第4章对称振子教程
第四章 谐振子
4.2 一维谐振子
量子力学处理。其哈密顿算符是
d d 2 2 2 H T V V 2 v m x 2 2 2m dx 2m dx 2 d 2 4 2v 2 m 2 2 2 d 2 2 2 ( 2 x ) ( 2 a x ) 2 2m dx 2m dx 2vm a (4.33)
(4.2)
4.1 微分方程的幂级数解
y D sin(cx e)
(4.3)
两和的正弦公式
sin(x y) sin x cos y cos x sin y
用幂级数法解（4.1），假设解可在 x 0附近用台劳 级数展开，即
y( x) an x n a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3
a1 的值无限制，它们是任意的常数，可令
(4.17)
代入到（4.16），求得系数 c2 A c4 A c6 A a0 A, a2 , a4 , a6 , 1 2 4 3 2 1 6! 2k c A k a2 k (1) , k 0,1,2,3, (4.18) (2k )!
n 0
(4.41)
和（4.13）式一样，使
x
n
的系数为零，有
cn 2
(a 2an 2m E 2 ) cn (n 1)(n 2)
(4.42)
这是所要求的两项和的递推关系式。
4.2 一维谐振子
（4.42）与（4.16）的形式一样，因此，知 cn 可计 算 cn 2；所以有两个任意的常数：c 0 和 c1 。若 令 c1 0 ，则将有只含 x 的偶次幂的幂级数乘以指数因 子的解：
(4.15)
c2 an 2 an (4.16) (n 1)(n 2) 像（4.16）这样的等式叫做递推关系式。运用该式，若知 a0的值，可求 a2 , a4 , a6 , 。若知 a1 ，可求 a3 , a5 , a7 , 。
天线理论与设计—第4章
第四章 图 1.4 基本磁振子的辐射
第四章
稳态场有这种特性, 时变场也有这种特性。 小电流环的 辐射场与磁偶极子的辐射场相同。
基本磁振子是一个半径为r的细线小环, 且小环的周长满足 条件：2πr<<λ, 如图 1.4所示。假设其上有电流i(t)=Icosωt, 由 电磁场理论, 其磁偶极矩矢量为
cos kL cos cos kL
2
2
s in
方向图 函数
cos kL cos cos kL
f 2
2
s in
第四章
电性能
归一化场强方向图
F
f fm
k
f
L
3 2
时
k
f
m
1
0
0.7148
半波振子归一化方向图
cos cos
F 2
s in
k
1
fm
带宽
对称振子是谐振式结构，频带宽度窄
10%左右，VSWR<2.0
第四章
方向性系数
D
2
4 fm 0 2 f 2 sindd
00
2
4
F , 2 sindd
00
2 fm 0 2 f 2 sind
0
Pr
1 2
I
2 m
60
0
f
2
s in d
1 2
I
2 m
Rrm
1
Pm az Ib2 az pm
磁振子： I M l jPm
根据电与磁的对偶性原理,
问题a 电流元
J1
E1
H1
理想导电体
问题b 磁流元
M2=J1
对称阵子天线
1 l 2l Z 0 ( z )dz 120(ln 1) l 0 a
（1―4―10）
z
dz
2a
l z
dz
~
O
D z z l z
~
O
dz 2a
(a )
(b )
第1章 天线基础知识
由上式可知，振子越粗，Z0A就越小。Z0A就是与其
对应的等效传输线的特性阻抗。
前面已经指出，将对称振子的辐射功率看作是一 种欧姆损耗均匀分布在天线的臂上。若设单位长度损
耗电阻为Rl，则振子上的损耗功率为 P l
l
0
1 2 I ( z ) Rl dz 2
，故
