高斯光束的传输变换学习笔记

2
1
高斯光束的ABCD法则
3、用q参数表示
1 由q参数的定义： q(z)
1 R(z)
i
2(可z ) 知q参数将R(z)和ω(z)联系在一起了，
可以求得：
1 R(z)
Re
1 q(z)
1 2( z )
Im
1 q(z)
令q0=q(0)，则：
1
q0
1 R(0)
i
2(0)
Q
R(0)
,(0)
0
q0
i
2 0
if
通过这些公式，我们可以用高斯光束的q参数来描述高斯光束。
以上三组参数都可以用来确定高斯光束的具体结构，需要根据实际问题 来灵活选择使用哪种参数。
高斯光束通过薄透镜的传输
普通球面波波前曲率半径的传播规律
x
R1(z) z
1 L
R2(z) R1(z) (z2 z1) R1(z) L
q2
Aq1 Cq1
B D
该式表示了类透镜介质中传播的高斯光束的传输变换规则，可以证明，
高斯光束在其他光学元件上透射或反射都遵循这一规则，则以规则称
为高斯光束q参数变换法则，简称ABCD法则。
需要注意的是ABCD法则同光线传播规则虽然都是用光线矩阵来描述， 但是高斯光束的ABCD法则不同于光线传输的矩阵乘法。
R2
i
2 1
R2为等相位面曲率半径，由球面 波球率半径的变换公式可得：
1 R1
1 F
i
2 1
1 q1( z )
1 F
高斯光束通过薄透镜的传输
通过将上面推出的公式同球面波的传播特性公式相比较，
可以看到无论是在对自由空间的传播或对通过光学系统的 变换，高斯光束的q参数都起着和普通球面波的曲率半径R 相同的作用，因此有时将q参数称作高斯光束的复曲率半 径；
高斯光束通过薄透镜的传输
例：以焦距为f的薄透镜为例
薄透镜的光线矩阵为
A
C
B D
1 1
F
0
1
则由ABCD法则可以得到
q2
q1A q1C
B D
1 q2
1 q1
1 F
(1)
考虑到：
1 q(z)
1 R(z)
i
2( z )
1
q1 1
1 R1 1
i
2 1
i
q2 R2
2 2
高斯光束的传输变换
高斯光束的ABCD法则
前面得到了类透镜介质中高斯光束参数q(z)的复数表达形
式：
q0 cos
q(z)
k2 k
z
k k2
sin
k2 k
z
q0
k2 k
sin
k2 k
z
cos
k2 k
z
q0是由边界条件求出的光束初始条件，将上式同前面得到 的光线矩阵比较：
A
C
B
高斯光束通过光学元件时q参数的变换规律可以类似的用
光线矩阵表示出来：
q2(
z)
Aq1( z ) Cq1( z )
B D
由前面的讨论我们知道可以用q参数描述一个高斯光束的
具体特征，而且可以通过q参数和ABCD法则很方便的描述
一个高斯光束在通过光学元件时的传输规律，因此我们将
主要采用q参数来分析薄透镜高斯光束传输问题。
2
通可过以整得理到通q的过表长达度式为可L的以均得匀到介：质q(后z)的qi参数2为0 ：z q0 z
其中q2=qq(z22()z，) q1=qq1(1z(z)1)分(z别2 为zz1)1和 zq21面(z处) 的Lq参数；
高斯光束通过薄透镜的传输
透过薄透镜传播的高斯光束q参数 变换
0
M1
1(l )
M2
2(l) 0 '
由薄透镜性质可知，在紧靠薄透
镜的M1和M2两个面上的光斑大小
和强度分布是一样的，即：
R1
R2
1(l) 2(l) (1)
l
l'
可以证明经过薄透镜变换后在像 Z=0
方继续传输的光束仍为高斯光束。 1 1 1
从q参数表达式以及1式可以得到： q2(z)
R2
i
2 2
高斯光束经过变换之后仍然为高斯光束
高斯光束的ABCD法则
高斯光束的特征参数
1、由(1)、(2)式可知，只 要确定了束腰的位置和半
2( z )
2 0
1
z
2 0
n
2
2 0
1
z2
z
2 0
(1)
R(z)
z
1
2 0
n
z
2
z
1
z
2 0
z2
(2)
径ω0，就可以确定任何位 置的光束半径和等相位面
0
1
R1( z ) o
当球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前
z1
R2(z)
z2 z
曲率半径满足：
L
1 1 1 R2(z) R1(z) F
R2(z)
R1 R1 / F
1
1
1/
F
0
1
F
将上面两式与光线矩阵相比较可以得到球面
波的传播规律：
R2(
z)
AR1( z ) CR1( z )
B D
R1(z)
D
cos
k k
2 0
z
k k
2 0
sin
k k
2 0
z
k k
0 2
sin
k k
2 0
z
cos
k k
2 0
z
q(z) Aq0 B Cq0 D
高斯光束的ABCD法则
按照光线矩阵规则，ABCD矩阵元构成的光线矩阵是表示输出平面上和 输入平面上光线参数之间的关系，因此我们取：
R2(z)
高斯光束通过薄透镜的传输
高斯光束q参数的变换规律
高斯光束在近轴部分可以看作一系列非均匀、曲率中心不断改变 的球面波，也具有类似于普通球面波的曲率半径R的参数，即q参 数：
1 q(z)
1 R(z)
i
2( z )
其中
R(z)
z
1
2 0
z
2
2( z )
2 0
1
z
2 0
代上入面到的(第1)一式个中公，式并表且明比薄较透实镜部两与面虚的部高得斯到光：束2光斑1半; 径R1相2 同R1，1 这F1与薄透
镜的特性是一致的；第二个公式表明薄透镜两面等相位面的曲率半径满
足成像公式，即球面中心是关于该透镜的共轭像点，这与薄透镜对球面
波成像的规律是一致的。
高斯光束通过薄透镜的传输
我们比较一下下面两个公式：
1 1 1; q1 q2 F
11 1 R1 R2 F
由这两个公式我们可以看出高斯光束参数q(z)与球面波曲
率半径R(z)之间的相似性，称q(z)为高斯光束的复曲率半径，
其表达式为：
1 1 i
q
R
2 0
当 0时，上式可以得出 q R而此时我们讨论的对象
已经从波动光学过渡到了几何光学。
(
z)
tan
1
z
2 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
tan
1
z z0
(3)
半径等参数；
z
0
2 0
n
(4)
2、当确定了某一确定位置 z处的ω(z)和R(z)后，也
1
0
(
z)
1
2( z ) R(z)
2
2
可以通过(1)、(2)式求出 束腰位置及大小；
z
R(z)
1
R(z) 2( z )