平行线的证明例题 PPT
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北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明平行线的性质课件
A. ∠1+∠2-∠3=90°
ห้องสมุดไป่ตู้
B. ∠2+∠3-∠1=180°
C. ∠1-∠2+∠3=180°
D. ∠1+∠2+∠3=180°
4. 如图，已知AB∥CD，∠BAD=∠BCD，那么AD∥BC吗？在下面横线上填空或
填写理由.
解： 因 为AB∥CD,所 以 ∠1 = ∠2 （ 两直线平行 ，内错角相等 ）.又因为
5. 如图，一束平行光线AB与DE射向一个平面镜后被反 射，它们的反射光线依次为BC，EF.求证：BC∥EF.（提示： 根据光的反射定理,可得∠1=∠2,∠3=∠4）
∵AB∥DE(已知), ∴∠1=∠3(两直线平行，同位角相等). ∵∠1=∠2,∠3=∠4(光的反射原理), ∴∠2=∠4(等量代换). ∴BC∥EF(同位角相等，两直线平行).
4. 定理：平行于同一条直线的两条直线 平行 .
1. 如图,∠B=70°,∠DEC=100°,∠EDB=110°,则∠C等于（ C ）
A. 70°
B. 110° C. 80°
D. 100°
2. 如图，AB∥CD，FH平分∠BFG，∠EFB＝58°，则下列说法错误的是( D )
A. ∠EGD＝58°
B. GF＝GH
C. ∠FHG＝61°
D. FG＝FH
3. 如图，AD平分∠BDF,∠3=∠4，若∠1=50°,∠2=130°，则∠CBD= 65 °．
4. 看图填空：已知如图，直线a,b,c被直线l所截. ∵a∥b,b∥c, ∴a∥c（平行于同一条直线的两条直线平行）. ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.
∠ BAD=∠BCD( 已 知 ), 所 以 ∠ BAD-∠1=∠BCD-∠2( 等 量 代 换 ). 即 ∠ 3=∠4 ， 所 以
《定义与命题》平行线的证明PPT课件(第1课时)
（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
知1－讲
（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. （8）三边分别相等的两个三角形全等.
另外一条基本事实我们将在后面的学习中认识它. 此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质， 以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据. 例如，如果a=b，b=c, 那么a=c,这一性质也可以作为 证明的依据，称为“等量代换”.又如，如果a>b，b>c，
第七章 平行线的证明
7.2 定义与命题
第2课时
1 课堂讲解
2 课时流程
逐点 导讲练
定理与公理 证明
课堂 小结
作业 提升
想一想 举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那
么如何证实一个命题是真命题呢？
知识点 1 定理与公理
用我们以 前学过的观察、 实验、验证特
例等方法.
能不能根据 已经知道的真命
所以不是命题；(3)对一件事情作出了肯定的判断，
所以是命题；(4)对事情作出了否定的（判来断自，《点所拨以》是）
命题.
总结
知2－讲
命题是表示判断的语句，它包含有因果关系，一 般都是以陈述句的形式展现；其他如疑问句、感叹句、 祈使句以及表示画图的语句都不是命题.
（来自《点拨》）
知2－讲
例3 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式： (1)对顶角相等； (2)垂直于同一条直线的两条直线平行； (3)同角或等角的余角相等．
知3－讲
1.正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. 2.要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子， 使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种 例子称为反例.
知3－讲
例4 指出下列命题的条件和结论，并判断是真命题还是 假命题． (1)互为补角的两个角相等； (2)若a＝b，则a＋c＝b＋c； (3)如果两个长方形的周长相等，那么这两个长方形 的面积相等．
知1－讲
（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. （8）三边分别相等的两个三角形全等.
另外一条基本事实我们将在后面的学习中认识它. 此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质， 以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据. 例如，如果a=b，b=c, 那么a=c,这一性质也可以作为 证明的依据，称为“等量代换”.又如，如果a>b，b>c，
第七章 平行线的证明
7.2 定义与命题
第2课时
1 课堂讲解
2 课时流程
逐点 导讲练
定理与公理 证明
课堂 小结
作业 提升
想一想 举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那
么如何证实一个命题是真命题呢？
知识点 1 定理与公理
用我们以 前学过的观察、 实验、验证特
例等方法.
能不能根据 已经知道的真命
所以不是命题；(3)对一件事情作出了肯定的判断，
所以是命题；(4)对事情作出了否定的（判来断自，《点所拨以》是）
命题.