1 2 I m Rr ,应等于这个天线的辐射功率 Pr 2
D Z 0 120ln a
Z0 A
1 l 2l Z 0 ( z )dz 120(ln 1) l 0 a
第1章 天线基础知识
臂电长度的变化曲线如图1―4―7所示，对称振子越粗， 平均特性阻抗Z0A越低，对称振子的输入阻抗随 l/λ的变
化越平缓，有利于改善频带宽度。由计算结果还可以
得知，对称振子存在着一系列的谐振点。在这些谐振 点上，输入电抗为零，储存在近区中的电场和磁场无 功能量是相等的。第一个谐振点位于l/λ≈0.48处；第二 个谐振点位于l/λ≈0.8~0.9的范围内，虽然此时的输入电 阻很大，但是频带特性不好。
60 I m sin k (l z )dz jkr （1―4―2） dE j sin e r
由于上式中的r与r′可以看作互相平行，因而以从
坐标原点到观察点的路径r作为参考时，r与r′的关系为
r′≈r-zcosθ
（1―4―3）
巧用弹簧振子简谐振动过程的对称性解题 人教版
巧用弹簧振子简谐振动过程的对称性解题江苏省泰兴中学 李小东（邮编225400）对称性是简谐运动的重要性质之一，在关于平衡位置对称点上位移，回复力，加速度，速度，动能，势能数值均相等，振动物体沿不同方向经过同一路径或通过关于平衡位置两段对称路程的时间相等，利用对称规律解题，往往事半功倍，下面以弹簧振子为例加以说明：一、时间、速度的对称性例1、如图，在水平方向做简谐运动的弹簧振子，质量为m ，A 、B 两点关于平衡位置对称，经过A 点时速度为v 。
（1） 它从平衡位置O 点经过0.4s 第一次到达A 点，再经过0.2s 第二次到达A 点，从弹簧振子离开O 点开始计时，则振子第三次到达A 点时间是多少？（2）振子连续经过A 、B 两点，弹力所做的功以及弹力的冲量是多少？解析：（1）①若开始经过O 点速度方向向右 由时间对称性：42.02124.0T T =⨯+-∴s T 32= ②若开始经过O 点的运动方向向左2.024.02+⨯=T T=2S（2）由速度的对称性知连续经过A 、B 两点v A 与v B 大小相等，但方向可能相同或相反。
∴W 弹=△Ek=0，I 弹=0或I 弹=2mv二、加速度、回复力的对称性例2、如图（1）所示，质量分别为m 和M 的A 、B 两重物用劲度系数为k 的轻质弹簧竖直地连接起来，若将A 固定在天花板上，用手托住B ，让弹簧处于原长，然后放手，B 开始振动，试问：（1）B 到达最低点时的加速度以及弹性势能多大？（2）B 振动具有最大速度Vm 时弹簧的弹性势能为多大？（3）如图（2）所示，若将A 从天花板上取下，使弹簧为原长时，让两物从静止开始自由下落，下落过程中弹簧始终保持竖直状态。
当重物A 下落距离h 时，重物B 刚好与地面相碰，假定碰后的瞬间重物B 不离开地面（B 与地面作完全非弹性碰撞）但不粘连。
为使重物A 反弹时能将重物B 提离地面，下落高度h 至少应为多少？解析：（1）B 释放时，弹簧原长，∴M 加速度 a=g 向下当B 到达最低点时，根据对称性a ′=g 向上最高点与最低点回复力大小相等，即Mg=kx-Mg ∴最低点伸长量KMg x 2= 由最高点到最低点能量守恒得Kg M Mgx E 222==弹 （2）B 速度最大时，弹簧振子处于平衡位置，设伸长Mg Kx x =11能量守恒2121m Mv Ep Mgx += 22221m Mv K g M Ep -= （3）B 触地时，弹簧为原长，A 的速度gh v 2=，A 压缩弹簧后向上弹起，弹簧恢复原长后A 又继续上升拉伸弹簧，当v A =0时，弹簧伸长x 2，B 恰好被提离地面应有 Kx 2=Mg ∴x 2=x 1 ∴最高点弹性势能Ep ′=Ep 弹簧由压缩到拉伸能量守恒p E mgx mv '+=2221 22221221m Mv K g M K Mg mg gh m -+⋅=⋅mgMv km g M K Mg h m 222-+= 三、弹簧振子关于平衡位置对称的两点位移大小相等，关于原长对称的两位置由于形变量大小相等，弹力势能相同。
