上海交通大学线性代数试卷A卷
线性代数-091001(A)
班级号 上海交通大学试卷（A 卷）（2009 至2010 学年 第1学期） ____________________ 号 . ___ ■生名 ________________ 课程名称 _____ 线_性_代_数_ （B 类） _______ 成绩 _________________________ xX 22 X3 0X 1xX 3 0为Ax 0，若存在二阶矩阵 B 0，使得AB 0，贝U （ X 1 X 2 X 3 0单项选择题（每题3分，共18分） 1 •记方程组 (B) 2,且 B 0; (A) 2,且 B 0 ; (C) 1,且 B 0 ； (D)1,且 B 0。
2•设A 是m n 的矩阵,1 0 0(A) 0 3 0 ; 0 0 33 0 0(C) 0 3 0 ; 0 0 1 4.设 A, B 为 n 阶矩阵，且AB(B) 当nm 时必有非零解；(D) 当m n 时必有非零解。
0 1 01 0 0，则矩阵 B 42A 2 =(0 013 0 0(B) 0 3 0 ;0 0 11 0 0(D)0 3 0。
0 0 30,B 0, 则必有(B 是n m 的矩阵，则齐次线性方程组(AB)x 0(（A ）当n m 时仅有零解； （C ）当m n 时仅有零解； 3•设矩阵A 与B 相似，其中A 2 2 2(A) (A B) A B ; (B) |B|0 ;(C) | B * | 0 ; (D) | A * | 0。
5•设A , B 为n 阶正交矩阵，则以下一定是正交矩阵的是（其中 k 1, k 2为任意常数）(A) A B ;(B) A B ;(B) 1, 2 , , s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示； (C) 1,2,, s 中任意两个向量都线性无关；(D)1, 2 , , s 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。
填空题(每题3分，共18分)11 1 17.设 Aa 1a 2a 3 , bb ，其中a i 互不相同，i i 1,2,3，则线性方程组 Ax b 的解222.2a 1 a 2 a 3 b是：x 1 ,X 9,X3。
线性代数第二版(上海交大)习题答案3
1.由()()()542αββγαγ-+-=+得()14111363326Tγαβ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭. 2．设112233k k k βααα=++，则有1232313123k k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解得11k =-，22k =-，34k =， 即12324βααα=--+.3.设112233440k k k k αααα+++=，则有13412341212420530200k k k k k k k k k k k k ++=⎧⎪+--=⎪⎨+=⎪⎪++=⎩ 解得142k k =-，24k k =，30k =， 即只有3α不能由其余三个向量线性表出.4.(1) 因为()12313111012012010112200301010012a A B b a b αααβ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪==→= ⎪ ⎪-⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以0a ≠，10b -≠且()231a b -=-，即0a ≠，1b ≠且()312a b =-时β是向量1α，2α，3α的线性组合，当1a =，13b =时，101210050101010100300130120000B a b --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以12353βααα=-++.(2)由(1)知，当0a =或1b =或0a ≠，1b ≠且()312a b ≠-时β不能由向量1α，2α，3α线性表出.5.(1) 设()211401A αβγ⎛⎫==⎪-⎝⎭，则()23r A =<，所以α，β，γ线性相关.(2) 设()211011220011112112A αβγ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, 则()23r A =<.(3) 设()211111111033112003A αβγ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则()3r A =，所以α，β，γ线性无关.6.(1) 设()12110021010310001412002k A k αβγ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以不论k 取何值α，β，γ都线性无关.(2) 设()210214425030234001213000k A k αβγ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-- ⎪==→ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以当302k--=，即6k =-时，()23r A =<，α，β，γ线性相关； 当302k--≠，即6k ≠-时α，β，γ线性无关. 7.不一定.若()12m A ααα= ，则当()r A m <时12,,,m ααα 线性相关. 8. 由定义，12,,,m ααα 一定线性无关.9.设()()()1230k k k αββγγα-+++-=，则()()()1312230k k k k k k αβγ-+-+++=，由于α，β，γ线性无关，则131223000k k k k k k -=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩，解得1230k k k ===，所以αβ-，βγ+，γα-也线性无关. 10. 设()()()11222310s s k k k αααααα++++++= ， 则()()()1112210s s s s k k k k k k ααα-++++++= ，由于12,,,s ααα 线性无关，则1121000s s s k k k k k k -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ ，系数距阵1000111000011000001000011A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当s 为奇数时1000101001001010001100002A ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，()r A s =，方程组只有零解，所以12231,,,s αααααα+++ 线性无关；当s 为偶数时1000101001001010001100000A ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，()r A s <，方程组有非零解， 所以12231,,,s αααααα+++ 线性相关. 11. 设()()()1230k l k m k βαγβαγ-+-+-=， 则()()()1312230k k lk k mk k αβγ-++-+-=，由于,,αβγ线性无关，则13122300k k lk k mk k -+=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，系数距阵101101100101001A l l m lm --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 只有当10lm -≠即1lm ≠时，()3r A =，方程组只有零解，,,l m βαγβαγ---线性无关. 12.n 维单位向量12,,,n εεε 线性无关，不妨设:11111221221122221122n nn nn n n nn nk k k k k k k k k εαααεαααεααα=+++=+++=+++所以 1112111212222212T T n T T n T T n n nn n n k k k k k k k k k εαεαεα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两边取行列式，得1112111212222212TTn T Tn T Tn n nn nnk k k k k k k k k εαεαεα=，由112200T T T T T T nnεαεαεα≠⇒≠即n 维向量组12,,,n ααα 所构成矩阵的秩为n ，故12,,,n ααα 线性无关.13．证明 证法一：设12,,,n εεε 为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量12(,,,)T n a k k k = 则有1122n n a k k k εεε=+++ ，即任一n 维向量都可由单位向量线性表示.⇒必要性12,,,n ααα 线性无关，且12,,,n ααα 能由单位向量线性表示，即11111221221122221122n n n nn n n nn nk k k k k k k k k αεεεαεεεαεεε=+++=+++=+++故 1112111212222212T T n T T n T T n n nn n n k k k k k k kk k αεαεαε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两边取行列式，得1112111212222212T Tn T Tn T Tn n nn nnk k k k k k k k k αεαεαε=由1112112122221200T n T n T n n nnnk k k k k k k k k ααα≠⇒≠，令111212122212n n n nn n nn k k k k k k A k k k ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭， 则由 111112222T T T T T T T T T T T T n n n n A A εεαεαεαεαεαε-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即12,,,n εεε 都能由12,,,n ααα 线性表示，因为任一n 维向量能由单位向量线性表示，故任一n 维向量都可以由12,,,n ααα 线性表示.⇐充分性已知任一n 维向量都可由12,,,n ααα 线性表示，则单位向量组：12,,,n εεε 可由12,,,n ααα 线性表示，由12题知12,,,n ααα 线性无关.证法二：必要性 设α为任一n 维向量，因为12,,,n ααα 线性无关, 而12,,,,n αααα 是1n +个n 维向量是线性相关的, 所以α能由12,,,n ααα 线性表示, 且表示式是唯一的.充分性 已知任一n 维向量都可由12,,,n ααα 线性表示, 故单位坐标向量组12,,,n εεε 能由12,,,n ααα 线性表示, 于是有()()1212,,,,,,n n n r r n εεεααα=≤≤ ,即()12,,,n r n ααα= ，所以12,,,n ααα 线性无关.14.证明 设11220s s m n k k k k k αααβγ+++++= ，则由条件知0m k ≠，0n k ≠，因为若0m k =，则由12,,,s ααα 线性无关，12,,,,,s αααβγ 线性相关知，γ能由12,,,s ααα 线性表出，与已知条件矛盾，故0m k ≠；同理可得0n k ≠.因此，1212s n s m m m mk k k kk k k k βαααγ=----- ，即β可由12,,,,s αααγ 线性表出,12,,,,s αααβ 也可由12,,,,s αααγ 线性表出，同理可得，12,,,,s αααγ 也可由12,,,,s αααβ 线性表出，故12,,,,s αααβ 与12,,,,s αααγ 等价. 15．反证法：假设存在0i k =，使得1122112211110m m i i i i m m k k k k k k k k αααααααα--+++++=++++++= ，因为任意1m -个向量线性无关，则12110i im k k k k k -+======= ，即()01,2,,j k j m == ，又12,,,m ααα 线性相关，则存在不全为零的数12,,,m k k k ，使得 11220m m k k k ααα+++= ，矛盾，故()01,2,,i k i m ≠= ，即必存在m 个全不为零的数12,,,m k k k ，使得11220m m k k k ααα+++= .16.(1)构造矩阵()1234,,,A αααα=，对A 作初等行变换，将其化为规范的阶梯形矩阵，即31121000513401002011001015330001A B -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭初等行变换 显然，()()4r A r B ==，即()1234,,,4r αααα=，1234,,,αααα是A 的列向量组的极大无关组. (2) 构造矩阵()12345,,,,A ααααα=，对A 作初等行变换，将其化为规范的阶梯形矩阵，即1100020144631272501000310111001030031200001A B ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪==⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭初等行变换 显然，()()4r A r B ==，即()12345,,,,4r ααααα=，1235,,,αααα，1245,,,αααα或2345,,,αααα是A 的列向量组的极大无关组.17. (1)构造矩阵()1234,,,A αααα=，对A 作初等行变换，将其化为规范的阶梯形矩阵，即1101212324135011120120000A B ⎛⎫⎪⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭初等行变换 显然，()()2r A r B ==，即()1234,,,2r αααα=，12,αα是A 的列向量组的极大无关组，且有31312ααα=+，412ααα=+.