中考数学专题复习——距离和差最值问题汇总

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关于定直线上的动点到两定点间距离和(差)的极值问题

关于定直线上的动点到两定点间距离和（差）的极值问题09年1月（08学年第一学期）的鄞州区初三数学期末试卷中最后一道题的第2小题：关于在一条直线上的动点到两定点间距离的和（或差）的极值问题，学生的得分率不高，大约为50%左右。

本着数学归类、归纳的理念，在这里把同一类问题作一整理、归纳、延展。

一、和的最小值问题例1、在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（一4,—1）和（-2,—5）;点P是y轴上的一个动点，求点P在何处时，PA + PB的和为最小？并求最小值。

解：（1）v点P在y轴上，.••以y轴为对称轴，作点B的对称点B i，连接AB i 与y轴交于点P，P点就是所求的点。

此时，PA + PB= PA + PB i =AB i;理由如下：取点P以外的点P i,可知，P i A + P i B = P i A + P i B i>AB = PA+ PB 所以P i A + P i B>PA^ PB即P为符合要求的点。

求点P的坐标，可用三角形相似或可以通过经过A、B i两点的直线解析式与y轴的交点坐标的方法。

点P为（0，-耳）3（2）求PA+ PB （AB i）的值，可用勾股定理来求。

即PA + PB = AB i =2 i3。

例2、已知菱形ABCD中，/ DAB = 60°; AB = 6，M为AB的中点，点P在对角线AC上，求点P在何处时，PM+ PB的和为最小？并求最小值。

解：（i）由上例可知，AC为对称轴，点B的对称点为点D，连接DM与AC的交点为点P，P点就是所求的点。

此时，PB+ PM = PD+ PM =DM。

（2）根据题意得，△ ABD为等边三角形，边长为i2，DM为边上的高线。

所以DM = 6 3，即PB+ PM = 6.3。

例3、在正方形ABCD中，AB = i2,点M在BC上，且BM = 5,点P在对角线BD上，求点P在何处时，PM + PC的和为最小？并求最小值。

2024年中考数学二轮专题复习：+复习线段和差的最大值与最小值(拔高)

中考二轮复习之线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小；（1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：PmABm A B mA B PmAB n QPnmP'Q'nm Q PnB Q PnmAB A'nm AB（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动AB E Dn A BA'B'nAPQ AA'mn Pm nA B m n A Pm nAB点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。

(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

初中数学线段和差最值问题（史上最全版）

初中数学线段和差最值问题（史上最全版）⼀、知识依据1．线段公理：两点之间，线段最短；2．对称的性质：①关于⼀条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三⾓形的三边关系：①三⾓形两边之和⼤于第三边；②三⾓形两边之差⼩于第三边。

4.垂直线段最短。

⼆、从“将军饮马”说起话说在古罗马时代，在亚历⼭⼤城有⼀位精通数学和物理的学者，名叫海伦。

⼀天，⼀位罗马将军专程去拜访他，向他请教⼀个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧B地开会，应该怎样⾛才能使路程最近？从此，这个被称为“将军饮马”的问题⼴泛流传。

这个问题的解决并不难，据说海伦略作思考就解决了它。

为了解决“将军饮马”问题，我们先看下⾯的问题。

（⼀）点A、B在直线m的异侧，在直线m上，求⼀点P，使PA+PB最⼩由两点之间线段最短知，由A到B⾛直线距离最短，所以连接AB与直线m交于点P，此时PA+PB最⼩。

我们选取除P之外的任意⼀点P’，由三⾓形的三边关系可以证明。

综上，我们可知点A、B在直线m异侧时，连接AB与直线m交于点P，即为所求。

搞清楚上⾯这个问题后，我们再来研究“将军饮马”问题就简单了。

（⼆）点A、B在直线m的同侧，在直线m上，求⼀点P，使PA+PB最⼩作图步骤：①作点A关于直线m的对称点A,②连接BA,，与直线L相交于点P③此时PA+PB最⼩。

