江苏省如皋中学2020-2021学年度高三第一学期阶段检测试数学试卷
江苏省如皋中学2021-2022学年度高三第一次阶段考试 数学
江苏省如皋中学2021-2022学年度第一学期第一次阶段考高三数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**1. 若集合2{40},{lg 0}A x x B x x =-<=<，则A B = ( ) A. (2,1)- B. (2,2)- C. (0,2) D. (0,1)2.设复数z 在复平面内对应的点为(1,3)-，则1zi=+ ( ) A.2i + B. 2i - C. 12i -+ D. 12i --3. 函数752()ln x f x x =在其定义域上的图象大致为 ( )A B C D4. 已知3,1,219a b a b ==-=，则向量,a b 的夹角为 ( ) A.6π B. 3π C. 23πD. 56π5. 机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器，机器人具有感知､决策､执行等基本特征可以辅助甚至替代人类完成危险､繁重､复杂的工作，提高工作效率与质量，服务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范围. 为了研究A ，B 两个机器人专卖店的销售状况，统计了2020年2月至7月A ，B 两店每月的营业额（单位：万元），得到如下的折线图，则下列说法错误的是 ( )A ．根据A 店的营业额折线图可知，该店营业额的平均值在[]34,35内B ．根据B 店的营业额折线图可知，其营业额总体呈上升趋势C ．根据A ，B 两店的营业额折线图，可得A 店的营业额极差比B 店大D ．根据A ，B 两店的营业额折线图，可得B 店7月份的营业额比A 店多6. 图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形. 受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若7AB =，2DE =，则线段BD 的长为 ( )A ．3B ．3.5C ．4D ．4.57. 已知1F ，2F 是双曲线22221x y a b -=(0a >，0b >)的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若12AF a =，1223F AF π∠=，则122AF F ABF S S =A ．14B ．12C ．13D ．23 ( )8. 若,,a b c D ∀∈，()()(),,g a g b g c 可以作为一个三角形的三条边长，则称函数()g x 是区间D 上的“稳定函数”.已知函数()ln x f x m x =+是区间221,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“稳定函数”，则实数m 的取值范围为 ( )A ．12,e e ∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭B ．212,e e ∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭C ．14,e e ∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．214,e e ∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年徐州市铜山区、南通市如皋中学高三上学期第一次抽测数学试题及答案
A．复数 的虚部为
B．复数 的共轭复数
C．复数 在复平面对应的点位于第二象限
D．复数z满足 ,则
4．已知角 的终边经过点 ，则 （）
A． B． C． D．
5．定义在 上的奇函数 满足 ，并且当 时， ，则 的值为（）
A． B． C． D．
6．数学家华罗庚先生曾 说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如：函数 的图象大致是（）
A． B．
C． D.
8．若函数 的定义域为 ，对于 ， ，且 为偶函数， ，则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．下列选项中，与 的值互为相反数的是（）
又因为 相邻两对称轴之间距离为 ，则周期为 ，
从而 .............................4分
从而 ， ....................................5分
选择条件③：
依题意，
即有： .............2分
化简得：
即有：
又因为 相邻两对称轴之间距离为 ，则周期为 ，从而 ...............4分
所以 ，
即实数 的取值范围为 ..............................12分
从而 ...............5分
（2） ，
则其单调递减区间为 ，
解得 ，.........7分
江苏省南通市如皋中学2021-2022学年高三上学期期初测试数学试题
∴ ，
∴ ，∴ .
∴ .
不妨设点 在第一象限，设 ， .
∴ ， .
∴ .
在 中，由余弦定理可得：
∴ .
两边同除以 ，得 ，解得： .
∴ , .
故选：BD.
【点睛】
本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于难题.
13．
【分析】
14．焦点在x轴上的椭圆方程为 ＋ ＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点圆的离心率为___________.
15．已知双曲线 右支上存在点P使得P到左焦点的距离等于P到右准线的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是____________.
由条件可得所求直线的斜率为 ，然后利用点斜式写出答案即可.
【详解】
设所求直线的斜率为k，依题意
又直线经过点A(1，3)，因此所求直线的方程为 ，即
故答案为：
14．
【分析】
根据三角形 的面积建立有关 的关系，得到 ，即可求出离心率.
【详解】
由题意，如图：
由椭圆的性质可知，AB＝2c，AC＝BC＝a，OC＝b， ，所以 ，故椭圆离心率 ．
对于选项D，当一条直线斜率不存在，一条直线斜率为0，可以满足两直线垂直，则选项D正确；
故选：AD.
10．AC
【分析】
根据 的形状先判断出 的大小，然后结合圆心到直线的距离 以及 的取值范围求解出 的取值范围.
【详解】
由题意，圆 的圆心为 ，半径为 ，
由于△ABC为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则 ，
对于D选项，设 的中点为 ，设圆 与圆 的半径分别为 、 ，则 ，
则两圆的连心线的距离为 ，
江苏省如皋中学2021届上学期高三年级期初测试数学试卷
江苏省如皋中学2022届上学期高三年级期初测试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 直线3450x y ++=的斜率和它在y 轴上的截距分别为（ ）A ．43，53B ．43-，53-C ．34-，54-D ．34-，542 双曲线2212524x y -=的两个焦点为1F ，2F ，双曲线上一点P 到1F 的距离为11，则点P 到2F 的距离为（ ）A ．1B ．21C ．1或21D ．2或213 椭圆221259x y +=与221(09)925x y k k k +=<<--关系为（ ） A ．有相等的长轴长 B ．有相等的离心率 C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距4 万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式 在手工课上，老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm ，短轴长为20cm ，小椭圆的短轴长为10cm ，则小椭圆的长轴长为（ ）cmA ．30B ．20C ．10D ．5 已知双曲线C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为y =，点(P 在C 上，则C 的方程为 A ．22124x y -= B ．221714x y -= C ．22142x y -= D ．221147y x -=6 已知()2,0A -，()10B ,，()3,0M -三点，且满足2PA PB =，则直线PM 的斜率取值范围是（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．2210,21⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦7 根据圆维曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角请解决下面问题：已知1F ，2F 分别是双曲线22:12y C x -=的左、右焦点，若从点2F 发出的光线经双曲线右支上的点()0,2A x 反射后，反射光线为射线AM ，则2F AM ∠的角平分线所在的直线的斜率为（ ）A ．B ．CD 8 已知圆()()22:4616M x y -+-=，过x 轴上的点()0,0P x 存在圆M 的割线PAB ，使得PA AB =，则0x 的取值范围（ ）A ．⎡-⎣B ．⎡-⎣C ．4⎡-+⎣D ．44⎡-+⎣二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
如皋市2021~2021学年度第一学期高三期初调研考试数学试卷
如皋市2021~2021学年度第一学期高三期初调研考试数学试卷 数 学 试 卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I 卷1～2页，第II 卷3～8页.全卷满分150分，考试时刻120分钟．第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必在答题卡的相应栏目内写上自己的姓名、准考证号、考试科目，并用铅笔涂写在答题卡上.2．选择题部分每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.考试终止，将答题卡和第II 卷一并交回.一．选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1．下列集合中，恰有2个元素的集合是A ．{}20x x -=B ．{}2|0x x x -=C ．{}2|x y x x =-D ．{}2|y y x x =-2．函数1()3f x =-2cos (0)x ωω>的周期与函数()tan 2x g x =的周期相等，则ω等于A ．2B. 1C.12D.143．定义{}|A B x x A x B -=∈∉且. 若A ={2, 4, 6, 8, 10}，B ={1, 4, 8}，则A B -=A ．{4，8}B ．{1，2，6，10}C ．{1}D ．{2，6，10} 4．若要得到函数y =sin(2x －4π)的图象，能够把函数y =sin2x 的图象 A. 向右平移8π个单位 B. 向左平移8π个单位C. 向右平移4π个单位 D. 向左平移4π个单位5. 原命题“设,,a b c ∈R ，若22ac bc >，则a b >.”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有A.0个B.1个C.2个D.3个6．在△ABC 中，tan A 是以－4为第3项，4为第7项的等差数列的公差；tan B 是以13为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形7. 关于函数f (x )=ax 2+bx+c （a ≠0），若作代换x=g (t )，则不改变函数f (x )的值域的代换是A ．g (t )=2tB ．g (t )=|t |C ．g (t )=sin tD ．g (t )=2log t8．函数log (2)a ax y =-在[0，1]上是减函数，则a 的取值范畴是A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，2）D ．(2,)+∞9. 四个实数－9，a 1，a 2，－1成等差数列，五个实数－9，b 1，b 2，b 3，－1成等比数列，则 b 2（a 2－a 1）等于 A. 8B. －8C. ±8D.9810.有容积相等的桶A 和桶B ，开始时桶A 中有a 升水，桶B 中无水. 现把桶A 的水注入桶B ，t 分钟后，桶A 的水剩余1ty am =（升），其中m 为正常数. 假设5分钟时，桶A 和桶B的水相等，要使桶A 的水只有8a 升，必须再通过A.7分钟B.8分钟C.9分钟D.10分钟11.设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①{}2n a 一定是等比数列；②{}1n n a a ++一定是等 比数列；③1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是等比数列；④{}lg n a 一定是等比数列. 其中正确命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 412. 已知三个不等式：000c dab bc ad a b>->-≥，，（其中a ，b ，c ，d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题 的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1. 第II 卷共6页，用钢笔或圆珠笔直截了当答在试卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清晰.二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填在题中的横线上． 13. 已知全集{}*27S x x =∈-<<N ，{}3,4,5M =，{}1,3,5P =，则()()SSMP＝ .（用列举法表示） 14. 设{}n a 是公差为2 的等差数列，假如1473130a a a a ++++=，那么36933a a a a ++++＝．15. 设)(x f 是定义域为R 且最小正周期为23π的函数，在一个周期内若 =)(x f cos 2,0,15()24sin ,0.x x f x x πππ⎧-≤<⎪-⎨⎪≤<⎩则= . 16. 已知正数x 、y 满足x ＋2y ＝1，则11xy+的最小值是 .17．规定记号“⊗”表示两个正数间的一种运算：(00),a b a b a b >>⊗=+，．若13k ⊗=，则函数()f x k x =⊗的值域是 ．18. 已知点1122(,),(,)A x y B x y 是函数sin (0)y x x π=-<<图象上的两个不同点，且12x x <，给出下列不等式：①12sin sin x x <；②12sin sin22x x <；③12121(sin sin )sin22x x x x ++>；④1212sin sin x x x x >. 其中正确不等式的序号是 . 三．解答题：本大题共5小题，共66分．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，前（2k ＋1）项（*k ∈N ）之和为77，其中偶数项之和为33，且a 1－a 2k ＋1＝18，求数列{}n a 的通项公式.20．（本小题满分12分） 已知函数()f x 满足5(3)log (35).6x f x x x-=≤≤-(1)求函数()f x 解析式及定义域; (2)求函数()f x 的反函数1()f x -; (3)若5()log (2)f x x ≥，求x 的取值范畴.21. （本小题满分14分）若定义在R 上的函数f (x )为奇函数，且在[0,)+∞上是增函数. (1)求证：f (x )在(,0]-∞上也是增函数；(2)对任意θ∈R ，不等式(cos 23)(2sin )0f f m θθ-+->恒成立,求实数m 的取值范畴.22. （本小题满分14分）已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，设22(,)sin 2cos 22cos 22f A B A B A B =+-+.（1）当f (A , B )取得最小值时，求C 的大小；（2）当2C π=时，记h （A ）＝f (A , B )，试求h （A ）的表达式及定义域；（3）在（2）的条件下，是否存在向量p ，使得函数h （A ）的图象按向量p 平移后得到函数()2cos 2g A A =的图象？若存在，求出向量p 的坐标；若不存在，请说明 理由.23. （本小题满分14分）设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且*2()2n n S a n =∈-N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 使11122(21)22n n n a b a b a b n ++++=-+*()n ∈N ，求{}n b 的通项公式；（3）设*21()(1)n n c n b =∈+N ，且数列{}n c 的前n 项和为T n ，试比较T n 与14的大小．高三数学参考答案及评分标准说明：1.本解答仅给出了一种解法供参考，假如考生的解法与本解答不同，可依照试题的要紧考查内容对比评分标准制订相应的评分细则．2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中显现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步显现错误时，假如后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视阻碍的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解承诺得分数的一半；假如后继部分的解答有较严峻的错误，就不再给分．3. 解答右端所注分数，表示考生正确做出这一步应得的分数．4. 给分或扣分均以1分为单位．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：每小题5分，共60分．二、填空题：每小题4分，共24分13．{}1,2,4,6 14．74 15．216．3+ 17．()1,+∞ 18．②③ 三、解答题：19．（12分）前（2k ＋1）项中偶数项共有k 项. …………1分设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得12(21)(21)77,(1)2332k a k k d k k ka d +++=-+⋅=⎧⎪⎨⎪⎩ 即[]12(21)()77,(1)33.k a kd k a k d ++=+-=⎧⎨⎩①②…………3分∵12(1)a kd a k d +=+-， ∴2177,33k k+=解得k ＝3. …………2分∵a 1－a 2k ＋1＝2kd -，∴2kd -＝18，∴d ＝－3. …………2分将k ＝3，d ＝－3代入①得a 1＝20. …………2分 故1(1)323.n a a n d n =+-=-+ …………2分 20．（12分）（1）设t ＝x －3，则x ＝t ＋3.∵ 5(3)log ,6x f x x-=- ∴53()log ,3t f t t+=- …………1分∵ 35x ≤≤，∴0 2.t ≤≤ 由30,302tt t +>-≤≤⎧⎪⎨⎪⎩得0 2.t ≤≤ …………2分因此53()log ,3x f x x+=- 且定义域为[0，2]. …………1分 （2）设y ＝53()log ,3x f x x+=- 则353yx x+=-，即3(51)51y y x -=+，∴1()f x -3(51)51x x -=+. …………2分∵02,x ≤≤ ∴133x ≤-≤，∴ 361[1,5].33x xx+=-+∈--从而53log [0,1]3x x+∈-.故函数()f x 的反函数为1()f x -3(51)51x x -=+（01x ≤≤）. …………2分（3）5()log (2)320,302f x x xx x x ≥+⎧≥>⎪⇔-⎨⎪≤≤⎩⇔301,202x x x <≤≥⇔≤≤⎧⎪⎨⎪⎩或301 2.2x x <≤≤≤或 …………4分21．（14分） （1）设x 1<x 2≤0, 则－x 1>－x 2≥0.∵f (x )在[0,)+∞上是增函数，∴f (－x 1) > f (－x 2). …………2分 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x 1)＝－f (x 1)，f (－x 2)＝－f (x 2). …………2分 因此－f (x 1) > －f (x 2)，即f (x 1) <f (x 2).因此f (x )在(,0]-∞上也是增函数. …………2分 （2）由（1）知，函数f (x )在(),-∞+∞上是增函数. …………1分 ∵f (x )为奇函数，∴(cos 23)(2sin )0f f m θθ-+->(cos 23)(2sin )(cos 23)(2sin )f f m f f m θθθθ⇔->--⇔->-+ …………2分由（1）知f (x )在(,)-∞+∞上是增函数，∴cos 2sin 3(cos 23)(2sin )cos 232sin 2f f m m m θθθθθθ-++->-+⇔->-+⇔>221115sin sin 1sin 2416m θθθ>++=++⎛⎫⇔ ⎪⎝⎭. …………3分∵θ∈R ，∴当sin θ＝1时，2115sin 416θ++⎛⎫ ⎪⎝⎭取得最大值52.