(2) 构造矩阵()1234,,,A αααα=，对A 作初等行变换，将其化为规范的阶梯形矩阵，即611710104041015012900001131610000242230000A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪==- ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 初等行变换显然，()()3r A r B ==，即()1234,,,3r αααα=，124,,ααα是A 的列向量组的极大无关组，且有312450αααα=-+.18.法1：已知()()()453425330αβγξηξηξη-+=--++-+=，且4,5,3-不全为零，由定义,,αβγ线性相关.法2：,,αβγ由,ξη线性表出,且32>，则由定理3.5知,,αβγ线性相关. 19.从向量组12,,,s ααα (1)中任取m 个向量，记为12,,,i i im ααα (2)在组(1)中删掉一个向量后，则其秩最多减1. 组(2)可作为组(1)删掉s m -个向量后所得的向量组，因此组(2)的秩至少是()r s m r m s --=+-.20．设()()()12121212,,,,,,,,,,,,,,,n n n n A B C αααβββαααβββ=== 的极大线性无关组分别为',','A B C ,含有的向量个数(秩)分别为()()(),,r A r B r C ,则,,A B C 分别与,,A B C '''等价,易知,A B 均可由C 线性表示,则()()r C r A ≥,()()r C r B ≥，即()()()max{,}r A r B r C ≤.设'A 与'B 中的向量共同构成向量组D ,则,A B 均可由D 线性表示,即C 可由D 线性表示,从而'C 可由D 线性表示，所以()()r C r D '≤，D 为()()r A r B +阶矩阵，所以()()()r D r A r B ≤+，即()()()r C r A r B ≤+. 21．(1) 首先将系数矩阵化为规范阶梯矩阵，111213713210173540001174000A ⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭选z 为自由未知量，取7z =-，得基础解系1117η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭于是原方程组的通解为X c η=，即1117x X y c z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，c 为任意常数.(2) 首先将系数矩阵化为规范阶梯矩阵,11111111111011532113012260122601226000000000054331000000A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭345,,x x x 为自由未知量.分别取345x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为1000,1,0001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 得基础解系123115226,,100010001ηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以原方程组的解为112233X k k k ηηη=++, 其中123,,k k k 为任意常数. (3) 用初等行变换将(),A β化为规范阶梯矩阵，12431108713564201651452310000038241950000---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 选34,x x 为自由未知量.令340x x ==，得特解01100γ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭分别取34x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭为10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫⎪⎝⎭，得出对应的齐次线性方程组的基础解系18610η⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，27501η-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是原方程组的通解为01122X c c γηη=++12187165010001c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中12,c c 为任意常数.22．首先将系数矩阵化为规范阶梯矩阵，432210131111110124221020000003211100000A ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭选345,,x x x 为自由未知量，分别取3451,0,0x x x ===，3450,1,0x x x ===和3450,0,1x x x ===，得基础解系112100η⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，234010η⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，312001η⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以四个解向量不能构成方程组的基础解系，必须去掉二、四列，取112100η⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，234010η⎛⎫⎪- ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，补充312001η⎛⎫⎪- ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ηηη构成基础解系.23．(1) 用初等行变换将(),A β化为规范阶梯矩阵，()222211111,11011110111k k k A k k k k k k B k k k k k β⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭当1k ≠时，()221110101101101110021k k k k k B k k k k k k ⎛⎫++⎛⎫⎪⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭++⎝⎭，若2k =-，则20k +=，而()2110k +=≠，原方程组无解； 若2k ≠-，则原方程组有唯一解；当1k =时，111100000000B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，原方程组有无穷多组解，选,y z 为自由未知量.令0y z ==，得特解0100γ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭分别取y z ⎛⎫ ⎪⎝⎭为10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫⎪⎝⎭，得出对应的齐次线性方程组的基础解系1110η-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101η-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是原方程组的通解为01122X c c γηη=++12111010001c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中12,c c 为任意常数.24．(2) 用初等行变换将(),A β化为规范阶梯矩阵，()11110101110122101221,013200101321100010A B a b a b a a β---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→=⎪ ⎪----+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭当1,1a b =≠-时，10a -=，而10b +≠，原方程组无解；当1a ≠时，2100011011123012210100100101100100010100010b a a a b B a a b b a a -+⎛⎫ ⎪----⎛⎫⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪=→- ⎪-+⎪+ ⎪⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭则原方程组有唯一解：123421231110b a a x a b x a x b x a -+⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭； 当1,1a b ==-时，10111012210000000000B ---⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭原方程组有无穷多组解，选34,x x 为自由未知量.令340x x ==，得特解01100γ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭分别取34x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭为10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫⎪⎝⎭，得出对应的齐次线性方程组的基础解系11210η⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21201η⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是原方程组的通解为01122X c c γηη=++12311218133010000100001k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中12,c c 为任意常数.25．由解向量()12,,,Tn X x x x = 的任意性可得AX O =的基础解系含解向量个数为n ，则()0r A n n =-=，所以A O =.26.因为0ij A ≠，则()1r A n =-，又由于方程组含有n 个未知量，故其基础解系只含一个非零的解向量，亦即任何非零的解向量都是一个基础解系，而由于111122111221122000i i n in i i i i in in n i n i nn in a A a A a A a A a A a A A a A a A a A +++=+++==+++= 且0ij A ≠，故12,,,i i in A A A 是方程组的一个非零解，即()12,,,Ti i in A A A是该齐次线性方程组的一个基础解系.27.充分性：若0A ≠，则由克莱姆法则知，方程组有解.必要性：若方程组有解，则系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩相同，再由i b 的任意性，秩都应等于n ，即A 必为非奇异矩阵，故0A ≠.28.(1)反证法, 假设12,,,,r ηηηξ 线性相关. 因为12,,,r ηηη 线性无关, 而12,,,,r ηηηξ 线性相关, 所以ξ可由12,,,r ηηη 线性表示, 且表示式是唯一的, 这说明ξ也是齐次线性方程组的解, 矛盾.(2)显然向量组12,,,,r ξηξηξηξ+++ 与向量组12,,,,r ηηηξ 可以相互表示, 故这两个向量组等价, 而由(1)知向量组12,,,,r ηηηξ 线性无关, 所以向量组12,,,,r ξηξηξηξ+++ 也线性无关.(3)由定理3.8知，1122r r c c c γξηηη=++++ ()()()()1211221r r r c c c c c c ξηξηξηξ=----+++++++ 设0121r c c c c =---- ，则0121r c c c c ++++= ，且()()()01122r r c c c c γξηξηξηξ=+++++++ .29. 证明 当()r A n =时, 0A ≠, 故有**n AA A A A E A ===，1*0n A A-=≠，所以(*)r A n =；当()1r A n =-时, 0A =, 故有*0AA A E ==即*A 的列向量都是方程组0Ax =的解. 因为()1r A n =-, 所以方程组0Ax =的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此(*)1r A =；当()2r A n ≤-时,A 中每个元素的代数余子式都为0, 故*0A =, 从而(*)0r A =.。
