湖南省长郡中学2019-2020学年高二上学期入学考试数学试题 Word版含解析

长郡中学2019-2020学年度高二第一学期入学考试数学第Ⅰ卷一､选择题:本大题共15个小题,每小题3分,共45分.1.老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是（）A. 随机抽样B. 分层抽样C. 系统抽样D. 以上都是【答案】C【解析】【分析】对50名学生进行编号，分成10组，组距为5，第一组选5，其它依次加5，得到样本编号. 【详解】对50名学生进行编号，分成10组，组距为5，第一组选5，从第二组开始依次加5，得到样本编号为：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，属于系统抽样.【点睛】本题考查系统抽样的概念，考查对概念的理解.2.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为()765D. 2【答案】A【解析】【分析】根据三视图知该几何体是一个正四棱锥，结合图中数据求出各条棱长即可得出结论．【详解】解：根据三视图知，该几何体是一个正四棱锥，画出图形如图所示；则AC 2=DC 2BE 2==，AC ⊥底面CDEB ，结合图形中的数据，求得BC 2=在Rt ABC 中，由勾股定理得2222AB AC BC (2)(2)2=+=+=，同理求得22AD (2)26=+=22222222AE AC CE AC CD DE (2)217=+=++=++=A ．【点睛】本题利用三视图考查了四棱锥的结构特征，属基础题．3.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *++∈＜.若871a a <-，则（ ） A. n S 的最大值为8S B. n S 的最小值为8S C. n S 的最大值为7SD. n S 的最小值为7S 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件推导出（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ，从而得到d ＞0，所以a 7＜0，a 8＞0，由此求出数列{S n }中最小值是S 7．【详解】∵（n +1）S n ＜nS n +1， ∴S n ＜nS n +1﹣nS n ＝na n +1 即na 1()12n n d-+＜na 1+n 2d ，整理得（n 2﹣n ）d ＜2n 2d∵n2﹣n﹣2n2＝﹣n2﹣n＜0 ∴d＞0∵87aa-＜1＜0∴a7＜0，a8＞0数列的前7项为负，故数列{S n}中最小值是S7故选C．【点睛】本题考查等差数列中前n项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．4.如图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )A. 84,4.84B. 84,1.6C. 85,1.6D. 85,4 【答案】C【解析】【分析】根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分93和一个最低分79后，把剩下的五个数字求出平均数和方差．【详解】由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据84，84，86，84，87的平均数为8484868487855++++=；方差为()()()()()22222188485848586858485878555⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦．故答案为C【点睛】茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识，也是高考的新增内容，考生应引起足够的重视，确保稳拿这部分的分数．5.四面体P ABC-的三组对棱分别相等，且长度依次为5,13 5.则该四面体的外接球的表面积（）A.294π B. 28πD. 29π【答案】D 【解析】分析：先将四面体P ABC -补成一个长方体，相邻三个面的对角线长分别为5，再通过解方程组得长方体的长宽高，最后根据四面体的外接球为长方体的外接球求结果.详解：因为将四面体P ABC -补成一个长方体，相邻三个面的对角线长分别为5，5,===得22216,4,9x y z ====因此四面体的外接球的表面积为24π29πR =， 选D.点睛：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”．6.若圆22()()8x a y a -+-=上总存在点A ，使得||OA ≤，则实数a 的取值范围是A. (3,1)(1,3)-- B. ()3,3- C. [1,1]-D.[3,1][1,3]--【答案】D 【解析】 【分析】问题等价于圆()()228x a y a -++= 和圆222x y +=相交或相切，利用两圆圆心距大于等于两圆半径之差、小于等于两圆半径之和求解即可.【详解】问题可转化为圆()()228x a y a -++=和圆222x y +=相交或相切，两圆圆心距d a ==，由1R r OO R r -≤≤+得≤，解得13a ≤≤，即[][]3,11,3a ∈--⋃，故选D.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，体现了转化的数学思想，属于中档题. 两圆半径为,R r ，两圆心间的距离d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系.7.在锐角三角形ABC 中，已知,,a b c 分别是角,,A B C 2sin ,4a B a ==，则ABC 面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】2sin a B =利用正弦定理将边化成角，得到sin A 的值，利用余弦定理，得到bc 的最大值，再由面积公式1sin 2S bc A =得到ABC 面积的最大值. 【详解】在ABC 中，由正弦定理得sin sin a b A B=2sin a B = 2sin sin B A B =，解得sin 2A =ABC 为锐角三角形，则1cos2A ==由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,2216b c bc =+-22162bc b c bc ∴+=+≥，16bc ≤，当且仅当b c =时，等号成立1sin 24ABCSbc A bc ∴=⋅=≤故选B 项.【点睛】本题考查三角形中正余弦定理的使用，基本不等式的简单应用，属于基础题. 8.若P 为两条异面直线l m ，外的任意一点，则（ ） A. 过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 B. 过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 C. 过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交D. 