∵不等式(cos 23)(2sin )0f f m θθ-+->恒成立，∴故实数m 的取值范畴是5,2+∞⎛⎫⎪⎝⎭. ; …………2分22. （14分）（1）配方得f (A ，B ) = (sin2A2)2+ (cos2B -12)2 +1， …………2分∴ [f (A ，B ) ]min = 1,当且仅当sin 221cos 22A B ==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩时取得最小值. …………2分在△ABC中，,,sin 26321.cos 2662A A AB B B ππππ===⇔===⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩或 故C = 23π或2π.…………3分 （2）2C π=⇔A +B = 2π，因此h （A）＝22(,)sin 2cos 22cos 22f A B A B A B =+-+22sin 2cos 22cos 2222A A A A ππ=+---+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＝cos2A2A ＋3=2cos(2A +3π) + 3. …………4分∵A +B = 2π，∴02A π<<. …………1分（3）∵函数h （A ）在区间0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，在区间,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数；而函数 ()2cos 2g A A =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数. ∴函数h （A ）的图象与函数()2cos 2g A A =的图象不相同，从而不存在满足条件的向量p . …………2分23．（14分）（1）∵*2()2n n S a n =∈-N ，∴1122n n S a ++=-，因此a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝（2 a n ＋1－2）－（2 a n －2），即a n ＋1＝2a n . …………2分 又a 1＝S 1＝2 a 1－2, 得a 1＝2. …………1分 ∴{}n a 是首项和公比差不多上2的等比数列，故a n ＝2n . …………1分(2) 由a 1b 1＝（2×1－1）×21＋1＋2＝6及a 1＝2得b 1＝3. …………1分 当2n ≥时，11122(21)22n n n n a b a b a b +-+=+++[](1)1(23)22(1)1222n n n n n n n n a b a b -+-=--++=++，∴1(21)2(23)2(21)2n n nn n a b n n n +=---=+. …………2分∵a n ＝2n ，∴b n ＝2n ＋1（2n ≥）. …………1分 ∴*3,(1),21().21,(2)n n b n n n n ===+∈+≥⎧⎨⎩N …………1分（3）2221(1)111111(22)4(1)4(1)41n n b c n n n n nn +===<=-++++⎛⎫⎪⎝⎭. …………3分 121111111111142231414n n T c c c n n n =+++<-+-++-=-<++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …………2分。
精品解析：江苏省镇江市、南通市如皋2020-2021学年高三上学期教学质量调研(二)数学试题(解析版
2020-2021学年度高三年级第一学期教学质量调研(二)数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知a 为正实数，复数1ai +（i 为虚数单位）的模为2，则a 的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】A【解析】【分析】利用复数的模长公式结合0a >可求得a 的值.【详解】0a >，由已知条件可得12ai +==，解得a =故选：A.2. 已知集合{}1,2M =，集合N 满足{}0,1,2MN =，则集合N 的个数为（ ） A. 3B. 4C. 6D. 7 【答案】B【解析】【分析】根据集合N 满足{}0,1,2MN =，{}1,2M =知N 的个数为M 的子集的个数. 【详解】因为{}0,1,2M N =，{}1,2M =，所以{0}{0,1,2}N ⊆⊆,所以满足的条件的N 共有224=个.故选：B3. 已知1253a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 5b =，3log 7c =，则a ，b ，c 的大小顺序是（ ） A. a b c >> B. c a b >> C. c b a >> D. b c a >>【答案】D【解析】【分析】 由11225335-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 4>，333log 3log 7log 9<<判断. 【详解】因为112253135a -⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 42b =>=，3331log 3log 7log 92c =<=<=，所以b c a >>故选：D4. 5人排成一排照相，甲排在乙左边(可以相邻，也可以不相邻)的排法总数为（ ）A. 30B. 60C. 120D. 240【答案】B【解析】【分析】5人全排列，根据甲在乙左边与右边发生的概率相等即可求解.【详解】先5人全排列有55120A =种不同的排法， 甲排在乙左边的机会与排在右边的机会相同，所以甲排在乙左边(可以相邻，也可以不相邻)的排法总数为55111206022A =⨯=种. 故选：B 5. 在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点双曲线2213y x -=的右焦点为F ，则以F 为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆方程为（ ）A. 22410x y x +++=B. 22430x y x +++= C. 22410x y x +--= D. 22410x y x +-+= 【答案】D【解析】【分析】求得双曲线的a ， b ，c ，可得焦点坐标和渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得圆的半径，得到圆的方程即可求解. 【详解】由双曲线2213y x -=得：1,a b ==所以2c ==，则焦点F (2，0) ，0y ±=，由题意可得F到渐近线的距离为d == 即圆F(2，0) ，则所求圆的方程为22(2)3x y -+=，可化为22410x y x +-+=，故选：D6. 正三棱锥S ABC -中，2SA =，AB =的表面积为（ ）A.B. 4πC. 12πD. 6π 【答案】C【解析】【分析】 由正三棱锥中2SA =，AB =.【详解】正三棱锥S ABC -中，2SA =，AB =所以222SA SB AB +=,故SA SB ⊥,同理可得SA SC ⊥, SB SC ⊥,以,,SA SB SC 为棱构造正方体，则该棱锥外接球即为该正方体的外接球，如图，所以2222(2)22212R =++=，故球的表面积为2412S R ππ==,故选：C7. 将函数1()sin 2123f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像向右平移______个单位后，再进行周期变换可以得到如图所示的图像.（ ）A. 12πB. 6πC. 3πD. 4π 【答案】B【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式，再利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论.【详解】根据函数的图象可得 1.510.5A =-=，240πω=-，2πω=,结合五点法作图，0ϕ=，故所给的图为1sin()122y x π=+的图象， 故将函数1()sin(2)123f x x π=++的图象向右平移6π个单位后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象. 故选：B 8. 函数tan 22tan y x x =-42x ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的最大值为（ ）A. -B. 3C. 0D. 3- 【答案】A【解析】【分析】 化简可得322tan 1tan x y x=-，令tan t x =，()1,t ∈+∞，则3221t y t =-，求出函数导数，利用导数判断函数的单调性即可求出最值. 【详解】可得3222tan 2tan tan 22tan 2tan 1tan 1tan x x y x x x x x=-=-=--， 令tan t x =，则()1,t ∈+∞，则3221t y t=-， 则()()()()()22322222261222311t t t t t t y t t --⨯--'==--，当(t ∈时，0y '>，函数单调递增，当)t ∈+∞时，0y '<，函数单调递减，所以当t =时，()3max 221y ⨯==--.故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查函数最值的求解，解题的关键是利用换元法将函数化为3221t y t =-，然后利用导数讨论其单调性即可求出最值.二､多项选择题(本大题共4小题，每小题有多个选项符合要求，每小题5分)9. 在正方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F 分别为1B B ，11B C 的中点，则（ ）A. 直线1//A E 平面1ACDB. 直线1B D ⊥平面1ACDC. 平面1//A EF 平面1ACDD. 平面11A B CD ⊥平面1ACD【答案】BD【解析】【分析】利用反证法思想说明A 与C 错误；证明直线与平面垂直判断B;再由平面与平面垂直的判定判断D.【详解】如图，取1CC 的中点G ，连接1,D G EG ，可证1111,//A D EG A D EG =，得四边形11A EGD 为平行四边形，则11//A E D G ，若直线1//A E 平面1ACD ，则1D G //平面ACD 或1D G ⊂平面1ACD ，与1D G ⋂平面11ACD D =矛盾，故A 错误；由正方体的结构特征可得11A B ⊥平面11AA D D ，连接A 1D ，则111A B AD ⊥，又1111111,,AD A D A D A B A AD ⊥⋂=∴⊥平面 11DA B ，得11AD B D ⊥，同理可证1AC B D ⊥，又1AD AC A =， ∴直线1B D ⊥平面ACD 1，故B 正确;而B 1D ⊂平面11A B CD ，∴平面11A B CD ⊥平面ACD 1，故D 正确;连接1111,,AC A B BC ，由1111//,A A C C A A C C =，可得四边形 AA 1C 1C 为平行四边形，则1111//,A C AC A C ⊂平面A 1BC 1，AC ⊄平面A 1BC 1，//AC ∴平面A 1BC 1，同理AD 1//平面A 1BC 1，又AC ∩AD 1=A ，∴平面A 1BC 1//平面ACD 1，若平面A 1EF //平面ACD 1，则平面A 1EF 与平面A 1BC 1重合，则EF ⊂平面A 1BC 1，与EF //平面A 1BC 1矛盾，故C 错误．故选：BD【点睛】关键点点睛：本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，考查推理论证能力，掌握线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，正方体中的线线，线面，面面关系是解题关键，属于中档题.10. 下列关于函数的描述正确的是（ ）A. 函数()y f x =是奇函数的一个必要不充分条件是()00f =B. 定义：如果一个函数既是奇函数又是偶函数，这样的函数称为“两面派”函数，那么，“两面派”函数一定有无数个C. 若一个奇函数在定义域内每个点处均有导数，则其导函数必为偶函数D. 一个函数的导函数是奇函数，则该函数必为偶函数【答案】BC【解析】【分析】根据奇函数的定义及充分条件、必要条件可判断A ；根据奇偶函数的定义可确定()0f x =可以是两面派函数的解析式，判断B ；根据导数的求导法则及函数的奇偶性可判断CD.【详解】对于A ，函数y =f （(x ）是奇函数，若其定义域内不包含0，f (0)=0一定不成立，反之若f (0）=0，即函数图象过原点，函数f (x ）不一定为奇函数，故f (0）=0是函数y =f (x )是奇函数的既不充分也不必要条件，A 错误;对于B ，“两面派"函数既是奇函数又是偶函数，可以确定()0f x =，但其定义域可以是关于原点对称的任意集合，有无数个，B 正确;对于C ，若f (x)为奇函数且在其定义域内可导，则()()f x f x -=-，两边取导数可得()()()x f x f x '''--=-，化简可得()()f x f x ''-=，导函数为偶函数，C 正确；对于D ，不妨设22,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+<⎩，则()2(0)f x x x '=≠，显然导函数为奇函数，但是原函数不是偶函数，D 错误.故选：BC11. 已知{}1,2,3A B ==，分别从集合A ，B 中各随机取一个数a ，b ，得到平面上一个点(),P a b ，事件“点(),P a b 恰好落在直线x y n +=上”对应的随机变量为X ，()n P X n P ==，X 的数学期望和方差分别为()E X ，()V X ，则（ ）A. 422P P =B. 7(35)9P X ≤≤=C. ()4E X =D. ()43V X =【答案】BCD【解析】【分析】由已知得X 的值可以为2，3，4，5，6；而从A 、B 中分别任取1个数，共有9种情况，分别可求得随机变量取每一值所得的概率，再运用期望和方差的计算公式，可判断得选项．【详解】因为{}1,2,3A B ==，点(),P a b 恰好落在直线x y n +=上，所以X 的值可以为2，3，4，5，6； 而从A 、B 中分别任取1个数，共有9种情况，所以()129P X ==，()239P X ==，()31493P X ===，()259P X ==，()169P X ==，对于A ：423P P =，故A 不正确；对于B ：2127(35)++9399P X ≤≤==，故B 正确； 对于C ：()12121362+3+4+5+64993999E X =⨯⨯⨯⨯⨯==，故C 正确； 对于D ：()()()()()()2222212121424+34+44+54+64993993V X =-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯=，故D 正确； 故选：BCD ．12. 已知抛物线C ：2y =4x ，其焦点为F ，P 为直线x =2上任意一点，过P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，斜率分别为12k k ，则（ ）A. 12k k =12-B. |12k k -|=2C. AB 过定点(2，0)D. AF .BF 的最小值为8 【答案】AC【解析】【分析】设(2,0)F ，1122(,),(,)A x y B x y 则y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，对抛物线方程两边求导，可得切线的斜率、切线的方程，联立两切线方程求得P 的横坐标，可判断A ；由切线的斜率相减，化简可判断B ；求得AB 的直线方程，结合恒过定点，可判断C ；由抛物线的定义和基本不等式可判断D ．【详解】由题意可得(2,0)F ，抛物线的准线方程为2x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2114y x =，2224y x =，由y 2＝4x 得24y x =，求导得1242y x y '=⨯=，所以12,22A B y y x x ''==，所以过A 的切线的方程为x ﹣x 1＝()112y y y -， 化为x ＝12y y 214y -① ，同理可得过B 的切线方程为x ＝22y y 224y -② ， 由①②解得x ＝124y y ，由P 的横坐标为2-，即1224y y =-，则128y y =-， k 1k 2＝12412y y =-，故A 正确； 因为|k 1﹣k 2|＝12122()y y y y -＝124y y -不为定值，故B 错误； 因为AB 的直线方程为y ﹣y 1＝1212y y x x --214y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即y ＝y 1+124y y +x 2112y y y -+， 整理得y ＝124(2)x y y -+，所以AB 恒过定点()2,0，故C 正确； 将AF BF ⋅转化为到准线的距离，即AF BF ⋅＝（x 1+1）（x 2+1）＝x 1x 2+（x 1+x 2）+1＝212()16y y +1+221244y y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝5+221244y y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝9，当且仅当|y 1|＝|y 2|时取得等号，所以AF BF ⋅的最小值为9，故D 错误．故选：AC ．【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，解题关键是找到过A 、B 两点的切线斜率与方程得到128y y =-，然后利用此结论表示各个选项可得出判断，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.三､填空题(本大题共4小题，每小题5分)13. 已知正三角形ABC 的边长为3，12CE EB =，2CF FA =，则AE BF ⋅=_______. 【答案】72-【解析】【分析】利用,AB AC →→做基底，表示向量,AE BF ，根据数量积运算即可求解.【详解】正三角形ABC 的边长为3，如图，12CE EB →→=，2212()3333AB BC AB AC AB AB AC AE →→→→→→→→=+=+-=+∴2CF FA =,13BF AF AB AC AB ∴=-=-, 22121215()()333939AE FF AB AC AC AB AC AB AB AC →∴⋅=+-=--⋅222153333cos60939=⨯-⨯-⨯⨯⨯︒ 57122=--=-故答案为：72-14. 设()()523601236121x x a a x a x a x a x -+=+++++，则03a a +=_______.【答案】39- 【解析】 【分析】令0x =可求得0a 的值，写出()()5121x x -+的展开式通项，可求得3a ，由此可计算得出03a a +的值. 【详解】()()523601236121x x a a x a x a x a x -+=+++++，()()50120101a ∴=-⨯⋅+=，()()()()5551211212x x x x x -+=--+，所以，()()5121x x -+的展开式通项为()()()()1,55552222r k r kr k r r k k r k T C x xC x C x C x +=⋅-+⋅-=⋅-⋅+⋅-⋅， 由313r k =⎧⎨+=⎩，可得32r k =⎧⎨=⎩，所以，()()32323552240a C C =⋅-+⋅-=-， 因此，0314039a a +=-=-. 故答案为：39-.【点睛】方法点睛：对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．15. 已知二次函数2y ax bx c =++(a ，b ，c 均为正数)过点()1,1，值域为[)0,+∞，则ac 的最大值为______；实数λ满足1b -=λ取值范围为_______.【答案】 (1). 116(2). )∞⎡+⎣ 【解析】 【分析】由题意1(0,0,0)b c a b c a ++=>>>，240b ac ∆=-=，所以1b c a c a ++=+=，进而得到1+=，利用基本不等式求出ac 的最大值，由已知条件可得2λ=-，利用基本不等式结合01a <<，即可求λ取值范围.【详解】因为二次函数2y ax bx c =++(a ，b ，c 均为正数)过点()1,1，1(0,0,0)b c a a b c ++=>>>∴，开口向上且值域为[)0,+∞，240b ac ∴∆=-=，b ∴=1b c a c a ++=+=∴，21∴=，1=，12a ∴=⋅12，当且仅当14a c ==时等号成立. 