17-18线性代数第一学期考试卷A - 答案
第 1 页 共 4 页 背面有试题华东交通大学2017—2018学年第一学期考试卷课程名称： 线性代数A 考试时间： 120 分钟 考试方式：闭卷 （A ）卷一、填空题(每题 3 分，共 15 分)1、设矩阵A ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321，则矩阵A 的伴随矩阵A *＝ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13242、设方阵A 满足A 3-2A+E=0，则21(A 2E)-- = -A .3、已知向量),,(211-=α与向量),,(x 22-=β正交，则=x -2. 4、如果n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系含有)(n s s <个解向量， 那么矩阵的秩为()=A R s n - 5、设 123,,λλλ为方阵270056004A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的三个特征值，则123λλλ＝ 40 二、选择题(每题3 分，共15 分)6、若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λ--=05021311A 为奇异矩阵，则=λ( C ).(A) 1 (B) 2 (C) -3 (D) -4 7、B A ,是n 阶方阵，则下列结论成立的是( C ).(A)000==⇔=B A AB 或 (B)00=⇔=A A (C)000==⇔=B A AB 或 (D).1=⇔=A E A 8、若向量组s ααα,,, 21的秩为r ，则( D ).(A)必定s r < (B)向量组中任意小于r 个向量的部分组线性无关(C)向量组中任意r 个向量线性无关 (D)向量组中任意1+r 个向量必定线性相关9、设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（B ） (A)111)(---+=+B A B A (B)111)(---=A B AB(C)111---=)()(T T B A AB (D)11--=kA kA )(（其中k 为非零常数）第 2 页 共 4 页 背面有试题2装O订O线O10、设1234,,,αααα都是3维向量，则必有( B )(A) 1234,,,αααα线性无关 (B) 1234,,,αααα线性相关 (C) 1α可由234,,ααα线性表示 (D) 1α不可由234,,ααα线性表示三、解答题(每题8分，共40分)11、求行列式21021001201002。
2000-2001学年第二学期线性代数期末考试A试卷解答
北 方 交 通 大 学2000-2001学年第二学期线性代数期末考试试卷（A 卷）一．填空题（本题共10道小题，每小题3分，满分30分）1．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121xA ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=012y B ，且BA AB =，则=x _______；=y _______． 解：由BA AB =，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121012012121xy y x ， 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2142124y xy xy x y ． 即112,4=--=x y y ，解方程组，得2,1==y x ．且当2,1==y x 时，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1121A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0122B ， 验证：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=212401221121AB ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=212411210122BA 此时有BA AB =． 应填：2,1==y x ．2．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a A ，其中0,0≠≠i i b a ()3,2,1=i ，则()=A r _______．解：由该矩阵的构造，以及行列式的运算性质，可知该矩阵的任意一个1阶子式均不为0，而任意一个二阶子式都为0．因此该矩阵的秩()1=A r ． 应填：()1=A r ．3．设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，且0≠=a A ，则=*A _______．解： 由E A AA=*，两端取行列式，得nAE A AA==*．由于两个n 阶矩阵乘积的行列式等于它们行列式的乘积，因此有 nA A A =*，即na a =*A．由题设，0≠=a A ，得11*--==n n aA A．应填：1-n a ． 4．设向量()3,2,11-=α，()5,2,02-=α，()2,0,13-=α，()8,5,44=α，则4321,,,αααα线性_______关．解：根据向量线性相关的性质：1+n 个n 维向量必然线性相关．可知4321,,,αααα线性相关．应填：相关．5．设A 是3阶矩阵，A 有特征值1,1,0321=-==λλλ，其对应的特征向量分别为1ξ，2ξ，和3ξ，设[]321,,ξξξP =，则=-AP P 1___________．解：根据矩阵的相似标准形的理论，我们有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1101AP P 应填：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-11． 6．设A 是n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是___________． 解：根据齐次线性方程组解的结构理论，得齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是()n r =A ．应填：()n r =A ． 7．已知：()()3122232132124,,x x x x x x x x f +++=β是正定二次型，则β的取值范围是___________． 解：此二次型所对应的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=40001βββA ． 则此二次型为正定二次型的充分必要条件为矩阵A 是正定二次型．而A 是正定二次型的充分必要条件是A 的各阶顺序主子式皆大于零．即001>=ββ； ()04400012>-=βββββ．因此有不等式组⎩⎨⎧>->0402ββ，解之得20<<β． 应填：20<<β．8．设3阶方阵A 的列分块矩阵为[]321,,αααA =，a 、b 是数，若213αααb a +=，则=A ___________．解：根据行列式的运算性质，得 [][]2121321,,,,αααααααA b a +==[][][]0,,,,,,2211212121=+=+=ααααααααααb a b a ．应填：0．9．设不含零向量的n 元向量组m ααα,,,21 是正交向量组，则m 与n 的大小关系为______． 解：因为n 元向量组m ααα,,,21 是正交向量组，所以向量组m ααα,,,21 是线性无关的向量组．因此n m ≤． 应填：n m ≤．10．设有一个四元非齐次线性方程组 b AX =，()3=A r ，321,,ααα为其解向量，且⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=79911α， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+899132αα， 则此方程组的一般解为____________． 解：由于四元非齐次线性方程组b AX =的系数矩阵的秩()3=A r ，因此齐次线性方程组b AX =的导出组0AX =的基础解系中有一个解向量．由于2α与3α都是非齐次线性方程组b AX =的解向量，所以()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+42929212132αα也是非齐次线性方程组b AX =的解向量．因此()13221ααα-+是齐次线性方程组0AX =的解向量．所以()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-+69917991289912132ααα或者⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡6991是齐次线性方程组0AX =的基础解系中的一个解向量．因此，非齐次线性方程组b AX =的通解为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡79916991k ， （其中k 是任意常数）． 应填：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡79916991k ．二．（本题满分8分）计算n 阶行列式1111111332211------=n n a a a a a a a a D ．解：将行列式按第1列展开，得1111111332211------=n n n a a a a a a a a D ()1211114433221111111-+---+-----=n n n n a a a a a a a a a a a a()1211111-+--+-=n n n a a a D a由此得递推公式：()1211111-+--+-=n n n n a a a D a D于是，()[]()121113222111-+---+-+--=n n n nn n a a a a a a D a a D()()12112212121-+--+-=n n n a a a D a a== ()()()121122212121-+----+-=n n n n a a a n D a a a而1112211----=-=n n n a a a D所以，()()()()1211122121221-+-----+-⋅-=n n n n n n a a a n a a a a D()()122111221111--+----=-=n n n n n n a a a na a a a na ．三．（本题满分8分）已知矩阵X 满足关系式：X B XA 3+=T ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1234A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41032B ， 求X ． 解：由X B XA 3+=T ，得T B X XA =-3，即()T B E A X =-3 而 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-2231300312343E A ， 所以 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=---1232412231311E A ． 在等式()T B E A X =-3两端右乘()13--E A ，得()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=-12212314884644112324140130231E A BX T． 四．（本题满分10分）设向量组[]Tk ,1,0,01=α，[]Tk 0,1,,02=α，[]T0,0,1,13=α，[]Tk 1,0,0,4=α，问：⑴ k 为何值时，向量组4321,,,αααα线性无关．⑵ k 为何值时，向量组4321,,,αααα线性相关，并求其秩及一个极大无关组．解：⑴ 4维向量组4321,,,αααα线性无关当且仅当4阶行列式0,,,4321≠αααα．而 11000100011101000100011100011010100,,,4321kk k kk k kk k --=-==αααα()1101000100011111000100011-=--=-=k k kk k k k所以，当且仅当0≠k 而且1≠k 时，0,,,4321≠αααα此时向量组4321,,,αααα线性无关．⑵ 当0=k 或者1=k 时，向量组4321,,,αααα线性相关．当0=k 时，[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10001101000100,,,4321αααα， 此时向量组4321,,,αααα的秩为3，432,,ααα是其一个极大线性无关组．当1=k 时，[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=101001101101100,,,4321αααα， 此时向量组4321,,,αααα的秩为3，432,,ααα是其一个极大线性无关组．五．（本题满分14分）对参数λ，讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=-+λλλλλ3213213211x x x x x x x x x 的解．在有解时，求出其无穷多解． 