对称振子方向图实验
实验二对称振子方向图
一、实验目的
通过实验使学生形象了解对称振子的远区空间辐射场的具体情况。
使学生知道对称振子的方向性函数与振子的臂长l有关，是振子臂电气长度的函数。
振子臂长较短时，波瓣较宽，方向性较差；随着臂长增加，方向性逐渐改善；但是臂长超过半个波长时,会出现一些边波瓣，甚至会使主波瓣发生分裂。
使学员明白对称振子的臂长在四分之一波长附近时，没有边波瓣，主波瓣随臂长的变化也不显著，半波对称振子在天线中得到普遍应用。
二、实验指导
我们可以看到这个界面有三个显示区：立体方向图、E面方向图、H面方向图，分别用来同时显示对称振子的立体图、E面方向图、H面方向图。
界面的下端有一个划条和与之对应的编辑框，分别用来改变振子臂电长度和显示电长度的数值。
对称振子方向图的演示有两种方式：自动和手动，演示方式的改变可通
来改变。
选择自动演示方式，点击按钮，则对称振子的方向图在相应的显示区内显示，这时振子臂长度从0到5 循环变化，对称振子的方向图随振子臂电长度的变化而变化。
点击按钮演示停止，这时可切换到手动演示方式，点击按钮
返回主界面。
选择手动演示方式，输入振子臂电长度参数，点击按钮，则和参数相一致的静态方向图在相应的显示区显示。
参数的改变有两种方式： 1、通过划条来改变；2、直接在文本框中输入。
点击按钮。
偶极子和对称振子
偶极子和对称振子
偶极子天线（Dipole Antenna）也被称为对称阵子，是一种经典且广泛使用的天线。
它由两根粗细和长度都相同的导线组成，中间为馈电端口。
连接收发机与天线馈电端口的传输线将高频电流输送到天线上，该传输线被称为天线的馈线。
对称振子可以看作是开路的双导线演变而来，也可以看作电流元的连续直线阵列。
对称振子的方向图和输入阻抗是其重要的特性。
方向图描述了天线在各个方向上辐射的强度，而输入阻抗则是从馈线看向天线的阻抗，等于馈电端口处电压与电流之比。
然而，由于电压或电流不易求出，因此输入阻抗的计算可能较为复杂。
一种常见的工程近似计算方法是把振子看作是由开路传输线张开180度后构成，并借助传输线的阻抗公式进行适当近似和修正，得到对称振子的输入阻抗的公式。
对称振子的长度也影响其性能。
每臂长度为四分之一波长的振子称为半波对称振子。
此外，还有异型半波对称振子，可以看作是将全波对称振子折合成一个窄长的矩形框，并把全波对称振子的两个端点相叠，这个窄长的矩形框称为折合振子。
折合振子的长度也是为二分之一波长，故称为半波折合振子。
对称振子具有结构简单、应用广泛的特点，可以单独使用，也可以用作抛物面天线的馈源，还可以采用多个半波对
称振子组成天线阵。
§4 三维各向同性谐振子
§4 三维各向同性谐振子
质量为μ的粒子在势场V(r)中运动
1
R1l
3
2
2l 3 (2l
3)!!
2
(r
)l
1
e2
2r 2
2l
3
2r
2
2
21
9
1
R2l
3
2
2l 3 (2l
5)!!
2
(r)l
1 2r2
e2
(2l 3)(2l 5) (2l 5) 2r 2 4r 4
4
知道了径向波函数，利用已知的球谐函数 形式，很容易写出体系的波函数为
3
2
2l
2nr (2l
nr![(2l
2n1r)!!]12)!!
2
(r)l
1 2r2
e2
F
nr
,
l
3 2
,
2r 2
此时
0 [Rnrl
(r)]2
r 2dr
1
nr表示径向波函数的节点数。
21
8
Nr=0，1，2的径向波函数分别为
1
R0l
3
2
2l 2 (2l
1)!!
