高斯光束的传输变换学习笔记
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高斯光束q参数的变换规律
真空电子技术
Klystron,
TWT, BWO…
0.2 ~ 2.0 0.1
< 100 uW 10-9 ~ 10-12
Joule
目前应用较多的 THz 源； 用于成像系统， 功率低。
1~100 mW 随频率提高， 输出功率显著下 降；最高频率小 于 1 THz。
THz 技术在国防上的重要作用。
● THz 雷达可成为未来高精度雷达的发展方向:
其中：
Rz
z1
f z
2
z
1
w02 z
2
w2 (z)
w02
1
z f
2
w02
1
z w02
2
经整理后可得： qz i w02 z if z q(0) z
高斯光束在自由空间由z1经距离L传播到z2,q的规律为 ：
qz2 qz1 z2 z1 qz1 L
2 0
w02
1
w2
w2 R
÷÷2
B 4 (A D)2 2 (1 AD)
利用ABCD矩阵很容易求出复杂光学谐振腔的基模参数
高斯光束的匹配
若使一个稳定腔所产生的高斯光束与另一个稳定腔产生 的高斯相匹配，需在合适的位置放置一个焦距适当的透镜， 使两束高斯光束互为物象共轭光束。该透镜称为模匹配透镜。
高斯光束的ABCD定律
如果复参数q1的高斯光束顺次通过传输矩阵
M1
A1 C1
B1
D
1
M2
A2 C2
B2 • • • • • •
D2
Mn
An Cn
Bn
Dn
总矩阵元M：
A M C
B D
An Cn
Klystron,
TWT, BWO…
0.2 ~ 2.0 0.1
< 100 uW 10-9 ~ 10-12
Joule
目前应用较多的 THz 源； 用于成像系统， 功率低。
1~100 mW 随频率提高， 输出功率显著下 降；最高频率小 于 1 THz。
THz 技术在国防上的重要作用。
● THz 雷达可成为未来高精度雷达的发展方向:
其中：
Rz
z1
f z
2
z
1
w02 z
2
w2 (z)
w02
1
z f
2
w02
1
z w02
2
经整理后可得： qz i w02 z if z q(0) z
高斯光束在自由空间由z1经距离L传播到z2,q的规律为 ：
qz2 qz1 z2 z1 qz1 L
2 0
w02
1
w2
w2 R
÷÷2
B 4 (A D)2 2 (1 AD)
利用ABCD矩阵很容易求出复杂光学谐振腔的基模参数
高斯光束的匹配
若使一个稳定腔所产生的高斯光束与另一个稳定腔产生 的高斯相匹配，需在合适的位置放置一个焦距适当的透镜， 使两束高斯光束互为物象共轭光束。该透镜称为模匹配透镜。
高斯光束的ABCD定律
如果复参数q1的高斯光束顺次通过传输矩阵
M1
A1 C1
B1
D
1
M2
A2 C2
B2 • • • • • •
D2
Mn
An Cn
Bn
Dn
总矩阵元M：
A M C
B D
An Cn
几何光学中的光线传输矩阵高斯光束通过光学元件的变换
g1g2
0 g1g2 1
L
L
g1,2
1 2 f1,2
1
R1,2
rs为实数 rs Ce js C*e js
or
rs rmax sins
r0 rmax sin
r1 Ar0 B0 rmax sin
cos A D
2
rmax,
rs
n次往返传播矩阵:
Tn
1
sin
Asin n sinn 1
几何光学中的光线传输矩阵 （ABCD矩阵）
和
高斯光束通过光学元件的变换－ ABCD公式
一、几何光学中的光线传输矩阵（ABCD矩阵）
r z
正,负号规定:
2. 自由空间区的光线矩阵
B
r0 ,0
r,
A
L
1. 表示光线的参数
r － 光线离光轴的距离 － 光线与光轴的夹角
傍轴光线 dr/dz = tan sin
L
1
B
L 2
L f2
C
1 f1
1 f2
1
L f1
D
L f1
1
L f1
1
L f2
rs1 Ars Bs
or
s
1 B
rs1
Ars
s1
1 B
rs2 Ars1
Crs Ds
1 B
rs2
Ars1
Crs
D B
rs1
Ars
rs2
2(
A
2
D
)rs
1
AD
BCrs
0
AD BC 1
rs2
A处 qA = q0+ l
C处 qc= qB+ lc
3.10_高斯光束的传输与透镜变换
二、高斯光束通过薄透镜的变换
联系：如果ω0→0（即f→0），或（l-F）2＞＞f2，
则有： l ' F F 2 lF F 2 F 2 lF
lF
lF
lF
即：
1 lF 1 1 l ' lF F l
1 1 1 l l' F
这正是几何光学成像公式。
（l-F）2＞＞f2，意味着物高斯光束束腰与透镜后焦 面相距足够远。
1. 普通球面波
V的符号规定： 如果像点在透镜右方，v取正号； 如果像点在透镜左方，v取负号。 一个薄透镜的作用，是将距它u处的物点O聚成像
点O’，u与v满足： 1 1 1 uv F
二、高斯光束通过薄透镜的变换
1. 普通球面波 由于R1=u，R2=-v，则有：
111
R1 R2 F
一个薄透镜的作用，是将它左侧的曲率半径 为R1的球面波改造成右侧的曲率半径为R2的球面 波，R1与R2满足上式。
(z) 0
1 (
z )2 f
0
1
z
2
(02
)2
可见：
①高斯光束R(z)的变化规律与普通球面波不同；
②对高斯光束，除R(z)的变化，还有ω(z)的变化。
一、高斯光束在空间的传输规律
2. 高斯光束
R(z1)
z
f2 z
z 1 (02 )2 z
(z) 0
1 (
z f
)2
0