过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面 【答案】B 【解析】解：因为若点P 是两条异面直线l m ，外的任意一点，则过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直，选B9.已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且12019lg lg 0a a +=，若22()1f x x =+，则122019()()()f a f a f a +++=（ ）A. 2018B. 4036C. 2019D. 4038【答案】C 【解析】【详解】∵正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且12019lg lg 0a a += ∴12019lg 0a a ⋅=，即120191a a ⋅=. ∵函数()221f x x =+ ∴222212222()()21111x f x f x x x x ++=+==+++ 令122019()()()T f a f a f a =++⋅⋅⋅+，则201920181()()()T f a f a f a =++⋅⋅⋅+ ∴1201922018201912()()()()()()22019T f a f a f a f a f a f a =++++⋅⋅⋅++=⨯ ∴2019T = 故选C.点睛：倒序相加法求和，不仅应用在等差数列中，而且在函数中也有应用.等差数列中主要利用等差数列性质：若()*,,,,m n p q m n p q N+=+∈，则mn p q aa a a +=+；函数中主要利用对称中心性质：若()f x 关于(),m n 对称，则()()22f x f m x n +-=. 10.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c b c a --=sinAsinC sinB +，则B= ( ) A.π6B.π4C. π3D. 3π4【答案】C【解析】试题分析：根据正弦定理sin sin sin a b cA B C ==可得sin sin sin A a C B c b=++, 由已知可得c b ac a c b-=-+,整理可得222a c b ac +-=, 2221cos 222a cb ac B ac ac +-∴===,∴在ABC ∆中3B π=.故C 正确.考点：1正弦定理;2余弦定理.11.过点0)引直线l与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当OA OB ⊥时，直线l 的斜率等于（ ）A.C.D.【答案】A 【解析】分析：由题意得曲线y =x轴上方的部分，设过点0)的直线为0(y k x -=，即0kx y --=，又由OA OB ⊥，所以圆心到直线的距离等于2r ，列出方程即可求解.详解：由y 221(0)x y y +=≥，所以曲线y x 轴上方的部分，则过点0)的直线与曲线y =由两个交点，则10k -<<，设直线的方程为0(y k x -=-，即0kx y --=，又由OA OB ⊥，所以圆心到直线的距离等于2r，即2d ==，解得3k =±，又因为10k -<<，所以3k =-，故选A.点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用问题，其中把OA OB ⊥转化为圆心到直线的距离为2r ，利用点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及推理与运算能力.12.已知函数()cos ,(0,2)f x x x π=∈有两个不同的零点12,x x ,且方程()(0)f x m m =≠有两个不同的实根34,x x ,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数m =( ) A.12B. 12-D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可知：123,22x x ππ==，且34,x x 只能分布在12,x x 的中间或两侧，下面分别求解并验证即可的答案． 【详解】由题意可知:123,22x x ππ==,且34,x x 只能分布在12,x x 的中间或两侧,若34,x x 分布在12,x x 的中间,则公差32233d πππ-==, 故34,x x 分别为56π､76π,此时可求得5cos 62m π==-; 若34,x x 分布在12,x x 的两侧,则公差322d πππ=-=, 故34,x x 分别为5,22ππ-,不合题意.故选D.【点睛】本题为等差数列的构成问题，涉及分类讨论的思想和函数的零点以及三角函数，属中档题．13.已知直线:10l x y --=，2:220l x y --=，若直线2l 与1l 关于l 对称，则1l 的方程是（ ）A 210x y -+= B. 210x y --= C. 10x y +-= D. 210x y +-=【答案】B 【解析】【分析】画出l 和2l 的图像，确定两者的交点，结合直线1l 的斜率，确定正确选项. 【详解】由10220x y x y --=⎧⎨--=⎩解得l 和2l 的图像的交点为()1,0，由于l 的斜率为1，2l 的斜率为2，故1l 的斜率为正数，由此排除C,D 选项.结合1l 过()1,0，排除A 选项.故选B.【点睛】本小题主要考查直线关于直线对称的直线方程的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14.设平面点集{}221(,)|()()0,(,)|(1)(1)1A x y y x y B x y x y x⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂所表示的平面图形的面积为A.34π B. 35πC.47π D.2π 【答案】D 【解析】【详解】由集合1(,)|()()0A x y y x y x ⎧⎫=--≥⎨⎬⎩⎭可得其表示的区域为10y x y x -≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩和010y x y x -≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩所对应的平面区域， 集合{}22(,)|(1)(1)1B x y x y =-+-≤表示的区域为圆22(1)(1)1x y -+-=内和圆上的点对应的区域；作出对应图像，则I ，III 对应的区域，即为所求平面区域； 因为函数1y x=的图像，与圆22(1)(1)1x y -+-=均关于y x =对称， 所以I ，III 区域的面积恰好为圆的一半，故所求平面区域的面积为：2π. 故选：D.15.数列{}n a 的通项222ππcossin 33n n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其前n 项和为n S ，则30S 为（ ） A. 470 B. 490C. 495D. 510【答案】A 【解析】分析：利用二倍角的余弦公式化简得22πcos 3n n a n =，根据周期公式求出周期为3，从而可得结果.