初步理解用数学言语抽象概括函数概念的必要性和表达方式，为函数最值概念的构成提供极大帮助.因而本节课经过函数的图象，先生容易找出相应的最大值和最小值.但这只是感性上的认识.为了让先生有一个从具体到抽象、特殊到普通的认识过程，本节课经过设计成绩串，逐渐让先生用数学言语描述函数最值的概念，并利用对概念的辨析深化了解最值的内涵.二、教学目标：1．知识与技能（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.理解函数的最大（小）值是函数的全体性质.（2）能解决与二次函数有关的最值成绩，和利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值，掌握用函数的思想解决一些理论成绩.2．过程与方法经过日常生活实例，引导先生进行分析、归纳、概括函数最值的概念.并借助函数的单调性，从数到形，以形助数，逐渐浸透、培养先生数形结合思想、分类讨论思想、优化思想.3．情感、态度与价值观以丰富的实例背景引入，让先生领会数学与日常生活毫不相关.在概念的构成过程中，培养先生从特殊到普通、从直观到抽象的思想提升过程，让先生感知数学成绩求解途径与方法，享用成功的快乐.三、重点、难点：重点：建构函数最值的概念过程，利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值.难点：函数最值概念的构成.高一先生的逻辑思想和抽象概括能力较弱，面对抽象的方式化定义，容易产生思想妨碍.对此，本课紧紧捉住新旧知识间的内在联系，设置一系列成绩，让先生充分参与定义的符号化过程，从图形言语和自然言语向数学符号言语转化，逐渐打破难点.四、教学过程：（一）提出成绩，引入目标背景1：成绩1：求函数2)(x x f -=的最大值.意图：从熟习的二次函数动手，将求函数的最大值转化为研讨函数图象的最高点，引导先生经过图象分析.背景2：请看下图，这是某气象观测站某日00:00—24:00这24小时内的气温变化图.（图）成绩2：.（1）我们常说昼夜温差大，是指一天当中的最高温度和最低温度之差.请问，该天的最高气温是多少？（2）该图象能否建立一个函数关系？如何定义自变量？意图：明确是在函数背景下研讨成绩.回顾函数的定义和函数的表示法（图象法）师：我们称此时该函数的最大值是32.意图：启发先生明确函数图象中存在最高点与函数存在最大值之间是分歧的，即明确函数图象和函数解析式是反映函数关系的不同表现方式，从而无认识地培养先生以形助数解决成绩的认识，并引出课题——《函数的最大（小）值》（二）层层深化，概念建构成绩3：经过这两个成绩，我们能否用数学言语给出普通函数最大值的定义？意图：以具体实例为背景，让先生用数学言语来进行归纳表达，引导先生过渡到任意化的符号化表示，呈现知识的自然生成，领会从特殊到普通的思想.定义：普通地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(成立；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0.那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值.（预设：函数最大值定义中的第（1）点成绩不大，第（2）点容易被忽略。

高中数学必修一(人教版)《3.2.1 第二课时函数的最大(小)值》课件

因为－1＜x1＜x2⇒x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－x2＜0，所以 f(x1)－f(x2)＜0⇒f(x1)＜f(x2)，所以 f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知 f(x)在[2,4]上单调递增，所以 f(x)的最小值为 f(2)＝2×2＋2＋1 1＝53，最大值为 f(4)＝2×4＋4＋1 1＝95.
A．－1,0
B．0,2
()
C．－1,2
D.12，2
解析：由图可知，f(x)的最大值为 f(1)＝2，f(x)的最小值为 f(－2)＝－1. 答案：C
3．设函数f(x)＝3x－1(x＜0)，则f(x)
A．有最大值
B．有最小值
C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值
解析：∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，
[微思考] 若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)若对任意x∈I，都有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值．
()
(2)如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素．
(2)当 a＝1 时，f(x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为 x＝12. ①当 t≥12时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，所以 f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1； ②当 t＋1≤12，即 t≤－12时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，所以 f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1； ③当 t<12<t＋1，即－12<t<12时，函数 f(x)在t，12上单调递减，在12，t＋1上单调递增，所以 f(x)min＝f12＝34.