总结
知2－讲
命题是表示判断的语句，它包含有因果关系，一 般都是以陈述句的形式展现；其他如疑问句、感叹句、 祈使句以及表示画图的语句都不是命题.
（来自《点拨》）
知2－讲
例3 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式： (1)对顶角相等； (2)垂直于同一条直线的两条直线平行； (3)同角或等角的余角相等．
知3－讲
1.正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. 2.要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子， 使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种 例子称为反例.
知3－讲
例4 指出下列命题的条件和结论，并判断是真命题还是 假命题． (1)互为补角的两个角相等； (2)若a＝b，则a＋c＝b＋c； (3)如果两个长方形的周长相等，那么这两个长方形 的面积相等．
两直线平行性质(共15张PPT)
写出已知、求证(不写证明过程)：
∵ ∠3=∠1 (
)
∴b∥c(同位角相等，两直线平行）
求证：b∥c 3)两条平行线的一对内错角的平分线互相
m存在两条直线AB和GH都与
∵ ∠3=∠1 (
)
bc
a
第12页，共1写出已知、求证(不写证明过程)： 2)一个角的平分线上的点到这个角的两边
第1页，共15页。
1.公理:
人们在长期实践中总结出来的， 并作为判定其他命题真假的根据.
2.定理:
用推理的方法得到的真命题.
3.证明:
除公理外，一个命题的正确性 需要经过推理，才能作出判断，这
个推理的过程叫做证明.
第2页，共15页。
平行线的判定
公理:
a
同位角相等,两直线平行. b
∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
a
直线a、b被直线c所截形成
的同位角。
b
c
1
2
求证：∠1=∠2
第4页，共15页。
证明：假设∠1 ∠≠ 2，那么我们可以过点M作 直线GH,使∠EMH=∠2,如图所示
E
• 根据“同位角相等，两直线 G
平行”可知GH∥CD.
A
1
B
M
H
又因为AB∥CD,这样经过点 C N 2
D
m存在两条直线AB和GH都与 F
第6页，共15页。
已知：如图，直线a∥b, ∠1和∠2
是直线a、b被直线c截出的内错角 .
求证：∠1=∠2
c
3a
证明：
∵a∥b ( 已知)
1
2b
∴∠3=∠2( 两直线平行，同位角相等) ∵ ∠3=∠1 ( 对顶角相等 )
《平行线的判定定理》课件
平行线的同旁内角互补定理
总结词
同旁内角互补是判断两直线平行的关键条件。
详细描述
当两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行。具体来 说，如果同旁内角之和等于180度，则这两条直线平行。
平行线的内错角相等定理
总结词
内错角相等是判断两直线平行的又一 重要条件。
详细描述
当两条直线被第三条直线所截，如果 内错角相等，则这两条直线平行。具 体来说，如果内错角相等，则这两条 直线平行。
平行线表示方法
用“//”表示两条直线平行。
平行线性质符号表示
同位角相等（∠1=∠2），内错角相等（∠3=∠4），同旁内角互补（ ∠5+∠6=180°）。
平行线的性质
平行线的性质
同位角相等、内错角相等、同旁内角 互补。
平行线性质的应用
证明两直线平行、计算角度大小、解 决几何问题。
02
平行线的判定定理
键之一。
04
练习题与解析
基础练习题
01
基础练习题1：题目1 、2、3
02
基础练习题2：题目4 、5、6
03
基础练习题3：题目7 、8、9
进阶练习题
1 2
3
进阶练习题1
题目10、11、12
进阶练习题2
题目13、14、15
进阶练习题3
题目16、17、18
综合练习题
综合练习题1 综合练习题2 综合练习题3
题。
角的度量与计算
02
介绍角的度量单位和方法，以及如何进行角的计算。
复习与巩固
03
对本单元所学知识进行复习巩固，强化学生对平行线和相交线
知识的掌握。
THANKS
判定两直线平行的六种方法 (共12张PPT)
课后作业
Listen attentively
12．如图，∠1=∠2，CF⊥AB，DE⊥AB，垂足分别为点F、E，
求证：FG∥BC．
证明：∵CF⊥AB，DE⊥AB（已知），
∴∠BED=90°，∠BFC=90°，∴∠BED=∠BFC，
∴∴∠E1D=∠同BC位F∥（角相FC等（，两直线平行
）， ）.
