湖南省长郡中学2019-2020学年高二上学期入学考试数学试题 Word版含解析

长郡中学2019-2020学年度高二第一学期入学考试数学

第Ⅰ卷

一､选择题:本大题共15个小题,每小题3分,共45分.

1.老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是（）

A. 随机抽样

B. 分层抽样

C. 系统抽样

D. 以上都是【答案】C

【解析】

【分析】

对50名学生进行编号，分成10组，组距为5，第一组选5，其它依次加5，得到样本编号. 【详解】对50名学生进行编号，分成10组，组距为5，第一组选5，

从第二组开始依次加5，得到样本编号为：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，属于系统抽样.

【点睛】本题考查系统抽样的概念，考查对概念的理解.

2.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为()

7

6

5

D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据三视图知该几何体是一个正四棱锥，结合图中数据求出各条棱长即可得出结论．

【详解】解：根据三视图知，该几何体是一个正四棱锥，画出图形如图所示；

则AC 2=

DC 2BE 2==，AC ⊥底面CDEB ，

结合图形中的数据，求得BC 2=

在Rt ABC 中，由勾股定理得2222AB AC BC (2)(2)2=+=+=，

同理求得22AD (2)26=+=

22222222AE AC CE AC CD DE (2)217=+=++=++=A ．

【点睛】本题利用三视图考查了四棱锥的结构特征，属基础题．

3.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *

++∈＜.若

8

7

1a a <-，则（ ） A. n S 的最大值为8S B. n S 的最小值为8S C. n S 的最大值为7S

D. n S 的最

小值为7S 【答案】C 【解析】 【分析】

由已知条件推导出（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ，从而得到d ＞0，所以a 7＜0，a 8＞0，由此求出数列{S n }中最小值是S 7．

【详解】∵（n +1）S n ＜nS n +1， ∴S n ＜nS n +1﹣nS n ＝na n +1 即na 1()12

n n d

-+

＜na 1+n 2d ，

整理得（n 2﹣n ）d ＜2n 2d

∵n2﹣n﹣2n2＝﹣n2﹣n＜0 ∴d＞0

∵8

7

a

a

-

＜1＜0

∴a7＜0，a8＞0

数列的前7项为负，

故数列{S n}中最小值是S7

故选C．

【点睛】本题考查等差数列中前n项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．

4.如图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )

A. 84,4.84

B. 84,1.6

C. 85,1.6

D. 85,4 【答案】C

【解析】

【分析】

根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分93和一个最低分79后，把剩下的五个数字求出平均数和方差．

【详解】由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，

所剩数据84，84，86，84，87的平均数为

8484868487

85

5

++++

=；

方差为()()()()()

22222

18

84858485868584858785

55

⎡⎤

-+-+-+-+-=

⎣⎦．

故答案为C

【点睛】茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识，也是高考的新增内容，考生应引起足够的重视，确保稳拿这部分的分数．

5.四面体P ABC

-的三组对棱分别相等，且长度依次为5,13 5.则该四面体的外接球的表面积（）

A.

294

π B. 28π

D. 29π

【答案】D 【解析】

分析：先将四面体P ABC -补成一个长方体，相邻三个面的对角线长分别为5，再通过解方程组得长方体的长宽高，最后根据四面体的外接球为长方体的外接球求结果.

详解：因为将四面体P ABC -补成一个长方体，相邻三个面的对角线长分别为5，

5,===得222

16,4,9x y z ===

=

因此四面体的外接球的表面积为24π29πR =， 选D.

点睛：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”．

6.若圆2

2

()()8x a y a -+-=上总存在点A ，使得||OA ≤，则实数a 的取值范围是

A. (3,1)

(1,3)-- B. ()3,3- C. [1,1]-

D.

[3,1][1,3]--

【答案】D 【解析】 【分析】

问题等价于圆()()22

8x a y a -++= 和圆2

2

2x y +=相交或相切，利用两圆圆心距大于等

于两圆半径之差、小于等于两圆半径之和求解即可.

【详解】问题可转化为圆()()22

8x a y a -++=和圆2

2

2x y +=相交或相切，

两圆圆心距d a =

=，

由1R r OO R r -≤≤+得≤，