1 z2( )2 02
一、高斯光束在空间的传输规律
即：
q(z) q(0) z q(z1) q(0) z1 q(z2 ) q(0) z2 q(z2 ) q(z1) (z2 z1)
与普通球面波在形式上是相同的。
光学谐振腔理论-第8节-高斯光束的传输
05 高斯光束的未来发展与应 用
高斯光束在光学通信中的应用
高速光通信
高斯光束在光学通信中具有较高的传输速度和较低的信号衰减，有助于实现高 速、大容量的光通信系统。
远程通信
高斯光束具有较好的光束质量和传输稳定性，适用于长距离的光纤通信，有助 于实现远程、稳定的通信连接。
高斯光束在光学传感中的应用
03 高斯光束的调制与控制
高斯光束的相位调制
01
相位调制是指通过改变高斯光束的相位分布来改变其波前的状 态。
02
常见的相位调制方法包括利用液晶空间光调制器、光栅或其他
光学元件对高斯光束进行相位调制。
相位调制在光学通信、光学传感和光学计算等领域有广泛应用，
03
可以实现光束的聚焦、散焦、波形转换等功能。
高斯光束的波前测量
波前测量概述
波前是描述光束相位变化的物理量，高斯光束的波前测量有助于 了解光束的传播特性和干涉、衍射等光学现象。
波前测量方法
常用的波前测量方法有干涉法、散斑法、剪切干涉法等，可以根据 高斯光束的特点和测量精度要求选择合适的方法。
测量误差来源
波前测量误差主要来源于光束的聚焦、光束截面分布、光学元件的 误差等因素。
高斯光束的聚焦特性
聚焦原理
高斯光束经过透镜聚焦后，其横截面 上的强度分布会发生变化，形成明暗 相间的干涉条纹。
干涉条纹
干涉条纹的形状取决于透镜的焦距和 光束的束腰半径。当透镜焦距一定时 ，束腰半径越小，干涉条纹越密集； 反之，则越稀疏。
02 高斯光束在光学谐振腔中 的应用
光学谐振腔对高斯光束的影响
偏振态调制是指通过改变高斯光 束的偏振状态来改变其电磁场分
布。
常见的偏振态调制方法包括利用 偏振片、电光晶体或液晶等对高
第16讲 高斯光束的传输和变换
O
L
z1
z2
z
q2 q(z2 ) z2 if
q2 q1 L
16.2 高斯光束传输的基本规律
M1
w0
w1 w2
M2 w0
R1
R2
l
l
16.2 高斯光束传输的基本规律
1 11 R2 R1 F 由于透镜很薄，紧贴透镜的两侧等相位面上的光斑大小和
光强分布相同；
w2 w1
第16讲 高斯光束的传输和变换
16.1 单色球面波傍轴传输的基本规律
单色球面波通过长度为L的自由空间
R1 R(z1) z1 R2 R(z2 ) z2 R1 L
R( z1 )
O
z1
z2
z
R(z2 )
L
16.1 单色球面波傍轴传输的基本规律
单色球面波通过焦距为F的薄透镜
R
O
f1
w02
3.14 3104 632.8109
2
0.45 m
q0 if1
q1 q0 l1 0.1 0.45i m
q2
Fq1 F q 0.1 0.45i
0.18 0.085i
0
1
1.5 0.35
M
M3M2M1
5
0.5
输出光束的q参数为：
q4
1.5q1 0.35 5q1 0.5
(0.32
0.085i)
m
因此：
R1
1
r2
2
A C
B r1
D
高斯光束的传播讲义
高斯光束的传播一、 高斯光束的传播规律为了比较起见，我们仍从一般均匀球面波的传播讨论开始。
如图1所示，一个静止点光源发出的球面波，垂直于等相面方向的距离为z 的任意两个等相面的z图1曲率半径，应满足21R R z =+（1）的方程，曲率半径的符号是这样规定的：从正无穷远处看到凸的波阵面R 为正；看到凹的波阵面R 为负。
若球面波通过焦距为f 的薄透镜，由物象关系得知，透镜前后曲率半径R 1，R 2满足21111R R f=- （2）这里规定凸透镜的0f >，凹透镜的0f <。
我们曾讨论过近轴光线通过光学元件的传播满足的矩阵关系2121x x AB CD θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭近轴球面波通过光学元件前后的曲率半径分别为121212,x x R R θθ==因此1211112121111x A Bx Ax B AR B R x C x D C R DCDθθθθθ+++====+++ （3）所以对于一般均匀球面波，只用一个参数——曲率半径R 就可完全描述其传播和变换的特性。
与普通球面波不同，高斯光束必须由两个量即R （z ）和w (z)来描写。
但下面将看到，对于高斯光束——非均匀的、曲率中心不断变化的球面波——也具有一个与一般球面波曲率半径R 的作用类似的复曲率半径q (z )，它可被用来描述高斯光束的传播行为。
在推导高斯光束表达式时，我们已经得出复曲率半径在均匀空间传播的表达式，具体过程可以参考伍长征编写的《激光原理》书中的（3.3-14）式，即21q q z=+ （4）这里21,q q 分别为传播方向上任意两点21,z z 处的复曲率半径，z 为两点间距离，21z z z =-，参见图2(a)。
再看高斯光束通过薄透镜的变换，如图2(b)。
令薄透镜焦距为f ，由于是近轴光线，波阵面是一球面，透镜前后曲率半径应满足21111R R f=-,000(,)q w R 111(,)q w R 222(,)qwR z 1z 2图2(a)f 20w 10w q 1q 2图2(b)又透镜足够薄，两侧光斑尺寸相等，即12w w =，与上式合并，可以变形为22222112121()i iR kwR kw f-=-- (5)由复曲率半径定义式2112()()()i q z R z kw z =-，可得21111q q f=-（6）比较（4）式和（6）式与（1）式和（2）式知道，利用复曲率半径q ，形式上完全可等价于球面波的曲率半径R 。