又∵∠1=∠2（已知）， ∴∠两2=直∠线BC平F（行,同位角相等 ），
课后作业
Listen attentively
10．如图，∠1=∠ABC=∠ADC，
∠3=∠5，∠2=∠4，
∠ABC+∠BCD=180°，
将下列推理过程补充完整：
（1）∵∠1=∠ABC（已知），
∴AD∥BC（ 同位角相等，两直）线. 平行
（2）∵∠3=∠5（已知），
∴ AB∥ C（D 内错角相等，两直线平行）
七年级下册数学（北师版）
第二章 相交线与平行线
专题训练 判定两直线平行的六种方法
平行线的判定方法：∵
一．平行线的定义 二．平行于同一条直线的两直线平行 三．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 四．同位角相等，两直线平行 五．内错角相等，两直线平行 六．同旁内角互补，两直线平行
一、利用平行线的定义
∴FG∥BC（
等量代换
）.
内错角相等，两直线平行
课后作业
13．如图Lis，ten∠atteEn=tiv∠ely 1，∠3+∠ABC=180°，BE是∠ABC的角
平分线．求证：DF∥AB
证明：∵BE是∠ABC的角平分线
∴∠1=∠2 （ 角平分线定义
）
又∵∠E=∠1
∴∠E=∠2 （ 等量代换
线面平行的判定定理ppt课件
三个条件缺一不可，缺少其中任何一条，则 结论就不一定成立了.
2、简记：线线平行，则线面平行。
3、定理告诉我们：
直线间平行关系
直线与平面平行关系
空间问题
平面问题
理论迁移
例1.空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的
中点，试判断EF与平面BCD的位置关系，并予
以证明.P29例1.
A
解：EF∥平面BCD。
求证：AB1//平面DBC1
A1
C1
B1
P
D
A
C
B
2、如图，在正方体 ABCD——A1B1C1D1中， O是底面ABCD对角线的交点. 求证：C1O//平面AD1B1.
A1 C1
B1
E
A D C
B
4、如图 ,正方体AC1中,点N是BD中点,点M是B1C中 点.
求证: MN // 平面AA1B1B .
件是要满足六个字，
b
“面外、面内、平行”. b//a
a //
反思3:运用定理的关键是找平行线,找平行线又经常会 用到三角形中位线定理.
理论迁移
例2. 如图，四面体ABCD中，E，F，G，H分别 是AB，BC，CD，AD的中点.
(1)E、F、G、H四点是否共面？
(2)试判断AC与平面EFGH的位置关系；A
根据定义，判定直线与平面是否平行，只需 判定直线与平面有没有公共点．但是，直线无限 延长，平面无限延展，用定义这种方法来判定直 线与平面是否平行是很困难的.
那么，是否有简单的方法来判定直线与平面 平行呢？
知识探究（三）：直线与平面平行的判断定理 1、直观感知
三.线面平行判定定理的探究
动手操作—确认定理
认识平行PPT课件
宇宙中的秩序和规律。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
平行的定义
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行线的性质
平行线间距离相等、同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。
平行线的判定
同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等条件可判定两直线平 行。
典型例题分析讲解
01
02
03
04
05
例题1：已知直线l1和l2 被直线l3所截，且∠1 = ∠2，求证l1∥l2。
线平行，同位角相等）。
所以根据同位角相等定 AB∥CD，我们可以利用 又因为EG平分∠BEF，
理，可得l1∥l2。
平行线的性质来找到与 FH平分∠DFE，所以
EG、FH相关的角的关系。 ∠GEF = 1/2∠BEF，
∠HFE = 1/2∠DFE。因
此，∠GEF = ∠HFE，所
以EG∥FH（同位角相等，
两直线平行）。
拓展延伸：探索更多领域中的“平行”
物理中的“平行”
在物理学中，平行的概念也经常出现。例如，在光学中，当光线通过透镜或反射镜时，平行的光线会保持平行；在力学中， 平行的力或力矩会对物体产生特定的效果。
数学中的“平行”
除了几何中的平行线外，数学中还有其他与“平行”相关的概念。例如，在向量空间中，两个向量如果方向相同或相反， 则称它们为平行向量；在矩阵中，如果两行或两列成比例，则称它们为平行行或平行列。
平行投影原理
在平行投影中，投影线是一组相互平行的直线，它们从一个方向照射 到物体上，并在与投影线平行的平面上形成物体的投影。
真实性
平行投影能够保持物体的真实形状和大小，不会因为投影角度的改变 而产生变形。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