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0110111011111100110111111111122λλλλλλλλλλλλλλλλλ()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+----→λλλλλλλλ11101110111⑴ 若0=λ，则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--10111011011111111λλλλλ此时方程组的系数矩阵的秩为2，而其增广矩阵的秩为3，故此时线性方程组无解． ⑵ 若1=λ，则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000100101102020011111111111λλλλλ此时线性方程组有无穷多组解．其解为⎩⎨⎧=-=01321x x x ．⑶ 若1-=λ，则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--001010010100202011111111111λλλλλ 此时线性方程组有无穷多组解．其解为⎩⎨⎧-=-=1231x x x ．⑷ 若0≠λ，且1±≠λ，线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都是3，其秩与未知变量的个数相等，故此时线性方程组有唯一解．六．（本题满分16分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=122232221A ，求可逆矩阵P ，使得AP P Λ1-=为对角矩阵，并求kA ． 解：⑴ 矩阵A 的特征多项式为()1221102211122110221122232221---+=--++-=--+--=-λλλλλλλλλλλA E()()()111221002112-+=+--+=λλλλλ所以，矩阵A 的特征值为1,1321=-==λλλ．对121-==λλ，由⎪⎩⎪⎨⎧=--=++-=++-022202220222321321321x x x x x x x x x ，得解向量[][]TT0,1,1,1,0,121==αα．对13=λ，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-=+02202420222132132x x x x x x x ，得解向量[]T1,1,13-=α．令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=101110111P ，则有 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1111AP P ． ⑵ 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1111AP P ，得1111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=P P A 所以，()()111111111111---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=P P P PP PAkk kkk若k 是奇数，则 A P PA=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1111k； 若k 是偶数，则 E P PA=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1111k． 七．（本题满分8分）设321,,ααα为线性空间V 的一个基， 3213321221123,232,αααβαααβααβ++=++=-=．证明：321,,βββ也是线性空间V 的一个基．并求32132αααα+-=在基321,,βββ下的坐标向量．解：⑴ 由3213321221123,232,αααβαααβααβ++=++=-=，得[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=22331121,,,,321321αααβββ 由于022245012122331121≠==-，所以矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-220331121是可逆矩阵，因此向量组321,,ααα与321,,βββ等价．这表明，321,,βββ也是线性空间V 的一个基．⑵ []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+-=312,,32321321ααααααα．由[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=220331121,,,,321321αααβββ，得 [][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⋅=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-52242232021,,22331121,,,,3211321321ββββββααα 所以，[][][]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⋅=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2135211,,31252242232021,,312,,321321321ββββββαααα即32132αααα+-=在基321,,βββ下的坐标向量为T⎥⎦⎤⎢⎣⎡-213,5,211． 八．（本题满分6分）已知矩阵A 与B 相似，其中2000-2001学年第二学期线性代数期末考试A 卷解答 第 11 页 共 11 页 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x 10100002A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10010002y B ， 求x 和y ．解：由于相似矩阵有相等的行列式，即100100021*******-===y x B A因此，有y 22-=-，所以有1=y ． 再由相似的矩阵有相等的迹，即有 1202-+=++y x ，因此，有0=x ．由此得1,0==y x ．。
上海交通大学线性代数期末试卷合集
目录线性代数试卷（A）2004-06-16 (2)线性代数03－04学年第2学期期末考试参考答案 (8)线性代数试卷(A) 2003-12-31 (11)线性代数2003－2004学年度第1学期期末考试参考答案 (17)线性代数试卷(A) 2005-06-22 (20)线性代数（04－05－2）期末试卷（A）参考答案 (26)线性代数试卷(A) 2004-12-29 (30)线性代数（04－05－1）期末试卷（A）参考答案 (36)线性代数试卷（A卷）2006－06－21 (39)线性代数参考答案 (45)线性代数(B)试卷----A卷2006-1-4 (48)线性代数（B）（05－06－1）期末试卷（A）参考答案 (54)线性代数(C) 试卷----A卷2006-1-4 (57)线性代数（C）（05－06－1）期末试卷（A）参考答案 (63)上海交通大学线 性 代 数 试 卷（A ） 2004-06-16姓名____________班级___ _______学号______________得分一、选择题（每题3分，共15分） 1. 设n 阶行列式D =nija ，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则下列各式中正确的是 (A) 01=∑=ni ij ij A a ；(B) 01=∑=nj ij ij A a ；(C) D A a nj ij ij =∑=1；(D) D A a ni i i =∑=1212. n 阶实对称矩阵A 和B 相似的充分必要条件是(A) A 与B 都有n 个线性无关的特征向量； (B) )()(B r A r =；(C) A 和B 的主对角线上的元素的和相等； (D) A 与B 的n 个特征值都相等3. 设1α,2α,3α,4α是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则下列向量组 中不再是0=Ax 的基础解系的为________________ (A) 1α,1α+2α,1α+2α+3α,1α+2α+3α+4α； (B) 1α+2α,2α+3α,3α+4α,4α-1α； (C) 1α+2α,2α-3α,3α+4α,4α+1α； (D) 1α+2α,2α+3α,3α+4α,4α+1α4. 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=--=++222513321321321x x x b x x x x x x 有无穷多组解，则必有_______________(A) b ＝1 (B) b ＝－1 (C) b ＝2 (D) b ＝－2 5. 设向量组[Ⅰ]是向量组[Ⅱ]的线性无关的部分向量组，则____ ___(A) 向量组[Ⅰ]是[Ⅱ]的极大线性无关组 (B) 向量组[Ⅰ]与[Ⅱ]的秩相等(C) 当[Ⅰ]中向量均可由[Ⅱ]线性表出时，向量组[Ⅰ]，[Ⅱ]等价 (D) 当[Ⅱ]中向量均可由[Ⅰ]线性表出时，向量组[Ⅰ]，[Ⅱ]等价 二、填空题（每题3分，共15分）1．设 1-，5，λ 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=120222023A 的特征值，则λ= ，A 对应三个特征值的特征向量是 ,且（选填；线性无关，线性相关，相互正交，相互不正交）2．设A 为n 阶可对角化矩阵,且n E A r <-)(,则A 必有特征值λ＝ ； 且其重数为 ，其对应的线性无关的特征向量有 个 3．已知实二次型),,(321x x x f = 31212322212232x x x x x x x ++++λ是正定二次型， 则参数λ的取值范围为4．设23A ⨯为矩阵，已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0211ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1032ξ都是齐次线性方程组0=AX 的解，则矩阵A ＝ （答案不唯一） 5．设A 为n 阶可逆阵，且E A A ||2=，则*A =三、计算题（每题9分，共54分）1. 试求行列式 ||A ，||B ，||C ，其中，A ，B 为 n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=x x xA 111111111 ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n B00020001，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00B A C2. 已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=+bx ax x x x x x 321312111，（1）常数b a ，取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解．3．设4阶方阵C B A ，，满足方程 11)2(--=-C A B C E T ，试求矩阵A ，其中1232120101230120,0012001200010001B C --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．求正交变换y Q x =，用此正交变换将以下实二次型化为标准形),,(321x x x f =121323222x x x x x x ++5．设34()2,A r A ⨯=为矩阵，且已知非齐次线性方程组 Ax b = 的三个解为1η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2011， 2η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4112， 3η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11354，求：(1) 齐次线性方程组0Ax =的通解；(2) 非齐次线性方程组Ax b =的通解6．设线性空间3R 中的向量组为1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--221，2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-031，3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-601，4α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-283，1β=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210，2β=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--652（1）求由1α,2α,3α,4α生成的子空间L(1α,2α,3α,4α)的维数与一个基； （2）从1β,2β中选出属于L(1α,2α,3α,4α)的向量，并求出它们在（1）中所选的基下的坐标。
06-07-1线代(A)及答案-A
由 β2 ，β3 线性表示， 3 = r(α1 ，α 2 ，α3 ) ≤ r(β 2 ，β3 ) = 2 ，矛盾。
2．(1) 因为 ( A − 3E)( A − 5E) = 0
r( A − 3E) + r(A − 5E) ≤ n ,且 r( A − 3E) + r( A − 5E) ≥ r(E) = n
⎛1⎞
⎜
6.
