随机过程(超容易理解+配套例题)

与( X t1 h ,X t2 h , L , X tn h )
有相同的联合分布，也就是说主要性质 只与变量之间的时间间隔有关。
2）宽平稳过程： 如果随机过程{x(t), t T }所有二阶矩都存在， 并且E[x(t)]= ,协方差函数 (t,s) 只与时间差 t-s有关，那么称{x(t), t T }为宽平稳过程。
速率.即年龄为x的母亲在[t,t+dt]之间生下的女婴 数为 ( x ) dt.
我们要用过去的B(t)预测未来的B(t)。 因为
B (t x) S ( x)dx ---t时刻年龄在[x,x+dx]之间
的女性数。 B (t x) S ( x) ( x)dx ---t时刻年龄在[x,x+dx]之间 的女性在单位时间内所生 育的女婴数。 则在单位时间内所有育龄段女性生育的女婴 数为
t P N t s N s n
n!
n
e t
则称{N(t),t≥0}为条件泊松过程。
更新过程
1、更新过程的定义
设{Xn,n≥1}是独立同分布的非负随机变量，分布函数为F(x)，且F(0)<1，令
T0 0, Tn X k
记
n
2、转移概率 定义
i, j S ,
称
P X n1 j X n i pij n
为n时刻的一步转移概率。若
i, j S , pij n pij
即pij与n无关，则称{Xn,n≥0}为齐次马尔可夫链。记P=(pij)，称P为 {Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵.
m(t ) F t m t s dF s ,
0
t
t0 t0
M (t ) f t M t s f s ds,
0
t
3、更新方程的解 设更新方程中H(t)为有界函数，则方程存在惟一的在有限 区间内有界的解
K (t ) H (t ) H (t s) dm( s)
0
t
4、更新方程在人口学中的一个应用 考虑一个确定性的人口模型 B(t)dt个女婴出生. 已知： S ( x) ------生存函数：指一个女婴能活到 年龄x的概率.
B (t ) ------在时刻t女婴的出生速率，即在 [t,t+dt]之间有
( x) ------生育的年龄强度：指年龄为x的母亲生育的
i
随机过程x(t,e)四种不同情况下的意义： .当t固定，e固定时，x(t)是一个确定值； .当t固定，e可变时，x(t)是一个随机变量； .当t可变，e固定时，x(t)是一个确定的时间函数； .当t可变，e可变时，x(t)是一个随机过程；
平稳过程 1）严平稳过程： 若 t1 , t2 , L tn T , 及h 0, ( X t ,X t , L , X tn ) 1 2
t n
n!
称为Poisson过程的强度或者速率，也就 是说单位事件内事件发生的次数。

例：顾客到达某商店服从 =4的Poisson分布
解：
设 N (t ) 表示在时间t时到达的顾客数
已知商店上午9：00开门，试求到9：30时 仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位 顾客的概率。
P ( N (0.5) 1, N (2.5) 5) P ( N (0.5) 1, N (2.5) N (0.5) 4)
E X n= xdF (x),0
0

k 1
N t sup n; Tn t
称{N(t),t≥0}更新过程。
或
N t I Tn t
n 1

一个典型的更新过程的例子就是机器零件的更换。在0时刻，安装上一 个新零件并开始运行，当零件在X1时刻发生损坏，马上用一个新的来 替换（假设替换零件不需要时间），当第二个零件从X1时间开始运行， 到X2时间发生损坏时，我们马上换第三个零件….这些零件的使用寿命 是独立同分布的，那么到t时刻为止已经更换的零件数目就构成一个更 新过程。
2、更新方程 ：如下形式的积分方程称为更新方程
K (t ) H (t ) K (t s )dF ( s )
0
t
其中H(t)，F(t)为已知，且当t<0时， H(t)， F(t)均为0，当H(t)在任何区间上有界时称 此方程为适定更新方程，简称更新方程。
设m(t)为更新函数，其导数称为更新密度，记为M(t)
P 0 1 2 1 4 0 0 0 1 2 0 1 4 0 0 0 1 2 1 2 0 1 1 2 0 0 0 1 4 0 0 0 0 0 1 4 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0
B (t ) B (t x) S ( x) ( x)dx
0
所以，
B (t ) B (t x) S ( x) ( x)dx
0 t
B (t x) S ( x) ( x)dx B (t x) S ( x) ( x)dx
t 0
这是一个更新方程，其中
其中C为常数,R满足方程


