江苏省如皋中学2020-2021学年度高三第一学期阶段检测试数学试卷

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2020—2021学年度第一学期阶段检测试卷

数 学

一、选择题:(共8小题,每题5分,共40分)

1. i 为虚数单位, 512i

z i

=+, 则的共轭复数为 ( )

A. 2i - B .2i + C. 2i -- D .2i -+

2.函数2

()ln 1f x x x

=-+的零点所在的大致区间是( )

A .(2,)e

B . (1,2)

C .(,3)e

D .(3,)+∞

3.已知集合A ={x |lg (x -2)<1},集合B ={x |x 2-2x -3<0},则A∪B 等于( ) A .(2,12) B .(一1,3) C .(一1,12) D .(2,3)

4. 指数函数

,且

)在

上是减函数,则函数

在其定义

域上的单调性为( )

A .单调递增

B .单调递减

C .在

上递增,在

上递减 D .在

上递减,在

上递增

5. 已知函数f (x )=若|f (x )|≥ax ,则a 的取值范围是( )

A .(-∞,0]

B .(-∞,1]

C .[-2,1]

D .[-2,0] 6..设函数f(x)=xIn,则函数的图像可能为( )

7.对于给定的复数z ,若满足42z i -=的复数对应的点的轨迹是椭圆,则1z -的取值范围是( )

A .2⎤-+⎦

B .1⎤+⎦

C.2⎤+⎦ D .1⎤+⎦

8.平面向量 a = ( 2 , 1 ) ,| b | = 2 , a ·b =4,则向量 a , b 夹角的余弦值为 A.255 B.45 C.55 D.1

5 二、多项选择题(共4小题,每题5分,选对不全得3分) 9. 下列函数中,在其定义域内是偶函数的有( ) A. y =xcosx , B. y =e x +x 2 C. y =lg √x 2−2 D. y =xsinx

10. 给出四个选项能推出1a <1

b 的有( )

A. b>0>a

B. 0>a >b

C. a >0>b

D. a >b>0

11.如图所示,在长方体ABCD−A 1B 1C 1D 1,若AB=BC,E,F 分别是A B 1,B C 1的中点,则下列结论中不成立的是( )

A. EF 与BB 1垂直

B. EF ⊥平面BDD 1B 1

C. EF 与C 1D 所成的角为450

D. EF ∥平面A 1B 1C 1D 1

12. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x <0时,f (x )=e x (x +1),则下列命题正确的是( )

A. 当x >0时,f (x )=−e −x (x −1)

B. 函数f (x )有3个零点

C. f (x )<0的解集为(−∞,−1)∪(0,1)

D. ∀x 1,x 2∈R,都有|f (x 1)−f (x 2)|<2

三、填空题:(共4小题,每题5分,计20分)

13.如图,某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体,该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆,顶点在半球面上,则被挖去的正三棱锥体积为________.

14. 函数e x y mx =-在区间(]0,3上有两个零点,则m 的取值范围是_________

15. 已知函数f (x )=x 3

-ax +1,g (x )=3x -2,若函数F (x )=⎩⎪⎨⎪⎧f (x ),f (x )≥g (x ),

g (x ),f (x )<g (x ),

有三个零点,

则实数a 的取值范围是 .

16. 在ABC ∆中,若

tan tan 3tan tan A A

B C

+=,则sin A 的最大值为_____. 四、计算题:

17.已知二次函数f (x )满足f (x )= f (-4-x ),f (0)=3,若x 1 x 2是f (x )的两个零点,且|x 1− x 2|=2.

(I)求f (x )的解析式; .

(I)若x >0,求g(x )=x

f(x)的最大值。

18.已知f (x )是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x >0时, f (x )={3x −7,0

|x −5|−1,x >2 g(x )=f (x )-a .

(1)若函数g(x )恰有三个不相同的零点,求实数a 的值;

(2)记h (a )为函数g(x )的所有零点之和.当-1

19.有甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司底薪80元,送餐员每单抽成4元;乙公司无底薪,40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元,超过40单的部分送餐员每单抽成7元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员,分别记录其50天的送餐单送餐单数 38 39 40 41 4

2 甲公司天数 10 10 15 10 5 乙公司天数

10

15 10 10

5 (1)从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天,求这3天的送餐单数都不小于40单的概率;

(2)假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同,将频率视为概率,回答下列两个问题:

(ⅰ)求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望;

(∪)小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日均工资的角度考虑,小张应选择哪家公司应聘?说明你的理由.

20. 如图,四边形ABCD 与BDEF 均为菱形,FA FC =,且60DAB DBF ∠=∠=︒. (1)求证:AC ⊥平面BDEF ;

(2)求直线AD 与平面AEF 所成角的正弦值.

21.已知函数f (x )=kx -xInx ,k ∪R.

(1)当k =2时,求函数f (x )的单调区间;

(2)当0

+

ln23

+⋯…lnn

n+1 ≤

n (n−1)

4

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