(1) C
=
⎜0 ⎜⋯
1 ⋯
⋯ ⋯
⎟
⎜⎟
1⎟ ⋯⎟
；(2)
y
=
⎜1⎟ ⎜⋯⎟
；
⎜⎜ ⎝
0
0
⋯
1
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎝
1
⎟⎟ ⎠
(3) A = C ,
⎛n⎞
⎜⎟
A (α )
=
(β1
,
β2
,
⋯,
β
n
)⎜⎜
n −1⎟ ⋯⎟
=
(β1
,
β2
,⋯
,
βn
)y
。
⎜⎜ ⎝
1
⎟⎟ ⎠
四 证明题
1．(1) 3 = r(α1 ，α 2 ，α3 ) ≤ r(β1 ，β 2 ，β3 ) ≤ 3 ，故 r(β1 ，β 2 ，β3 ) = 3。
−
1⎟⎟
+
⋯
+
k
n
−1
⎜ ⎜
0
⎟； ⎟
⎜⋮⎟ ⎜⋮⎟
⎜⋮⎟
⎜ ⎝
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
−
1⎟⎠
⎜⎛1⎟⎞ ⎜1⎟ α = k⎜⎜1⎟⎟ ⎜⋮⎟ ⎜⎝1⎟⎠
(线代－A 卷) 第 7 页 共 6 页
线性代数第3版习题全解（上海交通大学）
习题1.11. 计算下列行列式：(1) 7415； ()()c o s s i n 2;3s i n c o s xy z x x zx y x x yzx-； ()2cos 1412cos 1012cos x x x；(5)xy x y yx y x x yxy+++。
解：(1)7415=7×5−1×4=31；(2) 1D =；(3) ()111x y zy zyz D x y zx y x y z x y x y zz x z x++=++=++++ ()3331030yzx y z x yy z x y z xyz z yx z=++--=++---。
(4)22cos 10014cos 2cos 12cos 112cos 1012cos 012cos x x x x x xx--=2314cos 2cos 8cos 4cos 12cos x xx x x--=-=-。
(5) xy x y y x y x x yx y+++=2()()()()()x x y y yx x y yx x y x y x y +++++-++33y x --3322x y =--2. 用行列式方法求解下列线性方程组：(1) 31528x y x y +=-⎧⎨+=⎩； (2)1231231323142543x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩。
解：(1) 123111311,10,29528258D D D --====-==, 121210,29D Dx x D D==-== (2) 12131134253,42527,10131D D --==-==- 242132114453,42418131103D D -====，3121239,1,6D D Dx x x D D D====-==-。
3．求下列各排列的逆序数：(1) 34215； (2) 13…(2n −1)(2n )(2n −2)…2。
线性代数试题A答案[大全5篇]
![线性代数试题A答案[大全5篇]](https://img.taocdn.com/s3/m/eb46ab063868011ca300a6c30c2259010202f3fd.png)
线性代数试题A答案[大全5篇]第一篇：线性代数试题A答案2006-2007学年第二学期线性代数试题A卷参考答案及评分标准一．填空题（本题满分12分，每小题3分）⎛1-20 0 -25 -111、1；2、-3；3、A=00 3 1 00-3⎝0⎫⎪0⎪2⎪；4、2 ⎪3⎪1⎪⎪3⎭二、选择题（本题满分12分，每小题3分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．C；2．C；3．A；4、B 三．计算行列式（本题满分6分）解 1 10Dn=001-110010Λ00-111000-11=100010100200Λ03ΛΛ1Λ00Λ0100Λ00n3-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ分Λn-1=n3分解2 10Dn=001-110010Λ00-111000=Dn-1+13分-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛ-11=n3分四．（本题满分12分）解：⑴ 由等式A+B=AB，得A+B-AB+E=E，即(A-E)(B-E)=E3分因此矩阵A-E可逆，而且(A-E)=B-E．2分-1⑵ 由⑴知，A-E=(B-E)，即A=(B-E)+E-1-1A=(B-E)+E或A=B(B-E)-12分-1⎛0-10-30100⎛⎫⎛⎫⎪⎪1=200⎪+010⎪=-3 001⎪001⎪0⎝⎭⎝⎭⎝⎛1 1=-3 0 ⎝1210⎫0⎪⎪0⎪ 2分⎪2⎪⎪⎭1200⎫0⎪100⎫⎪⎛⎪0⎪+010⎪3分⎪⎪1⎪⎝001⎭⎪⎭五．（本题满分14分）解：110⎤⎡1⎡11⎢01⎥⎢0221⎥→⎢A=⎢⎢0-1a-3-2b⎥⎢0⎢⎥⎢321a-1⎣⎦⎣01110⎤1221⎥⎥4分0a-10b+1⎥⎥00a-10⎦所以，⑴ 当a≠1时，rA=r(A)=4，此时线性方程组有唯一解．2分⑵ 当a=1，b≠-1时，r(A)=2，rA=3，此时线性方程组无解．2分⑶ 当a=1，b=-1时，rA=r(A)=2，此时线性方程组有无穷多组解．2分此时，原线性方程组化为()()()⎧x1+x2+x3+x4=0 ⎨⎩x2+2x3+2x4=1因此，原线性方程组的通解为⎧x1=x3+x4-1⎪x=-2x-2x+1⎪234 ⎨x=x3⎪3⎪x4⎩x4=或者写为⎡x1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡-1⎤⎢x⎥⎢-2⎥⎢-2⎥⎢1⎥2⎢⎥=k⎢⎥+k⎢⎥+⎢⎥4分⎢x3⎥1⎢1⎥2⎢0⎥⎢0⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣0⎦⎣1⎦⎣0⎦⎣x3⎦六．（本题满分12分）3-λ解 A-λE=-101202-λ1=(2-λ)(3-λ)，2分03-λ所以得特征值λ1=2,λ2=λ3=32分⎛101⎫⎪对λ1=2，解方程组(A-2E)x=0，由A-2E=-101⎪，得特征向量001⎪⎝⎭⎛0⎫⎪ξ1=1⎪0⎪⎝⎭⎛0⎫⎪所以对应λ1=2的全部特征向量为c1 1⎪,c1≠03分0⎪⎝⎭⎛0 1对λ2=λ3=3，解方程组(A-3E)x=0，由A-3E=-0⎝01⎫1⎛10⎪r 1-1⎪−−→0 0100⎪0 ⎭⎝00⎫⎪⎪，⎪⎭⎛1⎫⎛1⎫⎪⎪得特征向量ξ2=-1⎪,全部特征向量为c2 -1⎪,c2≠03分0⎪0⎪⎝⎭⎝⎭A没有三个线性无关的特征向量，所以不能对角化.2分七．（本题满分12分）⎛1λ解：f的矩阵为A=λ4 -12⎝-1⎫⎪2⎪．…………2分 4⎪⎭因此，二次型f为正定二次型．⇔矩阵A为正定矩阵．⇔矩阵A的各阶顺序主子式全大于零．…………2分而矩阵A的各阶顺序主子式分别为D1=1>0，D2=1λ=4-λ2，…………2分λ41D3=A=λλ-12=-4(λ-1)(λ+2)．…………2分 44-12所以，二次型f 为正定二次型．⇔D2=4-λ2>0，且D3=-4(λ-1)(λ+2)>0由 D2=4-λ2>0，得-2<λ<2 ．由 D3=-4(λ-1)(λ+2)>0，得-2<λ<1 ．因此，得-2<λ<1 ．即，二次型f为正定二次型．⇔-2<λ<1…………4分八．（本题满分8分）已知三维向量空间的一组基为α1=(1，1，0)，α2=(1，0，1)，α3=(0，1，1)求向量β=(2，0，0)在上述基下的坐标．解：设向量β在基(α1，α2，α3)下的坐标为(x1，x2，x3)，则有x1α1+x2α2+x3α3=β，2分写成线性方程组的形式，有⎛1⎫⎛1⎫⎛0⎫⎛2⎫⎪⎪⎪⎪x1 1⎪+x2 0⎪+x3 1⎪=0⎪2分 0⎪1⎪1⎪0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即⎧x1+x2=2⎪⎨x1+x3=0，⎪x+x=03⎩2得唯一解x1=1，x2=1，x3=-1，3分，1，-1)．1分因此所求坐标为(1九．（本题满分12分）证法1：记A=(α1,α2,Λ,αm),B=(α1,α2,Λ,αm,β)，显然r(A)≤r(B).1°因为α1,α2,Λ,αm线性无关，知r(A)=m1分2°因为α1,α2,Λ,αm,β线性相关，知r(B)<m+1 1分因此r(B)=m，1分Ax=(α1,α2,Λ,αm)x=b有解且唯一。
交大版线性代数答案
交大版线性代数答案问题1题目：已知矩阵A = | 1 3 0 | | 2 -1 4 | | 0 1 2 |求矩阵 A 的零空间和列空间。
解答：我们首先求矩阵 A 的零空间。
设一个向量 x = | x1 | 为矩阵A 的零空间中的一个向量，则有 Ax = 0。
根据矩阵乘法可得：A * x = | 1 3 0 | * | x1 | = | x1 + 3x2 | | 2 -1 4 | | x2 | | 2x1 - x2 + 4x3 | | 0 1 2 | | x3 | | x2 + 2x3 |要使 Ax = 0，我们需要求解以下线性方程组：x1 + 3x2 = 0 2x1 - x2 + 4x3 = 0 x2 + 2x3 = 0将其化为增广矩阵，得：1 3 0 | 0 |2 -1 4 | 0 |0 1 2 | 0 |对增广矩阵进行初等行变换，得：1 0 -2/5 | 0 |0 1 -2/5 | 0 |0 0 0 | 0 |由此可得零空间的一组基为向量 x = | 2/5 |。
接下来我们求矩阵 A 的列空间。
列空间是由矩阵 A 的所有列的线性组合组成的集合。
由于矩阵 A 的列向量为线性无关的，所以矩阵 A 的列空间的维数为 3 - 1 = 2。
因此矩阵 A 的列空间为一个二维空间。
问题2题目：已知矩阵B = | 1 2 | | 1 -1 |求矩阵 B 的特征值和特征向量。
解答：为了求解矩阵 B 的特征值和特征向量，我们需要解决以下方程：det(B - λI) = 0其中，λ 是一个未知数，I 是单位矩阵。
根据矩阵减法得到：B - λI = | 1 2 | - λ | 1 0 | = | 1 - λ 2 | | 1 -1 | | 0 1 | | 1 -1-λ |计算行列式的结果为：det(B - λI) = (1 - λ)(-1-λ) - 2 = λ^2 - 2λ - 3 = 0将方程因式分解得：(λ - 3)(λ + 1) = 0解得λ = 3，λ = -1。
2012-2013-1线性代数A试卷与答案
,,s、向量组的秩为r，则向量组中三、计算题（每题12分，共60分）1、计算行列式：32142143143243212、已知=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101111121X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛523231141，求矩阵X3、求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=+-+-=+-+=+-+261782314620324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。