平行的定义
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行线的性质
平行线间距离相等、同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。
平行线的判定
同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等条件可判定两直线平 行。
典型例题分析讲解
01
02
03
04
05
例题1：已知直线l1和l2 被直线l3所截，且∠1 = ∠2，求证l1∥l2。
线平行，同位角相等）。
所以根据同位角相等定 AB∥CD，我们可以利用 又因为EG平分∠BEF，
理，可得l1∥l2。
平行线的性质来找到与 FH平分∠DFE，所以
EG、FH相关的角的关系。 ∠GEF = 1/2∠BEF，
∠HFE = 1/2∠DFE。因
此，∠GEF = ∠HFE，所
以EG∥FH（同位角相等，
两直线平行）。
拓展延伸：探索更多领域中的“平行”
物理中的“平行”
在物理学中，平行的概念也经常出现。例如，在光学中，当光线通过透镜或反射镜时，平行的光线会保持平行；在力学中， 平行的力或力矩会对物体产生特定的效果。
数学中的“平行”
除了几何中的平行线外，数学中还有其他与“平行”相关的概念。例如，在向量空间中，两个向量如果方向相同或相反， 则称它们为平行向量；在矩阵中，如果两行或两列成比例，则称它们为平行行或平行列。
平行投影原理
在平行投影中，投影线是一组相互平行的直线，它们从一个方向照射 到物体上，并在与投影线平行的平面上形成物体的投影。
真实性
平行投影能够保持物体的真实形状和大小，不会因为投影角度的改变 而产生变形。
北师大版八年级数学上册《平行线的判定》平行线的证明PPT课件
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三 级
级
此 处
四 级
编
五
辑
• 二级
级
母
击 此 处 编
1.了•解三•级并四级掌握平行线的判定公理和定版文 理．（重点辑）
2.了解证•明五级的一般步骤．（难点）本样
式
母 版
标
题
样
式
2200232/53//55/5
2
2
•
•
•
• •
观单•察单击与击请此思此找处考处编出辑图编母中版辑文的母本平导样版行式入标线新！题它课样五们四 级式三级为二级什单击此处编辑么平行?
• 二级
级
母
单 击 此 处 编
• 三级
• 四级 • 五级
版 文
辑
本
母
样 式
版
标
题
样
式
2200232/53//55/5
3
3
•
•
•
• •
讲授新课 单
单
知单识击点1此平处行编线辑的母判版定标题样式三 级
二 级
击 此 处
击 此
• 单公相•击二等理此级，处编那两辑么条母这直版文两线本条被样直第式线三平条行直五 级.线四 级 所截编辑母，如果同位处编角
练单一练击：此根处据编条辑件完母成版填标空题. 样式三C二级 级
击
此1
处
F 3
① ∵• 单∠击此1处=_编_辑∠_母_2_版（文已本样知式）
四 级
编
五
辑
∴•A二B•级∥三级CE(内错角相等,两直级线平行母版)
②
∵ ∴
∠CD1∥• +四_B•级∠_五F_级(3_同_=旁18内0o（角已互知补）,两直A线文本样式平行
北师大版八年级上册数学《平行线的性质》平行线的证明说课教学复习课件
4 平行线的性质
3.如图,AB∥CD,∠B=42°,∠2=35°,则∠1= ,
∠A=
,∠ACB=
,∠BCD=
.
栏目索引
答案 42°;35°;103°;138°
解析 因为AB∥CD,所以∠1=∠B=42°,∠A=∠2=35°,∠BCD=180°∠B=138°. 易得∠ACB=180°-∠1-∠2=103°.
4 平行线的性质
栏目索引
3.(2016四川资阳安岳期末) 是大众汽车的标志图案,其中蕴涵着许多 几何知识.如图,已知BC∥AD,BE∥AF.
(1)∠A与∠B相等吗?请说明理由; (2)若∠DOB=135°,求∠A的度数.
4 平行线的性质
栏目索引
解析 (1)相等.理由:因为BC∥AD(已知),所以∠B=∠DOE(两直线平行, 同位角相等).因为BE∥AF(已知),所以∠A=∠DOE(两直线平行,同位角 相等),所以∠A=∠B(等量代换). (2)因为BC∥AD(已知),所以∠B+∠DOB=180°(两直线平行,同旁内角互 补),又因为∠DOB=135°,所以∠B=180°-135°=45°,又∠A=∠B,所以 ∠A=45°.
4 平行线的性质
栏目索引
4.如图所示,点A、B、C在同一条直线上,且∠1=∠2,∠3=∠D.试说明 BD∥EC.
4 平行线的性质
证明 ∵∠1=∠2(已知), ∴AD∥BE(内错角相等,两直线平行). ∴∠D=∠DBE(两直线平行,内错角相等). 又∵∠D=∠3(已知), ∴∠3=∠DBE(等量代换), ∴DB∥EC(内错角相等,两直线平行).