1,4≤即116ac ≤，当且仅当 14a c ==时等号成立，ac ∴的最大值为116 (当且仅当14a c ==时最大)，21(121a b a c a a λ=-=+=+-=-，2222a a a aλ∴=-+=+-， 22111a c a a b +=-+=-<，即 220a a -<， 0a a ∴-<，()10,01a a aa a ∴-=-<∴<<，01a ∴<<，1222222a aλ∴⋅-=-，当且仅当2a a =时，即12a =时，等号成立.又0a →时，a∞→+， )22,λ∞⎡∴∈+⎣，故答案为：116；)22,∞⎡+⎣【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16. 《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，七十六岁，二十蔀为一遂，一千五百二十岁，，生数皆终，万物复始，天以更元作纪历”，如皋是著名的长寿之乡，该地区的如城街道一老年公寓共有20位老人，他们的年龄（均为正整数）之和为一遂又三蔀，其中有两位百岁老人（均不到110岁），他们的年龄相差一岁；其余18位老人的年龄也恰好依次相差一岁，则20位老人中年龄最小的岁数为_______. 【答案】77 【解析】 【分析】设最小年龄者为()n n N ∈岁，年龄最大的两位老人的岁数分别为m 、1m -，由已知条件得出101110m <<，且有9798m n +=，可得出6889697n <<，由n N ∈可求得n 的值，即可得解.【详解】由题意可知，20为老人的年龄之和为23761748⨯=（岁），设最小年龄者为()n n N ∈岁，年龄最大的两位老人的岁数分别为m 、1m -，则1001110m <-<，100110m <<，可得101110m <<，由题意可得()()()()2171811172121815217482n m m n n n m m n +⨯+-++++++=-+=++=，化简得9798m n +=，7989m n ∴=-，则1017989110n <-<，即6889697n <<，n N ∈，解得77n =.故答案为：77.四､解答题(本大题共6小题，总分70分)17. 已知锐角三角形ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b =2，c =3，三角形ABC 的面积为（1）求BC 边上的高； （2）求sin(A -C ).【答案】（1（2）. 【解析】【分析】（1）由三角形面积公式可求出sin A ，由余弦定理可求出边长a ，用12a S ah =，可求出a h 的值；（2）已知a =A =3π和3c =，利用正弦定理可求出sin C 的值，因为三角形为锐角三角形，可解出cos C ，代入sin()A C -，利用两角差的正弦公式可求出结果.【详解】(1)在ABC 中，因为1sin 2S bc A =，1223sin A ⨯⨯⨯，则sin A =，又02A π<<，3A π=由余弦定理得：22223223cos73a π=+-⨯⨯⨯=，解得a =因为12a S ah =，所以2a，则7a h =. （2）由（1）知a =A =3π，由正弦定理c sinc =asinA ，则有3sin 14csinAC a===，因为02C <<π，所以cos C =所以sin()sin()sincos cossin 333A C C C C πππ-=-=-=. 【点睛】思路点睛：解三角形常用公式为正余弦定理和三角形面积公式. 18. 数列{}n a 的前n 项的和为n S ，11a =，()1112n n S a +=-. （1）证明数列{}n a 是等比数列，并求通项n a ； （2）若等差数列{}n b 的各项均为正数，且4124i i b ==∑，11ab +，22a b +，33a b +成等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和n T【答案】（1）证明见解析，13-=n n a ；（2）3n n T n =⋅【解析】 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-即可建立关系证明等比数列，进而求出通项公式；（2）由题可列出方程求出{}n b 的首项和公差，进而求出通项公式，再利用错位相减法即可求出n T .【详解】（1）()1112n n S a +=-，()111(2)2n n S a n -=-≥， 两式相减得()1112n n n n S S a a -+-=-即n a =12()1n n a a +-，所以1n a +=3n a (n ≥2)； 又由n =1时，()12112a a =-及1a =1，得2a =3， 2a =31a ，合并为1n a +=3n a (n ∈*N ).数列{n a }是以1为首项公比为3的等比数列，11133n n n a --∴=⨯=；（2）设数列{n b }的公差为d ， 可得141434+242i i b b d =⨯==∑，所以12312b d +=①； 由(1)知：1a =1，2a =3，3a =9，据条件1a +12b a ，+23b a ，+3b ，成等比数列得()()()21113192b d b b d ++=+++②，由①②解得：12412b d =⎧⎨=-⎩或132b d =⎧⎨=⎩，当12412b d =⎧⎨=-⎩时，3242120b =-⨯=，与题意n b >0不符；当132b d =⎧⎨=⎩时，n b =2n +1>0，符合题意，()1213n n n a b n -∴=+⋅，∴0121335373(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋯++⨯，则2313335373(21)3(21)3n nn T n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯++⨯，以上两式相减：()()121313232333(21)332(21)32313n n n nn n T n n n ----=+++⋯+-+⨯=+⨯-+⨯=-⋅-，3n n T n ∴=⋅.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2正三角形，侧面11ACC A 是菱形，且平面11ACC A ⊥平面ABC ，E ，F 分别是棱11A C ，BC 的中点，12C G GC =.（1）证明：//EF 平面11ABB A ；（2）若①三棱锥1C ABC -的体积为1；②1C C 与底面所成的角为60︒；③异面直线1BB 与AE 所成的角为30.请选择一个条件求平面EFG 与平面11ACC A 所成的二面角(锐角)的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）5353【解析】 【分析】（1）取AB 的中点H ，连接1A H ，HF ，先证明四边形1A HFE 是平行四边形，得出EF //1A H 即可得证； （2）过1C 作1C O ⊥AC ，垂足为O ，连接OB ，选择三个条件都可得出13C O 1CO =，然后以O 为原点，OB ，OC ， 1OC 为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求出. 【详解】（1）取AB 的中点H ，连接1A H ，HF ，因为H ，F 分别是AB ，BC 的中点， 所以HF //AC ，HF =12AC ； 又E 为11A C 的中点，1A E //AC ，1A E =12AC ， 所以HF //1A E ，HF =1A E ，故四边形1A HFE 是平行四边形， 所以EF //1A H ，又EF ⊄面AB 11B A ，1A H ⊂面AB 11B A ， 所以EF //平面11ABB A ； （2）选择①，在平面11ACC A 内，过1C 作1C O ⊥AC ，垂足为O ，连接OB ， 因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，所以1C O ⊥平面ABC . 则121111321334C ABC ABC V S C O C O -==⨯⨯⋅=，解得13C O =， ∴CO 2211C C C O -=1,所以O 为AC 的中点，OB ⊥AC .以O 为原点，OB ，OC ， 1OC 为坐标轴建立空间直角坐标系，则131(0,0,0),(3,0,0),(0,1,0),3),,0,(0,3)22O B C C F E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设G (x ，y ，z )，因为113CG CC =， 所以1(,1,)(0,3)3x y z -=-，得230,,3x y z ===，即230,,33G ⎛ ⎝⎭， 所以5230,,33GE ⎛=- ⎝⎭，313,263GF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面EFG 的一个法向量为(,,)n x y z =，则5230331306GE n y GF n x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩，令23y =4,5x z ==，即(4,23,5)n =， 又(3,0,0)OB =是平面11ACC A 的一个法向量，设平面EFG 与平面11ACC A 所成的角(锐角)为θ， 则||43453cos 533n OB n OBθ==⨯⋅⋅=；选择②，在平面11ACC A 内，过1C 作1C O ⊥AC ，垂足为O ，连接OB ，因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，所以1C O ⊥平面ABC .160C CO ∴∠=，从而可求得13,1C O CO ==，以下步骤和①相同； 选择③，取AC 中点O ，连接C 1O ，BO ，则可知EC 1=AO =OC =1，且1//EC AO ，∴四边形1AEC O 是平行四边形，1//AE C O ∴，又11//C C B B ，1OC C ∴∠等于异面直线1B B 与AE 所成的角，即130OC C ∠=，在1C OC △中，由正弦定理可知，111sin sin C C OCOC C C OC=∠∠，即112sin 30sin C OC=∠，1sin 1C OC ∴∠=，190C OC ∴∠=，则可得13C O =以下步骤和①相同.【点睛】利用法向量求解空间面面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20. 利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取20名同学的胸围()cm x 与肺活量()ml y 的样本，计算平均值80.5x =，4030y =，并求出线性回归方程为ˆ32.26yx a =+. 高一男生胸围与肺活量样本统计表（1）求a 的值；（2）求样本y 与x 的相关系数r ，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99%把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的(精确到0.001)；（3）将肺活量不低于4500ml 视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4名男同学，恰有两名是大肺活量的概率.(参考公式及数据：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，()()niix x y y r --=∑38≈，2040≈.)附：相关性检验的临界值表【答案】（1）1433.07；（ 2）有99%的把握认为肺活量的大小与胸围具有线性相关关系； （3）27128. 【解析】 【分析】（1）把均值代入公式可得答案；（2）假设H 0：变量x ，y 不具有线性相关关系，计算出r 值与参考临界值表可得答案；（3）计算出全校高一男生大肺活量的概率，然后利用24C 214⎛⎫ ⎪⎝⎭234⎛⎫ ⎪⎝⎭计算可得答案 【详解】（ 1）由于回归直线：ˆy=32.26x +a 过点(80.5，4030)， 所以a =4030-32.26x 80.5=1433.07.（ 2）假设H 0：变量x ，y 不具有线性相关关系， 所以r =382040⨯32.26≈0.601， 由相关性检验临界值表知：r 001=0.561，r =0.601>0.561，所以有99%把握认为肺活量的大小与胸围具有线性相关关系.（ 3）从统计表中可知，20个样本中不低于4500m /有5个， 所以全校高一男生大肺活量的概率为520=14设从高一年级任取4名男同学，恰有两名男生是大肺活量的概率为ρ，则p =24C 214⎛⎫ ⎪⎝⎭22471283⎛⎫ ⎪=⎝⎭.所以从高一年级任取4名男同学，恰有两名男生是大肺活量的概率为27128. 【点睛】小概率原理：我们做这样一个假设，假设H 0是真实的，那么处于H 0对立面的H 1假设就是不真实的、不可能发生的小概率事件，要是在一次试验中这么小概率的事件H 1竟然发生了，那么我们就有充足的理由怀疑H 0的真实性，我们会拒绝H 0假设，这是一种类似于反证法的思想.21. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，点()1,e 和22,⎛⎫ ⎪ ⎪⎭都在椭圆E 上，其中e 为椭圆E 的离心率.（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆E 的左､右顶点分别为A ，B ，过点()2,2Q -的直线l 与椭圆E 分别交于点M ，N ，直线OQ 与BM 交于点T ，试问：直线AT 与BN 是否一定平行？请说明理由.【答案】（1）2214x y +=（2）平行，理由见解析【解析】 【分析】（1）由条件及离心率求出,a b ，即可写出椭圆方程； （2）设直线l 的方程为()()11222(2),,,,x t y M x y N x y +=-，联立直线l 的方程与椭圆的方程，消去x ，可得一元二次方程，结合韦达定理得1212,y y y y +，写出直线BM 方程与OQ 的方程，联立解得T 点坐标，记直线AT ，BN 的斜率分别为21,k k ，再作差210k k -=，即可得证. 【详解】依题意，点(1,)e 在椭圆E 上，故222211c a a b +=，又222,c e a b c a==+，解得21b =又因为点2⎭在椭圆E 上， 故222112a b+=即21112a +=，解得24a = 所以椭圆E 的方程为2214x y +=（2）由（1）知(2,0),(2,0)A B -，由直线l 不与x 轴平行，设直线l 的方程为()()11222(2),,,,x t y M x y N x y +=-，联立方程组222(2)14x t y x y +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得，()2244(1)4(2)0t y t t y t t +-+++= 所以Δ0>，且1212224(1)4(2),44t t t t y y y y t t +++==++直线BM 的方程为11(2)2y y x x =--，直线OQ 的方程为y x =- 联立方程组11(2)2y y x x y x⎧=-⎪-⎨⎪=-⎩解得1111112222y x x y y y x y ⎧=⎪+-⎪⎨⎪=-⎪+-⎩， 即11111122,()22y y x y x y T -+-+-,记直线,AT BN 的斜率分别为12,k k则111121211121122,222222y x y y y k k y x y x x y -+-==-=+--++-所以()()()12211212212121111222222222x y x y y y y y y y k k x x y x y x ++-+-=+=-+-+-- 由于()1221121222x y x y y y y y ++-+[][]()()1221121212122(1)2(1)222(1)2(2)ty t y ty t y y y y y t y y t y y =-++-++-+=+-++ 224(2)4(1)2(1)2(2)044t t t t t t t t ++=+⨯-+⨯=++， 所以12k k = 所以//AT BN【点睛】关键点点睛：设直线AT ，BN 的斜率分别为21,k k ，首先利用斜率公式表示出斜率，需要用到点T 的坐标，再由21k k -化简得到210k k -=，即可判断//AT BN ，考查了运算能力，属于中档题. 22. 已知函数()()()12sin f x x x x =--+.（1）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()y f x =零点的个数； （2）当[]0,2x π∈时，求()y f x =极值点的个数. 【答案】（1）1个；（2）2个. 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数()y f x =在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，结合零点存在定理可得出结论； （2）利用导数分析函数()y f x '=在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π、,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、3,2ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦、3,22ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦的单调性以及符号变化，结合零点存在定理可得出结论.【详解】（1）由题意()()()12sin f x x x x =--+，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()1sin 2cos f x x x x '=--+， 由于2x ππ≤≤，cos 0x ≤，又sin 1x ≤，所以()0f x '≥，()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 因为302f π⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()10f ππ=->，所以函数()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点； （2）由题意()()()12sin f x x x x =--+，[]0,2x π∈，则()()1sin 2cos f x x x x '=--+. 令()()1sin 2cos h x x x x =--+，()()2sin 2cos h x x x x '=+-.①当04x π≤≤时，因为cos 2x ≥，12cos 12102x -≤-⨯=-<，所以()()()1sin 2cos 12cos sin cos 0f x x x x x x x x =--+=---<'， 所以，函数()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递减，无极值点； ②当4ππ<<x 时，02h π⎛⎫=⎪⎝⎭， 当2x ππ<<时，因为cos 0x <，所以()()2sin 2cos 0h x x x x '=+->，所以从()h x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，()02h x h π⎛⎫>= ⎪⎝⎭即()0f x '>，当42x ππ<<时，044x ππ<-<，sin cos 04x x x π⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，所以()()()2sin 2cos 2sin cos sin 0h x x x x x x x x '=+-=-+>，所以()h x 在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是增函数，()02h x h π⎛⎫<= ⎪⎝⎭即()0f x '<， 所以2π是()f x 在,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的极小值点； ③当32x ππ<≤时，sin 0x <，cos 0x ≤，则()0f x '>，所以函数()f x 无极值点； ④当322x ππ<≤时，cos 0x >，sin 0x <，所以()()2sin 2cos 0h x x x x '=+-<， 所以从()h x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，且3202h π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()2210h ππ=--<，所以()h x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点2x .当232x x π<<时()0f x '>；当22x x π<<时，()0f x '<， 所以2x x =是函数()f x 的一个极大值点. 综上所述，函数()f x 存在两个极值点.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.。
2021届江苏省南通市如皋中学高三上学期阶段检测数学试题(解析版)