2
(r)l
1
e2
2r 2
当nx固定时，ny有0，1，2，…，N nx 等
N nx 1个取法。
nx,ny都取定后,nz只有一种取法,即 nz N nx ny
对称振子天线阵列天线共24页
M
由于两阵元有：
F1(a)=F2(a)=F(a)
“1”
“2”
d
z
对于阵元1在M点产生的场：
E 1= E 1 m F (a )= E 1 0 F (a )e -jk r 1
则阵元2在M点所产生的场为：
与电流成正比
E 2 = E 2 m F ( a ) = E 2 0 F ( a ) e - jkr2 = m E 1 0 e jb ? F ( a ) e - jkr2 = m E 1 0 e jb ? F ( a ) e - jk r1 + jk d c o s a m 鬃 E 1 0 F ( a ) e - jk r1 e jb ? e jk d c o s a = m E 1m F ( a ) e j(b + kd cos a ) = m E 1m F ( a ) e jy
对称振子
对称振子：由两根大小相 同的导线或金属棒组成
对于开路线：电流分布
故对称振子的电流分布应有：
I
1.电流分布应为连续（除馈电点外，连续 ），振子终端应为电流节点。
2.由于开路，电流形成驻波分布，为正弦 状态，每个周期的长度为一个波长。
3.电流分布对称。 4.两臂上相对应点的电流方向为同向。
对称振子的电流分布
Iz =ìïïíïïîIIm mssiinnaa((ll-+zz))
z? 0 z? 0
l =1l, 2l =2l
l =0.6l，2l =1.2l
l =0.5l， 2l =1l 全波振子
l =0.25l，2l =0.5l 半波振子
l =0.05l， 2l =0.1l 电小天线
对称振子的方向图
F(q)=f(q)= 1 cos(klcosq)-coskl
微波与天线对称阵子天线
2Prav Io2
1.219
2π
(Ω)
(6)方向性系数： D 1.64
20.5
x
(7)半功率波瓣宽度：20.5 790
cos( π cos )
F ( ) 2
1
sin
2
50.50
E 面方向图
0.5 900 50.50 39.50
dE
j
I0 sin k(l |
2
z |) e jkR R
sin dz
该对称振子的辐射场就是整
个振子长度上的积分:
E l dE
R R z cos 在指数上
因为：R l
R // R
R R
在分母上
辐射电场为：
E
j I0 sine jkR 2 R
l sin[k(l | z |)]e jkzcos dz
(3)半波振子的平均坡印廷矢量：
Srav
1 Re(E H ) 2
I02 8π2R2
cos( π cos 2 sin
)
2
aˆR
(4)半波振子的总辐射功率：
Prav
S Srav dS
Io2
8π2
cos2 ( π cos )
2π π
2
d d
0 0 sin
1.219 4π
I
2 o
z
(5)辐射电阻：Rr
2l / 1/ 2
2l / 1
2l / 3/ 2 2l / 2
4. 半波振子的辐射场
已知：对称振子的辐射场：
E
j
I0 2π
e jkR R
[ cos(kl
cos ) sin
cos(kl ) ]aˆ
第四章 双极与单极天线
第四章 双极与单极天线双极天线就是前面提到的对称振子天线，这种天线从馈电输入端看去有两个臂。
所谓单极天线，就是从输入端看去只有一个臂的天线，如导电平板上的鞭天线，垂直接地天线等。
4.1近地水平与垂直半波天线1、近地水平半波天线近地水平半波振子天线广泛应用于短波通信中(10~100λ=米)，其振子臂可由黄铜线、钢包线和多股软铜线水平拉直构成，中间由高频绝缘子连接两臂，可由双线传输线馈电，如图4-1所示。
图4-1 架设在地面上方的水平天线近地水平天线的分析方法前面已经介绍，可采用镜像法和考虑地参数的反射系数法，这里采用镜像法。
求上图问题yz 平面和xz 平面内的方向图函数。
用镜像法求解时，可看作是等幅反相的二元阵。
天线轴在y 方向，阵轴在z 方向。