详解：首先对{}n a 进行化简得22πcos3n n a n =，又由2πcos 3n 关于n 的取值表： n1 2 3456可得2πcos3n 的周期为3，则可得22222222230124528293630222S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设()()()222323153922kk k b k k -+-=-+=-， 则()305912 (10104702)S =+++-⨯=，故选A ． 点睛：本题考查二倍角的余弦公式、三角函数的周期性以及等差数列的求和公式，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力以及计算能力，求求解过程要细心，注意避免计算错误.第Ⅱ卷二､填空题:本大题共5个小题,每小题3分,共15分.16.已知,,a b c 为直角三角形的三边长，c 为斜边长，若点(,)M m n 在直线:20l ax by c ++=上，则22m n +的最小值为__________． 【答案】4 【解析】∵a，b ，c 为直角三角形中的三边长，c 又∵点M （m ，n ）在直线l ：ax+by+2c=0上， ∴m 2+n 2表示直线l 上的点到原点距离的平方， ∴m 2+n 2的最小值为原点到直线l 距离的平方， 由点到直线距离公式可得=2，∴m 2+n 2的最小值为d 2=4， 故答案为4.17.已知函数2()()f x x ax b a b R =++∈，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ． 【答案】9． 【解析】∵f(x)＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴b－24a ＝0，∴f(x)＝x 2＋ax ＋14a 2＝12x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2.又∵f(x)＜c 的解集为(m ，m ＋6)，∴m，m ＋6是方程x 2＋ax ＋24a －c ＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得()226{64m a a m m c+=-+=-解得c ＝9.18.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点,则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为__________.【答案】34【解析】 【分析】根据三棱柱的性质可知，11//C C A A ，异面直线AB 与1CC 所成的角就是1A AB ∠，连接1A B ，利用余弦定理即可求解． 【详解】作出草图，如下：由三棱柱的性质可知，11//C C A A ，异面直线AB 与1CC 所成的角就是1A AB ∠，连接1A B ，又三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，所以1A D BC ⊥， ∴三角形1A DB 是直角三角形， 设1DB =，则12AB A A ==．又AD BC⊥11AD A D ∴==，所以1A B 在1A AB ∆中，由余弦定理可知：22211114423cos 22224A A AB A B A AB A A AB +-+-∠===⋅⨯⨯． 故答案为：34． 【点睛】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.已知0,0x y >>，且1x y +=，若19a x y≤+恒成立，则实数a 的最大值为__________． 【答案】16 【解析】 【分析】 不等式19a x y ≤+恒成立⇔（19x y+）min ≥a ．利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出． 【详解】∵0,0x y >>，且1x y +=∴()1919x y x y x y ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭10910y x x y ++≥+=16，当且仅当y ＝3x ＝34时取等号． ∵不等式19a x y ≤+恒成立⇔（19x y+）min ≥a ． ∴a ∈（﹣∞，16]， 即实数a 的最大值为16 故答案为16．【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．20.已知a ，b ，c 分别为ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，2a =且(2)(sin sin )b A B +-()sin c b C =-，则ABC 面积的最大值为__．【答案】3 【解析】【详解】由已知()()()a b a b c b c +-=-，即2221cos 2b c a bc A +-=⇒=得60A =︒， 222244b c bc b c bc bc ∴+-=∴=+-≥1sin 32ABC S bc A ∆∴=≤三､解答题:本大题共5个小题,每小题8分,共40分.21.某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5． 【解析】【详解】试题分析：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a ，解方程（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数 试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x ＋0.005＋0.0025)×20＝1得：x ＝0.0075，所以直方图中x 的值是0.0075. ------------- 3分 (2)月平均用电量的众数是2202402+＝230. ------------- 5分 因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内， 设中位数为a ，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5得：a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分 (3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25户， 月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户， 月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100＝10户，月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分 抽取比例＝112515105+++＝15，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5户．-- 12分考点：频率分布直方图及分层抽样22.