4、求向量组1234(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),(1,2,3)αααα====-的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示.5、求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100010221A 的特征值与特征向量.分）若123,,ξξξ是方程组0AX =的基础解系，证明1323122,2,2ξ+ξξ+ξξ+ξ也是该方程组的基础解系.2012-2013-1线性代数A 参考答案与评分标准一、 判断题（每题2分，共20分）二、填空题（每空2分，共10分）1、-2；2、43、41； 4、1； 5、111,,632三、计算题（每题12分，共60分）1、解：原式=32110214101431043210……………………………………………（2分） =111022203110432110321121411431432110------= …………………………（6分） =11314021113112011111131120----=----=---- …………（10分）=160113140=- ……………………………………………………（12分）2、解：1141121132111325101X -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦----------------------4分 121100121100111010012110101001022101⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1310011031202201211001001100212111001122⎡⎤--⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥---→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦--⎢⎥⎣⎦--------------10分131221141223113201102232511465122⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎣⎦--------------------------12分 3、解：先对增广矩阵进行初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------000000000012210032112442012210122100321121611178231461203211--------------------6分同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-+1220324324321x x x x x x x ，一个特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0011-----------------------8分选4x 为自由未知量，得到齐次线性方程组的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210121,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1105----------------------10分原方程组的通解为+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2101211k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11052k +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0011-------------------------12分 4、解:秩为 3，--------------------------6分一个极大线性无关组为123,,ααα. --------------------------10分412335αααα=-+-；--------------------------12分5、解:特征方程为|λE －A|=1010221---+λλλ=(λ+1) (λ－1)2 =0，------4分 ∴A 的全部特征值为λ1=－1，λ2=λ3=1。
上海交通大学2005至2006第二学期线代数A卷期末考试试题及答案
上海交通大学2005至2006第二学期线代数A卷期末考试试题及答案线性代数试卷（A卷） 2006－06－21姓名学号得分题号一二三四总分得分一单项选择题（每题3分，共18分）1．已知矩阵，，且，则a. 当时，必有秩；b. 当时，必有秩；c. 当时，必有秩；d. 当时，必有秩。
2．已知为3维列向量组，行列式，，则行列式a. －6；b. 6；c. －18；d. 18。
3. 设线性空间中向量组线性无关，则的下列生成子空间中，维数为3的生成子空间是a. L；b. L；c. L；d. L。
4．设为维列向量组，矩阵，下列选项中正确的是a. 若线性相关，则线性无关；b. 若线性相关，则线性相关；c. 若线性无关，则线性无关；d. 若线性无关，则线性相关。
5. 设为非零实矩阵，，是行列式中元素的代数余子式，则矩阵必为a. 不可逆矩阵；b. 对称矩阵；c. 正交矩阵；d. 正定矩阵。
6．设为阶非奇异矩阵，为的伴随矩阵，则a. ；b. ；c. ；d. 。
二填空题（每题3分，共18分）1. 设3阶方阵有特征值，则的相似对角阵为；2. 设,，其中是非齐次线性方程组的解,为矩阵,且, 则线性方程组的通解为；3. 设实对称矩阵满足，则二次型经正交变换可化为标准形；4．已知矩阵满足，且，则行列式；5．设4阶矩阵满足行列式，，，则其伴随矩阵必有一个特征值为；6．已知4阶矩阵的秩，则齐次线性方程组的基础解系含个线性无关的解向量。
二计算题（每题8分，共48分）1．已知阶矩阵且满足方程，其中，求矩阵。
2. 已知非齐次线性方程组，其系数矩阵的秩试求：常数的值，以及该方程组的通解。
3. 求正交变换,将实二次型化为标准型,并写出正交变换。
4. 设为4阶方阵，其中是4维列向量，且线性无关，。
已知向量，试求线性方程组的通解。
5. 已知是3维线性空间的一个基，且，，。
（1）求由基到基的过渡矩阵；（2）设向量，求在基下的坐标6. 设列向量是矩阵的对应特征值的一个特征向量.（1）求常数；（2）试问：矩阵能否相似于对角矩阵？为什么？四证明题（每题8分，共16分）1. 已知矩阵为阶正定矩阵,证明:（1）矩阵的特征值都大于零；（2）若，则为正定矩阵。
线性代数第3版习题全解(上海交通大学)
上海交大线性代数习题答案
上海交大线性代数习题答案上海交大线性代数习题答案线性代数作为数学的一个重要分支，是大多数理工科学生必修的一门课程。
而上海交通大学作为中国著名的高等学府，其线性代数课程更是备受关注。
在学习过程中，习题是巩固知识、提高技能的重要途径。
因此，本文将为大家提供上海交大线性代数习题的答案。
1. 矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中一个基本概念，它描述了矩阵的行（列）向量组的线性无关程度。
在上海交大线性代数课程中，关于矩阵的秩的习题是必不可少的。
例如，题目可能会给出一个矩阵A，要求求解其秩。
这时，我们可以使用高斯消元法或者矩阵的行列式等方法来解决。
具体的计算过程可以参考教材中的相关知识点，或者通过搜索引擎来获取详细的步骤和示例。
2. 线性方程组的解线性方程组是线性代数中的重要内容之一，也是上海交大线性代数课程中的重点内容。
在解线性方程组的过程中，我们需要运用矩阵的运算和求解方法。
例如，题目可能会给出一个线性方程组，要求求解其解集。
我们可以使用高斯消元法、矩阵的逆等方法来解决。
同样，具体的计算过程可以参考教材中的相关知识点，或者通过搜索引擎来获取详细的步骤和示例。
3. 特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，也是上海交大线性代数课程中的重要内容。
在求解特征值和特征向量的过程中，我们需要使用矩阵的特征方程等方法。
例如，题目可能会给出一个矩阵A，要求求解其特征值和特征向量。
我们可以通过求解矩阵的特征方程来得到特征值，然后通过代入特征值求解特征向量。
同样，具体的计算过程可以参考教材中的相关知识点，或者通过搜索引擎来获取详细的步骤和示例。
4. 线性变换线性变换是线性代数中的重要内容之一，也是上海交大线性代数课程中的重点内容。
在解线性变换的问题中，我们需要理解线性变换的定义和性质，并运用矩阵的运算和求解方法。
例如，题目可能会给出一个线性变换的矩阵表示，要求求解其性质或者进行相关计算。
我们可以通过矩阵的运算和性质来解决这类问题。
上海交通大学试卷(A卷)
班级号_______________________ 学号______________ 姓名 课程名称 离散数学 成绩一、选择题（40’，每题2’， 每题只有一个选项是正确的，请将答案写在题号前的括号里） （ ）1．下列命题不含联结词的（称为原子命题）是____________：A. “小明和小华是兄弟”。
B. “他个子不高也不漂亮”。
C. “小张或小王能解出这道题”。
D. “小张可能去体育场也可能在家里电视屏幕上观看这场球赛”。
（ ）2．使得p q p q →→∧))((的真值为F 的是下列情形____________：A. ),(),(F F q p =B. ),(),(T F q p =C. ),(),(F T q p =D. ),(),(T T q p =（ ）3．下列公式中____________不是永真式：A. )(q p p →→⌝B. )(q p p →⌝→C. ()()q q p q p ⌝∧→∨→)(D. ()()q q p q p ⌝∨→∨→)(（ ）４．),,()(),,())((z y x P z z y x P y x ∃→∀∃的前束范式为___________：A. )),,(),,()()()((z w v P u y x P z y x ∨⌝∃∀∃B. )),,(),,()()()((z w v P u y x P z y x ∨⌝∃∃∀C. )),,(),,()()()((z w v P u y x P z y x →∃∀∃D. 以上都不对（ ）5．下式不一定成立的是___________：A ．)()()()())()()((x Q x x P x x Q x P x ∀∧∀=∧∀B ．)()()()())()()((x Q x x P x x Q x P x ∃∨∃=∨∃C ．)()()()())()()()((x Q x x P x y Q x P y x ∀∨∀=∨∀∀D ． )()()()())()()((x Q x x P x x Q x P x ∃∧∃=∧∃上 海 交 通 大 学 试 卷（ A 卷）（ 20_07_ 至 20_08_ 学年 第_2__学期 ）我承诺，我将严格遵守考试纪律。
线性代数第二版(上海交大)习题答案1
1. （1）()17263540123219τ=+++++＝,为奇排列. （2）()9854673218763222131τ=+++++++＝，为奇排列. （3）()()()()121215311212n n n n n n τ++-=+-+++= ，当42n k =-或43n k =-时，为奇排列； 当41n k =-或4n k =时，为偶排列. 2.()()21211n n n n a a a a a a C ττ-+= ，()()21112n n n n n a a a C s s τ--=-=-∴ .3. （1）()127435689002111005τ+++++++= ＝，8,3i j ∴==时为偶排列;（2）()132564897010200205τ+++++++= ＝，6,3i j ∴==时为偶排列.4.含23a 的所有项为()()1324112332441a a a a τ-、()()1342112334421a a a a τ-、()()2314122331441a a a a τ-、()()2341122334411a a a a τ-、()()4312142331421a a a a τ-、()()4321142332411a a a a τ-，()()()()()()13241,13422,23142,23413,43125,43216ττττττ====== ，23112332441223344114233142,,a a a a a a a a a a a a a ∴所有包含并带负号的项为---.5．证明 ()()121212121n n ni i i i i i n i i i D a a a τ=-∑()()()()()121212121n nni i i i i ni i i i a a a τ=----∑()()()1212121211n n n ni i i i i ni i i i a a a τ=--∑()1nD =-，当n 为奇数时，,20,0D D D D =-==.6．