人教版数学高一-高一数学《函数及其表示(1)》学案

（Ⅰ）、基本概念及知识体系：

1、 函数概念：书本：P15实例1、炮弹的发射——解析法；实例

2、臭氧问题——图象法；

实例3、恩格尔系数——列表法；

2、 函数的定义：P16定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于

集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称

:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈. 其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）；注意记为y=f(x),x ∈A ； 3、 构成函数的三要素是：定义域、值域、对应法则。

4、函数y=f(x)的定义域和值域：已学的一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？

●练习：题1、2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。 → 题2、求223,{1,0,1,2}y x x x =-+∈-值域.

5、 区间的概念：

●练习：1、用区间表示：R 、{x|x ≥a}、{x|x>a}、{x|x ≤b}、{x|x

●作业：已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1) （Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程： （一）、函数的概念：

（二）、函数的定义域的常见求法： ★【例题1】、书本P17例题1、例题2

★【例题2】、如果函数ƒ(x)满足：对任意的实数m 、n 都有ƒ(m)+ ƒ(n)= ƒ(m+n)且ƒ(1003)=2，

则ƒ(1)+ ƒ(3)+ ƒ(5)+…+ƒ(2005)=____(2006)

★【例题3】、(06·重庆·T 21·12分)已知定义域为R 的函数f(x)满足ƒ(f(x)-x 2+x)=f(x)-x 2+x. （Ⅰ）若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a)；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x 0,使得f(x 0)= x 0,求函数f(x)的解析表达式.

▲解：（Ⅰ）因为对任意x ∈R ，有f(f(x)- x 2 + x)=f(x)- x 2 +x ，所以f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2. 又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.；若f(0)=a ，则f(a-02+0)=a-02+0，即f(a)=a. （Ⅱ）因为对任意x εR ，有f(f(x))- x 2 +x)=f(x) - x 2 +x.；又因为有且只有一个实数x 0,使得f(x 0)- x 0.

所以对任意x ∈R ，有f(x)- x 2 +x= x 0.；在上式中令x= x 0,有f(x 0)-x 20 + x 0= x 0,

又因为f(x 0)- x 0，所以x 0- x 20=0，故x 0=0或x 0=1.；若x 0=0，则f(x)- x 2 +x=0，即f(x)= x 2 –x.

但方程x 2 –x=x 有两上不同实根，与题设条件矛质，故x 2≠0.

若x 2=1,则有f(x)- x 2 +x=1，即f(x)= x 2 –x+1.易验证该函数满足题设条件. 综上，所求函数为f(x)= x 2 –x+1（x ∈R ）.

▲★课堂练习：

●练习题：书本P19题1、2、3；书本P24：习题1、2、3、4、5

●思考题：已知函数ƒ（x ）对一切实数x 、y 均有ƒ（x+y ）-ƒ（y ）=（x+2y+1）·x 成立，且ƒ（1）=0

①求ƒ（0）之值;②当ƒ（x ）+3<2x+a 且0

2

恒成立时，求a 的取值范围

解、①ƒ（0）=-2； ②化为a >(x-12)2+3

4 从而有｛a | a ≥1｝为所求（函数的恒成立问题——

函数思想去处理！） （三）、今日作业：

●1、设f(x)＝2

|1|2,||1,

1, ||11x x x x --≤⎧⎪

⎨>⎪+⎩，则f[f(21)]＝( B )

(A)

21 (B)413 (C)－95 (D) 25

41

解：f[f(12)]=f[|12-1|-2]=f[-32]=2114

31313

1()24

==+-,选(B)

（四）、提高练习：

★【题1】、已知函数f (x)=2x-1,2(()x g x ⎧≥=⎨⎩当x 0时)

-1(当x<0时)

，求f[g(x)]和g[f(x)]之值。

★【题2】、书本：P25：6题。

★【题3】、已知函数f(x+1)=x 2-3x+2，求f(x)之表达式

★【题4】、已知函数f(x +4)=x+8x +2，求f(x 2)之表达式（学习高手P44）

★思考题：【题5】、二次函数ƒ（x ）=ax 2+bx (a,b 为常数且a ≠0)满足ƒ（-x+5）=ƒ（x-3）且方程ƒ（x ）=x 有等根；①求ƒ（x ）的解析式；②是否存在实数m 、n(m

解、①ƒ（x ）=-12x 2+x ②由于ƒ（x ）的值域是ƒ（x ）≤12,则3n ≤12,即n ≤1

6,所以有ƒ（m ）

=3m 且ƒ（n ）=3n

∴存在实数m=-4,n=0使ƒ（x ）定义域为[-4，0]，值域为[-12，0]

（Ⅲ）、课堂回顾与小结：

1、注意函数的表示和定义域问题。 2．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出

则 则

[(1)]

f g x

1 2 3 ()f x 1

3

1

x

1 2 3 ()g x

3

2

1