已知数列{}n a 为等差数列，0n a ≠，且满足231173232a a a +=，数列{}n b 满足120n n b b +-=，77b a =．（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若n n c nb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 【答案】（I ）12n n b -=； （Ⅱ）(1)21n n S n =-•+.【解析】 【分析】（I ）由等差数列的性质可得：23117732323220a a a a +==⨯≠，解得7a ．利用等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）1•2n n n c nb n -==，利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出． 【详解】（I ）由等差数列的性质可得：23117732323220a a a a +==⨯≠，解得764a =．数列{}n b 满足120n n b b +-=，可得：数列{}n b 是等比数列，公比为2．∵7764b a ==．∴61•264b =，解得11b =． ∴12n n b -=．（Ⅱ）若1•2n n n c nb n -==，∴数列{}n c 的前n 项和()221122321?2?2n n n S n n --=+⨯+⨯++-+，()2312222321?2?2n n n S n n -=+⨯+⨯++-+，∴21211222?2?221n n nn n S n n ---=++++-=--，可得()1?21n n S n =-+．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式性质与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 23.已知向量23sin,1,cos ,cos 444x x x m n ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记()f x m n =． （1）若()1f x =，求cos 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满()2cos cos a c B b C -=，求()2f A 的取值范围．【答案】（1）12；（2）3]2【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换可得()sin()26x f x π=+12+，由()1f x =可得1sin()262x π+=，根据二倍角公式可得cos()3x π+的值；（2）根据正弦定理消去(2)cos cos a c B b C -=中的边可得3B π=，所以23A C π=-，又02C <<π，则62A ππ<<，得2363A πππ<+<，根据三角函数值域的有界性即可求得(2)f A 的取值范围． 【详解】（1）向量(3sin,1)4x m =，2(cos ,cos )44x xn =，记()f x m n =⋅，则2()cos cos 4442x x x x f x =+=11cos 222x ++sin()26x π=+12+，因为()1f x =，所以1sin()262x π+=， 所以21cos()12sin ()3262x x ππ+=-+=． （2）因为(2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， 所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=， 所以2sin cos sin()sin A B B C A =+=，sin 0A ≠，所以1cos 2B =，又02B π<<，所以3B π=，则23A C π+=，即23A C π=-，又02C <<π， 则62A ππ<<，得2363A πππ<+<，sin()16A π<+≤，又1(2)sin()62f A A π=++，所以(2)f A 的取值范围3]2． 考点：三角求值、正弦函数的值域及正弦定理解三角形.24.如图，已知正三棱柱ABC=A 1B 1C 1的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱CC 1上，且不与点C重合．（1）当CF=1时，求证：EF⊥A1C；（2）设二面角C﹣AF﹣E的大小为θ，求tanθ的最小值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）过E作EN⊥AC于N，连接EF，NF，AC1，由直棱柱的性质可知，底面ABC⊥侧面A1C ∴EN⊥侧面A1CNF为EF在侧面A1C内的射影在直角三角形CNF中，CN=1则由，得NF∥AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C由三垂线定理可知EF⊥A1C（2）连接AF，过N作NM⊥AF与M，连接ME由（1）可知EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AF∴∠EMN是二面角C﹣AF﹣E的平面角即∠EMN=θ设∠FAC=α则0°＜α≤45°，在直角三角形CNE中，NE=，在直角三角形AMN中，MN=3sinα故tanθ=，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤故当α=45°时，tanθ达到最小值，tanθ=，此时F与C1重合此处有视频，请去附件查看】25.已知圆C：x2+y2+x-6y+m=0与直线l：x+2y-3=0．（1）若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．【答案】（1）37(8,)4（2）m ＝3 【解析】(1)将圆的方程配方，得1()2x +2＋(y －3)2＝3744m-，故有3744m -＞0，解得m ＜374.将直线l 的方程与圆C 的方程组成方程组，得22230{60x y x y x y m +-=++-+=消去y ，得x 2＋32x -⎛⎫⎪⎝⎭2＋x －6×32x -＋m ＝0， 整理，得5x 2＋10x ＋4m －27＝0， ①∵直线l 与圆C 没有公共点，∴方程①无解，故有Δ＝102－4×5(4m －27)＜0，解得m ＞8.∴m 的取值范围是37(8,)4. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由OP ⊥OQ ，得OP OQ ⋅＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0， ② 由①及根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝4275m -， ③ 又∵P 、Q 在直线x ＋2y －3＝0上，∴y 1·y 2＝132x -·232x -＝14[9－3(x 1＋x 2)＋x 1·x 2]， 将③代入上式，得y 1·y 2＝125m +， ④将③④代入②得x 1·x 2＋y 1·y 2＝4275m -＋125m +＝0，解得m ＝3.代入方程①检验得Δ＞0成立，∴m ＝3.。