看到这个问题后，我们会怎么思考呢？结合上⾯的问题及解答思路，我们会想到将直线m同侧的两个点转化到直线m异侧，那么问题就迎刃⽽解了。

所以，我们作A关于直线m的对称点A’（做B的对称点也⼀样），则将同侧的两点A、B转化到了异侧两点A’、B。

此时，连接A’B与直线m交于点P，即为所求。

综上，我们可知“将军饮马”问题转化为对称点，则问题就轻松解决了。

三、“将军饮马”的拓展延伸总结“将军饮马”问题，我们发现是两个顶点及定直线上的⼀个动点问题，那么接下来我们将刚才的问题进⾏升级。

中考数学专题复习求线段和差的最值问题(共26张PPT)

第一步寻找、构造几何模型
要求四边形MNFE F/
F
的周长最小？
使线段PO与PD之差最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标。
N
E
⑵练习①：当已M知点二在次何函处数时图，像AM的＋顶C点M坐的标值为最C小(3；，-2)，且在x轴上截得的线段AB的长为4，在y轴上有一点P，使△APC的周长最小，求P点
线段和差的最值问题解题策略一、两条线段和的最小值
例4:在矩形ABCD中，F是BC的三等分点，E是AB的二等分点，在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小？如
y 果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.
点A为 y 轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点O,直线BC交⊙A与点D。
（1）点A、B在直线m两侧：
（2）点A、B在直线同侧：
A
A
m B
m P
A
B
A
B m
B m
P
A'
一、求两条线段之和的最小值
例1：在△ABC中，AC=BC=2，
∠ACB=90O，D是BC边的中点，E是AB
上的一动点，则EC+ED的最小值
为
。
A
p
E
C
D
.
B
2、抛物线在坐标系中的位置如图：对在其称轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，请求出点P的坐标 .
举一反三
典例2 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F
在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿
直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小
值是
.
1.2
中考专题复习

中考专题复习、关于线段的长度和、差的最值问题、多边形周长的最值问题

BP专题四、关于线段的长度和、差的最值问题、多边形周长的最值问题题型一、关于“将军饮马”问题（若在坐标系中，有时结合坐标系中的四大金刚，会更加简单）例1、（2014•绵阳）如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象过点M （﹣2，），顶点坐标为N （﹣1，），且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线对称轴上的动点，当△PBC 为等腰三角形时，求点P 的坐标；★（3）在直线AC 上是否存在一点Q ，使△QBM 的周长最小？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．题型二、直接利用三点共线求最值例2．(2008年甘肃兰州) 如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点Q ，P ，则线段PQ 长度的最小值是（） A ．B ．C ．5D ．4.8【分析】看到如此熟悉的数据后，很自然想到∠ACB=90°，则PQ 是⊙F 的直径。

又PQ=CF+DF ，FD ⊥AB 。

显然当C 、F 、D 三点共线即CD ⊥AB 时，CF+DF 的值最小。

【解法】：设QP 的中点为点F ，该圆与AB 的切点为点D ，连接FD ，CF ，CD ，则FD ⊥AB ．∵ AB=10，AC =8，BC=6∴ AB 2=AC 2+BC 2，故∠ACB=90° ∴ PQ 是⊙F 的直径 ∴ FC+FD =PQ当C 、F 、D 三点不共线时，显然有CF +FD ＞CD∴ 当点F 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高CD 边上时，PQ=CD 有最小值此时CD=AC BCAB=4.8（运用的等面积法），故选D 类题演练1、如图，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为E F 中点，则则AM 的最小值为（）A ．2B ．2.4C ．2.6D ．32．(2008年甘肃兰州) 如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点E ，F ，则线段EF 长度的最小值是（） A ．B ．C ．5D ．4.84.754.753、在平面直角坐标系中有一斜边AB 为10的等腰直角三角板如图所置。