2021届江苏省南通市如皋中学高三上学期阶段检测数学试题一、单选题1．i 为虚数单位，512iz i=+， 则z 的共轭复数为 （ ） A ．2-i B ．2+iC ．-2-iD ．-2+i【答案】A【解析】试题分析：55(12)5i(12)2+12(12)(12)5i i i i z i i i i --====++-，则复数2+i 的共轭复数为2-i ；选A【考点】1.复数运算；2.共轭复数； 2．函数2()ln 1f x x x=-+的零点所在的大致区间是（ ） A ．(1,2) B ．(2,)eC ．(,3)eD ．(3,)+∞【答案】A【解析】由函数零点存在性定理结合(1)0f <、(2)0f >，即可得解. 【详解】因为函数2()ln 1f x x x=-+在()0,∞+上单调递增， 且2(1)ln11101f =-+=-<，2(2)ln 21ln 202f =-+=>， 所以函数()f x 的零点所在的大致区间为(1,2). 故选：A. 【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 3．已知集合(){}lg 21A x x =-<，集合{}2230B x x x =--<，则AB 等于（ ）．A ．()2,12B ．()1,3-C ．()1,12-D ．()2,3【答案】C【解析】解不等式化简集合,A B ，再进行并集运算，即可得答案； 【详解】(){}lg 21{|212}A x x x x =-<=<<，{}{}223013B x x x x x =--<=-<<，∴()1,12A B =-，故选：C. 【点睛】本题考查解不等式及集合的并运算，考查运算求解能力，属于基础题. 4．指数函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）在R 上是减函数，则函数22()a g x x-=在其定义域上的单调性为（ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递减D ．在(0,)+∞上递减，在(,0)-∞上递增【答案】C【解析】结合指数函数的性质可知：01a <<，函数()g x 的导函数：()()322'a g x x --=，当(),0x ∈-∞时，()'0g x <，函数()g x 单调递减， 当()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 本题选择C 选项.5．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x kx ≥，则k 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．1]-∞（，C ．[]21-， D ．[]20-，【答案】D【解析】先求出当0x <时,2k ≥-；当0x =时，k ∈R ；当0x >时，利用数形结合求出0k ≤即得解. 【详解】当0x <时,因为220x x -+<，所以22x x kx -≥，即22k x k ≥-∴≥-; 当0x =时00≥，即k ∈R ;当0x >时，ln(1)x kx +≥，由图可知0k ≤;综上k 的取值范围是[]20-，，故选：D.【点睛】本题主要考查函数的图象及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力. 6．设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】根据函数为偶函数排除,A C ，再计算11()22ln 30f =>排除D 得到答案. 【详解】1()ln1xf x x x +=-定义域为：(1,1)- 11()ln ln ()11x xf x x x f x x x-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C11()22ln 30f => ，排除D 故选B 【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧. 7．对于给定的复数0z ，若满足042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则01z -的取值范围是（ ）A ．()172,172-+ B ．()171,171-+ C ．()32,32-+D ．()31,31-+【答案】A【解析】根据条件可得042z i -<，即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部. 01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离，由圆的性质可得答案. 【详解】因为042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，所以042z i -<由复数的几何意义可知042z i -<表示复数0z 对应的点到()0,4的距离小于2. 即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离.如图，设()0,4C ,1,0A 221417AC =+=则0212AC z AC -<-<+,即01721172z -<-<+ 故选：A【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查复数的几何意义的应用和利用圆的性质求范围，属于中档题.8．平面向量()2,1a =，2b =，4a b ⋅=，则向量a 、b 夹角的余弦值为（ ） A ．25B ．45C 5D ．15【答案】A【解析】求得a 的值，利用平面向量数量积的定义可求得向量a 、b 夹角的余弦值.【详解】设平面向量a 、b 的夹角为θ，()2,1a =，则5a =，由平面向量数量的定义可得cos 552a b a bθ⋅===⨯⋅.故选：A. 【点睛】本题考查利用平面向量的定义求解向量夹角的余弦值，考查计算能力，属于基础题.二、多选题9．下列函数中，在其定义域内是偶函数的有（ ）A ．cos y x x =B ．2x y e x =+C ．y =D ．sin y x x =【答案】CD【解析】利用偶函数的定义逐一判断，即可得正确选项. 【详解】对于A ：cos y x x =，定义域为R ，()()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，所以cos y x x =是奇函数，故A 不正确；对于B ：2xy e x =+，定义域为R ，()22()()x x f x f x e x e x ---==-+-+≠，且()e ()x f x x f x -2-=+≠所以2x y e x =+是非奇非偶函数，故B 不正确；对于C ：y =(),2,⎡-∞+∞⎣，关于原点对称，()()f x f x -===，所以y =C 正确；对于D ：sin y x x =，定义域为R ，()()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，所以sin y x x =是偶函数，故D 正确；故选：CD 【点睛】本题主要考查了利用偶函数的定义判断函数的奇偶性，属于基础题. 10．(多选题)下列四个条件，能推出1a ＜1b成立的有（ ） A ．b ＞0＞a B ．0＞a ＞b C ．a ＞0＞bD ．a ＞b ＞0【答案】ABD【解析】运用不等式的性质以及正数大于负数判断. 【详解】 因为1a ＜1b 等价于110b a a b ab--=<， 当a ＞b ，ab ＞0时，1a ＜1b成立，故B 、D 正确. 又正数大于负数，A 正确，C 错误， 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题.11．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -，若AB BC =，E ，F 分别是1AB ，1BC 的中点，则下列结论中不成立的是（ ）A ．EF 与1BB 垂直B ．EF ⊥平面11BDD BC ．EF 与1CD 所成的角为45° D ．//EF 平面1111D C B A【答案】ABD【解析】连接1A B ，根据中位线定理得到11//EF A C ，结合线面平行和垂直的判定定理和心智定理，分析判定,,A B D 正确，再由异面直线所成的角的概念，可判定C 错误，即可求解. 【详解】连接1A B ，则1A B 交1A B 于点E ，又F 为1BC 的中点，可得11//EF A C ， 由1BB ⊥平面1111D C B A ，可得111BB A C ⊥，可得1BB EF ⊥，故A 正确； 由11//EF A C ，11A C ⊥平面11BDD B ，可得EF ⊥平面11BDD B ，故B 正确； 异面直线EF 与1C D 所成的角为11AC D ∠，因为1A A 的长度不确定，所以11AC D ∠的大小不确定，所以C 错误；由,E F分别是11,AB BC的中点，得到11//EF A C，可得//EF平面1111D C B A，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及异面直线所成角的求解及判定，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及异面直线所成角的求法是解答的关键，着重考查空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.12．已知函数()f x是定义在R上的奇函数，当0x<时，()()1xf x e x=+，则下列命题正确的是（）A．当0x>时，()()1xf x e x-=--B．函数()f x有3个零点C．()0f x<的解集为()(),10,1-∞-⋃D．12,x x R∀∈，都有()()122f x f x-<【答案】BCD【解析】利用函数()f x是定义在R上的奇函数，且0x<时，()()1xf x e x=+，求出()f x在R上的解析式，判断A错；由A分别令()0f x=，解出零点，判断B对；由A令()0f x<，求出解集，判断C对；当0x<时，对函数求导判断出单调区间，求出最值，再利用奇函数的对称性得出函数的值域，要证明12,x x R∀∈，()()122f x f x-<，即证明()f x最大值与最小值的差的绝对值小于2，D对．【详解】对于A ，当0x >时，0x -<，则由题意得()()1xf x e x --=-+，∵ 函数()f x 是奇函数，∴ ()00f =，且0x >时，()()()()11xx f x f x ex e x --=--=--+=-，A 错；∴()()()1,00,01,0x x e x x f x x e x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩， 对于B ，当0x <时，由()()10xf x e x =+=得1x =-，当0x >时，由()()10xf x ex -=-=得1x =，∴ 函数()f x 有3个零点-1,0,1，B 对； 对于C ，当0x <时，由()()10xf x e x =+<得1x <-，当0x >时，由()()10xf x ex -=-<得01x <<，∴ ()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃，C 对； 对于D ，当0x <时，由()()1xf x ex =+得()()2x f x e x '=+，由()()20x f x e x '=+<得2x <-，由()()20xf x e x '=+≥得20x -≤<，∴ 函数()f x 在(],2-∞-上单调递减，在[)2,0-上单调递增， ∴函数在(),0-∞上有最小值()22f e --=-，且()()()01011xf x ex e =+<+=，又∵ 当0x <时，()()10xf x ex =+=时1x =-，函数在(),0-∞上只有一个零点，∴当0x <时，函数()f x 的值域为)2,1e ⎡-⎣，由奇函数的图象关于原点对称得函数()f x 在R 的值域为()()221,,11,1ee --⎤⎡-⋃-=-⎦⎣， ∴ 对12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<，D 对； 故选：BCD ． 【点睛】本题考查导数在函数求值域中的应用，考查函数的性质，考查函数的表示方法，属于中档题．三、填空题13．如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为_______．【答案】23【解析】设BC 的中点为D ，连结AD ，过点P 作PO ⊥平面ABC ，角AD 于点O ，则A0=PO=R=2，AD=3，AB=BC=23，由此能求出挖去的正三棱锥的体积，得到答案. 【详解】由题意，某中螺帽是由一个半径为R=2的半球体挖去一个正三棱锥P-ABC 构成的几何体， 该正三棱锥P-ABC 的底面三角形ABC 内接于半球底面的大圆，顶点P 在半球面上， 设BC 的中点为D ，连结AD ，过点P 作PO ⊥平面ABC ，交AD 于点O ， 则AO=PO=R=2，AD=3，AB=BC=23，所以1233332ABC S ∆=⨯⨯=， 所以挖去的正三棱锥的体积为113322333ABC V S PO ∆==⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及三棱锥的体积的计算，以及空间中线线、线面、面面位置关系等基础题知识，其中解答中根据组合体的结构特征，求得正三棱锥的底面边长和三棱锥的高，利用体积公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.14．函数e x y mx =-在区间(]03,上有两个零点，则m 的取值范围是_________．【答案】3ee,3⎛⎤⎥⎝⎦【解析】试题分析：由题意得e0xy mx=-=，得xemx=，设()()22(1)x x x xe e x e e xf x f xx x x⋅--=='=⇒，可得()f x在区间(1,3)上单调递增；在区间(0,1)上单调递减，所以当1x=时，函数()f x取得极小值，同时也是最小值()1f e=，因为当0x→时，()f x→+∞，当3x=时，()333ef=，所以要使得函数e xy mx=-在区间(0,3]上有两个零点，所以实数m的取值范围是3ee3m<<．【考点】利用导数研究函数的单调性及极值（最值）．15．已知函数f (x)＝x3－ax＋1，g (x)＝3x－2，若函数F(x)＝(),()()(),()()f x f xg xg x f x g x≥⎧⎨<⎩有三个零点，则实数a的取值范围是__________．【答案】3322a>【解析】当a≤0时，函数f(x)在R上单调递增，F(x)至多两个零点，不满足题意．当a＞0时，根据图像可知：当f3a≥0时，所以F(x)至多两个零点；当f3a＜0，即33273242a>=时，列式f(23)＜0或者23233fa⎧⎛⎫≥⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎪<⎪⎩，可解得结果.【详解】易得f'(x)＝3x2－a．当a ≤0时，()0f x '≥，函数f (x )在R 上单调递增，F (x )至多两个零点，不满足题意．当a ＞0时，令f'(x )＝3x 2－a ＝0，解得x ＝±3a ， 由()0f x '>，得3ax <-或3a x >，由()0f x '<，得33a a x -<<， 所以函数f (x )在(－∞，－3a )，(3a ，＋∞)上单调递增，在(－3a ，3a )上单调递减， 在同一坐标系中，分别作出函数f (x )，g (x )的图像，根据图像可知： 当f (3a)≥0时，所以F (x ) 至多两个零点；当f 3a ＜0，即3)1033a a a -<，又23()03a a -=，10333a a a <2133aa >，所以33273242a >=时， 要使得F (x )有三个不同的零点，则f (23)＜0或者203233f a ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎪<，即322()1033a -+<或3221033233a a ⎧⎛⎫-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭>，即3518a >或435318a <≤，解得a ＞43．又3322a >332423>，所以3322a >.故答案为：3322a >.或【点睛】本题考查了数形结合思想，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的零点，属于中档题. 16．在ABC ∆中，若tan tan 3tan tan A AB C+=，则sin A 的最大值为_____. 21 【解析】根据同角三角函数中的商数关系式，结合正弦和角公式化简， 并由正弦定理将角化为边，代入余弦定理即可表示出cos A ，再由基本不等式即可求得cos A 的取值范围，进而结合同角三角函数关系式求得sin A 的取值范围，即可求得sin A 的最大值. 【详解】 在ABC ∆中，tan tan 3tan tan A AB C+=， 则sin cos sin cos 3cos sin cos sin A B A CA B A C+=，通分化简可得()sin cos sin cos sin 3cos sin sin A B C C B A B C+=，由正弦和角公式可得()sin sin 3cos sin sin A C B A B C+=，所以2sin 3cos sin sin AA B C=，由正弦定理代入可得23cos a bc A=，即23cos a bc A =，又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 代入可得223cos 2cos bc A b c bc A =+-，所以2222cos 555b c bc A bc bc +=≥=，当且仅当b c =时取等号，则24cos 25A ≥，所以241sin 25A -≥，即221sin 25A ≤，所以sin 5A ≤，则sin A 的最大值为5.故答案为：5. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的综合应用，正弦和角公式化简三角函数关系式，正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，基本不等式求最值，综合性强，属于难题.四、解答题17．已知二次函数()f x 满足()(4)f x f x =--，(0)3f =，若1x ，2x 是()f x 的两个零点，且122x x -=. （1）求()f x 的解析式； （2）若0x >，求()()xg x f x =的最大值.【答案】（1）2()43f x x x =++；（2）1. 【解析】（1）根据题意可得()f x 的对称轴为2x =-，零点为13x =-，21x =-，设()(3)(1)(0)f x a x x a =++≠，由(0)3f =即可求解.（2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）()(4)f x f x =--，1x ，2x 是()f x 的两个零点，且122x x -=.()f x 的对称轴为：2x =-，可得13x =-，21x =-.设()(3)(1)(0)f x a x x a =++≠ 由(0)33f a ==，得1a =， 所以2()43f x x x =++（2）∵21()13()4324x x g x f x x x x x===≤=-++++，当且仅当3x x '=，x = ∴()g x的最大值是12-. 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.18．已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，且当0x >时，37,02()51,2x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨-->⎪⎩，()()g x f x a =-.（1）若函数()g x 恰有三个不相同的零点，求实数a 的值；（2）记()h a 为函数()g x 的所有零点之和.当11a -<<时，求()h a 的取值范围. 【答案】（1）2a =或2a =-；（2）()3312log 2,2log 21--.【解析】（1）作出函数()f x 的图象，函数()g x 恰有三个不相同的零点，即直线y a =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，由图象可得实数a 的值；（2）由()f x 的图象可知，当11a -<<时，()g x 有6个不同的零点，利用函数的奇偶性结合对称性得出()h a ，进而可得()h a 的取值范围． 【详解】（1）作出函数()f x 的图象，如图，由图象可知，当且仅当2a =或2a =-时，直线y a =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，∴当且仅当2a =或2a =-时，函数()g x 恰有三个不相同的零点.（2）由()f x 的图象可知，当11a -<<时，()g x 有6个不同的零点，设这6个零点从左到右依次为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，则1210x x +=-，5610x x +=，3x 是方程370x a -+-=的解，4x 是方程370x a ---=的解.∴3337()10log (7)log (7)10log 7ah a a a a+=---+++=- 当11a -<<时，714341,7743a a a +⎛⎫=-∈ ⎪--⎝⎭，∵()33()12log 2,2log 21h a ∈-- ∴当时11a -<<，()h a 的取值范围为()3312log 2,2log 21--. 