（1）2512371459274612-----()()2123131341425121522152237141734021625927295701131461216420120r r r c c r r r r r r ---+→-----↔+-→--+-→---()3232343442415221522152220113011301139021600300030012000333r r r r r r r r r r r ---+-→↔+→=----+→-.（2）1200340000130051--()()121346115283451D -==--=- . （3）222111x xy xz xyy yz xzyzz +++ ()()()()()()222222222222222222111111D x y z x y z x y z x z y x y z y z x =+++++-+-+-+2221x y z +++＝.（4）xy x y yx y x x yxy+++()()()3333332D xy x y x y x y x y =+-+--=-+.（5）0000x y z x z y y z x z y x()12341010********10x y z x y zx y z x y z x z y x y z z y z y c c c c c x y z y z x x y z z x z x zyxx y zyxyx+++++++→=++++++()()()()()2123134141101010x y z r r r xz y y z x z y y z r r r x y z x y z z xy x z z x y x z y xx yzr r r y xx y z +-→------+-→++=++---------+-→--- ()12123200z x yy z c c c x y z z x yx y z x z c c c x y z z---+→++-----+→--- ()()()101101y z x y z z x y x y z x z z-=++------ ()()()()()21232310101100y z r r r x y z z x y x y z x y r r r y x z-+-→++-----+-→--()()()()444222222222x y z z x y x y z y x z x y z x y x z y z =++------=++---.（6）1111111111111111x x y y +-+-()()()14124234311110011111001111100111111111x x y r r r x xy r r r y yyr r r y y ++-→--+-→++-→--000000000000111011x yy x y y x yy x y x y xy yy yy--=--=---- ()22222000011111x yy x yxy xy xy xy x y xy x y xx -=+=+=-+=--.7．（1）122222222232222n()()12121122210002222122222222010012232001000203,4,,22200020002i i n r r r r r r i nn n n --+-→+-→=-=--()22!n =--.（2）1231234111321221n n n n n n n nn n ------设此行列式的值为D , 将第2,3,,n 列均加于第一列, 则第一列的所有元素均为()112312n n n ++++=+ ，将此公因式提出, 因此有 121125411431321)1(21-+=n nn n D，再令第n 行减去第1n -行, 第1n -行减去第2n -行, …, 第2行减去第1行, 可得()()11231111110111111111110111122111110111111111n n n n n nn n n n D nn n n-----++==----()123111111111111121111111111n n nn n c c c c c n -----+++++→---()()()1210000000100000001112,3,,1221000000010000ni i n n n nnc c c n n n n i n n n n-------+→++=--=------()()()()()()()()32112212211111122n n n n n n n n n n n nn ---+---++=---=-.（3）1231031201230n n n ------11231231030262!12000322,3,,1230000i i n nn n r r r n nn i nn-+→=--=---. （4）0000000000000000x y x y x x y yx将行列式按第一列展开得nn n n n y x yxy x y yxy x y xxD 11)1(000000)1(0000000++-+=-+=.8. （1）11001010001x y z x y z= ()()()22222212341111000100110100010001001x y zx y z x y zx c x c y c z c c x y z y z---+-+-+-→=---=2220x y z ∴++=,0x y z ===.（2）2222134526032113212x x ---=--+--22132222131223452625463211123132121232x x c c x x ------↔---+--+----()()2122231343422241412231223209000900100520052511r r r x x r r r r r r x x r r r x --+-→--+-→-+→-----+→-()()225910x x =---=31x x ∴=±=±或.9. （1）()11111111222222222333333331a b x a x b c a b c a b x a x b c x a b c a b xa xbc a b c ++++=-++证明 第二列乘以()x -加到第一列得()()()()21111111122222222222333333331111x a a x b c a a x b c D x aa xbc x a a x b c a a x b c x aa xbc -++=-+=-++-+ ()()11122122223331a b c c x c c x a b c a b c +-→-， 得证.（2）1211100010001nn k k k n na a x a x a x a x-=---=-∑.证明 用数学归纳法证明. 当2n =时, 212212121k k k a D a x a a x a x-=-==+=∑, 命题成立.假设对于()1n -阶行列式命题成立, 即 1111n n k n k k D a x ----==∑,则n D 按最后一行展开, 有111000001000001000(1)0001001n n nn xx D a xD x x+----=-+--11111(1)(1)n n n n k n k k a x a x -+---==--+∑11n n k n k k a a x --==+∑1nn k k k a x -==∑，因此, 对于n 阶行列式命题成立.（3）cos 100012cos 100012cos 00cos 0002cos 1012cos n αααααα=.证明 用数学归纳法证明.当1n =时, 1cos D α=, 命题成立. 假设对于1n -阶行列式命题成立, 即 1cos(1)n D n α-=-, ， 则n D 按最后一列展开, 有11cos 100012cos 100012cos 00(1)2cos 0002cos 101n n n n D D ααααα+--=-+22cos cos(1)n n D αα-=--[]12cos cos(2)cos(2)2n n n ααα=+--- cos n α=，因此, 对于n 阶行列式命题成立.(4)121211111111(1)111nn i ina a a a a a a =++=++∑证明 法一11212121323131414111111111000011100001110000011100000001n n n na a a a r r r a a a r r r D a r r r a a a a a -+-+-→-+-→=--→+--+提取公因子1232112*********1000010100010000010001010001n n n n na a a a a a a a a a ---+-----12321121121111111101000000100000000000001001nk k n n n n n na a a a a a c c c c a a a a =---++++→∑1211(1)nn i ia a a a ==+∑. 法二122112133223243431100001000111100011110001111000100001n n n n n n a a a a c c c a a a c c c D a c c c a a a a a ---+-→-+-→=--→+--+按最后一列展开（由下往上）121(1)()n n a a a a -+ 12233422000000000000000000000000000n n na a a a a a a a a --------122331100000000000000n n na a a a a a a a ----+---223341100000000000000n n na a a a a a a a -----+--1211232123123(1)()n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a -----=+++++1211(1)nn i ia a a a ==+∑. (5)()()12311231123111123112311n n n nnn n nij j i j i i n nn nx a a a a a x a a a a a x a a a x a x a a a a x a a a a a x ---==--⎛⎫=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭∑∏. 证明 法一12311231123112311231n n n n n n n n n n n x a a a a a x a a a a a x a a D a a a x a a a a a x -----=1231112221211333134141111110000000000n n n n n nx a a a a a x x a r r r a x x a r r r r r r a x x a a x x a ------→---→-→----()()()311211223311112211000101001001010001n n n n n nn n a a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ---------------提取公因子()()()12122111211122101000000001001ni n n i i in n n nn n n a a a a x a x a x a x a c c c c x a x a x a -=--+----+++→---∑()()111nn ij j i j i i a x a x a ==⎛⎫=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭∑∏. 