3.10 高斯光束的传输与透镜变换解读
若ω0→0或z →∞，则R(z) →z、 ω(z) →∞。 当光斑尺寸趋于无穷大时，波阵面上的光强分布 趋于均匀，这正是普通球面波波阵面上的均匀分布 情况，此时，高斯光束可看成是普通球面波。
一、高斯光束在空间的传输规律
定义：
1 1 i 2 q( z ) R( z ) ( z )
称q(z)为q参数，或称为高斯光束的复曲率半径。 定义q参数的好处是： ① z处R(z)与ω(z)两个参数可用一个参数q(z)表示，
即：
1 1 1 q1 q2 F
这与几何光学成像公式在形式上是相同的。
例题
例题1： 某高斯光束波长为3.14微米，束腰半径 为1mm。 求：距离束腰右方50cm处的 （1）q参数； （2）光斑半径和等相位面曲率半径。
例题
例题2： 某高斯光束波长为3.14微米，在某处光 斑半径为1mm，等相位面曲率半径0.5m。 求：此高斯光束 （1）在该处的q参数； （2）束腰半径及位置。
3.10 高斯光束的传输与透镜变换
一、高斯光束在空间的传输规律
1. 普通球面波
R( z1 ) z1 R ( z2 ) z2
即球面波的波前曲率半径R等于传输距离Z。
R( z2 ) R( z1 ) ( z2 z1 )
一、高斯光束在空间的传输规律
2. 高斯光束
2 f2 1 0 R( z1 ) z z ( )2 z z z 2 2 2 ( z ) 0 1 ( ) 0 1 z ( 2 ) f 0
区别：如果将入射光束的腰看作物点。 按照几何光学成像规律，如l=u=F，则l’=v=∞； 按照高斯光束成像规律，如l=F，则l’=F。
二、高斯光束通过薄透镜的变换
激光基本知识-(9)高斯光束
双曲线顶点坐为 ±ω，0
焦点坐标为F (0, ± πω02 ) λ
光能主要分布在双锥体内 NJUPT
高斯光束的基本性质
光波面
ω(z)
F
ω0
−ω0
F
波面曲率半径
R(
z
)
= z 1
+
f z
2
= z 1
+
(
πω02 λz
)2
z
Z=0（束腰处） R(z) → ∞ z=0，ω0 (束腰处等相面为平面）
高斯光束的聚焦
F 一定时，ω0′与 l′ 随 l 的变化情况
l
′
F 2(l − F ) = F + (F − l )2 + f 2 ,
ω ′2 0
F 2ω 2
= (F − l )2 0+ f 2
（1） l < F
ω0′随 l 的减小而减小
当 l = 0 时：ω0′(min) =
ω0 =l′
1 + ( f )2 F
z
−ω0
F
毫弧度量级
θ0
=
lim
2ω ( z )
z
=
λ
2
πω0
=
λ
0.6367
ω0
=
2
λ = 1.128 πf
λ
f
NJUPT
总结: 基模高斯光束特点
光波面
ω(z)
F
ω0
−ω0
F
θB
=
λ πω0
z
高斯光束
非均匀球面波
等相位面为球面； 其曲率中心和曲率半径随传播过程而改变； 振幅和强度在横截面内为高斯分布。
几何光学中的光线传输矩阵高斯光束通过光学元件的变换
>0 < 0 <0
A处：r0, 0 B处：r’,’
r r0 L0 0
自由空间 光线矩阵
r
A C
B D
r00
TL
r00
1 TL 0
L 1
3. 空气与介质(折射率为n2)的界面
r CA
入射 r0,0 出射 r,
B D
r00
Tn1n2
r00
n1 sin0 n2 sin '
n10
r
L f2
C
1 f1
1 f2
1
L f1
D
L f1
1
L f1
1
L f2
rs1 Ars Bs
or
s
1 B
rs1
Ars
s1
1 B
rs2 Ars1
Crs Ds
1 B
rs2
Ars1
Crs
D B
rs1
Ars
rs2
2(
A 2
D )rs1
AD
BCrs
0
AD BC 1
rs2
2(
A
2
D
)rs
2
f
f
可见，同一谐振腔，不同
的传播次序，往返矩阵T不
相同，但(A+D)/2相同。
s
1
s 1
T1 T2
T13
T23
1 0
0 1
A D
AD
1
L
1
1,1
2 T1
2 T2
f2
AD BC AD BC 1
T1
T2
思考题：
对1和2两种光线顺序， 分别求
rs rmax sins
A处：r0, 0 B处：r’,’
r r0 L0 0
自由空间 光线矩阵
r
A C
B D
r00
TL
r00
1 TL 0
L 1
3. 空气与介质(折射率为n2)的界面
r CA
入射 r0,0 出射 r,
B D
r00
Tn1n2
r00
n1 sin0 n2 sin '
n10
r
L f2
C
1 f1
1 f2
1
L f1
D
L f1
1
L f1
1
L f2
rs1 Ars Bs
or
s
1 B
rs1
Ars
s1
1 B
rs2 Ars1
Crs Ds
1 B
rs2
Ars1
Crs
D B
rs1
Ars
rs2
2(
A 2
D )rs1
AD
BCrs
0
AD BC 1
rs2
2(
A
2
D
)rs
2
f
f
可见，同一谐振腔，不同
的传播次序，往返矩阵T不
相同，但(A+D)/2相同。
s
1
s 1
T1 T2
T13
T23
1 0
0 1
A D
AD
1
L
1
1,1
2 T1
2 T2
f2
AD BC AD BC 1
T1
T2
思考题：
对1和2两种光线顺序， 分别求
rs rmax sins
3[1].3高斯光束的传播特性(新)