0
e S ( x) ( x)dx 1
Rx
当 F () 1 时，B(t)渐近指数地趋于0， 即人群最终消亡。 当 F () 1时， B(t)将趋于一个有限的正 数。
Markov链
有这样一类随机过程，它具备“无后效性”，即，要确定过程将 来的状态，知道它此刻的状态就足够了，并不需要对它以往状况 的认识，这类过程称为Markov过程。
2、随机过程的定义
i
设有一个过程x(t)，若对每一个固定的时刻t (j=1,2…)，X( t )是一个随 机变量，则x(t)称为随机过程。
j j
设随机试验E的样本空间为S={e}，对其每一个元素 e (i=1,2,…)都以某种法 则确定一个样本函数x(t, e ),由全部元素{e}所确定的一族样本函数x(t，e) 称为随机过程，记为x(t)。
Ex.2 从杂乱电讯号的一段观察{Y(t),0< t< T} 中,研究是否存在某种随机信号S(t )?
i
随机过程直观解释： 对随机信号或者噪声信号作一次观测相当于做一次随机试 验，每次随机试验所得到的观测记录结果 x (t) 是一个确定 的函数，称为样本函数，所有的样本函数的全体构成了随 机过程。
复合Poisson过程 条件Poisson过程
X t Yi
i 1
称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。
1、定义：设 是一个正的随机变量，分布函数为G(x)，设N(t) 是一个计数过程， 在 的条件下， {N(t),t≥0}是参数为 的泊松过程，即对任意的 s, t≥0，有
生育的女婴数
f ( x)dx S ( x) ( x)dx
---一个新生的女婴在年龄[x,x+dx]之间 期待生育的女婴数 所以
F ( x) f (t )dt
0 x
---一个新生的女婴在年龄x之前期待生 育的女婴数
F () 表示其一生中将期待生育个女婴数
可以证明:
Rt B ( t ) Ce ,t 当 F () 1 时，
5
10 1 1 m(10) (t )dt dt dt 4.5 0 0 2.5 5 2 9 1 (4.5) 4.5 9 2 P{N (10) N (0) 1} e e 1! 2
设{Yi,i≥1}是一族独立同分布的随机变量， {N(t),t≥0}是泊松过程，且{Yi,i≥1}与 {N(t),t≥0}独立，记 N t
f ( x) S ( x) ( x) H (t ) B (t x) S ( x) ( x)dx
t
作变量替换 x=y+t 得
H (t ) B ( y ) S ( y t ) ( y t )dy
0
注意：
H (t )dt ---年龄≥t的女性在时间[t,t+dt]之间
2、Poisson过程 计数过程 {N(t),t 0}称为参数为 ( 0) 的Poisson 过程，如果 （1）N(0)=0; (2)过程有独立增量； (3)对任意的 s, t 0, P { N (t s) N (s) n} e t , n 0,1, 2.....
t
令
m(t) (s)ds
0
t
例 设某设备的使用期限为10年，在前5年内它平均2.5年需要维修一次， 后5年平均2年需要维修一次，求它在使用期内只维修过一次的概率。 解 考虑非齐次泊松过程，强度函数
1 2 .5 (t ) 1 2
10
0t5 5 t 10
随机过程简介
1、实际背景： 在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做 特定时间点上的一次观察,且需要做多次的 连续不断的观察,以观察研究对象随时间推 移的演变过程. Ex.1 对某城市的气温进行n年的连续观察,记 录得 ： { X ( t ), a t b},
研究该城市气温有无以年为周期的变化规律?
P( N (0.5) 1) P( N (2) 4) ( 4 0 .5)1 4 0.5 (4 2) 4 42 e e 1! 4!
0.0155
Poisson过程的推广
当Poisson过程的强度 不再是常数，而与时间t有关时， Poisson过程被推广为非齐次Poisson过程。一般来说，非 齐次Poisson过程不具有平稳增量。 非齐次Poisson过程 计数过程 {N(t), t 0} 称做强度函数为 (t) 0(t 0) 的非齐次 Poisson过程，如果 （1）N(0)=0； （2）过程有独立增量； （3）对任意实数 t 0, s 0, N (t s) N(t) 为具有参数 t s m(t s) m(t) ()d 的Poisson分布。