【点睛】本题考查函数与方程思想，考查考查函数的奇偶性和对称性，考查指对函数的性质，属于中档题．19．有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单制成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表： 送餐单数 38 39 40 41 42 甲公司天数 10 10 15 10 5 乙公司天数101510105（1）从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；（2）假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由. 【答案】（1）29140；（2）①分布列见解析，()238.6E X =；②小张应选择甲公司应聘. 【解析】（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，可得P （A ）的值． （2）①设乙公司送餐员送餐单数为a ，可得当38a =时，386X =⨯，以此类推可得：当39a =时，当40a =时，X 的值．当41a =时，X 的值，同理可得：当42a=时，X ．X 的所有可能取值．可得X 的分布列及其数学期望．②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出． 【详解】解：（1）由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单， 记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，则()33035029140C P A C ==．（2）①设乙公司送餐员的送餐单数为n ，日工资为X 元，则当38n =时，386228X =⨯=；当39n =时，396234X =⨯=；当40n =时，406240X =⨯=；当41n =时，4067247X =⨯+=；当42n =时，40614254X =⨯+=． 所以X 的分布列为13111()228234240247254238.65105510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为380.2390.2400.3410.2420.139.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以甲公司送餐员的日平均工资为80439.8239.2+⨯=元， 因为238.6239.2<，所以小张应选择甲公司应聘． 【点睛】本题考查了随机变量的分布列与数学期望、古典概率计算公式、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图所示，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且DAB DBF 60∠∠==． ()1求证：AC ⊥平面BDEF ；()2求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析. 15. 【解析】（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，由菱形的性质可得AC BD ⊥，由等腰三角形的性质可得AC FO ⊥，利用线面垂直的判定定理可得结果；(2)先证明FO ⊥平面ABCD .可得OA ，OB ，OF 两两垂直，以OA ，OB ，OF 建立空间直角坐标系O xyz -，求出()3,1,0AD =--，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面ABF 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果. 【详解】（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥，又FO BD O ⋂=，∴AC ⊥平面BDEF .（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD .∵OA ，OB ，OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz-，如图所示， 设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，∴2BD =，23AC =. ∵DBF ∆为等边三角形，∴3OF =.∴()3,0,0A，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,3F ，∴()3,1,0AD =--，()3,0,3AF =-，()3,1,0AB =-.设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =，则·330·30AF n x z AB n x y ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1x =，得()1,3,1n =.设直线AD 与平面ABF 所成角为θ， 则·15sin cos ,5·AD n AD n AD nθ===.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21．已知函数()ln f x kx x x =-，k ∈R ． （1）当2k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当01x <≤时，()f x k ≤恒成立，求k 的取值范围； （3）设n N *∈，求证：ln1ln 2ln (1)2314n n n n -+++≤+． 【答案】（1）单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞；（2）[1,)+∞；（3）证明见解析.【解析】（1）代入2k =，求出'()f x ，再令'()0f x >求出其单调递增区间，令'()0f x <求出其单调递减区间；（2）求出'()f x ，再分类讨论k 的取值，验证其正确性，进而求出k 的取值范围；（3）利用（2）中得出的结论，取1k =，得到不等式ln 1x x x -≤，再令x =21n*()n N ∈，对不等式变形得到ln 1n n +≤12n -，进而证明原不等式. 【详解】解：（1）当2k =时，()2ln f x x x x =-，'()1ln f x x =-，由'()0f x >，解得0x e <<；由'()0f x <，解得x e >，因此函数()f x 单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞．（2）()ln f x kx x x =-，故'()1ln f x k x --＝．当1k 时，因为01x <≤，所以10ln k x -≥≥，因此'()0f x ≥恒成立，即()f x 在(]0,1上单调递增，所以()(1)f x f k ≤=恒成立．当1k <时，令'()0f x =，解得1(0,1)k x e -=∈．当1(0,)k x e -∈，'()0f x >，()f x 单调递增；当1(,1)k x e -∈，'()0f x <，()f x 单调递减； 于是1(1))(k f ef k -=＞，与()f x k ≤恒成立相矛盾．综上，k 的取值范围为[1,)+∞．（3）由（2）知，当01x <≤时，ln 1x x x -≤．令x =21n *()n N ∈，则21n +22n ln 1n ≤，即22ln 1n n -≤， 因此ln 1n n +≤12n -． 所以ln1ln 2ln 011(1) (23)12224n n n n n --+++≤+++=+. 【点睛】本题主要考查函数的单调性与最值，以及不等式的证明相关问题，考查运算求解能力，属于中等题型.。
江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期教学质量调研(三)数学试题
2020-2021学年度高三年级第一学期教学质量调研(三)数学试题(考试时间：120分钟；总分：150分)一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|20}A x x =-，{|(1)}B x Z y ln x =∈=+，则A B ⋂=（ ） A. [1-，2] B. (1-，2]C. {0，1，2}D. {1-，0，1，2}C求出集合A ，B ，由此能求出A B ． 集合{|20}{|2}A x x x x =-=，{}{|(1)}|1B x Z y ln x x Z x =∈=+=∈>-，{0A B ∴=，1，2}．故选：C ．本题考查交集的求法，考查运算求解能力，是基础题． 2. 已知复数1i z =+，z 为z 的共轭复数，则1zz+=（ ） A. 3i2+ B.1i2+ C. 13i 2-D.13i2+ D求出z ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.121312(2)(1)2z i iz i i i +++++===-.故选：D. 本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题目.3. 苏州市“东方之门”是由南北两栋建筑组成的双塔连体建筑（门顶厚度忽略不计），“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图所示，现测得门的内侧地面上两塔之间的距离约为80米，距离门顶竖直距离8米处两塔内侧之间的距离约为16米则“东方之门”的高度约为（ ）A. 150米B. 200米C. 250米D. 300米B以门顶所在的点为坐标原点，以抛物线在顶点处的切线为x 轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程()220x py p =->，求出p 的值，可求得抛物线的方程，再将40x =代入抛物线的方程，即可得解.以门顶所在的点为坐标原点，以抛物线在顶点处的切线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xOy ，设抛物线的方程为()220x py p =->，由题意可知点()8,8-在抛物线22x py =-上，所以，()2828p =-⨯-，解得4p =，所以，抛物线的方程为28x y .将40x =代入抛物线的方程可得2402008y ==--. 因此，“东方之门”的高度约为200米.故选：B. 思路点睛：利用解析法解决平面几何问题的步骤如下： （1）认真审题，明确题意；（2）建立平面直角坐标系，用方程表示曲线，从而将实际问题中建立曲线方程； （3）利用解析几何相关知识求解问题； （4）将代数结果还原为实际问题的解答.4. 已知向量(12)(21)a x b ＝－，，＝，，则“x ＞0”是“a 与b 的夹角为锐角”的( ) A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件C根据充分条件和必要条件的定义以及向量的数量积的应用，进行判断即可. 充分性：当x ＞0时，2(1)220a b x x ⋅=-+=>；但是当x ＝5时，(42)a ＝，，与b 共线，a 与b 夹角为0°，故充分性不成立， 必要性：a 与b 夹角为锐角，则2(1)220a b x x ⋅=-+=>， 解得x ＞0，故必要性成立，故选C.本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及充分条件和必要条件. 5. 函数()52sin 33x xx xf x -+=-([,0)(0,])x ππ∈-的图象可能为（ ） A. B.C. D.A根据定义判断奇偶函数，以及利用特殊值排除，即可得出答案.解：由题意可知定义域([,0)(0,])x ππ∈-关于原点对称，()()i 352s n 3x x f x x x --+---=()5n 332si x x x x ----=-352n 3si x x x x-+-=()f x =， 所以()f x 为偶函数，排除B ，D ， 又()0335332sin 5f ππππππππ--=-=-+>，排除C , 所以A 正确.故选：A.本题考查图像的识别，一般利用奇偶性，单调性，特殊性进行排除.6. 若3cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos cos 3παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（ ）A. 3- B. 3±C. -1D. ±1C首先对cos cos 3παα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭)6πα-，将条件代入，求得结果.cos cos 3παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭1cos cos 2ααα+=32cos αα)16πα-=-.故选：C.该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有两角差的余弦公式，属于基础题目.7. 已知定义域为R 的函数()f x 满足1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()40f x x '+>，其中()f x '为()f x 导函数，则满足不等式2()12f x x ≥-的解集为（ ）A. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ A设()()221g x f x x =+-则()()40g x f x x ''=+>故()g x R 上单调增，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可求解不等式.设()()221g x f x x =+-，则()()40g x f x x ''=+>，故()g x 在R 上单调增，又11111211022422g f ⎛⎫⎛⎫=+⨯-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()()2210g x f x x =+-≥的解为12x ≥，则不等式2()12f x x ≥-的解集1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：A8. 直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱14BB =，2AB =，3AC BC ==，则点C 到平面11A BC 的距离为（ ）A.B.C.D.B由等体积法得111101133A BC A CC Sh S h ⋅=⋅ 所以1111A CC A BC Sh h S⋅=，再由条件求得11A C CS，0h ，11A BC S代入即可得结果. 如图所示：设点C 到平面11A BC 的距离为h ，点B 到平面11A CC 的距离为0h ，由等体积法得1111C A BC B A CC V V --=则111101133A BC A CC Sh S h ⋅=⋅ 所以1111A CC A BC Sh h S⋅=过点B 作BM AC ⊥交AC 于M ，又因为1AA ⊥平面ABC ，所以1BM AA ⊥，则BM ⊥平面11A CC ，所以BM 为B 到平面11A CC 的距离为0h 由0132ABCSh =⨯⨯＝212312⨯-得0423h = 1114362A C CS=⨯⨯= 在11A BC 中22153207cos 25315C +-==⨯⨯ 所以111sin 15C =得1111sin 532112A BC SC =⨯⨯=所以42211h = 故选：B 方法点睛：求点到面的距离常用方法： 1、等体积法；2、直接作出点到平面的垂线，则该垂线段的长度就是所求的距离；3、向量法：用向量距离公式求解.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 关于双曲线2212y x -=有下列四个说法，正确的是（ ）A. B. 与椭圆2214x y +=有相同的焦点C. 与双曲线2212y x -=有相同的渐近线D. 过右焦点的弦长最小值为4 BC由题，求出1,a b c ===由题可知，1,a b c ===对于A ，以实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为122S =⨯⨯=A 错误；对于B ，焦点均为()，故B 正确； 对于C ，渐近线均为2y x =±，故C 正确；对于D ，双曲线的弦可以截在两支上，那么经过右焦点和左顶点的弦长最短，弦长最小值即为22a =，故D 错误．故选：BC ．易错点睛：本题易错点在于D 项，如果直接认为弦表示的是与双曲线交于一支的话，其弦长就是通径，那么D 项就是正确的，实则不然，能够正确辨析此概念是解决问题的关键． 10. 下列不等式的解集与不等式22(1)(23)x x ---<-的解集完全相同的是（ ） A.11|1||23|x x <-- B.1122log (1)log (23)x x -<-C. 2222log (1)log (23)x x ->-D. 12322x x -->AC逐一找出每个选项中不等式的等价不等式，然后和题干中的不等式对比即可． 解：由22(1)(23)x x ---<-得()()221230x x ->-≠，即 2013x x ->≠-，对A ．11123|1||230|x x x x ><----≠⇔，符合解集相同；对B ．1122log (1)log (23)1230x x x x -<-⇔->->，与2013x x ->≠-不同；对C ．()()()()222222log 1log 2312301230x x x x x x ->-⇔->->⇔->-≠，符合解集相同； 对D ．12322123x x x x -->⇔->-，与2013x x ->≠-不同．故选：AC ．11. 已知正项数列{}n a 满足11a =，2211n n n n a na a na ++-=-，则6a 的值可能为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4ABCD根据已知2211n n n n a na a na ++-=-，移项化简，因式分解后，逐一判断即可． 因为2211n n n n a na a na ++-=-，所以()()110n n n n a a a a n ++-+-=所以1n n a a +=①或1n n a n a +=-②对于A ，前6项均满足①即可得到，故A 正确；对于B ，43,a a 满足②，其余项满足①即可得到，故B 正确； 对于C ，54,a a 满足②，其余项满足①即可得到，故C 正确；对于D ，65,a a 满足②，其余项满足①即可得到，故D 正确；故选：ABCD ．本题难度不大，但是由于本题选择四个选项，故其易错点在于能够不漏掉每一个选项的情况，可能遗漏某种情况造成失分．12. 在单位圆22:1O x y +=上任取一点(),P x y ，圆O 与x 轴正半轴的交点为A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记x ，y 关于θ的表达式分别为()x f θ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()()t f g θθ=是偶函数B. 函数()()1t f g θθ=+-的最小正周期为2πC. 函数()()t f g θθ=-的一个单调减区间为3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 函数2()(2)t f g θθ=+的最大值为2BCD依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫-=-=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求单调递减区间即可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．由题意知()cos x f θθ==，()sin y g θθ==，对于A ，()()cos sin f g θθθθ=，()()()()cos sin f g f g θθθθθθ--=-=-，()()t f g θθ=为奇函数，故错误；对于B ，()()1cos sin 1)14t f g πθθθθθ=+-=+-=+-，最小正周期为2π，故正确；对于C ，()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫-=-=+ ⎪⎝⎭，因为[]3,,0,444πππθθπ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，又cos y x =在[]0,x π∈单调递减，故C 正确； 对于D ，()()222cos sin2t f g θθθθ=+=+，因为()2'2sin 2cos22sin 212sin t θθθθ=-+=-+-()()22sin 1sin 1θθ=--+，当1sin ,1'02t θ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，()()22t f g θθ=+是减函数，当1sin 1,'02t θ⎛⎫∈-> ⎪⎝⎭，()()22t f g θθ=+是增函数，所以当1sin 2θ=，cos θ=，t 最大，则max t =BCD. 