![3[1].3高斯光束的传播特性(新)](https://img.taocdn.com/s3/m/dd4e61104431b90d6c85c753.png)
3.2.2 共焦腔中的行波场与腔内外的光场分布 共焦腔中的行波场与腔内外的光场分布
厄米-高斯光束 一、方形镜对称共焦腔的行波场 － 厄米 高斯光束 1、推导方法 、 镜面上的场 菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式 菲涅耳 基尔霍夫衍射积分公式 腔内、 腔内、外任一点的场
2、腔中的场分布——是由腔的一个镜面M1上的场产生，并沿 腔中的场分布——是由腔的一个镜面 上的场产生， —— 着腔的轴线而传播的行波场。 着腔的轴线而传播的行波场。
当 z0 = 0 时， R (z 0 ) → ∞ 当 z0 → ∞ 时， R (z 0 ) → ∞ 当 z 0 = ± f 时，R( z ) = L
0
共焦腔的反射镜面是 两个等相位面， 两个等相位面，与场 的两个等相位面重合 且曲率半径最小。 ，且曲率半径最小。
2 z0 x2 + y 2 x2 + y 2 L ≈− =− 2 L L 2 2 z0 1+ 2 z0 1 + L 2 z0
R0 = z 0 [1 + (
L 2 ) ] 2 z0
腔中点或距腔中点无限 远处， 远处，等相面为平面
定义
ζ = 2z L
y⋅
共焦腔内或腔外的一点的行波场的解析式： 得共焦腔内或腔外的一点的行波场的解析式：
2 2 2 2 ⋅ ⋅ umn ( x, y , z ) = Cmn H m x H n 1+ ζ 2 w 1+ ζ 2 w s s 2 x2 + y2 exp − 1 + ζ 2 ⋅ w 2 exp (− iφ (x, y , z )) s
2 2 u mn ( x, y , z ) = C mn H m ⋅ 1+ ζ 2 w s
厄米-高斯光束 一、方形镜对称共焦腔的行波场 － 厄米 高斯光束 1、推导方法 、 镜面上的场 菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式 菲涅耳 基尔霍夫衍射积分公式 腔内、 腔内、外任一点的场
2、腔中的场分布——是由腔的一个镜面M1上的场产生，并沿 腔中的场分布——是由腔的一个镜面 上的场产生， —— 着腔的轴线而传播的行波场。 着腔的轴线而传播的行波场。
当 z0 = 0 时， R (z 0 ) → ∞ 当 z0 → ∞ 时， R (z 0 ) → ∞ 当 z 0 = ± f 时，R( z ) = L
0
共焦腔的反射镜面是 两个等相位面， 两个等相位面，与场 的两个等相位面重合 且曲率半径最小。 ，且曲率半径最小。
2 z0 x2 + y 2 x2 + y 2 L ≈− =− 2 L L 2 2 z0 1+ 2 z0 1 + L 2 z0
R0 = z 0 [1 + (
L 2 ) ] 2 z0
腔中点或距腔中点无限 远处， 远处，等相面为平面
定义
ζ = 2z L
y⋅
共焦腔内或腔外的一点的行波场的解析式： 得共焦腔内或腔外的一点的行波场的解析式：
2 2 2 2 ⋅ ⋅ umn ( x, y , z ) = Cmn H m x H n 1+ ζ 2 w 1+ ζ 2 w s s 2 x2 + y2 exp − 1 + ζ 2 ⋅ w 2 exp (− iφ (x, y , z )) s
2 2 u mn ( x, y , z ) = C mn H m ⋅ 1+ ζ 2 w s
高斯光束垂直入射到不同折射率介质中的传播规律
高斯光束垂直入射到不同折射率介质中的传播规律
高斯光束垂直入射到不同折射率介质中时，其传播规律遵循几何光学和波动光学的基本原理。
当光束从真空（折射率为1）垂直入射到其他介质时：
传播方向：由于是垂直入射，光束的传播方向在界面处不会发生改变，即光束将沿着原方向直线传播进入介质。
光束宽度和强度分布：高斯光束在进入高折射率介质后，横向尺寸会发生变化，根据光束waist（最细处直径）的位置以及数值孔径（NA）等因素确定。
高斯光束在任何位置的强度分布仍保持高斯分布形式，但光束腰的位置会随传播距离而移动，并且在新介质中的束宽会不同于在真空或低折射率介质中的情况。
光速与波长：光在不同介质中的速度会变慢，具体由折射率n决定，v = c/n（c为真空中的光速）。
因此，光的波长λ' 在介质中也会相应缩短，即λ' = λ/n，其中λ为真空中波长。
聚焦特性：高斯光束的聚焦特性和焦距也会受到介质折射率的影响，在高折射率介质中，相同的透镜参数下，焦距会变短。
总结来说，尽管入射方向不变，但高斯光束在垂直入射进入不同折射率介质后，其横向传播特征、光强分布及光速、波长等都会发生变化。
对高斯光束传输理论的一些学习笔记
高斯光束传输理论研究光与光纤耦合的时候，必须清楚的知道高斯光束在自由空间中是如何传输的，还有光束经过光学元件后高斯光束如何变化。
高斯光束的传输规律激光光束具有方向性好的特点，光束的能量在空间的分布高度的集中在光的传播方向上，其光束具有一定的发散角，光束分布有着特殊的结构。
由球面波构成谐振腔产生的激光束，在它的横截面上，光强是以高斯函数型分布的，称为高斯光束。
高斯光束在光学设计中有着广泛的应用。
