与椭圆有关的最值问题

与椭圆有关的最值问题

圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题的解决方法。

1．定义法

例1。P(-2,3),F 2为椭圆116

252

2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2

︱的最大值

和最小值。

分析：欲求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 ︱MF 2︱=2a-︱MF 1︱, F 1为椭圆的左焦点。

解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1延长PF 1 交椭圆于点M 1,延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知

–︱PF 1︱≤︱MP ︱-︱MF 1︱≤︱PF 1︱当且仅当M 与M 122a=10, ︱PF 1︱=2所以（︱MP ︱+︱MF 2︱）max =12, （︱MP ︱+︱MF 2︱）min =8

结论1：设椭圆122

22=+b

y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意

一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱,最小值为2a –︱PF 1︱。

例2：P(-2,6),F 2为椭圆

116

252

2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2

︱的最大值和最小值。

分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使︱MP ︱+︱MF 2︱值最小，求最大值方法同例1。

解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1并延长交椭圆于点M 1，则M 在M 1处时︱MP ︱-︱MF 1︱取最大值︱PF 1︱。∴︱MP ︱+︱MF 2︱最大值是10+

37

，最小值是

41。

结论2：设椭圆122

22=+b

y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，

则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱，最小值为PF 2。 2.二次函数法

例3．求定点A(a,0)到椭圆122

22=+b

y a x 上的点之间的最短距离。

分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示︱P A ︱，转化为x,y 的函数，求最小值。 解：设P(x,y)为椭圆上任意一点，︱P A ︱2

=(x-a)2

+y 2

=(x-a)2

+1-x 212

=2)2(2

1

a x -+1-a 2

由椭圆方F 2

F 1

M 1 M 2

o

程知x 的取值范围是[-

2,2]

（1） 若︱a ︱≤

2

2,则x=2a 时︱P A ︱min =

2

1a -

（2） 若a>

2

2,则x=

2时︱P A ︱

min

=︱a －

2︱

（3） 若a <－

2

2,则︱P A ︱min =︱a+

2︱

结论3：椭圆122

22=+b

y a x 上的点M(x,y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式

表示︱MA ︱或︱MB ︱，通过动点在椭圆上消去y 或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。

3.三角函数法

例4：椭圆14

2

22=+y x 上的点M(x,y)到直线l ：x+2y=4的距离记为d,求d 的最值。

分析：若按例3那样d=5

4

2-+y x 转化为x 或y 的函数就太麻烦了，为了统一变量，可以用椭圆

的参数方程，即三角换元。

解：d=

5

4

2-+y x ∵

14

2

22=+y x ∴令

()R y x ∈⎩⎨

⎧==θθ

θ

sin cos 2 则

d=

5

4

sin 2cos 2-+θθ=

2

)4

sin(25

2-+

π

θ

当sin )4

(π

θ

+

=1时,d min =

5

10

254-, 当sin )4

(π

θ+

=﹣1时,d max =

5

10

254+

结论

4：若椭圆122

22=+b

y a x 上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，

统一变量转化为三角函数求最值。

4.判别式法

例4的解决还可以用下面方法

把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。

解。令直线m ：x+2y+c=0 将x =﹣2y ﹣c 代入椭圆方程整理得8y 2+4cy+c 2-4=0，由△=0解得c =±22,

c=-22

时直线m ：x+2y -22=0与椭圆切于点P,则P 到直线l 的距离为最小值，且最小值就是两平行