则∠1=∠A=120°,∵∠ABC=150°,∴∠2=30°. ∵AE∥CD,∴BF∥CD,∴∠2+∠C=180°,∴∠C=150°.
《平行线的性质》PPT
∵ ∠2=∠3 ( 对顶角相等)
C
1
D
∴∠1=∠2 ( 等量代换 )
F
7-5-2
结论:两直线平行,内错角相等
如图7-5-3， AB∥CD,直线AB，CD被直线EF所截， ∠1和∠2是同旁内角.对∠1+∠2=180°说明理由:
E
理由：
∵ AB∥CD （ 已知）
A
∴ ∠1=∠3 ( 两直线平行，同位角相等)
巩固练习：
A1
D
B
C
1、如果AD//BC，根据__两__直__线__平__行__，__同__位__角__相__等____
可得∠B=∠1 2、如果AB//CD，根据__两__直__线__平__行__，__内__错__角__相__等_____
可得∠D＝∠1 3、如果AD//BC，根据__两__直__线__平__行__，__同__旁__内__角__互__补___
为什么？
（2）由∠1=∠5.能推出两对同旁内角互补吗？为什么？
65
a 78
21 b
34
l 7-5-1
如图7-5-2， AB∥CD,直线AB，CD被直线EF所截，∠1和∠2是 内错角.对∠1=∠2说过程如下:
理由：∵ AB∥CD ( 已知 ) ∴ ∠1=∠3 ( 两直线平行，)同位角相A等
E
3 2
B
考考你：
3、如图是举世闻名的三星堆考古中发掘出的一个梯形 残缺玉片，工作人员从玉片上已经量得∠A=115°， ∠D=100°。已知梯形的两底AD//BC，请你求出另外 两个角的度数。
一起探究：如果两个角的两条边分别平行，那么这两 个角的大小有什么关系？
G
G F
A
E
七年级数学平行线的证明(共9张PPT)
2.如图，已知：AB∥CD， ∠A=70°∠DHE=70°,求证：AM∥EF
M E
G
A
B
H
C
D
F
第9页，共9页。
B
.
3 C
由：∠ADC+
=180°（已知）.
▪ 得：∠3= ∠1 证明：由：∠1+∠2=180°(已知)，
内错角相等，两直线平行
.
根据：同旁内角互补，两直线平行
∠1=∠3（对根顶角相据等）.：内错角相等，两直线平行.
得： AD ∥ BC .
第5页，共9页。
如图，已知：AB∥CD，AE∥BD，试说 明∠ABD=∠E.
根据：两直线平行，内错角相等.
得∠ACD= ∠ 2.
又由∠1=∠2（已知）.
根据： 等量代换
.
得∠1=∠ACD .
A
D
1
2
B
C
E
再根据： 内错角相等，两直线平行 .
得∥
.
AB CD
第7页，共9页。
1.如图，已知：AB∥CD， ∠1=55°∠2=80°， 求∠3的度数.
A
C
1
23
E
B
D
F
第8页，共9页。
▪ 证明：由 AB∥CD（已知），
根据：两直线平行，内错角相等
得：∠ABD= ∠ BDC.
A
B
由AE∥BD（ 已）知.
根据： 两直线平行，同位角相等 E . 得∠BDC=∠E .
DC
▪ 再根据：等量代换
得：
∠
ABD=∠E
.
第6页，共9页。
如图，已知：AC∥DE，∠1=∠2，试说明
AB∥CD.
平行线的判定ppt课件
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7. 下列画出的直线 a 与 b 不一定平行的是( A )
A
B
C
D
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8. [2024抚顺月考]在探究“过直线外一点 P 作已知直线 a 的平
行线”的活动中，王玲同学通过如下的折纸方式找到了符
合要求的直线，在这个过程中她可能用到的推理依据组合
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
证明：∵ a ⊥ c (已知)， ∴∠1＝90°(垂直的定义). ∵ b ⊥ c ( 已知 )， ∴∠2＝90°( 垂直的定义 ). ∴∠1＝∠2( 等量代换 ). ∴ a ∥ b ( 同位角相等，两直线平行 ).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10. 【新趋势 跨学科】“光线”，即光，光直行，就一点视 之，则放射如线，故云.