中考复习之线段和差最值之费马点问题-附练习题含参考答案

ABCP中考数学复习线段和差最值系列之费马点皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．言归正传，今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点．问题：在△ABC 内找一点P ，使得P A +PB +PC 最小．【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．以上依据似乎都用不上，怎么办？若点P 满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC 值最小，P 点称为该三角形的费马点．一、如何作费马点问题要从初一学到的全等说起：（1）如图，分别以△ABC 中的AB 、AC 为边，作等边△ABD 、等边△ACE ．（2）连接CD 、BE ，即有一组手拉手全等：△ADC ≌△ABE ．（3）记CD 、BE 交点为P ，点P 即为费马点．（到这一步其实就可以了）（4）以BC 为边作等边△BCF ，连接AF ，必过点P ，有∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°．在图三的模型里有结论：（1）∠BPD =60°；（2）连接AP ，AP 平分∠DPE ．有这两个结论便足以说明∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°．但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是∠BAC <120°，若120BAC ∠≥︒ ,这个图就不是这个图了，会长成这个样子：EB ACAB CDE此时CD 与BE 交点P 点还是我们的费马点吗？显然这时候就不是了，显然P 点到A 、B 、C 距离之和大于A 点到A 、B 、C 距离之和．所以，是的，你想得没错，此时三角形的费马点就是A 点！当然这种情况不会考的，就不多说了．二、为什么是这个点为什么P 点满足∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°，P A +PB +PC 值就会最小呢？归根结底，还是要重组这里3条线段：P A 、PB 、PC 的位置，而重组的方法是构造旋转！在上图3中，如下有△ADC ≌△ABE ，可得：CD =BE ．类似的手拉手，在图4中有3组，可得：AF =BE =CD ．巧的，它们仨的长度居然一样长！更巧的是，其长度便是我们要求的P A +PB +PC 的最小值，这一点是可以猜想得到的，毕竟最小值这个结果，应该也是个特别的值！接下来才是真正的证明：考虑到∠APB =120°，∴∠APE =60°，则可以AP 为边，在PE 边取点Q 使得PQ =AP ，则△APQ 是等边三角形．△APQ 、△ACE 均为等边三角形，且共顶点A ，故△APC ≌△AQE ，PC =QE ．以上两步分别转化P A =PQ ，PC =QE ，故P A +PB +PC =PB +PQ +QE =BE ．没有对比就没有差别，我们换个P 点位置，如下右图，同样可以构造等边△APQ ，同样有△APC ≌△AQE ，转化P A =PQ ，PC =QE ，显然，P A +PB +PC =PB +PQ +QE >BE ．还剩下第3个问题！如果说费马点以前还算是课外的拓展内容，那现在，已经有人把它搬上了中考舞台！【中考再现】问题背景：如图1，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：P A +PC =PE ．问题解决：如图2，在△MNG 中，MN =6，∠M =75°，MG=O 是△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值是______．【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，直接来解决就好了！如图，以MG 为边作等边△MGH ，连接NH ，则NH 的值即为所求的点O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值．（此处不再证明）过点H 作HQ ⊥NM 交NM 延长线于Q 点，根据∠NMG =75°，∠GMH =60°，可得∠HMQ =45°，∴△MHQ 是等腰直角三角形， ∴MQ =HQ =4，∴NH== 练习题1.如图，在△ABC 中，△ACB=90°，AB=AC=1，P 是△ABC 内一点，求P A +PB +PC 的最小值．2. 如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．NG图2图1ABCD EPHGN M464Q HGN MABCDME3.如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=15，现在要找两点E、F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为__________4.如图，等腰Rt∆ABC中，AB=4，P为∆ABC内部一点，则PA+PB+PC的最小值为_______5.如图，∆ABC中，AB=4，,∠ABC=75°，P为∆ABC内的一个动点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值为________6.如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB=2，则PA+PB+PC的最小值为______7.在Rt∆ABC中，∠ACB=90°，AC=1，，点O为Rt∆ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，则OA+OB+OC=_______8.如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=BC=3，AD=4，∠BAD=90°，点P是四边形内部一点，则PA+PB+PD的最小值是______9.如图，点P是矩形ABCD对角线BD上的一个动点，已知AB=2，，则PA+PB+PC 的最小值为_______10.如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则PA+PB+PD的最小值为__________11.已知，在∆ABC中，∠ACB=30°点P是ABC内一动点，则PA+PB+PC的最小值为__________12.如图，设点P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2则PC的最大值为______13.如图，设点P到正方形ABCD两顶点A、D的距离为2PC的最大值为________14.如图，设点P到正方形ABCD两顶点A、D的距离为2则PO的最大值为_________.15.如图，在Rt∆ABC中，∠BAC=90⁰，AB=AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD 绕点A逆时针旋转90⁰，得到AE，连接CE、DE，点F是DE的中点，连接CF问题：在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小，当PA+PB+PC 取最小值时，AP的长为m，用含有m的式子表示CE的长.参考答案1.7.8.7 9.3 10. 12.2+13.2+1 15.32m +。