方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若3nx⎫+⎪⎭的展开式中二项式系数和为64，则展开式中常数项为_________.135首先利用二项式系数之和等于264n =，求出n 的值，再令二项式展开式的通项中x 的指数位置等于0即可求解.由题意可得：264n =解得：6n =，63x x ⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为()13632216633k k k k k k k k T C x x C x ---+== 令3302k-=可得2k =， 所以展开式中的常数项为2263135C =，故答案为：135.14. 半圆的直径2AB =，C 为半圆上的点满足6CAB π∠=，D 为BC 上的点满足2BD DC =，则AD BC ⋅=_________.13- 计算出AC 、BC 的长，利用AC 、BC 表示AD ，利用平面向量数量积的运算性质可求得AD BC ⋅的值. 如下图所示：由已知可得ACB ∠为直角，且2AB =，6CAB π∠=，所以，cos36AC AB π==，sin16BC AB π==，13AD AC CD AC BC =+=-，因此，221111013333AD BC AC BC BC AC BC BC ⎛⎫⋅=-⋅=⋅-=-⨯=- ⎪⎝⎭.故答案为：13-.方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．15. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，三角形PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为_________.283π 计算出正PAD 的外接圆直径2r ，将四棱锥P ABCD -补成直三棱柱PAD QBC -，利用公式()2222R r AB =+可求得四棱锥外接球的半径，利用球体的表面积公式可求得结果.如下图所示：圆柱12O O 的底面圆的直径为2r ，母线长为h ，则12O O 的中点O 到该圆柱底面圆上每点的距离都相等，则O 为圆柱12O O 的外接球的球心，设球O 的半径为R ，则()()22222R r h =+. 如下图所示：四边形ABCD 为正方形，则AB AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，AB 平面ABCD ，所以，AB ⊥平面PAD ，将四棱锥P ABCD -补成直三棱柱PAD QBC -，作出PAD 的外接圆圆1O ，作出QCB 的外接圆圆2O ，则直三棱柱PAD QBC -的外接球与圆柱12O O 的外接球为同一个球，设该球的半径为R ，正PAD 的外接圆直径为243233sin3r π===， 所以，()()22221628422+433R R r AB ==+==. 因此，四棱锥P ABCD -外接球的表面积为22843R ππ=. 故答案为：283π.方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.16. 现有A 、B 、C 、D 、E 、6F 个不同的货柜，准备用甲、乙、丙三辆卡车一次运送出去，每台卡车至少运一个货柜，则不同的分配方案的种数为_________.设卡车甲运送货柜的数量为随机变量X ，则期望()E X =________.(1). 540 (2). 2先将6个货柜分为3组，利用分步计数原理可计算出不同的分配方案的种数；由题意可知X 的可能取值有1、2、3、4，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，进而可计算出()E X 的值. 先将6个货柜分为3组，各组的容量分别为1、1、4；1、2、3；2、2、2.因此，不同的分配方案的种数为22412364665333540C C C C C A A ⎛⎫++= ⎪⎝⎭；由题意可知X 的可能取值有1、2、3、4，()()11226552115403C C C A P X +===，()21222642647254018C C A C C P X +===，()312632235409C C A P X ===，()42621454018C A P X ===.所以，()172112342318918E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案为：540；2.方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知随机变量X 的期望、方差，求(),aX b a b R +∈的期望与方差，利用期望和方差的性质（()()E aX b aE X b +=+，()()2D aX b a D X +=）进行计算；（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3312S a +=，3213S a -=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()22log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . （1）12n na ；（2）2nn T n =⋅.（1）利用等比数列基本量代换求出通项公式； （2）先把n b 表示出来，用错位相减法求和 解：（1）设n a 的首项为1a ，公比为q因为3312S a +=，3213S a -=，所以123312321213a a a a a a a a +++=⎧⎨++-=⎩①② ①+②得：212a a =，所以2q ，将2q代入①得：11a =数列n a 的通项公式为12n na（2）()()122log 12n n n n b a a n -=+=+⋅所以2212223242212n n n T n n --=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅++⋅③2212223212212n n n n T n n n --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅++⋅④③-④得：()()2122222221212212nn nn n n T n n n ---=+++⋅⋅⋅+-+⋅=-+⋅=-⋅-所以2nn T n =⋅即数列{}n b 的前n 项和为2nn T n =⋅(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质； (2)数列求和的方法：公式法、倒序相加法、裂项相消法、错位相减法．18. 己知函数()sin()0,02f x x m πωϕωϕ⎛⎫=++>-<< ⎪⎝⎭满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：①2ω=，②周期T π=，③过点(0,0)，④332f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）试写出能确定()f x 解析式的3个条件的序号(不需要说明理由)，并求()f x 的解析式； （2）求（1）中函数()f x 的图像与直线1y =交点间的最短距离. （1）答案见解析；（2）3π由2ω=可得周期T π=，判断条件①②相同，所以分①③④和②③④分别求解；选①③④时，2ω=，只需把()00f =和332f π⎛⎫= ⎪⎝⎭联立，解得m ϕ、. 选②③④时，先由周期T π=求得2ω=，只需把()00f =和332f π⎛⎫= ⎪⎝⎭联立，解得m ϕ、.（2）由题意解方程1()sin 2162f x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，即可.解：（1）当选①③④时，因为2ω=，所以()sin(2)f x x m ϕ=++，因为过点(0,0)，332f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以sin 02sin 03m m ϕπϕ+=⎧⎪⎨⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎩，两式相减得：cos 3πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为02πϕ-<<，所以633πππϕ-<+<，所以36ππϕ+=，所以6πϕ=-，12m =， 所以()f x 的解析式为1()sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.当选②③④时，因为周期T π=，所以2ω=，以下过程与选①③④相同..（2）函数()f x 的图像与直线1y =交点为1()sin 2162f x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，所以1sin 262x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以266x k πππ-=+或52266x k πππ-=+，k Z ∈ 所以6x k ππ=+，k Z ∈或2x k π=+π，k Z ∈所以（1）中函数()f x 的图像与直线1y =交点间的最短距离为3π 求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.19. 如图，已知五面体ABCDEF 中，CDEF 为正方形，且平面CDEF ⊥平面ABCD ，120ADC BCD ∠=∠=.（1）证明：ABCD 为等腰梯形；（2）若AD DE =，求二面角F BD C --的余弦值. （1）证明见解析；（2）5. （1）过D ，C 分别作DH AB ⊥，CM AB ⊥，垂足分别为H ，M 可证明//CD 平面ABFE ，即可证明//AB DC ，再证明ADH BCM ≅，可得DA CB =即可求证；（2）先证明ED ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，分别求出平面BDF 的一个法向量1n 、平面BDC 的一个法向量2n ，利用121212cos ,||n n n n n n ⋅=⋅即可求解.（1）证明：过D ，C 分别作DH AB ⊥，CM AB ⊥，垂足分别为H ，M ， 因为CDEF 为正方形，所以//EF DC ， 因为AB平面ABFE ，CD ⊄平面ABFE ，所以//CD 平面ABFE ，因为DC ⊂平面ABCD ，平面ABCD 平面ABFE AB = 所以//AB DC ， 因DH AB ⊥，CM AB ⊥，所以90HDC MCD DHA CMB ∠=∠=∠==所以四边形DHMC 为矩形，所以DH CM = 因120ADC BCD ∠=∠=，所以30ADH BCM ∠=∠=，所以ADH BCM ≅，所以DA CB =， 所以ABCD 为等腰梯形.（2）因为CDEF 为正方形，所以ED DC ⊥， 因为平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF平面ABCD DC =，ED ⊂平面CDEF ，所以ED ⊥平面ABCD以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设2AD =，则()0,0,0D ，)3,3,0B，()0,2,2F ，()3,3,0DB =，()0,2,2DF =设平面BDF 的一个法向量为()1111,,n x y z =，因为1DB n ⊥，1DF n ⊥，所以1111330220x y y z +=+=⎪⎩，令11y =，则13x =-11z =-，所以()13,1,1n =-- 平面BDC 的一个法向量为()20,0,1n =， 所以1212125cos ,551||n n n n n n ⋅===-⨯⋅， 由图可知二面角F BD C --的平面角为锐角， 所以二面角F BD C --5. 方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 20. 某学校为了纪念华罗庚先生(1910年1月-1985年6月)逝世3周年，特举办“华罗庚”杯数学竞赛，现从参赛选手中抽取100名学生进行研究，将他们的比赛成绩(满分为100分)分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 合计100（1）求a 的值；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？（3）用频率估计概率，现从学校所有参赛选手中随机抽取1名学生，共抽取3次，且每次抽取的结果是相互独立的，记被抽取的3名选手中成绩恰好在[)60,80上的人数为随机变量ξ，求()E ξ.参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++()20P K K ≥ 0.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0K2.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）0.025a =；（2）列联表答案见解析，没有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”；（3）1.5.（1）利用频率和等于1，求出a ；（2）分析题意完成2×2列联表，直接套公式求出2K ，对照参数下结论；（3）由题意分析ξ服从二项分布，求出()E ξ. 解：（1）根据频率分布直方图得：0.0050.0100.0200.0300.010101a +++++⨯=所以0.025a =. （2） 优秀 非优秀 合计 男生 10 40 50 女生 25 25 50 合计3565100因为22100102540259.89010.82850503565K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以没有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”. （3）根据题意，随机变量1~3,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，所以13 1.52E ξ=⨯=.(1)独立性检验的题目直接根据题意完成完成2×2列联表,直接套公式求出2K ,对照参数下结论，一般较易；(2)求离散型随机变量的分布列时，要特别注意. 随机变量是否服从二项分布、超几何分布等特殊的分布.21. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 过点()2,0P 且离心率22e =，过点2,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线与椭圆交于A 、B 两点.（1）求椭圆C的方程；（2）求证：PA PB⊥；（3）求PA PB⋅的最大值.（1）22142x y+=；（2）证明见解析；（3）最大值为329.（1）本题可设椭圆C的方程为22221x ya b+=，然后通过题意得出2a=、c=，最后根据b b的值，即可得出结果；（2）本题可设直线AB的方程为23x ky=+、()11,A x y、()22,B x y，然后联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理得出12y y+、12y y，最后通过求出0PA PB⋅=即可证得PA PB⊥；（3）本题可求出点P到直线AB的距离以及弦长AB，然后通过等面积法得出PA PB⋅=PA PB⋅=.（1）设椭圆C的方程为22221x ya b+=，0a b>>，因为椭圆C过点()2,0P且离心率2e=，所以2a=，22ce==，c=b===，故椭圆C的方程为22142x y+=.（2）因为直线过点2,03Q⎛⎫⎪⎝⎭，所以可设直线AB的方程为23x ky=+，()11,A x y，()22,B x y，联立2223142x kyx y⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得()224322039k y ky++-=，()122432k y y k +=-+，()1223292y y k =-+，则112,PAx y ，222,PB x y ，()()1212121222222233PA PB x x y y ky ky y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=+-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()2122221241613932441610399232k k y y y k k k k y k --=+⋅-⋅++=+-++=+， 故PA PB ⊥.（3）()2,0P ，直线AB 的方程为23x ky =+，即203x ky --=，则点P 到直线AB的距离d =，弦长12AB y y ===-43== 因为PA PB ⊥，所以PA PB AB d ⋅=⋅，即43PA PB ⋅==令222t k =+≥，则PA PB ⋅==令110,2n t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，则329PA PB ⋅===≤， 故当12n =时，PA PB ⋅取最大值，最大值为329. 关键点点睛：本题考查椭圆方程的求法以及椭圆与直线相关问题的求解，可通过求出a 、b 的值来求出椭圆方程，考查离心率的相关性质，考查韦达定理以及等面积法的应用，可通过向量乘积为0的方式来证明垂直，考查计算能力，是难题.22. 已知函数()(1)cos (1)sin f x x x x x =--+.（1）当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()y f x =零点的个数； （2）当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1f x ax ≤-恒成立，求实数a 的取值范围. （1）零点的个数为0；（2）[)0,+∞.（1）先用导数判断单调性，再用零点存在定理判断零点个数； （2）规定新函数()()1g x f x ax =-+，只需 ()min 0g x ≤，分类讨论求()min g x ，求出a 的范围 . 解：（1）()sin cos f x x x x x '=-- 因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 0cos 0x x x x -≤-≤，，所以()0f x '<，所以函数()y f x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π减函数.所以()(0)10f x f ≤=-<所以()y f x =零点的个数为0.（2）()()1g x f x ax =-+，(0)0g =，()sin cos g x x x x x a '=---，令()()h x g x '=，则()sin cos cos 4h x x x x π⎛⎫'=---+ ⎪⎝⎭，因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 0cos 0,cos 04x x x π⎛⎫-≤-<+≤ ⎪⎝⎭，所以()0h x '<，所以函数()y g x '=在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π减函数，所以()()()044a g g x g a π'''--=≤≤=- 1︒当0a ≥时，()g 0x '<，所以函数()y g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π减函数， 所以()()00g x g ≤=，满足题意2︒当4a ≤-时，所以函数()y g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π增函数，所以()()00g x g ≥=，不满足题意3︒当0a <<时，因为()00g '>，04g π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，且函数()y g x '=在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π减函数，所以存在唯一的10,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()10g x '=，所以函数()y g x =在[]00,x 增函数，在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦减函数，当[]00,x x ∈时，()()00g x g ≥=，不满足题意. 综上所述：实数a 的取值范围为[)0,+∞.（1）判断零点类问题用零点存在定理；（2）恒成立问题通常转化为求函数的最小值问题.。
江苏省如皋市2020-2021学年高三数学第一学期教学质量调研(一)