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3. 如图，点 E 在 CB 的延长线上，下列条件中，不能判定 AB ∥ DC 的是( A ) A. ∠1＝∠4 B. ∠2＝∠3 C. ∠ C ＝∠ ABE D. ∠ A ＋∠ ADC ＝180°
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4. [2024延安一模]如图，给出了过直线外一点作已知直线的 平行线的方法，其依据是( D ) A. 两直线平行，同旁内角互补 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 同位角相等，两直线平行
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②如图③，当 AB ， CD 都在 EF 的右侧时， 由题意得∠ DCF ＝360°－(4 t )°－40°＝320°－(4 t )°， ∠ BAC ＝110°－ t °. 要使 AB ∥ CD ，则需满足∠ DCF ＝∠ BAC ， 即320°－(4 t )°＝110°－ t °，解得 t ＝70. 因为(360°－40°)÷4＝80(秒)， 所以35＜ t ＜80，故 t ＝70符合题意；
7. 下列画出的直线 a 与 b 不一定平行的是( A )
A
B
C
D
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8. [2024抚顺月考]在探究“过直线外一点 P 作已知直线 a 的平
行线”的活动中，王玲同学通过如下的折纸方式找到了符
合要求的直线，在这个过程中她可能用到的推理依据组合
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证明：∵ a ⊥ c (已知)， ∴∠1＝90°(垂直的定义). ∵ b ⊥ c ( 已知 )， ∴∠2＝90°( 垂直的定义 ). ∴∠1＝∠2( 等量代换 ). ∴ a ∥ b ( 同位角相等，两直线平行 ).
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10. 【新趋势 跨学科】“光线”，即光，光直行，就一点视 之，则放射如线，故云.
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3. 如图，点 E 在 CB 的延长线上，下列条件中，不能判定 AB ∥ DC 的是( A ) A. ∠1＝∠4 B. ∠2＝∠3 C. ∠ C ＝∠ ABE D. ∠ A ＋∠ ADC ＝180°
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4. [2024延安一模]如图，给出了过直线外一点作已知直线的 平行线的方法，其依据是( D ) A. 两直线平行，同旁内角互补 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 同位角相等，两直线平行
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②如图③，当 AB ， CD 都在 EF 的右侧时， 由题意得∠ DCF ＝360°－(4 t )°－40°＝320°－(4 t )°， ∠ BAC ＝110°－ t °. 要使 AB ∥ CD ，则需满足∠ DCF ＝∠ BAC ， 即320°－(4 t )°＝110°－ t °，解得 t ＝70. 因为(360°－40°)÷4＝80(秒)， 所以35＜ t ＜80，故 t ＝70符合题意；
《为什么要证明》平行线的证明PPT
别太信任你的 眼睛和直觉哟！
图3
知识点 1 证明的必要性
知1－讲
1.许多猜想的结论，数学上的一些结论以及数学之外的其他事实， 应当追其缘由，推理证明是非常必要的． (1)要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验，观察、归纳是 不够的，必须进行有根有据的证明． (2)没有经过严格的推理，仅由若干特例归纳得出的结论可能潜藏 着错误． (3)对一个结论要肯定其是正确的，必须通过一步一步推理，论证 才能下结论．
导引：没有经过严格的推理，仅由特例得出的结论可能潜藏着错 误，因此要判断这两个数的和是否能被11整除，我们必须要 证明，原两位数为10a＋b，得到的新两位数为10b＋a，先求 10a＋b与10b＋a的和，再看这两个数的和是不是11的倍数，
知1－讲
解：上述验证过程只是一个特例，为了验证结论的正确
性，可作如下推理：原两位数为10a＋b，得到的新
你觉得观察得到的结论正确吗？
讲授新课
一 数学的结论必须经过严格的论证 判断一个数学结论是否正确，仅观察、猜想、 实验还不够； 必须经过一步一步、 有根有据的推理.
请举例说明，你用到过的推理.
a
b
线段a与线段b哪个 比较长？
a bc
d
谁与线段d在 一条直线上？
a
b
a=b
a bc d
做一做
如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围 起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？（地球看 成球形）能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？
3.顺次连接等腰梯形四边中点，所得到的四边形是（ D ）
A.平行四边形 B.矩形 C.正方形
D.菱形
4.某超级市场失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走，三 个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：
图3
知识点 1 证明的必要性
知1－讲
1.许多猜想的结论，数学上的一些结论以及数学之外的其他事实， 应当追其缘由，推理证明是非常必要的． (1)要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验，观察、归纳是 不够的，必须进行有根有据的证明． (2)没有经过严格的推理，仅由若干特例归纳得出的结论可能潜藏 着错误． (3)对一个结论要肯定其是正确的，必须通过一步一步推理，论证 才能下结论．
导引：没有经过严格的推理，仅由特例得出的结论可能潜藏着错 误，因此要判断这两个数的和是否能被11整除，我们必须要 证明，原两位数为10a＋b，得到的新两位数为10b＋a，先求 10a＋b与10b＋a的和，再看这两个数的和是不是11的倍数，
知1－讲
解：上述验证过程只是一个特例，为了验证结论的正确
性，可作如下推理：原两位数为10a＋b，得到的新
你觉得观察得到的结论正确吗？
讲授新课
一 数学的结论必须经过严格的论证 判断一个数学结论是否正确，仅观察、猜想、 实验还不够； 必须经过一步一步、 有根有据的推理.