中考数学复习《最值问题》

解：如图，∵高为 12 cm，底面周长为 10 cm，在容器内壁离容器底部 3 cm 的点 B 处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿 3 cm 与饭粒相对的点 A 处，∴A′D＝5 cm，BD＝12－3＋AE＝12(cm)，∴将容器侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A′，连结 A′B，则 A′B 即为最短距离，A′B＝ A′D2＋BD2＝ 52＋122＝13(cm)
解：(1)如图所示 (2)如图，即为所求
(3)作点 C 关于 y 轴的对称点 C′，连结 CP，B1C′交 y 轴于点 P，则点 P 即为所求．设直线 B1C′的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，
－2k＋b＝－2， k＝2， ∵B1(－2，－2)，C′(1，4)，∴ 解得 k＋b＝4， b＝2，
7．图1、图2为同一长方体房间的示意图，图3为该长方体的表面展开图．
(1)蜘蛛在顶点A′处．
①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；
②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花
板ABCD爬行的最近路线A′GC和往墙面BB′C′C爬行的最近路线A′HC，试通过计算判断哪条路线更近；
两点距离之差的绝对值最大时，点P在直线AB上．先运用待定系数法求出直
线AB的解析式，再令y＝0，求出x的值即可．
解：由题意可知，当点 P 到 A，B 两点距离之差的绝对值最大时，点 P 在直线 AB 上．设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b，
b＝1， k＝1， ∵A(0，1)，B(1，2)，∴ 解得 ∴y＝x＋1， k＋b＝2， b＝1，
令 y＝0，得 0＝x＋1，解得 x＝－1，∴点 P 的坐标是(－1，0)

中考数学总复习资料：第3讲《最值问题》精品总结

第三讲最值问题最值问题的解决方法通常有两种： 1.运用代数证法：① 运用配方法求二次三项式的最值； ② 运用一元二次方程根的判别式。

2. 应用几何性质：① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ② 两点间线段最短；③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

④数轴表示两点间距离。

1）代数最值问题1设x 、y 为实数，代数式5x 2+4y 2－8xy+2x+4的最小值为2.x 的值为_________。

3.|x+1|+|x-1|的最小值是|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值是多少？4.定义：对于数轴上的任意两点A ，B 分别表示数1,2x x ，用12x x -表示他们之间的距离；对于平面直角坐标系中的任意两点1122(,),(,)A x y B x y 我们把1212x x y y -+-叫做A ，B 两点之间的直角距离,记作d （A ，B ）．（1）已知O 为坐标原点，若点P 坐标为（－1，3），则d (O,P )＝_____________;（2）已知C 是直线上y ＝x ＋2的一个动点，①若D （1，0），求点C 与点D 的直角距离的最小值；②若E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，请直接写出点C 与点E 的直角距离的最小值．x5.某工厂计划为震区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m3，一套B 型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m3，工厂现有库存木料302m3。

（1）有多少种生产方案？（2）现要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用。

（总费用=生产成本+运费）重点：对称形最值问题6.正方形的边长为，是的中点，是对角线上一动点，则的最小值是7.河岸两侧有、两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短8. ，是内一点，，、分别是和上的动点，求周长的最小值。

动点到两定点距离之和与差的最值

动点到两个定点的距离之和（差）的最值2011年11月中旬 1、2班用高中数学经常碰到有关求某曲线上的一个动点到两定点的距离之和（差）的最值．此问题不弄清原理常感到束手无策，无从下手。