沿z 轴方向传播的基模高斯光束可以表示为如下的一般形式：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--=])2([exp ))(exp()(),,(222200f z arctg R r z k i z r z E z y x E ωωω （1）其中E 0为常数因子，zf z z f f z f z f z z R R 22)(])(1[)(+=+=+==20)(1)(fzz +=ωω；222y x r +=；λπ2=k ；λπω20=f ；πλωf =0；（2） ω0为基模高斯光束的腰斑半径；f 为高斯光束的共焦参数；R(z)为与传播轴相较于z 点的高斯光束等相位面的曲率半径；由上式我们可以看出，高斯光束具有下述基本性质：（1）基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯函数))(exp(22z r ω-所描述的规律从中心（即传输轴线）向外平滑地降落。
由振幅降落到中心值的1/e 的点所定义的光斑半径为22020)(1)(1)(πωλωωωz fz z +=+= 可见，光斑半径随坐标z 按照双曲线规律增大1)(2222=-f z z ωω在z=0处，0)(ωω=z ，为极小值。
双曲线的对称轴为z 轴，基模高斯光束是上式双曲线绕z 轴旋转所构成的回转双曲面为界的。
（2）基模高斯光束的相移相位因子由下式决定fzarctg R r z k z y x -+=)2(),,(2φ它描述高斯光束在点（x,y,z ）处相对于原点（0,0,0）处的相位滞后。
第三章 高斯光束的传输与变换
2.9.4 高阶高斯光束 （1）厄米特—高斯光束 高阶高斯光束横截面内的场分布可由高斯函数与厄米多项式的 乘积来描述。 沿z方向传输的厄米卢高斯光束
mn(x ,y ,z ) C mn
C mn 1
1
H m(
2
2
x )H n(
2
y) e
r2 2
e
r2 z i k(z )( m n 1)arctg 2R f
激光物理
第三章
高斯光束的传输与变换
回顾
方形镜共焦腔的行波场
（厄米-高斯光束） 当镜面上的场分布能够用厄米-高斯函数来描述时，共焦 腔中的行波场可以表示为：
2 2 0 Emn( x, y, z ) AmnE 0 Hm x Hn y e ( z) ( z) ( z)
1 1 令q0=q(0)，则： Nhomakorabeai 2 q 0 R(0) (0)
20 R(0) , (0) 0 q 0 i if
通过这些公式，我们可以用高斯光束的q参数来描述高斯光束。
以上三组参数都可以用来确定高斯光束的具体结构，需要根据 实际问题来灵活选择使用哪种参数。
2 2 2 2
可见,光斑半径随坐标z按双曲线的规律而扩展,在z=0处,以 ω(z)=ω0,达到极小值（束腰）。
（2)基模高斯光束的相移特性由相位因子决定
r2 z 00(x ,y ,z ) k(z ) arctg 2R f
表明高斯光束的等相位面是以R为半径的球面
2 2 0 R(z ) z 1 z
式中ω0和ω(z)分别为基模光腰半径和z处光斑半径。在z方向和y 方向的远场发散角 2 ( z ) 2 m lim m 2m 1 2m 1 0 z z 0 2n ( z ) 2 n lim 2n 1 2n 1 0 z z 0
激光原理：7-2高斯光束的传输规律
7.2 高斯光束的传输规律
第7章 高斯光束
一、球面波的R参数 R(z)=z
R(z):等相位面曲率半径
R(z) z
0
z
二、ABCD定律
若某元件的光学变换矩阵为 CA
B D
，则通过此元件
前、后的球面波R参数和高斯光束q参数满足关系。
R AR B CR D
q Aq B Cq D
R、q:通过元件前的参数 R、q:通过元件后的参数
q2 q1 L
近轴情况 R2 l2 发散(+) 会聚(-)
1 11 R2 R1 F
1 q2
1 R2
i
w22
1 11
R2 R1 F
w2 w1
（薄透镜）
1 11 q2 q1 F
7.2 高斯光束的传输规律
第7章 高斯光束
例1：某高斯光束共焦参数为f=1m，将焦距F=1m的凸 透镜置於其腰右方l=2m处，求经透镜变换后的像光束 的焦参数f及其腰距透镜的距离l。
7.2 高斯光束的传输规律
三、球面波R参数的传输规律
1、传播L距离
R=R+L
传播L距离的光学变换矩阵
R 1 R L R L 0 R1
或 R=R(z)=z
R=R(z)=z
R-R=z-z=L ∴R=R+L
第7章 高斯光束
T
1 0
L 1
R=R(z) R=R(z)
z
0 z z
L
7.2 高斯光束的传输规律
2、通过透镜
q Fq Fq
1 0
透镜的光学变换矩阵
T
1
1
q
1 q 0 1 q 1
q 1 q
Fq F q
第7章 高斯光束
一、球面波的R参数 R(z)=z
R(z):等相位面曲率半径
R(z) z
0
z
二、ABCD定律
若某元件的光学变换矩阵为 CA
B D
，则通过此元件
前、后的球面波R参数和高斯光束q参数满足关系。
R AR B CR D
q Aq B Cq D
R、q:通过元件前的参数 R、q:通过元件后的参数
q2 q1 L
近轴情况 R2 l2 发散(+) 会聚(-)
1 11 R2 R1 F
1 q2
1 R2
i
w22
1 11
R2 R1 F
w2 w1
（薄透镜）
1 11 q2 q1 F
7.2 高斯光束的传输规律
第7章 高斯光束
例1：某高斯光束共焦参数为f=1m，将焦距F=1m的凸 透镜置於其腰右方l=2m处，求经透镜变换后的像光束 的焦参数f及其腰距透镜的距离l。
7.2 高斯光束的传输规律
三、球面波R参数的传输规律
1、传播L距离
R=R+L
传播L距离的光学变换矩阵
R 1 R L R L 0 R1
或 R=R(z)=z