请举例说明，你用到过的推理.
a
b
线段a与线段b哪个 比较长？
a bc
d
谁与线段d在 一条直线上？
a
b
a=b
a bc d
做一做
如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围 起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？（地球看 成球形）能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？
3.顺次连接等腰梯形四边中点，所得到的四边形是（ D ）
A.平行四边形 B.矩形 C.正方形
D.菱形
4.某超级市场失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走，三 个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：
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• 解：因为GE平分∠AEF，GF平分∠EFC（已知）， • 所以∠AEF=2∠ _________ ， • ∠EFC=2∠ _________ ， • 所以∠AEF+∠EFC= _________ （ 等式性质 ）， • 因为∠1+∠2=90°（已知）， • 所以∠AEF+∠EFC= _________ ° • 所以AB∥CD _________ ．
• 8．几何推理，看图填空： • （1）∵∠3=∠4（已知） • ∴ ______∥ ______（ _________ ） • （2）∵∠DBE=∠CAB（已知） • ∴ ______∥ ______（ _________ ） • （3）∵∠ADF+ _________ =180°（已知） • ∴AD∥BF（ _________ ）
平行线的证明例题
• 1．如图③ 因为∠1=∠2，所以______∥_______（
•
因为∠2=∠3，所以________∥________（
）。 ）。
• 2．如图④ 因为∠1=∠2，所以______∥_______（
•
因为∠3=∠4，所以_____∥______（
）。 ）。
• 3．如图⑾ 填空：
• 6．完成下列推理过程 • ①∵∠3=∠4（已知） • ∴ _________ ∥ _________ （ _________ ） • ②∵∠5=∠DAB（已知） • ∴ _________ ∥ _________ （ _________ ） • ③∵∠CDA+∠C=180°（ 已知 ） • ∴AD∥BC（ _________ ）
• 7．填空，完成下列说理过程 • 如图，AB、CD被CE所截，点A在CE上，如果AF平分∠CAB交CD于F，
并且∠1=∠3，那么AB与CD平行吗？请说明理由． • 解：因为AF平分∠CAB（已知）， • 所以∠1=∠ _________ （ _________ ）． • 又因为∠1=∠3（已知）， • 所以 _________ （等量代换）． • 所以AB∥CD（ _________ ）．
• （1）因为∠2=∠B（已知）
• 所以 AB______（
）
• （2）因为∠1=∠A（已知）
• 所以 ________ （
）
• （3）因为∠1=∠D（已知）
• 所以 _______ （
）
• （4）因为______=∠F（已知）
• 所以 AC∥DF （
）
• 4．如图，已知直AB、CD被直线EF所截，GE平分∠AEF，GF平分 ∠EFC，∠1+∠2=90°，AB∥CD吗？为什么？
• 例5、如图，若∠1=∠2，AB∥CD，试说明∠E=∠F的理由。
• 例6、已知：如图，BE∥DF，∠B=∠D。求证：AD∥BC。
• 例7、如图，已知DF∥AC，∠C=∠D，你能否判断CE∥BD？试说 明你的理由．
• 例8、已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证： CD⊥AB．
• 3．如图⑾ 填空：
• （1）因为∠2=∠B（已知）
• 所以 AB为∠1=∠A（已知）
• 所以 ________ （
）
• （3）因为∠1=∠D（已知）
• 所以 _______ （
）
• （4）因为______=∠F（已知）
• 所以 AC∥DF （
）
• 例2、如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E， ∠A=37°，求∠D的度数．
• 例3、如图，直线AB、CD与EF相交于点G、H，且∠EGB=∠EHD. • （1）说明： AB∥CD • （2）若GM是∠EGB的平分线，FN是∠EHD的平分线，则GM与HN
平行吗？说明理由
• 例4、两个角有一边在同一条直线上，而另一条边互相平行，则这 两个角 （ ）
• A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．都是直角
• 例、如图，已知DF∥AC，∠C=∠D，你能否判断CE∥BD？试说明 你的理由．