本讲就此类最值问题常见题型作常规探索。

一、直线上的动点到直线外两个定点的距离之和（差）的最值例1、（1）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P 是x 轴上任意一点，则PB PA +的最小值为，此时点P 的坐标为；（2）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P 是x 轴上任意一点，则PB PA -的最大值为，此时点P 的坐标为．变式：（1）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P 是x 轴上任意一点，则PB PA +的最小值为，此时点P 的坐标为；（2）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P 是x 轴上任意一点，则PB PA -的最大值为，此时点P 的坐标为．小结：①当两定点位于直线的时可求得动点到两定点的距离之和的最小值；②当两定点位于直线的时可求得动点到两定点的距离之差的绝对值的最大值．例2、函数y =的值域为．例3、（创新#29 3P ）已知以1(2,0)F -，2(2,0)F 为焦点的椭圆与直线40x +=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长是二、圆锥曲线上的动点到两个定点的距离之和（差）的最值．（一）直接求解或利用椭圆（或双曲线）的定义进行适当转化后求解．例4、（1）已知A(4，0)和B(2，2)，M 是椭圆221259x y +=上的动点，则MA MB - 的范围是；（2）已知A(4，0)和B(2，2)，M 是椭圆221259x y +=上的动点，则MA MB +的最大值是．例5、 (1)已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，A(4，1)，P 是双曲线右支上的动点，则PA PF +的最小值为；(2)已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，A(1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则点PA PF +的最小值为．（二）利用圆锥曲线的统一定义将圆锥曲线上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离进行互化后进行求解．例6、（1）已知点A(2，2)，F 是椭圆的右焦点，P 是椭圆221259x y +=上的动点，则 54PF PA +的最小值是，此时，点的坐标为；（2）已知点A(5，2)，F 是双曲线的右焦点，P 是双曲线221169x y -=上的动点，则45PF PA +的最小值是，此时点的坐标为．例7 （1）抛物线28y x =的焦点为F ，A(4，-2)为一定点，在抛物线上找一点M ，当MA MF +为最小值时，点M 的坐标为；（2）P 为抛物线24y x =上任一点，A(3，4)为一定点，过P 作PH 垂直y 轴于点P H ，则PA PH +的最小值为．例8、（创新P39 3#）已知直线1:4360l x y -+=，2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到两直线距离之和的最小值是。

中考复习线段和差的最大值与最小值拔高

中考二轮复习之线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

填空题：1．如图，正方形的边长为2，E为的中点，P是上一动点．则的最小值是．2．如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，⊥，∠60°，P是上一动点，则的最小值是．3．如图，在锐角△中，＝42，∠＝45°，∠的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是．4．如图，在四边形中，∠＝90°，∥，＝4，＝5，＝6，点P 是上一个动点，当＋的和最小时，的长为．5．已知A(－2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，若＋长度最小，则最小值为．若—长度最大，则最大值为．6．如图，是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠＝30°，B为弧的中点，P是直径第1题第2题第3题第4题上一动点，则＋的最小值为．7、如图，菱形中，2，∠120°，点P，Q，K分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为8、如图，正方形的边长是2，∠的平分线交于点E，若点P、Q 分别是和上的动点，则的最小值为．综合题：1．如图，∠45°，P是∠内一点，10，Q、R分别是、上的动点，求△周长的最小值．2．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M(m，0），N(0，n),使四边形的周长最短？若存在，请求出m＝，n＝（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．中考赏析：1．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，50、B到直线X的距离分别为10和40，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1＝＋，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接'交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2＝＋．（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2＝＋的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．2．如图，抛物线y＝x2－x＋3和y轴的交点为A，M为的中点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长．3、在x轴的正半轴上，2，3，过点B作⊥，交于点D．将∠绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当经过（1）中抛物线的顶点时，求的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且＝1，要使四边形的周长最小，求出P、Q两点的坐标．4．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形的周长最短．5、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，3，4，D为边的中点.（1）若E为边上的一个动点，当△的周长最小时，求点E 的坐标；（2）若E、F为边上的两个动点，且2，当四边形的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)1.直线24=0上有一点P，它与两定点A（4，-1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是 .2.已知A、B两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车（看成点P）在x轴上行驶．试确定下列情况下汽车（点P）的位置：（1）求直线的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A、B两村距离之差最大？（2）汽车行驶到什么点时，到A、B两村距离相等？3. 如图，抛物线y＝－x2－x＋2的顶点为A，与y轴交于点B．(1)求点A、点B的坐标；(2)若点P是x轴上任意一点，求证：－≤；(3)当－最大时，求点P的坐标.y xC B AD O Ey4. 如图，已知直线y ＝21x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点两点，D ，抛物线y ＝21x 2＋＋c 与直线交于A 、E 与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1，0)．（1）求该抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使－的值最大，求出点M 的坐标．5. 如图，直线y ＝－x ＋2与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，点A 为y 轴正半轴上的一点，⊙A 经过点B和点O ，直线交⊙A 于点D ．（1）求点D 的坐标；（2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段与之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标．若不存在，请说明理由．好题赏析：原型：已知：P是边长为1的正方形内的一点，求＋＋的最小值．例题：如图，四边形是正方形，△是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接、、．（1）求证：△≌△；（2）①当M点在何处时，＋的值最小；②当M点在何处时，＋＋的值最小，并说明理由；（3）当＋＋的最小值为＋1时，求正方形的边长．变式：如图四边形是菱形，且∠＝60，△是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接、、，则下列五个结论中正确的是（）①若菱形的边长为1，则＋的最小值1；②△≌△；③S四边形四边形；④连接，则⊥；⑤当＋＋的最小值为2时，菱形的边长为2．A．①②③B．②④⑤C．①②⑤三、其它非基本图形类线段和差最值问题1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。

