平面向量的正交分解及坐标表示的教学设计 1

《平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计

武山一中

【教材内容地位】

本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”，向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。

2.3节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容 1.平面向量的基本定理，2.平面向量的正交分解及坐标表示，

3.平行向量的坐标运算，

4.平面向量共线的坐标表示。本节教学的内容是本单元的第2节。

【目标与目标解析】

知识与技能：

1.掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：（1）能写出给定向量的坐标；（2）给出坐标能画出表示向量的有向线段；

2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：（1）知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；（2）i(1,0)

=，j(0,1)

=，0(0,0)

=

3.理解向量与坐标之间是一一对应关系。

过程与方法：

学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。

情感态度与价值观：

在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流，从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。

重点：平面向量坐标表示的定义

突破办法：渗透从特殊到一般的归纳，由“形”到“数”的数形结合的思想. 难点：对平面向量坐标表示生成过程的理解

突破办法：设置情景问题，注意过程分析与引导，力求自然、合理

【教学过程】 一、知识再现、学习准备 平面向量基本定理： 如果 是同一平面内的两个不共线非零向量，那么对于平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， 使 λ11e +λ22e 。 (1)我们把不共线向量

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不唯一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a 在给出基底 的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式唯一. λ1,λ2是由 a , 唯一确定的数量。 二、教学过程设计.

（一）问题情境1：倾斜角为30度的斜面上，质量为100kg 的物体匀速下滑，

欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力，该如何对重力进行分解?

设计说明：引出课题。回顾向量基本定理，构造建立直角坐标系条件，为研究问

题做铺垫。

（二）向量坐标表示的定义探究

提出问题

1.我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)

表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?

2.在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？

⒊平面向量的正交分解及坐标表示(讲授新课)

师：如图，在光滑斜面上的一个木块受到了那些

力的作用？这些力之间有什么关系？

生：该木块受到重力G 的作用，产生两个效果，

一是木块受平行于斜面的力F 1的作用沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的

压力F 2．也就是说，重力G 的的效果等价于力F 1和F 2的合力的效果，即G =F 1+F 2．

师：物理学中，G =F 1+F 2叫做把重力G 分解．

由平面向量基本定理，对平面上的任意向量a 均可以分解为不共线的两个向

量1λe 1、2λe 2，使a ＝1λe 1+2λe 2．

在不共线的两个向量中，垂直是一种重要情形．把一个向量分解为两个垂直

的向量，叫做把向量正交分解．

如上，重力G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解．正交分解是向量

分解中常见的一种情形．

⒋平面向量的坐标表示

师：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即

点的坐标）表示．那么，直角坐标平面内的向量如何表示呢？

如图，在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴

方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的

21λλ、2

1e e 、=a a 21e e 、21e e 、

21e e 、

一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x 、y ，使得

a ＝x i ＋y j ．

这样，平面内的任一向量a 都可以x 、y 唯一确定，我们把有序数对(,)x y 叫

作向量a 的坐标，记作a ＝(,)x y ，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫作a 在y

轴上的坐标，式子a ＝(,)x y 叫作向量的坐标表示.

根据向量坐标表示的意义，两个单位向量i 、j 以及零向量的坐标表示是怎样

的？

生：i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)=．

（三）向量与坐标的对应关系

师：如图，在直角坐标平面中，以原点O 为起点作

OA =a ，则点A 的位置由向量a 唯一确定．

设OA =x i ＋y j ，则向量OA 的坐标(,)x y 就是终点A

的坐标；反过来，终点A 的坐标(,)x y 就是向量OA 的坐标．因此，在平面直角

坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对表示．

有人说：直角坐标平面内向量a 的坐标就是它的终点坐标．这句话正确吗？

生：这种说法不正确．只有当向量a 的始点是坐标原点时，向量的坐标才是

它的终点坐标．

师：这就是说，直角坐标平面内点的集合只是与这平面内从原点出发的向量

的集合之间有一一对应关系．

（四）例题讲解:

例1 如图6,分别用基底ｉ、j 表示向量a 、b 、c 、d ,并求出它们的坐标.

活动:本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ,其关键是把a 、b 、c 、d 表示

为基底i 、j 的线性组合.一种方法是把a 正交分解,看a 在x 轴、y 轴上的分向

量的大小.把向量a 用i 、j 表示出来,进而得到向量a 的坐标.另一种方法是把向

量a 移到坐标原点,则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标.同样的方法,可以得

到向量b 、c 、d 的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a

与b 关于y 轴对称,a 与c 关于坐标原点中心对称,a 与d 关于x 轴对称等.由一个

向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.

解:由图可知,a =1AA +2AA =x i +y j ,

∴a =(2,3).

同理,b =-2i +3j =(-2,3);

c =-2i -3j =(-2,-3);

d =2i -3j =(2,-3).

点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标. 拓展训练：