法二12311231123112311231n n n n n n n n n n nx a a a a a x a a a a a x a a D a a a x a a a a a x -----=121232343c c c c c c c c c -→-→-→ 1122223333111231000000000000n n n nn nx a a x x a a x x a x a a x a a a a x ----------按最后一行展开（由右往左）11222211()()()()n n n n n x x a x a x a x a --------1122223333122000000000000000000n n n n nx a a x x a a x x a a x a a x -----------112222333321111000000000000000n n n n n n n x a a x x a a x x a a a x x a a x ----------+----()22223313344111110000000100000n n n n n n n a x x a a x x a a x a a x x a a x +---------+----1122221111222211()()()()()()()()()n n n n n n n n n n n x a x a x a x a x a a x a x a x a x a --------=-----+----12222112113311()()()()()()()()n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a a x a x a x a x a --------+----+----+ 111223322()()()()()n n n n n n a x a x a x a x a x a ----+-----()()111nn ij j i j i i a x a x a ==⎛⎫=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭∑∏. 10.解：由范德蒙德行列式性质得21211112111111()1n n n n n n x x x a a a P x a a a ------=12111111211111n n n n n n x a a a x a a a ------=()()()1231121222212311111n n n n n n n a a a a x a x a x a a a a a ----------＝，121,,,n a a a - 互不相同,∴由范德蒙德行列式性质得12312221123111110n n n n n n a a a a a a a a ------≠，故()P x 是x 的1n -次多项式，方程()0P x =的所有根为121,,,n x a x a x a -=== . 11. （1）方程组的系数行列式504211217041201111D -==-≠，所以方程组有唯一解.又130421121711200111D -==-，253421121741201011D ==，350321111741101101D -==，450431121741211110D -==-，故可得解为111D x D ==，221D x D ==-，331D x D ==-，441Dx D==. （2）方程组的系数行列式2151130627002121476D ---==≠--，所以方程组有唯一解.又1815193068152120476D ---==---，22851190610805121076D --==----，321811396270252146D --==--，421581309270215147D --==---， 故可得解为113D x D ==，224D x D ==-，331D x D ==-，441Dx D==. （3）方程组的系数行列式3200013200630013200013200013D ==≠，所以方程组有唯一解.又1120000320031013200013200013D ==，2310001020015003200013200013D ==-，332100130007010200003200013D ==，432010132003013000010200003D ==-，532001132001013200013000010D ==，故可得解为113163D x D ==，22521D x D ==-，3319D x D ==，44121D x D ==-，55163D x D ==. 12.设平面方程为ax by cz d ++=，则由题意知233a b c d a b c d a b c d ++=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩， 方程组的系数行列式111231160311D =-=-≠--，所以方程组有唯一解.又11131811d D dd d=-=---，21121231d D dd d=-=--，31123631dD d d d==--，故可得解为12D d a D ==，28D db D ==，338D d c D ==， 代入平面方程得438x y z ++=. 13. 证明充分性：若0a b c ++=，则把c a b =--带入方程组000ax by c bx cy a cx ay b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（1） 可得1x y ==即三条直线相交于一点()1,1；必要性：若三条不同直线（1）相交于一点，则三个平面000ax by cz bx cy az cx ay bz ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（2） 相交于非零点，而由克莱姆法则，方程组（2）有非零解的必要条件是其行列式为零，又()()()()22212a b c b c a a b c a b b c c a c a b⎡⎤=-++-+-+-⎣⎦， 所以，a b c ==或0a b c ++=，由题意a b c ==不满足， 故0a b c ++=.14.令()32f x ax bx cx d =+++，由()10f -=，()14f =，()23f =，()316f =知48423279316a b c d a b c d a b c d a b c d -+-+=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 方程组的系数行列式11111111480842127931D --==≠，所以方程组有唯一解.又10111411196342116931D -==，2101114112408321271631D --==-，31101114108431279161D -==，4111011143368423279316D --==，故可得解为12D a D ==，25D b D ==-，30D c D ==，47Dd D==， 即()32257f x x x =-+.。
06—07-1线代(B)-A卷精编版
上 海 交 通 大 学线 性 代 数(B 类)试 卷----A 卷 2007-01-10一、单项选择题（每题3分，共15分）1．设n m A ⨯为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T为正定矩阵的(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。
2．已知32121,,,,αααββ为四维列向量组，且行列式 4,,,1321-==βαααA ，1,,,2321-==βαααB ，则行列式 =+B A(A) 40； (B) 16-； (C) 3-； (D) 40-。
3．设向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线 性表示，则以下结论中不能成立的是(A) 向量组s βββ，，，21线性无关； (B) 对任一个j α，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C) 存在一个j α，向量组s j ββα，，，2线性无关； (D) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价。
4．对于n 元齐次线性方程组0=Ax ，以下命题中，正确的是(A) 若A 的列向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (B) 若A 的行向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (C) 若A 的列向量组线性相关，则0=Ax 有非零解； (D) 若A 的行向量组线性相关，则0=Ax 有非零解。
5．设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ，*A 为A 的伴随矩阵，则(A) A A A 11||)(-*-=； (B) A A A ||)(1=*-； (C) 111||)(--*-=A A A ； (D) 11||)(-*-=A A A 。
二、填空题（每题3分，共15分）6． 列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量. 则λ＝ ，a ＝ ，b ＝ 。
7．设n 阶向量T x x )00(，，，，=α，0<x ；矩阵 TE A αα-=, 且 T xE A αα11+=-，则=x ___ ______。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．已知矩阵，，且，
则
a. 当时，必有秩；
b. 当时，必有秩
；
c. 当时，必有秩；
d. 当时，必有秩。
2．已知为3维列向量组，行列式，
，则行列
式
a. －
18； d. 18。
3. 设线性空间中向量组线性无关，则的下列生成子空间中，维
数为3的生成子空间是
a. L；
b. L
；
c. L；
d. L。
4．设为维列向量组，矩阵，下列选项中正确的
是
a. 若线性相关，则线性无关；
b. 若线性相关，则线性相关；
c. 若线性无关，则线性无关；
d. 若线性无关，则线性相关。
5. 设为非零实矩阵，，是行列式中元素的
代数余子式，则矩阵必为
a. 不可逆矩
阵； b. 对称矩阵；
c. 正交矩
阵； d. 正定矩阵。
6．设为阶非奇异矩阵，为的伴随矩阵，则
a. ；
b.
；
c. ；
d.。
二填空题（每题3分，共18分）
1. 设3阶方阵有特征值，则的相似对角阵
为；
2. 设,，其中是非齐次线性方程组的
解,为矩阵,且, 则线性方程组的通解
为；
3. 设实对称矩阵满足，则二次型经正交变换可化为标准形；
4．已知矩阵满足，且，则行列式；5．设4阶矩阵满足行列式，，，则其伴随矩阵必有一个特征值为；
6．已知4阶矩阵的秩，则齐次线性方程组的基础解系
含个线性无关的解向量。
三计算题（每题8分，共48分）
1．已知阶矩阵且满足方程，其中，
求矩阵。
2. 已知非齐次线性方程组，其系数矩阵的秩
试求：常数的值，以及该方程组的通解。
3. 求正交变换,将实二次型化
为标准型,并写出正交变换。
4. 设为4阶方阵，其中是4维列向量，且
线性无关，。
已知向量，试求线性方程组的通解。
5. 已知是3维线性空间的一个基，且
，，。
（1）求由基到基的过渡矩阵；
（2）设向量，求在基下的坐标
6. 设列向量是矩阵的对应特征值的一个特
征向量. （1）求常数；（2）试问：矩阵能否相似于对角矩阵？
为什么？
四证明题（每题8分，共16分）
1.已知矩阵为阶正定矩阵,证明:
（1）矩阵的特征值都大于零；（2）若，则为正定矩阵。
2．设阶方阵,其中是维列向量,证明：
（1）的充要条件为；（2）当时，矩阵不可逆。
参考答案
一选择题 c a d b c c
二填空题
1.；
2.；
3.；
4.；
5.；6．3。
三计算题
1. 。
2. ,。
3. 正交变换，为
，
化二次型为标准形。
4. ，
线性无关，，解得。
5. （1）；（2）。
6. （1）；
（2）不能，因为其特征值为-1,-1,-1；但线性无关的特征向量只有一个.
四证明题
1.（1）为可逆矩阵，
又
其中为可逆矩阵。
因此为正定矩阵，相似于，的特征值与相同，故的特征值都大于零。
（2），实对称，且特征值大于零，所以正定
2. （1），故的充要条件为；
（2）由（1）得，若可逆，，则，矛盾。