R=R(z)=z
R-R=z-z=L ∴R=R+L
第7章 高斯光束
T
1 0
L 1
R=R(z) R=R(z)
z
0 z z
L
7.2 高斯光束的传输规律
2、通过透镜
q Fq Fq
1 0
透镜的光学变换矩阵
T
1
1
q
1 q 0 1 q 1
q 1 q
Fq F q
第三章--高斯光束及其特性讲解学习
1
11
R2(z) R1(z) f
R 2(z)C A R R 1 1 ( (z z) ) D B , C AD B 1 1 /f
0 1
反映了近轴球面波曲率半径的传输与光学系统矩阵元之间的关系
§3.1 基模高斯光束
球面波的传播规律可以统一写成
R2
AR1 CR1
B D
结论：具有固定曲率中心的普通傍轴球面波可以由其曲率半径R 来描述，传播规律由变换矩阵确定。
§3.1 基模高斯光束
高斯光束在其传输轴线附近 可近似看作是一种非均匀球面波 曲率中心随着传输过程而不断改变 振幅和强度在横截面内始终保持高斯分布特性 等相位面始终保持为球面 强度集中在轴线及其附近
§3.1 基模高斯光束
3）基模高斯光束的特征参数： ➢ 用参数0（或f）及束腰位置表征高斯光束
§3.1 基模高斯光束
11
q(z) R(z)i2(z)
q：复曲率半径
参数q将(z)和R(z)统一在一个表达式中，知道了高斯光束在
某位置处的q参数值，可由下式求出该位置处(z)和R(z)的数值
R 1 (z)R e[q (1 z)],2 1 (z) Im [q (1 z)]
用q0=q(0)表示z=0处的参数值，得出
§3.1 基模高斯光束
3）基模高斯光束的特征参数： ➢ 用q参数表征高斯光束
u 0 0 ( x ,y ,z ) c 0 0( 0 z ) e x p [ x 2 2 ( z y ) 2 ] e x p { i [ k ( z x 2 2 R ( z y ) 2 ) a r c t g z f] }
u 0 0 ( x ,y ,z ) c 0 0( 0 z ) e x p { i k x 2 2 y 2 [ R 1 ( z ) i 2 ( z ) ] } e x p [ i ( k z a r c t g z f ) ]
高斯光束的传播
4.3
激光束的变换
4.3.1 高斯光束通过薄透镜时的变换
一、普通球面波在通过薄透镜的传播规律 1. 透镜的成像公式：
1 s 1 1 s f
（4-15）
图4-15 球面波通过薄透镜的变换
2. 从光波的角度看，当傍轴波面通过焦距为 f 的透镜时， 其波前曲率半径满足关系式 ：
1 1 1 R R f
。
R s 02 2 R 2 R s[1 ( ) ] 1 ( ) 2 s 2 s 2 2 0 0 1 ( 2 ) 2 2 0 1 ( ) R
2
、和
s
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
R R 2 1 ( ) 2
如何选择参数，使 0 ' 最小
一、高斯光束入射到短焦距透镜时的聚焦情形( R f ) 1.象方腰斑位置: 由 在由
1 1 1 R R f
R
R f
f f 1 f R
f f 1 f R
R
号改变调制器的物理特性，当激光通过调制器时，就会使光波的某参量受到调制。
优 点：a.因为调制器和激光形成无关,不影 响激光器的输出功率。 b.调制器的带宽不受谐振腔通带的 限制， 缺 点：调制效率低。
激光的瞬时光场的表达式 瞬时光的强度为
E (t ) E0 cos(0t )
I (t ) E 2 (t ) E0 2 cos 2 (0t )
s f 2 0 2 R s[1 ( ) ] s
R f [1 (
02 2 R f [1 ( ) ] f
1 1 1 R R f
激光束的变换
4.3.1 高斯光束通过薄透镜时的变换
一、普通球面波在通过薄透镜的传播规律 1. 透镜的成像公式：
1 s 1 1 s f
（4-15）
图4-15 球面波通过薄透镜的变换
2. 从光波的角度看，当傍轴波面通过焦距为 f 的透镜时， 其波前曲率半径满足关系式 ：
1 1 1 R R f
。
R s 02 2 R 2 R s[1 ( ) ] 1 ( ) 2 s 2 s 2 2 0 0 1 ( 2 ) 2 2 0 1 ( ) R
2
、和
s
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
R R 2 1 ( ) 2
如何选择参数，使 0 ' 最小
一、高斯光束入射到短焦距透镜时的聚焦情形( R f ) 1.象方腰斑位置: 由 在由
1 1 1 R R f
R
R f
f f 1 f R
f f 1 f R
R
号改变调制器的物理特性，当激光通过调制器时，就会使光波的某参量受到调制。
优 点：a.因为调制器和激光形成无关,不影 响激光器的输出功率。 b.调制器的带宽不受谐振腔通带的 限制， 缺 点：调制效率低。
激光的瞬时光场的表达式 瞬时光的强度为
E (t ) E0 cos(0t )
I (t ) E 2 (t ) E0 2 cos 2 (0t )
s f 2 0 2 R s[1 ( ) ] s
R f [1 (
02 2 R f [1 ( ) ] f
1 1 1 R R f
第二章光学谐振腔理论-第8节-高斯光束的传输
z2
实际稳定腔
L
等价共焦腔
L( R2 − L) z1 = ( L − R1 ) + ( L − R2 ) − L( R1 − L) z2 = ( L − R1 ) + ( L − R2 ) f 2 = L( R2 − L)( R1 − L)( R1 + R2 − L) [( L − R1 ) + ( L − R2 )]2