江苏省如皋市2020-2021学年高三数学第一学期教学质量调研（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．计算cos960的值为_________.2．函数y =_______．3．已知直线l 1：210ax y a -+-=和l 2：3(2)50x a y --+=平行，则实数a 的值为_______．4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)y px p =>的焦点在直线220x y +-=上，则p 的值为_______．5．若实数x ，y 满足2222x y +=，则xy 的最大值为_______．6．设曲线()ln f x ax x =-的图象在点(1，(1)f )处的切线斜率为2，则实数a 的值为_______．7．已知实数x ，y 满足约束条件0321y x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩，则2x y +的最大值为_______．8．设向量a ，b ，c 均为单位向量，且23a b c =-，则向量a ，b 的夹角等于_______．9．已知圆229x y +=被直线210mx y m +--=所截得弦长为32，则实数m 的值为____．10．已知cos 5α=，(απ∈-，0)，tan()1αβ+=，则tan β的值为_______． 11．已知奇函数()f x 的图象关于直线x ＝1对称，当[0x ∈，1]时，2()log (1)=+f x x ，则函数6()y f x x =-在[﹣3，9]上的零点个数是_______．12．若函数2220()20x x x x f x x ⎧-+->=⎨<⎩，，，则不等式5(())4f f x <-的解集为_______． 13．设a ＞0，b ＞0，a ≤2b ≤2a ＋b ，则2222ab a b +的取值范围为_______．14．在△ABC 中，D 为AB 的中点，若2BA DC 3AB AC ⋅=⋅，则tan A tan B tanC ++的最小值是_______．二、解答题15．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且2)b a c =+，sin Bsin C ．（1）求角B ；（2）若△ABC 的面积为b ，c ．16．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，△CBD 是以B 为直角顶点的等腰三角形，且点A ，D 分布在直线BC 两侧，点E 为BC 的中点．（1）若1AF AC 3=，求AE BF +的值； （2）若点P 为等腰直角△CBD 内一动点（不包含边界），求AE EP ⋅的取值范围．17．如图，养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线CA 、CB 围成一个三角形养殖区ACB ．为了便于管理，在线段AB 之间有一观察站点M ，M 到直线BC ，CA 的距离分别为8百米、1百米．（1）若围成△ABC 面积为16万平方米，求观察点M 到A 、B 距离之和；（2）当观察点M 到A 、B 距离之和最小时，求围成△ABC 的面积．18．已知椭圆T 的焦点分别为F 1(﹣1，0)、F 2(1，0)，且经过点，)． （1）求椭圆T 的标准方程； （2）设椭圆T 的左右顶点分别为A 、B ，过左焦点的直线与椭圆交于点C 、D ，△ABD 和△ABC 的面积分别为S 1、S 2，求12S S -的最大值；（3）设点M 在椭圆T 外，直线ME 、MF 与椭圆T 分别相切于点E 、F ，若ME ⊥MF ，求证：点M 在定圆上．19．已知函数2()(f x x bx c b =++、)c R ∈．（1）当c ＝b 时，解关于x 的不等式()f x ＞1；（2）若()f x 的值域为[1，+∞)，关于x 的不等式()f x a <的解集为(m ，m ＋4)，求实数a 的值；（3）若对[2x π∈-，0)(0⋃，]2π，2()0sin f x ≥恒成立，函数2223()1x g x x +=-+，且(())f g x 的最大值为1，求22b c +的取值范围．20．设a 为实数，函数21()12x f x e ax =--，其中e 为自然对数的底数． （1）当a ＝e 时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在1x x =和2x x =处取得极值，且11212x x x <<≤，求实数a 的取值范围．参考答案1．12-； 【分析】首先将角960化为3360120⨯-，之后应用诱导公式化简求值即可得结果.【详解】 1cos960cos(1080120)cos1202=-==-， 故答案是12-. 【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题涉及到的知识点有诱导公式，以及特殊角的三角函数值，属于简单题目.2．[)2,+∞；【解析】试题分析：因为2402x x -≥⇒≥，所以定义域为[2,)+∞考点：函数定义域3．1-；【解析】【分析】首先利用两直线平行时方程中系数所满足的条件，列出对应的等式和不等式，最后求得结果.【详解】当两直线平行时，有(2)353(21)a a a a --=-⎧⎨≠-⎩，解得1a =-， 故答案是1-.【点睛】该题考查的是有关直线平行时，方程的系数所满足的条件，需要注意的是需要将重合的情况排除，属于简单题目.4．2；【解析】【分析】首先根据抛物线的方程，判断出其焦点所在轴，求得直线220x y +-=与x 轴的交点坐标，从而得到焦点坐标，进一步求得p 的值.【详解】直线220x y +-=与x 轴的交点坐标为(1,0)，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)，即12p =， 所以2p =，故答案为2.【点睛】该题考查的是有关抛物线的焦点的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有抛物线的焦点所在轴，直线与坐标轴的交点，抛物线的焦点坐标，熟练掌握基础直线是解题的关键.5．2【解析】【分析】首先将椭圆的方程化为标准方程，之后应用其参数方程，将,x y 用θ来表示，之后借助于三角函数的最值求得结果.【详解】由2222x y +=得2212x y +=，设,sin x y θθ==，所以sin 2xy θθθ=⋅=故答案是2. 【点睛】 该题考查的是有关椭圆上的点的坐标运算式的最值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有椭圆的参数方程，正弦的倍角公式，三角函数的最值，正确理解题意是解题的关键. 6．3【解析】【分析】首先对函数求导，根据函数图象在某个点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，从而将相应的量代入，求得结果.【详解】函数()ln f x ax x =-，可得1'()f x a x=-， 所以切线的斜率为'(1)12k f a ==-=，解得3a =，故答案是3.【点睛】该题考查的是有关函数图象在某个点处的切线的斜率问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，根据题意，得到参数所满足的等量关系，求得结果，属于简单题目.7．143； 【解析】【分析】 首先画出约束条件对应的可行域，画出直线01:2l y x =-，上下移动，得出其过点A 时取得最大值，联立方程组，求得A 点的坐标，代入求得最大值，得到结果.【详解】约束条件0321y x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩对应的可行域如图所示：三角形区域即为所求， 画出直线12y x =-，从图中可以看出，当直线过点A 时，目标函数取得最大值，解方程组321x y y x +=⎧⎨=-⎩，得45(,)33A ，此时410142333x y +=+=， 故答案是143. 【点睛】该题考查的是有关简单的线性规划问题，在解题的过程中，正确画出其可行域是解题的关键，注意分析目标函数的形式，分三种，线性的即为截距型，分式型即为截距型，平方和型为距离型，正确判断在哪个点处取得最值是关键.8．π3； 【分析】 首先将23a b c =-变形得23a b c -=-，结合三个向量都是单位向量，利用向量数量积的运算性质，两边平方，得到4123a b +-⋅=，求得12a b ⋅=，之后应用向量夹角余弦公式求得结果.【详解】根据向量a ，b ，c 均为单位向量，且23a b c =-， 所以23a b c -=-，两边平方得4123a b +-⋅=，所以12a b ⋅=， 所以1cos ,2a b a b a b ⋅==⋅， 又因为向量夹角的取值范围为[0,]π，所以向量a ，b 的夹角为3π. 【点睛】该题考查的是有关向量夹角的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量数量积的运算性质，向量夹角余弦公式，正确应用公式是解题的关键.9．1或7；【解析】【分析】首先根据圆中的特殊三角形，应用勾股定理，求得弦心距，即圆心到直线的距离，之后应用点到直线的距离公式求得结果.【详解】因为圆229x y +=的圆心是(0,0)，半径为3，根据弦长为2d ==，所以2d ==1m =或7m =， 所以答案是1或7.【点睛】该题考查的是有关圆中的特殊三角形的问题，即弦心距、半弦长和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理，求得弦心距，之后应用点到直线的距离公式建立相应的等量关系式，求得结果.10．3-【解析】试题分析：cos sin tan 2ααα===-，()()()12tan tan 3112βαβα--⎡⎤=+-==-⎣⎦+⨯-考点：同角间三角函数关系及两角和差的正切公式11．5；【分析】首先作出所给的区间上的函数的图象，之后根据函数的轴对称性以及奇函数的中心对称性，从而求得函数是周期函数，画出所研究的区间上的图象，之后在同一坐标系中画出直线6x y =，根据交点的个数即为零点的个数，从而求得结果. 【详解】首先作出函数()()[]2log 1,0,1f x x x =+∈的图象，之后根据函数图象关于直线1x =对称，以及奇函数关于原点对称，从而得到函数是以4为周期的周期函数，作出其在[﹣3，9]上的图象， 之后在同一坐标系中，作出直线6x y =， 可以发现其一共有5个交点，从而得到函数在相应区间上有5个零点，故答案是5.【点睛】该题考查的是有关函数零点的个数问题，涉及到的知识点有对数型函数的图象的画法，函数图象的对称性，函数零点个数，数形结合思想的应用，认真审题是解题的关键.12．(),1-∞-【解析】【分析】 首先令分段函数每一段上的函数值小于54-，之后结合分段函数的定义域以及函数值的大小，求解相应的不等式，得到结果.【详解】 令25224x x -+-<-，解得12x <或32x >， 因为0x >，所以13(0,)(,)22x ∈⋃+∞，因为20x >，所以不用考虑， 再令1022x <<，解得1x <-， 又因为2222(1)11x x x -+-=---≤-，所以不可能大于32，所以不等式()()54f f x <-的解集为(),1-∞-. 【点睛】该题考查的是有关多层函数不等式的问题，涉及到的知识点有分段函数的值域，指数不等式，二次函数的值域等，正确转化式子是解题的关键.13．4,92⎡⎢⎣⎦；【解析】 【分析】首先根据不等式的性质，得到122a b ≤≤，之后将所求的式子化为关于ab的关系式，之后借助于对勾函数以及不等式的性质，求得目标式的取值范围. 【详解】根据a ＞0，b ＞0，由222a b b a b≤⎧⎨≤+⎩求得122ab ≤≤，222222ab a b a b b a=++，令1[,2]2a t b =∈，则29]2t t +∈，所以24[,292t t∈+，故答案是4[,92. 【点睛】该题考查的是有关代数式的取值范围的问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对勾函数的性质，在求解的过程中，注意对式子的正确转化. 14． 【分析】首先利用向量的运算法则，将题中所给的条件进行转化，得到()3AB CA CB AB AC ⋅+=⋅，进一步根据向量数量积的运算式以及正弦定理，得到tan 4tan A B =，之 后应用诱导公式以及和角公式将式子化为关于tan B 的关系式，之后应用导数研究函数的最值，即可求得结果.【详解】根据D 为AB 的中点，若2BA DC 3AB AC ⋅=⋅，得到()3AB CA CB AB AC ⋅+=⋅， 化简整理得4BA BC AB AC ⋅=⋅，即cos 4cos ca B cb A =，根据正弦定理可得sin cos 4sin cos A B B A =，进一步求得tan 4tan A B =， 所以tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan A BA B C A B A B+++=+--3225tan 20tan 5tan 14tan 14tan B BB B B-=-=--，求导可得当tan B =时，式子取得最大值，代入求得其结果为2083144-=-⨯，. 【点睛】该题考查的是有关三角函数值的最值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量的加减运算，向量的数量积的定义式，正弦定理，正切函数的和角公式以及诱导公式，最后应用导数研究函数的最大值，正确应用公式是解题的关键. 15．（1）2π3B =（2）c =b =【分析】（1）首先根据正弦定理得到b =，利用题的条件，进一步求得a c =，利用余弦定理，求得2221cos 22a cb B ac +-==-，结合三角形内角的取值范围，求得其大小；（2）利用三角形面积公式，结合三角形边的关系，最后求得其边长. 【详解】（1）在ABC 中，sin sin sin a b cA B C==，由已知sin B C =．得b =，又因为)2b a c =+，所以a c =．所以2221cos 22a cb B ac +-==-，因为()0,πB ∈，所以2π3B =．（2）211sin 22ABCSac B ac ===，由S =又因为a c =，b =，所以c =b = 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有应用正弦定理，余弦定理解三角形的问题，三角形的面积公式，正确理解题的条件是解题的关键.16．（1）193AE BF +=（2）(0, 【分析】（1）首先根据题意建立适当的平面直角坐标系，根据题中所给的边长的有关条件，得出相应点的坐标，之后应用向量的加法运算法则以及模的坐标公式求得结果.（2）设出点的坐标，将向量的数量积转化为相应的关系式，根据其范围，得到结果. 【详解】如图，由已知ABC 是边长为2的等边三角形，CBD 是以B 为直角顶点的等腰三角形，则以B 为原点，BC ，BD 所在直线分别作为x ，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()0,0B ，()2,0C ，(A ，()0,2D -，()1,0E ．（1）由13AF AC =，得43F ⎛ ⎝⎭，所以4,33AE BF ⎛+=- ⎝⎭，所以19AE BF +=． （2）设(),P x y ，则20y -<<，则(()(0,1,AE EP x y ⋅=⋅-=∈． 【点睛】该题考查的是有关向量的模以及数量积的范围，在解题的过程中，注意向量的运算公式，模的求解公式，以及数量积的坐标运算式，正确理解题意是解题的关键，注意将向量坐标化的思想.17．（1）AB =2）25 【分析】（1）首先根据题意，建立合适的平面直角坐标系，设出直线的方程，根据题中所给的三角形的面积，求得18k =-，从而得到对应的点的坐标，利用两点间的距离公式求得结果； （2）将AB 表示成关于k 的函数，利用导数求其最值，从而得到最后的结果. 【详解】以C 为原点，CA ，CB 所在直线分别作为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则()8,1M ． 设直线():18AB y k x -=-，即18y kx k =+-，则18,0k A k -⎛⎫-⎪⎝⎭，()0,18B k -， 所以180180kkk -⎧->⎪⎨⎪->⎩，所以0k <， （1）()11818162ABCk Sk k -⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭，也即2641610k k ++=，解得18k =-， 此时()16,0A ，()0,2B ，AB =（2）()()()22218180k AB k f k k k -⎛⎫=-+-=< ⎪⎝⎭， 则()()()2211810f k k k k ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭则()()()()()()()32233218811121881182k k f k k k k kk --+⎛⎫=-⨯-⨯+'+-⨯-⨯= ⎪⎝⎭，所以当12k =-时，AB 最短，此时ABC 的面积为25． 【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，在解题的过程中，注意其解题的过程是先建立适当的坐标系，之后设出直线的方程，得到对应的点的坐标，利用面积公式得到其等量关系式，再者就是应用导数研究其最值，得到结果.18．（1）22132x y +=（2）点M 在定圆225x y +=上【解析】 【分析】（1）根据题意，先设出椭圆的方程，根据题中所给的条件，建立,a b 所满足的等量关系式，求解方程组得结果；（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，将三角形的面积用坐标表示，之后应用基本不等式求得最值；（3）分情况讨论，联立方程组，结合圆的相关性质，证得结果. 【详解】（1）设所求的方程为()222210x y a b a b+=>>，其中2221a b c -==，且22231a b ⎛⎫⎪⎝⎭+=，解得23a =，22b =，椭圆T 的标准方程为22132x y +=．（2）点A 、B 的坐标分别为()2,0-、()2,0，设点C 、D 的坐标为()11,x y 、()22,x y ， 因为要构成三角形，又直线CD 过焦点，则C 、D 分别在x 轴两侧， 所以120y y <，不妨设10y >，20y <，则122S y =-，212S y = 直线CD 过焦点()1,0-，且斜率不为0，设直线CD 方程为1x my =-，与椭圆方程联立消元得()2223440m y my +--=，1y 、2y 是该方程的两个异号实根，122112S S y y y -=-=+=，当0m =时，120S S -=当0m ≠时，1232S S m m-=≤=+当且仅当32m m =，即232m =时取等号， 综上，12S S -．（3）当直线ME 、MF 斜率分别不存在和为0时，ME 、MF 分别垂直于坐标轴，点M 坐标为或(或(或，则MO =，其中O 是坐标原点，点M 在定圆225x y +=上．当直线ME 、MF 斜率存在且不为0时，设点M 坐标为()00,x y ，设直线ME 、MF 的方程分别为()100y k x x y =-+、()200y k x x y =-+， 可以统一为()00y k x x y =-+的形式，并与椭圆方程联立消元得：()()()22222200000236636360k x k xky x k x kx y y +--+-+-=，直线ME 、MF 与椭圆相切，则()()()2222220000006642336360k x ky k k x kx y y ∆=--+-+-=直线ME 、MF 与椭圆相切，则()()()2222220000006642336360k x ky k k x kx y y ∆=--+-+-=展开化简得：()()()22200003220x k x y k y -++-=（2030x -≠且2020y -≠），1k 、2k 可以看作是这个方程的两根，由ME MF ⊥得201220213y k k x -=-=-，即2205x y +=， 并且此时方程中的判别式()()22222000004434520x y x yy ⎡⎤∆=---=+>⎣⎦恒成立， 点M 也在定圆225x y +=上， 综上，点M 在定圆225x y +=上． 【点睛】该题考查的是有关直线与圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合问题，椭圆中的三角形的面积的问题，以及点在圆上的证明方法，思路清晰是正确解题的关键.19．（1）见解析（2）[]32,74 【解析】 【分析】（1）当c b =时，不等式可化为210x bx b ++->，因式分解可得()()110x b x +-+>，之后根据根的大小，得到不等式的解集；（2）根据函数的值域，得到函数的最值，从而求得2414c b -=，再根据关于x 的不等式()f x a <的解集为(),4m m +，得到20x bx c a ++-=的两根之差为4，得到方程组 ()2241644b c a c b ⎧--=⎨-=⎩，求得结果； （3）将恒成立问题转化为最值处理即可求得结果.【详解】（1）当c b =时，由()1f x >得210x bx b ++->，即()()110x b x +-+>， 当11b ->-，即2b <时，原不等式的解集为()(),11,b -∞-⋃-+∞； 当2b =时，原不等式的解集为()(),11,-∞-⋃-+∞； 当2b >时，原不等式的解集为()(),11,b -∞-⋃-+∞．（2）由()f x 的值域为[)1,+∞，得2414c b -=，又关于x 的不等式()f x a <的解集为(),4m m +，所以m ，4m +是方程()f x a =的两个根，即20x bx c a ++-=的两根之差为4．