中考压轴题分类专题二《线段和差的最值问题》

中考压轴题分类专题二——线段和差的最值问题基本题型：一、两线段和的最小值：已知两点A 、B 与直线l ，直线l 上有一动点P ，求PA +PB 的最小值。

求出A 点关于直线l 的对称点/A ，连接B A /交直线l 于点P ，则点P为所求最小值所取的点，()min /PB PA B A +=。

本题可转化为求ABP ∆的周长的最小值。

拓展：已知两点A 、B 与两直线1l 与2l ，动点P 在1l 上，动点Q 在2l 上，求AP +PQ +QB 的最小值。

求出A 点关于直线1l 的对称点/A ，再求出B 点关于直线2l 的对称点/B ，连接//B A 分别交直线1l 于点P、交直线2l 于点Q ，则P 、Q 为所求最小值所取的点，()min //QB PQ AP B A ++=。

本题可转化为求四边形APQB 的周长的最小值。

二、两线段差的最大值：已知两点A 、B 与直线l （AB 与l 不平行且在l 同侧），动点P 在l 上，求maxPBPA -。

连接AB 并延长交直线l 于点P ，则点P 为所求最大值时所取的点，maxPB PA AB -=。

yxOBA/PA所需知识点：一、中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫⎝⎛++222121y y ,x x 。

拓展：三角形的重心（三中线交点）公式：已知ABC ∆的顶点分别为()()()332211y ,x C ,y ,x B ,y ,x A ，则ABC ∆的重心G 为⎪⎭⎫⎝⎛++++3,3321321y y y x x x 。

二、直线的斜率：直线的斜率是指直线与x 轴正方向所成角α的正切值。

00900<<α时，0t a n >=αk ；0018090<<α时，()0180t a n t a n 0<--==ααk 。

已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2121x x y y k PQ --=。

2023年安徽中考数学总复习专题：最值问题(PDF版,有答案)