(z B ) = q0 + l1
B-C （透镜变换）
1 1 1 = − q ( zC ) q ( zB ) f
C-D （自由空间传输） q
(z D ) = qC + l2
D（束腰）
2 πω 20 q( z D ) = i λ
变换公式的应用
πω 2 πω l1 ( f − l1 ) − f λ λ +i q ( z D ) = l2 + f 2 2 2 2 πω 0 πω 0 2 2 ( f − l1 ) + ( f − l1 ) + λ λ
q( z2 ) = q0 + z2
q( z 2 ) = q( z1 ) + z 2 − z1 = q( z1 ) + L
高斯光束的特征参数变换规律
2、薄透镜变换 、
可得薄透镜对傍轴光 线的变换矩阵为
0 1 Tf = 1 − f 1
高斯光束的特征参数变化规律
可以产出q参数经过薄透镜变换时，光束宽度项不变， 可以产出 参数经过薄透镜变换时，光束宽度项不变， 参数经过薄透镜变换时 等相位面项发生变化， 只是等相位面项发生变化 所以： 只是等相位面项发生变化，所以：
高斯光束的传输变换
另外，还可引用高斯光束的复曲率半径-q 参数来描述高斯光束。将（2.7.11）式中与 r 有关的因子放在一起
U 00 (x, y, z)
=
c
−ik r 2 [ 1 −i λ ]
e e 2 R( z) πw2 ( z) −i(kz+Φ)
w( z )
（2.7.15）
定义一个新的复参数 q(z)
1 = 1 −i λ q(z) R(z) πw2 (z)
任一旁轴光线在某一给定参考面内都可以由两个坐标参数来表征，光线离轴线的距离 r 及光线与轴线的夹角θ。将这两个参数构成一个列阵，各种光学元件或光学系统对光线的变 换作用可用一个二行二列的方阵来表示，变换后的光线参数可写成方阵与列阵乘积的形式。 1. 近轴光线通过距离 L 均匀空间的变换
我们分析近轴光线在均匀空间通过距离L的传输，如图 2-22 所示，假定光线从入射参考 面P1出发，其初始坐标参数为r1和θ1，传输到参考面P2时，光束参数变为r2和θ2，由几何光 学的直进原理可知
图 2-26 高斯光束的聚焦 由前面介绍，光线从入射光束束腰处传输到出射光束束腰处的传输矩阵
⎜⎜⎝⎛ CA
DB ⎟⎟⎠⎞ = ⎜⎜⎝⎛10
1l'⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
−
1 1/
F
10⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
1 0
1l ⎟⎟⎠⎞ = ⎜⎜⎝⎛1−−1l/' /FF
l
+ 1
l'−ll' / −l/F
F
⎟⎟⎠⎞
（2.7.26）
w0 ' ≈ w0π
λF
= λF ， l'≈ F
1 + (λl / πw02 )2 πw(l)
（2.7.32）
U 00 (x, y, z)
=
c
−ik r 2 [ 1 −i λ ]
e e 2 R( z) πw2 ( z) −i(kz+Φ)
w( z )
（2.7.15）
定义一个新的复参数 q(z)
1 = 1 −i λ q(z) R(z) πw2 (z)
任一旁轴光线在某一给定参考面内都可以由两个坐标参数来表征，光线离轴线的距离 r 及光线与轴线的夹角θ。将这两个参数构成一个列阵，各种光学元件或光学系统对光线的变 换作用可用一个二行二列的方阵来表示，变换后的光线参数可写成方阵与列阵乘积的形式。 1. 近轴光线通过距离 L 均匀空间的变换
我们分析近轴光线在均匀空间通过距离L的传输，如图 2-22 所示，假定光线从入射参考 面P1出发，其初始坐标参数为r1和θ1，传输到参考面P2时，光束参数变为r2和θ2，由几何光 学的直进原理可知
图 2-26 高斯光束的聚焦 由前面介绍，光线从入射光束束腰处传输到出射光束束腰处的传输矩阵
⎜⎜⎝⎛ CA
DB ⎟⎟⎠⎞ = ⎜⎜⎝⎛10
1l'⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
−
1 1/
F
10⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
1 0
1l ⎟⎟⎠⎞ = ⎜⎜⎝⎛1−−1l/' /FF
l
+ 1
l'−ll' / −l/F
F
⎟⎟⎠⎞
（2.7.26）
w0 ' ≈ w0π
λF
= λF ， l'≈ F
1 + (λl / πw02 )2 πw(l)
（2.7.32）
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0
1
R1( z ) o
当球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前
z1
R2(z)
z2 z
曲率半径满足：
L
1 1 1 R2(z) R1(z) F
R2(z)
R1 R1 / F
1
1
1/
F
0
1
F
将上面两式与光线矩阵相比较可以得到球面
波的传播规律：
R2(
z)
AR1( z ) CR1( z )
B D
R1(z)
R2
i
2 1
R2为等相位面曲率半径，由球面 波球率半径的变换公式可得：
1 R1
1 F
i
2 1
1 q1( z )
1 F
高斯光束通过薄透镜的传输
通过将上面推出的公式同球面波的传播特性公式相比较，