■上半空间辐射场的模60|||(,)|m T I f rθϕ=E ， 20/θπ≤≤ (4.1) 式中，0(,)(,)(,)T a f f f θϕθϕθϕ=，20cos(cos )(,)sin f πθϕΔ=Δ，为半波振子方向图函数， △为天线轴与射线之间的夹角，cos sin sin Δθϕ=。
(,)2sin(cos )a f H θϕβθ=，为等幅反相馈电的二元阵因子。
面内(/2■yz 平)ϕ=π的方向图函数采用地面与射线之间的夹角Δ来表示，注意关系/2θπ=−Δ，有20cos(cos )2()()()2sin(sin )sin T a f f f H ππλΔΔ=ΔΔ=⋅ΔΔ(4.2a) ■xz 平面内(H 面，0=的方向图函数)ϕ半波振子：(/2πΔ=)0(,)1f θϕ=，二元阵阵因子(用角表示)：Δ(,)2sin(sin )a f H θϕβ=ΔΔ 2()2sin(sin )T f H πλΔ=Δ (4.2b)由式(4.2a)可画出yz 面内的方向图随架高H 的变化，如图4-1-1所示。
图4-1-1 yz 面内水平振子的方向图随架高H 的变化由式(4.2b)可画出xz 面(H 面)内的方向图随架高H 的变化，如图4-1-2所示。
3.4 对称振子
利用积分公式
l 0 j 60I m jkr jkz cos E e sin sin k l z e dz sin k l z e jkz cos dz l 0 r
60 I m coskl cos cos kl jkr j e r os cos kl r sin
12
2、偶极子天线的方向性函数 由 Em 可知:
coskl cos cos kl f , sin
1） f ( , ) 与 2） f ( , )与 向性与
c=0.5772 欧拉常数
cos 2kl c ln kl ci 4kl 2 ci 2kl sin 2kl si 4kl 2 si 2kl
辐射电阻与电长度 l
有关，而与振子的半径无关。
半波偶极子天线： R 73.1
全波偶极子天线： R 199
的相位差，其结果出现旁瓣； 4）当 l 5） l
主瓣相对减小，旁瓣相对增大；
继续增大时，振子上有反向电流的线段增加，
1 时，正向电流与反向电流都占据一个波长， 主瓣消失。 18
第3.4节
对称振子
一 对称振子上的电流分布
二 对称振子的辐射场和方向性函数 三 对称振子的辐射功率和辐射阻抗
四 对称振子的输入阻抗 五 对称振子的谐振长度和通频带
当频率提高到微波波段时，这些分布效应不可忽 略，所以微波传输线是一种分布参数电路。这导致 传输线上的电压和电流是随时间和空间位置而变化 的二元函数。
27
• 组成电路模型的元件，都是能反映实际电路中元件主 要物理特征的理想元件，由于电路中实际元件在工作 过程中和电磁现象有关，因此有三种最基本的理想电 路元件：表示消耗电能的理想电阻元件R；表示贮存 电场能的理想电容元件C；表示贮存磁场能的理想电 感元件L。 • 当实际电路的尺寸远小于电路工作时电磁波的波长时， 可以把元件的作用集中在一起，用一个或有限个R、L、 C元件来加以描述，这样的电路参数叫做集中参数。
第4章 对称振子
Pr
r2 2
2
d
0
0
Eq2m sinqdq
r 2
2
60Im
2
cosklcosq coskl2 dq
2 r 0
s in q
30I
2 m
0
cosklcosq coskl2 dq
s in q
W
23
2、对称振子的辐射电阻
根据辐射电阻的定义，有： Pr
1 2
I
2 m
Rr
Rr
600
要考虑行程差，还要考虑电流的相位差所引起的场强的相 位差，其结果出现旁瓣；
4）当 l 继续增大时，振子上有反向电流的线段增加，主
瓣相对减小，旁瓣相对增大；
5） l 时1 ，正向电流与反向电流都占据一个波长，主瓣
消失。
22
4.2.2 对称振子的辐射功率
把对称振子的辐射场的表达式代入求辐射功率 的通式，即可得到对称振子的辐射功率：
l
两臂之间的间隙很小，理论上可以忽略不计 L＝2l
半波天线 全波天线
2
对称振子