2023年安徽中考物理总复习专题：最值问题类型一单动点求两线段和的最小值将军饮马问题：两点在一直线同侧时，作一个点的对称点与另一个点连接，所得线段的长即为所求。

典例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，点P是边BC上一动点，点D在边AB上，且BD=14AB，则PA+PD的最小值为（）A．8B．43C．213D．833【思路】作D关于BC的对称点E，连接AE交BC于P，则PA+PD的值最小，过E作EF⊥AC交AC的延长线于F，过D作DH⊥AC于H，则DH＝EF，DH∥BC，根据勾股定理即可得到结论．解：作D关于BC的对称点E，连接AE交BC于P，则PA+PD的值最小，过E作EF⊥AC 交AC的延长线于F，过D作DH⊥AC于H，则DH＝EF，DH∥BC，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，∴AC=12AB＝4，∠ADH＝∠B＝30°，∵BD=14AB＝2，∴AD＝6，CF=12DE=12BD＝1，∴AF＝5，∴DH=AD2―AH2=33，∴EF＝33，∴AE=AF2+EF2=213，∴PA+PD的最小值为213．【总结】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．针对训练1如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD＝5，BE＝6，P是AD上的一个动点，连接PE，PC，则PC+PE的最小值是（）A．5B．6C．7D．8类型二求一条线段的最小值垂线段最短典例2如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD＝3，则PE的最小值是　．【思路】过P作PE⊥OB于E，根据垂线段最短得出此时PE的长最小，根据角平分线的性质得出PE＝PD，再求出答案即可．解：过P作PE⊥OB于E，此时PE的长最小，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD，∵PD＝3，∴PE＝3，即PE的最小值是3．【总结】本题考查了垂线段最短和角平分线的性质，能找出当PE最小时点E的位置是解此题的关键．针对训练2如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线l∥AB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为．类型三双动点求两线段和的最小值将军饮马问题与垂线段最短的综合典例2如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC 于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是．【思路】根据对称性，过点F作FG⊥AC交AD于点Q，连接BG交AD于点E，此时BG＝BE+EF，当BG垂直于AC30°直角三角形的边的性质即可求解．解：方法一：如图1所示：在AC边上截取AB′＝AB，作B′F⊥AB于点F，交AD于点E，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠B′AE，AE＝AE，∴△ABE≌△AB′E（SAS）．∴BE＝B′E，∴B′F＝B′E+EF＝BE+EF，∵垂线段最短，∴此时BE+EF最短．∵AB＝AB′＝6，∠BAC＝30°，∴B′F=12AB′＝3．方法二：如图2所示：在AC边上截取AG＝AF，连接BG交AD于点E，作BH⊥AC于点H，同方法一：得△AEG≌△AFG（SAS）∴EG＝EF，∴BG＝BE+EG＝BE+EF，当BG垂直于AC时最短，即BH的长最短，∵AB＝6，∠BAC＝30°，∴BH＝3．【总结】本题考查了最短路线问题、角分线的性质、含30度角的直角三角形，解决本题的关键是作对称点．针对训练3 已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（）A．5B．3C．245D．72针对训练4 在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠BCD＝45°，BC＝23+2，BD平分∠ABC，若P，Q分别是BD，BC上的动点，则CP+PQ的最小值是（）A．23+2B．3+3C．22+2D．2+4类型四一点两线求周长最小值根据轴对称的性质，结合三角形三边关系定理典例4 如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15，若在OA、OB上分别有动点M、N，则△PMN周长的最小值是（）A．5B．15C．20D．30【思路】根据题意画出符合条件的图形，求出OD＝OE＝OP，∠DOE＝60°，得出等边三角形DOE，求出DE＝15，求出△PMN的周长＝DE，即可求出答案．解：作P关于OA的对称点D，作P关于OB的对称点E，连接DE交OA于M，交OB 于N，连接PM，PN，则此时△PMN的周长最小，连接OD，OE，∵P、D关于OA对称，∴OD＝OP，PM＝DM，同理OE＝OP，PN＝EN，∴OD＝OE＝OP＝15，∵P、D关于OA对称，∴OA⊥PD，∵OD＝OP，∴∠DOA＝∠POA，同理∠POB＝∠EOB，∴∠DOE＝2∠AOB＝2×30°＝60°，∵OD＝OE＝15，∴△DOE是等边三角形，∴DE＝15，即△PMN的周长是PM+MN+PN＝DM+MN+EN＝DE＝15．【总结】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．针对训练5 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．60°B．90°C．100°D．120°类型五求两条线段差的最大值两点在一直线两侧时，作一个点的对称点，再将对称点与另一点连接所得线段的长。

几何距离(和,差)最值问题

11、在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点. 若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，则点F的坐标为.
12、如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则的最大值等于．
几何距离（和、差）
1、如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）
A． B．1C．2D．2
2、菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别为8、6，点P是对角线上AC的一个动点，点M、N分别是的AB、CB中点，则PM+PN的最小值是.
A． B． C． D．
4、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为______。
5、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是______。
6、如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是______．
7、如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是__________。
2、在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线上的动点，A（1，0），B（2，0）是轴上的两点，则PA+PB的最小值为___________。