• 例11、如图，∠1=∠2，∠2=∠G，试猜想∠2与∠3的关系并说明 理由．
•
• 例12、如图，已知∠1+∠2=180°，∠DEF=∠A，试判断∠ACB 与∠DEB的大小关系，并对结论进行说明．
• 5．如图，已知AB⊥BC，BC⊥CD，∠1=∠2．试判断BE与CF的关系， 并说明你的理由．
• 解：BE∥CF． • 理由：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知） • ∴ _________ = _________ =90° _________ • ∵∠1=∠2 _________ • ∴∠ABC﹣∠1=∠BCD﹣∠2，即∠EBC=∠BCF • ∴ _________ ∥ _________ ．
• 8．几何推理，看图填空： • （1）∵∠3=∠4（已知） • ∴ ______∥ ______（ _________ ） • （2）∵∠DBE=∠CAB（已知） • ∴ ______∥ ______（ _________ ） • （3）∵∠ADF+ _________ =180°（已知） • ∴AD∥BF（ _________ ）
平行线的证明例题
• 1．如图③ 因为∠1=∠2，所以______∥_______（
•
因为∠2=∠3，所以________∥________（
）。 ）。
• 2．如图④ 因为∠1=∠2，所以______∥_______（
•
因为∠3=∠4，所以_____∥______（
）。 ）。
• 3．如图⑾ 填空：
• 6．完成下列推理过程 • ①∵∠3=∠4（已知） • ∴ _________ ∥ _________ （ _________ ） • ②∵∠5=∠DAB（已知） • ∴ _________ ∥ _________ （ _________ ） • ③∵∠CDA+∠C=180°（ 已知 ） • ∴AD∥BC（ _________ ）
• 7．填空，完成下列说理过程 • 如图，AB、CD被CE所截，点A在CE上，如果AF平分∠CAB交CD于F，
并且∠1=∠3，那么AB与CD平行吗？请说明理由． • 解：因为AF平分∠CAB（已知）， • 所以∠1=∠ _________ （ _________ ）． • 又因为∠1=∠3（已知）， • 所以 _________ （等量代换）． • 所以AB∥CD（ _________ ）．
• （1）因为∠2=∠B（已知）
• 所以 AB______（
）
• （2）因为∠1=∠A（已知）
• 所以 ________ （
）
• （3）因为∠1=∠D（已知）
• 所以 _______ （
）
• （4）因为______=∠F（已知）
• 所以 AC∥DF （
）
• 4．如图，已知直AB、CD被直线EF所截，GE平分∠AEF，GF平分 ∠EFC，∠1+∠2=90°，AB∥CD吗？为什么？
• 例5、如图，若∠1=∠2，AB∥CD，试说明∠E=∠F的理由。
• 例6、已知：如图，BE∥DF，∠B=∠D。求证：AD∥BC。
• 例7、如图，已知DF∥AC，∠C=∠D，你能否判断CE∥BD？试说 明你的理由．
• 例8、已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证： CD⊥AB．
• 3．如图⑾ 填空：
• （1）因为∠2=∠B（已知）
• 所以 AB为∠1=∠A（已知）
• 所以 ________ （
）
• （3）因为∠1=∠D（已知）
• 所以 _______ （
）
• （4）因为______=∠F（已知）
• 所以 AC∥DF （
）
• 例2、如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E， ∠A=37°，求∠D的度数．
• 例3、如图，直线AB、CD与EF相交于点G、H，且∠EGB=∠EHD. • （1）说明： AB∥CD • （2）若GM是∠EGB的平分线，FN是∠EHD的平分线，则GM与HN
平行吗？说明理由
• 例4、两个角有一边在同一条直线上，而另一条边互相平行，则这 两个角 （ ）
• A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．都是直角
• 例、如图，已知DF∥AC，∠C=∠D，你能否判断CE∥BD？试说明 你的理由．
• 例11、如图，∠1=∠2，∠2=∠G，试猜想∠2与∠3的关系并说明 理由．
•
• 例12、如图，已知∠1+∠2=180°，∠DEF=∠A，试判断∠ACB 与∠DEB的大小关系，并对结论进行说明．
• 5．如图，已知AB⊥BC，BC⊥CD，∠1=∠2．试判断BE与CF的关系， 并说明你的理由．
• 解：BE∥CF． • 理由：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知） • ∴ _________ = _________ =90° _________ • ∵∠1=∠2 _________ • ∴∠ABC﹣∠1=∠BCD﹣∠2，即∠EBC=∠BCF • ∴ _________ ∥ _________ ．