两臂长度相等的振子叫做对称振子。每臂长度为四分之一 波长称为半波对称振子。全长与波长相等的振子，称为全波对称 振子。
波长
1/2波长
一个1/2波长的对称振子 在 800MHz 约 200mm长 400MHz 约 400mm 长
0
90 90
0
90
l/=0.6
120
120
120 l/=0.7
150
150
150
E面方向图 180
q0
30
30 1
30
60
60
0.5
大学物理课件 第四章-4
1 2
k
A2
谐振动总能量与振幅平方成正比
说明:该结论对任一谐振系统均成立
16
2、谐振子能量变化规律及曲线
E E E/2 0
说明
E Ek Ep
T’
x
T’=(1/2)T
Ek Ep
Ek Ep
Tt
1. 系统只有保守内力作功，系统机械能守恒。
2. 动能、势能随时间作周期 平衡位置处，Ep=0，Ek最大 性变化，并不断相互转化 最大位移处，Ek=0，Ep最大
可用于比较两个谐振动的步调。
（a） 同相 两振动步调相同。
条件： 2k, k 0,1,2,
（b） 反相 两振动步调相反。
条件： (2k 1), k 0,1,2,
x A1
A2 O - A2
-A1
x2 x1
x
A1
x1
T
A2
tO - A2
x2
-A1
T t
13
c 超前和落后 当当 2 1 k, k 0,1,2,
t
)
2
Acos(
t2
2
)
x、v、a
2A
a
3
A v
A
x
O
-A
- A
T t
- 2A
v超前x / 2
a超前v / 2
a和x反相 15
四、谐振动的能量
1、谐振动能量表达式
以弹簧振子为例
Ep
1 2
kx2
1 2
k[ A cos(t
)]2
Ek
1 2
mv2
1 2
m[Asin(
t
)]2
E
m2 k
= Ek +Ep
对称振子输入阻抗
对称振子输入阻抗一、引言对称振子是通信和雷达系统中的关键部件，用于传输高频信号并产生定向辐射。
其输入阻抗作为描述其与源之间相互作用的重要参数，对于系统的性能和稳定性具有重要影响。
理解对称振子的输入阻抗特性和影响因素，是优化设计、提高系统效率的关键。
本文将深入探讨对称振子输入阻抗的相关问题，包括其定义、计算、影响因素、测量、匹配以及特殊类型的对称振子。
二、对称振子输入阻抗的定义与计算对称振子的输入阻抗是指振子输入端的电压与电流的比值。
在高频条件下，对称振子的输入阻抗受到多种因素的影响，包括工作频率、物理尺寸、电导率等。
在自由空间中，对称振子的输入阻抗由以下公式给出：Zin = (ρ×ω×μ0) / (I * S)其中，Zin为输入阻抗，ρ为电导率，ω为角频率，μ0为真空中的磁导率，I为对称振子的电流线密度，S为对称振子的横截面积。
三、影响对称振子输入阻抗的因素1.工作频率：随着工作频率的增加，对称振子的输入阻抗通常会减小。
这是因为高频信号在导体中更容易产生趋肤效应，导致电流集中在导体表面，从而减小了电流的有效路径。
2.物理尺寸：对称振子的长度和直径比值对其输入阻抗有显著影响。
一般来说，较长的对称振子具有较低的输入阻抗，而直径比值的变化则可能产生更复杂的影响。
3.电导率：电导率越高，对称振子的输入阻抗越低。
这是因为高电导率意味着金属的导电性能好，能够更有效地传输电流。
四、对称振子输入阻抗的测量测量对称振子输入阻抗的方法有多种，最常用的是通过阻抗分析仪进行测量。
这种测量方法能够提供准确的阻抗值，并且可以通过比较测量值与理论值来评估对称振子的性能。
在测量过程中，需注意确保测量环境的稳定性和准确性，以避免产生误差。
五、对称振子输入阻抗的匹配在通信和雷达系统中，为了提高信号传输效率和避免能量损失，需要对对称振子的输入阻抗进行匹配。
匹配的方法主要有两种：被动匹配和主动匹配。
被动匹配主要通过在传输线上添加电阻、电容等元件来实现阻抗匹配；而主动匹配则通过改变源的阻抗来实现匹配。
第4章-2谐振子
k1 , x1
秦 颖
o
x
4
简谐振动的能量
x2
1 1 2 1 2 1 1 E p = k x2 2 A = − ∫ kxdx = kx1 − kx2 = mv2 − mv12 2 x1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 E k = m v = m ω A sin (ω t + ϕ ) = k A 2 sin 2 (ω t + ϕ ) 2 2 2