可以看到无论是在对自由空间的传播或对通过光学系统的 变换，高斯光束的q参数都起着和普通球面波的曲率半径R 相同的作用，因此有时将q参数称作高斯光束的复曲率半 径；
高斯光束通过光学元件时q参数的变换规律可以类似的用
光线矩阵表示出来：
q2(
z)
Aq1( z ) Cq1( z )
B D
由前面的讨论我们知道可以用q参数描述一个高斯光束的
具体特征，而且可以通过q参数和ABCD法则很方便的描述
一个高斯光束在通过光学元件时的传输规律，因此我们将
主要采用q参数来分析薄透镜高斯光束传输问题。
2
1
高斯光束的ABCD法则
3、用q参数表示
1 由q参数的定义： q(z)
1 R(z)
i
2(可z ) 知q参数将R(z)和ω(z)联系在一起了，
可以求得：
1 R(z)
Re
1 q(z)
1 2( z )
Im
1 q(z)
令q0=q(0)，则：
1
q0
1 R(0)
i
2(0)
Q
R(0)
,(0)
0
q0
i
2 0
if
通过这些公式，我们可以用高斯光束的q参数来描述高斯光束。
以上三组参数都可以用来确定高斯光束的具体结构，需要根据实际问题 来灵活选择使用哪种参数。
高斯光束通过薄透镜的传输
普通球面波波前曲率半径的传播规律
x
R1(z) z
1 L
R2(z) R1(z) (z2 z1) R1(z) L
(
z)
tan
1
z
2 0
n
tan
1
z z0
(3)
半径等参数；
z
0
2 0
n
(4)
2、当确定了某一确定位置 z处的ω(z)和R(z)后，也
1
0
(
z)
1
2( z ) R(z)
2
2
可以通过(1)、(2)式求出 束腰位置及大小；
z
R(z)
1
R(z) 2( z )
D
cos
k k
2 0
z
k k
2 0
sin
k k
2 0
z
k k
0 2
sin
k k
2 0
z
cos
k k
2 0
z
q(z) Aq0 B Cq0 D
高斯光束的ABCD法则
按照光线矩阵规则，ABCD矩阵元构成的光线矩阵是表示输出平面上和 输入平面上光线参数之间的关系，因此我们取：
R2(z)
高斯光束通过薄透镜的传输
高斯光束q参数的变换规律
高斯光束在近轴部分可以看作一系列非均匀、曲率中心不断改变 的球面波，也具有类似于普通球面波的曲率半径R的参数，即q参 数：
1 q(z)
1 R(z)
i
2( z )
其中
R(z)
z
1
2 0
z
2
2( z )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 0
1
z
2 0
高斯光束的传输变换
高斯光束的ABCD法则
前面得到了类透镜介质中高斯光束参数q(z)的复数表达形
式：
q0 cos
q(z)
k2 k
z
k k2
sin
k2 k
z
q0
k2 k
sin
k2 k
z
cos
k2 k
z
q0是由边界条件求出的光束初始条件，将上式同前面得到 的光线矩阵比较：
A
C
B
0
M1
1(l )
M2
2(l) 0 '
由薄透镜性质可知，在紧靠薄透
镜的M1和M2两个面上的光斑大小
和强度分布是一样的，即：
R1
R2
1(l) 2(l) (1)
l
l'
可以证明经过薄透镜变换后在像 Z=0
方继续传输的光束仍为高斯光束。 1 1 1
从q参数表达式以及1式可以得到： q2(z)
R2
i
2 2
我们比较一下下面两个公式：
1 1 1; q1 q2 F
11 1 R1 R2 F
由这两个公式我们可以看出高斯光束参数q(z)与球面波曲
率半径R(z)之间的相似性，称q(z)为高斯光束的复曲率半径，
其表达式为：
1 1 i
q
R
2 0
当 0时，上式可以得出 q R而此时我们讨论的对象
已经从波动光学过渡到了几何光学。
高斯光束经过变换之后仍然为高斯光束
高斯光束的ABCD法则
高斯光束的特征参数
1、由(1)、(2)式可知，只 要确定了束腰的位置和半
2( z )
2 0
1
z
2 0
n
2
2 0
1
z2
z
2 0
(1)
R(z)
z
1
2 0
n
z
2
z
1
z
2 0
z2
(2)
径ω0，就可以确定任何位 置的光束半径和等相位面
代上入面到的(第1)一式个中公，式并表且明比薄较透实镜部两与面虚的部高得斯到光：束2光斑1半; 径R1相2 同R1，1 这F1与薄透
镜的特性是一致的；第二个公式表明薄透镜两面等相位面的曲率半径满
足成像公式，即球面中心是关于该透镜的共轭像点，这与薄透镜对球面
波成像的规律是一致的。
高斯光束通过薄透镜的传输
高斯光束通过薄透镜的传输
例：以焦距为f的薄透镜为例
薄透镜的光线矩阵为
A
C
B D
1 1
F
0
1
则由ABCD法则可以得到
q2
q1A q1C
B D
1 q2
1 q1
1 F
(1)
考虑到：
1 q(z)
1 R(z)
i
2( z )
1
q1 1
1 R1 1
i
2 1
i
q2 R2
2 2
2
通可过以整得理到通q的过表长达度式为可L的以均得匀到介：质q(后z)的qi参数2为0 ：z q0 z
其中q2=qq(z22()z，) q1=qq1(1z(z)1)分(z别2 为zz1)1和 zq21面(z处) 的Lq参数；
高斯光束通过薄透镜的传输
透过薄透镜传播的高斯光束q参数 变换
q2
Aq1 Cq1
B D
该式表示了类透镜介质中传播的高斯光束的传输变换规则，可以证明，
高斯光束在其他光学元件上透射或反射都遵循这一规则，则以规则称
为高斯光束q参数变换法则，简称ABCD法则。
需要注意的是ABCD法则同光线传播规则虽然都是用光线矩阵来描述， 但是高斯光束的ABCD法则不同于光线传输的矩阵乘法。