初中数学专题训练--整式方程--一元一次方程

一元一次方程的典型例题一

例 国庆节即将来临，学校组织七年级学生参加“国庆专题展”，计划租借42座的客车16辆，恰好坐满．但由于126名学生准备骑自行车前往，所以学校要改变租车方案．

（1）学校改变租车方案后，实际应租借多少辆客车？

（2）若自行车的速度是10千米／时，出发1小时后，客车以40千米／时的速度行驶，结果全体同学同时到达指定地点，则客车行驶了多长时间？

解：（1）设学校实际租借客车x 辆，则可以乘坐42x 名学生．

列方程

164242126⨯=+x ．

（2）设客车行驶了x 小时，则自行车行驶了)1(+x 小时．

列方程

x x 4010)1(=⨯+．

说明：（1）学生总数是题中较明显的相等关系，由此列方程；（2）“同时到达指定地点”表明全体学生在同一时刻到达，由此可设客车行驶时间为x 小时，则自行车行驶的时间为)1(+x 小时，而两者路程相同，这是此问题中的相等关系．另外，还可以理解为相同的时间里，客车比自行车多行了10)110(=⨯（千米）．可见，在实际问题中找到相等关系是列方程解决实际问题的关键，依据数量关系列方程，打破了列算式时只能用已知数的限制，使得列方程比列算式更直接、更方便，具有更多的优越性．

一元一次方程的典型例题二

例 观察下列各式，哪几个是等式？哪几个是方程？哪几个是一元一次方程？ ①

23-=x ②2839-=- ③02=-x x ④92-x ⑤01=+xy ⑥31212=-y ⑦2=x ⑧22>+x 解：①②③⑤⑥⑦是等式；①③⑤⑥⑦是方程；①⑥⑦是一元一次方程．

说明：等式、方程和一元一次方程是层层包含的关系，等式是用“＝”连接，表示相等关系的式子，方程是含有未知数的等式，而一元一次方程是含有一个未知数，并且末知数的指数都是1（次），可见一元一次方程属于方程的一种，方程又属于等式的一部分，所以区分三者必须理解它们之间的相互关系．

一元一次方程的典型例题三

例 根据下列条件列方程：

（l ）某数的3倍比7大2；

（2）某数的3

1比这个数小1； （3）某数与3的和是这个数平方的2倍；

（4）某数的2倍加上9是这个数的3倍；

（5）某数的4倍与3的差比这个数多1．

分析：要列方程，首先要认真审题，明确未知数，并设未知数，然后根据题中的条件，找出相等关系，列出方程，

解：（1）设某数为x ，则有：273=-x ；或 273+=x ；或723=-x ；

（2）设某数为x ，则有：x x =+131；或 131=-x x ；或13

1-=x x ; （3）设某数为x ，则有：223x x =+；或322-=-x x ；或322-=x x ；

（4）设某数为x ，则有：x x 392=+；或 932-=-x x ；或 923=-x x ；

（5）设某数为x ，则有 134-=-x x ；或 x x =+-134；或 314+-=x x 说明：此题条件中的大（小）、多（少）、和（差）、倍等实际上说的是相等关系：

大数－小数=差；

小数十差=大数；

大数一差=小数．

一元一次方程的典型例题四

例 判断下列各式哪些是一元一次方程．

（1）2143=x ； （2）23-x ； （3）13

25171-=-x y ； （4）1352+-x x ； （5）y y x 213-=+； （6）.2712y y =-

分析： 判断一个数学式子是不是一元一次方程，首先看它是不是方程，其次再看它含有几个未知数，并且未知数的最高次数是多少．

解：（1）是，因为2

143=x 是方程，且方程只含有一个未知数x ，且含未知数的项最高次数是1．

（2）不是．23-x 不是方程．

（3）不是．因为13

25171-=-x y 虽然是方程但含有两个未知数x 、y ． （4）不是．因为1352+-x x 不是方程．

（5）不是．因为y y x 213-=+含有两个未知数．

（6）不一元一次方程的典型例题五

例 甲、乙两个工程队共有30人，其中乙队人数比甲队人数的2倍还多6人，求甲、乙两队各有多少人？

分析：设甲队有x 人，乙队人数比甲队的2倍还多6人，用代数式表示：

解：设甲队有x 人，依题意有

x +(2x +6)=30

如果x=1，x +(2x +6)的值是9)612(1=+⨯+

如果x=2，x +(2x +6)的值是12)622(2=+⨯+

如果x=3，x +(2x +6)的值是15)632(3=+⨯+

类似计算下去可得

如果x=8，x +(2x +6)的值是9)682(8=+⨯+

所以甲队的人数是8

乙队人数为：8×2+6=22

答：甲队有8人，乙队有22人．

说明：如果这个题设乙队有x 人，则甲队的人数是2

6-x 人，显然所列代数式比设甲队有x 人复杂而且容易出错．所以列方程解应用题时，在认真审题的基础上，第一个关键步骤就是如何“设未知数”．估算在实际生活中经常用到，可以根据计算的结果适当调整带入的数以便快捷的得到近似值．

是．因为.2712

y y =-中未知数最高次数为2次． 一元一次方程的典型例题六

例 判断0和4是不是方程)1(596)12(3-+=++x x x x 的解．

分析：根据方程解的意义，将数带入方程两侧判断是否相等．

解：（1）如果0是方程的根，那么把0分别代入原方程的左边和右边，方程两边的数值应该相等．

左边=,306)102(3=⨯++⨯

右边=5)10(509-=-+⨯

∴ 左边≠右边，

∴ 0=x 不是方程的解．

（2）把4=x 分别代入原方程的两边．

左边=x x 6)12(3++