= (ω02 − ω 2 ) 2 + (2βω ) 2 cos(ω t + ϕ + ψ ) = ( f0 / A) cos ω t
A=
f0
2 (ω 0 − ω 2 ) 2 + ( 2 βω ) 2
2βω ϕ = −ψ = − arctan 2 ω0 − ω 2
由初始条件决定的三个阻尼通解均是时间的衰减解。 由系统条件决定的非齐次方程的特解就是方程的解。 x = A cos( ω t + ϕ ) + Be − β t x ′( t ) → x = A cos( ω t + ϕ )
1 1 1 2 1 2 A = − ∫ mgrθ dθ = mgrθ12 − mgrθ 22 = J ω2 − J ω12 θ1 2 2 2 2
θ
l
特别对于单摆 T = 2π ml 2 / mgl = 2π l / g
2011年3月24日 大连理工大学 秦 颖
mg
6
3. LC电磁振荡：
回路中自感电动势等于电容器的电压 dI Q dQ −L = , I= dt C dt ε
1. 受力特点：物体受回复力和与速度正比的阻尼力。 2.
γ
m
对称振子方向图
学生实验报告
(2)
clear all;
close all;
sita=eps:pi/90:2*pi;
fi=eps:pi/90:2*pi;
f1=cos(pi/2*cos(sita))./sin(sita); f2=cos(pi/4*(3*sin(sita)+1));
f=abs(f1).*abs(f2);
f=f/max(f);
subplot(121);
polar(sita,f);
subplot(122);
f3=cos(pi/4*(3*cos(fi)+1));
f3=abs(f3)/max(f3);
polar(fi,f3);
三、实验结论与心得
本次试验我对HFSS程序有了一个进一步的了解，各家熟练。
与此同时也反映了我对编程的了解还不够熟练，应加大对MATLAB编程的训练，尽快熟练地掌握MATLAB编程，。
四、实验评价(教师)
１. 实验步骤正确，完成了本实验的全部内容。
很好（）较好（）一般（）否（）２. 实验数据全面，调试步骤准确，结果正确。
很好（）较好（）一般（）否（）３. 实验报告格式规范，图表清晰。
很好（）较好（）一般（）否（）。
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天线在M点产生的场是无数 dz 在M点产生的场
Eq
l l
11
60I z dz j sin qe jkr r
I m sin k l z z 0 Iz 代入： I m sin k l z z 0
Z M
dz q 1
r1
得：
Eq
0<z<l -l < z < 0
z l q dz z
P(r,q,f)
R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
r
y
O x
10
Dr -l
4.2 对称振子的辐射场 在天线振子上取一小
段 dz ，认为 dz 上电流分
Z M
dz q 1
r1
布是均匀的，则 所产 dz
生的场为：
z z
dz
q0
q2
r0 r2
60I z dz dEq j sin qe jkr r
60 I m coskl cos q cos kl jkr j e r sin q
振幅值：
Eqm
60I m r
coskl cosq coskl sin q
13
4.2.1方向函数：在相同距离的条件下天线辐射场的相对值 与空间方向（ 球坐标系下， ）的关系
3 4
I
3 4
2
0
4
2
4
0
6
对称振子的电流分布
7
•几种典型偶极子天线上的电流分布
l
3 l 4
8
l 2
l 4
•对称振子天线上电流分布的特点 振子的终端始终是电流的波节；
离终端/4处为电流的波腹，再经/4处为电流 波节，依次重复；