调性与最大小值第二课时课件

知识要点二：函数的最值与值域、单调性之间的关系
1．对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数 y＝1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
2．函数的最值与单调性的关系若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则 f(x)在[a，b]上的最大值为 f(a)，最小值为 f(b)；若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则 f(x)在[a，b]上的最大值为 f(b)，最小值为 f(a)．知识要点三：分段函数的最大、最小值函数的最大、最小值是函数的“整体”的性质，而对于分段函数的最大值或最小值，其最大值是各段上最大值中的最大者；其最小值是各段上最小值中的最小者．
思路点拨：阅读题目，理解题意，建立函数关系，利用函数解决有关问题．
解：(1)当每辆车的月租金为 3600 元时，未租出的车辆数为36005－03000＝12.所以这时租出了 88 辆车．
(2)设每辆车的月租金为 x 元．则租赁公司的月收益为 f(x)＝(100－x－530000)(x－150)－x－530000×50，整理得 f(x)＝－5x02 ＋162x－21000＝－510(x－4050)2＋307050. 所以，当 x＝4050 时，f(x)最大，最大值为 f(4050)＝307050.即当每辆车的月租金为 4050 元时，租赁公司的月收益最大．最大月收益为 307050 元．
，则 f(x)的最大值、最小值为(
A
)
(A)10,6 (B)10,8
(C)8,6 (D)以上都不对
解析：本题为分段函数最值问题，其最大值为各段上最大值中的最大者，最小值为各段
上最小值中的最小者．
当 1≤x≤2 时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x≤1 时，6≤x＋7≤8. ∴f(x)min＝ f(－1)＝6，f(x)max＝ f(2)＝10. 故选 A.

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提示可能为0，1，2. 2.在开区间内的连续函数f(x)在此开区间上只有一个极值点，那么这个极值是最
值点吗？提示是.
题型一求函数的最值【例1】求下列各函数的最值.
(1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]； (2)f(x)＝12x＋sin x，x∈[0，2π].
解 (1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， ∵f′(x)在[－1，1]内恒大于0，∴f(x)在[－1，1]上为增函数. 故当x＝－1时，f(x)min＝－12；当x＝1时，f(x)max＝2. 即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
【训练1】求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]； (2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正实数. 解 (1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2). 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
x －2 (－2，0) 0
问题1 图中所示函数最值点与最值分别是什么？提示最大值点是x＝2，最大值是3；最小值点是x＝0，最小值是－3. 问题2 图中所示函数的极值点与极值分别是什么？提示极大值点是x＝－2，极大值是2；极小值点是x＝0，极小值是－3. 问题3 一般地，函数的最值与函数的极值有什么关系？提示函数的最值可能是极值，也可能是区间端点的函数值.
(2)f′(x)＝12＋cos x，令 f′(x)＝0，又 x∈[0，2π]，解得 x＝23π或 x＝43π，计算得 f(0)＝0，f(2π)＝π，f23π＝π3＋ 23，f43π＝23π－ 23.
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
规律方法求解函数在定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.
1. 函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值函数的最大值与最小值最多只有一个，极大值与极小值则可能有多个 (1)函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b] 上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在_端__点__处或_极__值__点__处取得. (2)求函数y＝f(x)在[a，b]上最值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的__极__值__. ②将函数y＝f(x)的各极值与_端__点__处___的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是_最__大__值___，最小的一个是_最__小__值___.
A.极大值一定比极小值大
B.极大值一定是最大值
C.最大值一定是极大值
D.最大值一定大于极小值
解析由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于
极小值.
答案 D
2.(多空题)函数 f(x)＝13x3－x2－3x＋6 在[－4，4]上的最大值为________，最小值为________. 解析 f′(x)＝x2－2x－3，令 f′(x)>0，得 x<－1 或 x>3，令 f′(x)<0，得－1<x<3，故 f(x)
提示也可能在极值点处取到. 3.有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.( × )
提示有极值的函数不一定有最值，如图所示，导函数f(x)有极值，但没有最值.
4.函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值.(√ )
[微训练]
1.连续函数y＝f(x)在[a，b]上( )
(0，2)
2
(2，4) 4
f′(x)
＋(x) －37 ↗ 极大值3 ↘
极小值－5
↗
35
∴当x＝4时，f(x)取最大值35. 当x＝－2时，f(x)取最小值－37. 即f(x)的最大值为35，最小值为－37. (2)f′(x)＝e1x′－(ex)′＝－e1x－ex＝－1＋exe2x. 当x∈[0，a]时，f′(x)＜0恒成立，即f(x)在[0，a]上是减函数. 故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0. 即f(x)的最小值为e－a－ea，最大值为0.
2.最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言. (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有). (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点. (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单调递增，在(－1，3)上单调递减，故 f(x)的极大值为
f(－1)＝233，极小值为 f(3)＝－3，又 f(－4)＝－538，f(4)＝－23，故 f(x)的最大值为
f(－1)＝233，最小值为 f(－4)＝－538.
答案
23 3
－538
[微思考] 1.若函数的最大值与最小值所构成的集合为A，则A中的元素个数可能是多少？
第二课时函数的最大(小)值
课标要求
素养要求
1.能利用导数求某些函数的在给定闭区间上区别函数的极值和最大(小)值，
不超过三次的多项式函数的最大值、最小值. 借助于求函数的最大(小)值的运
2.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关算，提升学生的数学运算和直
系.
观想象素养.
新知探究
观察如图所示的函数y＝f(x)，x∈[－3，2]的图象，回忆函数最值的定义，回答下列问题：
如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值， f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.
拓展深化 [微判断] 1.函数的最大值不一定是函数的极大值.( √ ) 2.函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.( × )