在振子上的电流经过零值时，电流相位改变 1800； 振子输入端的电流值由电长度l/ 决定； 振子两臂相对应点的电流相等。
设天线辐射(标量)场为 E (r，q , f ) ，则定义天线的方向性函数为 | E ( r ,q , f ) | f (q , f ) 60 I r f (q , f ) | E (q , f )| 归一化方向函数： F (q , f ) [ f (q , f )] | E (q , f )|max max
l 0
z
60I m sin k l z j sin q1e jkr1 dz r1
0 l
q0
q2
r0 r2
z
j
60I m sin k l z sin q 2 e jkr2 dz dz r2
z cosq 0
r1 r0 z cosq ,
z0
r2 r0 z cosq , z0 1 1 1 1 , q1 q 2 q 0 q M点离振子很远， r1 r2 r0 r
5
4.1 对称振子的电流分布
对于终端开路双线传输线来说，会发生全反射，反射波振幅与 入射波振幅相等，因此振幅相等的入射波与反射波叠加使得电 流电压以正弦纯驻波形式分布在传输线上。并且终端处是电压 波腹点，电流波节点。
电流电压 正弦 纯驻波 分布
终端处是电压波腹点，电流波节点 电压波
d
V
电流波
d
2a
l
半波天线 全波天线
2
对称振子
两臂长度相等的振子叫做对称振子。每臂长度为四分之一 波长称为半波对称振子。全长与波长相等的振子，称为全波对称 振子。
波长
1/4波长
1/2波长 1/4波长 1/2波长 振子
一个1/2波长的对称振子 在 800MHz 约 200mm长 400MHz 约 400mm 长
12
但
k r1 r0 k r2 r0 不成立
具有相位差，形成天线 方向性的重要因素之一
l 0 j 60I m jkr jkz cosq Eq e sin q sin k l z e dz sin k l z e jkz cosq dz l 0 r
3
• 电偶极子（infinitesimal dipole）：l≤λ /100 • 短偶极子(small dipole)： λ /100 ≤l ≤ λ /20 • 有限长度偶极子(finite length dipole)： 偶极子天线，对称振子
标准半波偶极子天线
对称振子天线是一种经典的、迄今为止使用最广泛 的天线，单个半波偶极子可简单地独立使用或用作 为抛物面天线的馈源，也可采用多个半波偶极子天 线组成天线阵。
第四章 对称振子 4.1 电流分布
4.2 辐射场
4.3 输入阻抗 4.4 通频带
1
对称振子（Symmetrical－Center Fed Dipole） （ 1）对称阵子天线结构
对称振子天线由两臂组成，并且天线的两臂 由两段等长等粗细导线构成。结构参数：导 线的半径为a，长度为l，振子总长为L＝2l。 两臂之间的间隙很小，理论上可以忽略不计 L＝2l
4
4.1 对称振子的电流分布
终端开路双导线传输线上的电流分布 从传输线方程解的形式上看，有沿z轴正向传播的入射波， 又有沿z轴负方向传播的反射波。电磁波的传输和反射是传输 线的基本物理现象。 根据反射系数可以看到，负载阻抗不同，反射波不同；反射波 不同，合成波不同；合成波不同则意味着传输线又不同的工作 状态。 归纳起来，主要有三种：行波状态、驻波状态、行驻波状态。
coskl cos q cos kl f q , sin q ) 无关，因此偶极子天线在赤道面内轴向对称， 1）f (q , 与
方向性图为一圆； 2） f (q ,与 ) 有关，说明偶极子天线在子午面内的方向性 q 与 有关；其方向性取决于 ; l q
14
f (q , f )
9
4.2 对称振子的辐射场 微元法
计算实际天线的辐射场时,总是采用微元法:将天线分成无数个 元天线，每段元天线上的电流是相应实际天线中该段的电流值， 利用场叠加原理，利用积分（求和）的方法将各个元天线的辐 射场叠加起来
电基本振子，磁基本振子，惠更斯面元 辐射场
l z I sin k I ( z ) I sin l z { m m l z I sin k m