所以4=()2241644b c a c b ⎧--=⎨-=⎩，解得5a =． （3）ππ,00,22x ⎡⎫⎛⎤∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦时，(][)2,22,sin x ∈-∞-⋃+∞，则(][),22,x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x ≥恒成立．又()[)22223123,211x g x x x +=-=--∈--++，因为()()f g x 的最大值为1，()f x 在[)3,2x ∈--上的最大值为1，由()f x 图像开口向上，所以()()3121f f ⎧-=⎪⎨-≤⎪⎩，即931421b c b c -+=⎧⎨-+≤⎩，则38c b =-，且5b ≤；此时由(][),22,x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x ≥恒成立，即2380x bx b ++-≥恒成立，则()20f -≥，得4b ≥，所以522b -≤≤-，要满足(][),22,x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x ≥恒成立，则0∆≤，解得()24380b b --≤，48b ≤≤，所以45b ≤≤．此时()[]222223810486432,74b c b b b b +=+-=-+∈． 【点睛】该题考查的是有关二次函数的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，二次函数的最值，恒成立问题的转化方向，分类讨论思想的应用，认真审题是解题的关键.20．（1）()f x 的增区间为(),-∞+∞，没有减区间．（2）122,2ln 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）将a e =代入函数解析式，之后对()f x 求导，再求二阶导，通过研究其性质，得到()0f x '≥恒成立，从而求得函数的单调区间；（2）根据题意，可知1x ，2x 是()0f x '=的两根，即1212x xe ax e ax -=-，结合其大小关系，以及题中所给的条件，得到212x x ≥，之后构造新函数，求导研究函数的性质，得到结果. 【详解】（1）当a e =时，()2112xf x e ex =--，()x f x e ex '=-， 令()xg x e ex =-，则()xg x e e '=-，所以()()10g x g ≥=，即()0f x '≥恒成立，所以()f x 的增区间为(),-∞+∞，没有减区间．（2）()xf x e ax '=-，由()f x 在1x x =和2x x =处取得极值，可知1x ，2x 是()0f x '=的两根，即1212x xe ax e ax -=-，又11212x x x <<≤，即1112x <<且212x x ≥．设()()0x e g x x x =>，则()()221xx x e x xe e g x x x='--=，由1212x x <≤得212212x x e e x x ≥，又1212x xe ax e ax -=-，得2121x x e e x x =，则112112x x e e x x ≥，即22x e ≤，即1ln2x ≤，所以11ln22x <≤． 由1111ln22x e a x x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，且()x e g x x =在()0,1上单调递减，得1222ln2a e ≤<． 综上，实数a 的取值范围是122,2ln2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【点睛】该题考查的是有关利用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，构造新函数研究函数的性质，保持思路清晰，是解题的关键.。
江苏省如皋市2021届高三上学期第一次教学质量调研数学参考答案
( xM + xN )2 − 4xM xN =
1+ k2
−2k 1 − k 2
2
−
4
−2 1− k2
=2
1+ k2 2− k2 1− k2
．
联立方程组
y y
= =
x， 得 kx −1，
xP
=
1 ，同理 k −1
xQ
=
1 k +1
，
所以 PQ =
1 + k 2 xP − xQ =
1+ k2 1 − 1 = 2 1+ k2 ． k −1 k +1 1− k2
所以 AA1∥BB1．
同理，AA1∥DD1．
所以 BB1∥DD1．
…………………12 分
19．（本小题满分 12 分） 【解】（1）因为双曲线 E：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)为等轴双曲线，
所以 a＝b，设双曲线的焦距为 2c，c＞0，
故 c2 = a2 + b2 = 2a2 ，即 c = 2a ．
又 AC 平面 AB1C，
高三数学
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所以平面 AB1C⊥平面 A1DB．
…………………6 分
（2）因为 AA1∥CC1，CC1 平面 BB1C1C，AA1 平面 BB1C1C，
所以 AA1∥平面 BB1C1C．
又 AA1 平面 ABB1A1，平面 ABB1A1 I 平面 BB1C1C＝BB1，
所以 Qn = (2n − 3) 2n + 3 ．
…………………10 分
18．（本小题满分 12 分）
【证】（1）因为底面 ABCD 是菱形，
所以 AC⊥BD．
江苏省南通市如皋中学2024-2025学年高三上学期期初测试数学试题(含解析)
江苏省如皋中学2024—2025学年度高三年级测试
数学试卷
，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（
C. 46
π
二、多选题:本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.
9. 已知曲线C ：，下列结论中正确的有（ ）A ．若，则C 是椭圆，其焦点在轴上B ．若，则C C ．若，则C 是双曲线，其渐近线方程为D ．若，，则C 是两条直线的轨迹长度为外接球的表面积为
221mx ny +=0m n >>x 0m n =>0mn <y =0m =0n >2π32π3
15. 已知函数．(1)求函数的极值；
(2)求函数在区间上的最小值．
()2e (1)x f x x =+()f x ()f x [,1](3)t t t +>-()g t
111
⎥⎦BDP
，
，对于D ，当为中点时，可得为等腰直角三角形，且平面平面
，
连接与交于点，可得，所以四棱锥外接球的球心即为与的交点，
M 1A D AMD V ABCD ⊥11ADD A AC BD O 2OM OA OB OC OD ====M ABCD -AC BD
（舍去）或，
．故答案为：相切，则实数a 的取值范围
443k =-422,0,33⎡
⎫⎛⎤--⋃⎪ ⎢⎥
⎣
⎭⎝⎦
，
，，240m -≠2254
-。
江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高三上学期阶段检测数学试题
江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高三上学期阶段检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．i 为虚数单位，512iz i=+， 则z 的共轭复数为 （ ） A ．2-iB ．2+iC ．-2-iD ．-2+i2．函数2()ln 1f x x x=-+的零点所在的大致区间是（ ） A ．(1,2)B ．(2,)eC ．(,3)eD ．(3,)+∞3．已知集合(){}lg 21A x x =-<，集合{}2230B x x x =--<，则AB 等于（ ）．A ．()2,12B ．()1,3-C ．()1,12-D ．()2,34．指数函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）在R 上是减函数，则函数22()a g x x-=在其定义域上的单调性为（ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递减D ．在(0,)+∞上递减，在(,0)-∞上递增5．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-6．设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（ ） A ． B ． C ．D ．7．对于给定的复数0z ，若满足042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则01z -的取值范围是（ ）A ．)2 B ．)1C ．)2D ．)18．平面向量()2,1a =，2b =，4a b ⋅=，则向量a 、b 夹角的余弦值为（ ）A B ．45C D ．15二、多选题9．下列函数中，在其定义域内是偶函数的有（ ）A ．cos y x x =B ．2x y e x =+C ．y =D ．sin y x x =10．(多选题)下列四个条件，能推出1a ＜1b成立的有（ ） A ．b ＞0＞a B ．0＞a ＞b C ．a ＞0＞bD ．a ＞b ＞011．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -，若AB BC =，E ，F 分别是1AB ，1BC 的中点，则下列结论中成立的是（ ）A ．EF 与1BB 垂直B ．EF ⊥平面11BDD BC ．EF 与1CD 所成的角为45°D ．//EF 平面1111D C B A12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1xf x e x =+，则下列命题正确的是（ ） A ．当0x >时，()()1xf x e x -=--B ．函数()f x 有3个零点C ．()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃D ．12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<三、填空题13．如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为_______．14．函数e x y mx =-在区间(]03,上有两个零点，则m 的取值范围是_________． 15．已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )＝(),()()(),()()f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎨<⎩有三个零点，则实数a 的取值范围是__________． 16．在ABC ∆中，若tan tan 3tan tan A AB C+=，则sin A 的最大值为_____.四、解答题17．已知二次函数()f x 满足()(4)f x f x =--，(0)3f =，若1x ，2x 是()f x 的两个零点，且122x x -=. （1）求()f x 的解析式； （2）若0x >，求()()xg x f x =的最大值. 18．已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，且当0x >时，37,02()51,2x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨-->⎪⎩，()()g x f x a =-.（1）若函数()g x 恰有三个不相同的零点，求实数a 的值；（2）记()h a 为函数()g x 的所有零点之和.当11a -<<时，求()h a 的取值范围. 19．有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单制成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：（1）从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；（2）假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.20．如图所示，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且DAB DBF 60∠∠==． ()1求证：AC ⊥平面BDEF ；()2求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值．21．已知函数()ln f x kx x x =-，k ∈R ． （1）当2k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当01x <≤时，()f x k ≤恒成立，求k 的取值范围； （3）设n N *∈，求证：ln1ln 2ln (1)2314n n n n -+++≤+．参考答案1．A 【解析】 试题分析：55(12)5i(12)2+12(12)(12)5i i i i z i i i i --====++-，则复数2+i 的共轭复数为2-i ；选A考点：1.复数运算；2.共轭复数； 2．A 【分析】由函数零点存在性定理结合(1)0f <、(2)0f >，即可得解. 【详解】因为函数2()ln 1f x x x=-+在()0,∞+上单调递增， 且2(1)ln11101f =-+=-<，2(2)ln 21ln 202f =-+=>， 所以函数()f x 的零点所在的大致区间为(1,2). 故选：A. 【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 3．C 【分析】解不等式化简集合,A B ，再进行并集运算，即可得答案； 【详解】(){}lg 21{|212}A x x x x =-<=<<，{}{}223013B x x x x x =--<=-<<，∴()1,12A B =-，故选：C. 【点睛】本题考查解不等式及集合的并运算，考查运算求解能力，属于基础题. 4．C【解析】结合指数函数的性质可知：01a <<， 函数()g x 的导函数：()()322'a g x x--=，当(),0x ∈-∞时，()'0g x <，函数()g x 单调递减， 当()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 本题选择C 选项.5．D 【分析】作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像，结合图像可知直线y ax =介于l 与x 轴之间，利用导数求出直线l 的斜率，数形结合即可求解. 【详解】由题意可作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像.由图像可知：函数y ax =的图像是过原点的直线， 当直线介于l 与x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数()y f x =在第二象限的部分的解析式为22y x x =-，求其导数可得22y x '=-，因为0x ≤，故2y '≤-，故直线l 的斜率为2-，故只需直线y ax =的斜率a []2,0∈-. 故选：D 【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题. 6．B 【分析】根据函数为偶函数排除,A C ，再计算11()22ln 30f =>排除D 得到答案. 【详解】1()ln1xf x x x +=-定义域为：(1,1)- 11()ln ln ()11x xf x x x f x x x-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C11()22ln 30f => ，排除D 故选B 【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧. 7．A 【分析】根据条件可得042z i -<，即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离，由圆的性质可得答案.【详解】因为042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，所以042z i -<由复数的几何意义可知042z i -<表示复数0z 对应的点到()0,4的距离小于2. 即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离.如图，设()0,4C ,1,0AAC ==则0212AC z AC -<-<+,0212z <-< 故选：A【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查复数的几何意义的应用和利用圆的性质求范围，属于中档题. 8．A 【分析】求得a 的值，利用平面向量数量积的定义可求得向量a 、b 夹角的余弦值. 【详解】设平面向量a 、b 的夹角为θ，()2,1a =，则5a =，由平面向量数量的定义可得cos 552a b a bθ⋅===⨯⋅.故选：A. 【点睛】本题考查利用平面向量的定义求解向量夹角的余弦值，考查计算能力，属于基础题. 9．CD 【分析】利用偶函数的定义逐一判断，即可得正确选项. 【详解】对于A ：cos y x x =，定义域为R ，()()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，所以cos y x x =是奇函数，故A 不正确；对于B ：2xy e x =+，定义域为R ，()22()()x x f x f x e x e x ---==-+-+≠，且()e ()x f x x f x -2-=+≠所以2x y e x =+是非奇非偶函数，故B 不正确；对于C ：y =(),2,⎡-∞+∞⎣，关于原点对称，()()f x f x -===，所以y =C 正确；对于D ：sin y x x =，定义域为R ，()()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，所以sin y x x =是偶函数，故D 正确； 故选：CD 【点睛】本题主要考查了利用偶函数的定义判断函数的奇偶性，属于基础题. 10．ABD 【分析】运用不等式的性质以及正数大于负数判断. 【详解】 因为1a ＜1b 等价于110b a a b ab--=<， 当a ＞b ，ab ＞0时，1a ＜1b成立，故B 、D 正确. 又正数大于负数，A 正确，C 错误， 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题. 11．ABD 【分析】连接1A B ，根据中位线定理得到11//EF A C ，结合线面平行和垂直的判定定理和心智定理，分析判定,,A B D 正确，再由异面直线所成的角的概念，可判定C 错误，即可求解. 【详解】连接1A B ，则1A B 交1A B 于点E ，又F 为1BC 的中点，可得11//EF A C ， 由1BB ⊥平面1111D C B A ，可得111BB A C ⊥，可得1BB EF ⊥，故A 正确； 由11//EF A C ，11A C ⊥平面11BDD B ，可得EF ⊥平面11BDD B ，故B 正确；异面直线EF 与1C D 所成的角为11AC D ∠，因为1A A 的长度不确定，所以11AC D ∠的大小不确定，所以C 错误；由,E F 分别是11,AB BC 的中点，得到11//EF A C ，可得//EF 平面1111D C B A ，故D正确. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及异面直线所成角的求解及判定，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及异面直线所成角的求法是解答的关键，着重考查空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题. 12．BCD 【分析】利用函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x <时，()()1xf x ex =+，求出()f x 在R上的解析式，判断A 错；由A 分别令()0f x =，解出零点，判断B 对；由A 令()0f x <，求出解集，判断C 对；当0x <时，对函数求导判断出单调区间，求出最值，再利用奇函数的对称性得出函数的值域，要证明12,x x R ∀∈，()()122f x f x -<，即证明()f x 最大值与最小值的差的绝对值小于2，D 对． 【详解】对于A ，当0x >时，0x -<，则由题意得()()1xf x ex --=-+，∵ 函数()f x 是奇函数，∴ ()00f =，且0x >时，()()()()11x x f x f x e x e x --=--=--+=-，A 错；∴()()()1,00,01,0x x e x x f x x e x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，对于B ，当0x <时，由()()10x f x ex =+=得1x =-， 当0x >时，由()()10x f x e x -=-=得1x =，∴ 函数()f x 有3个零点-1,0,1，B 对；对于C ，当0x <时，由()()10x f x ex =+<得1x <-， 当0x >时，由()()10x f x e x -=-<得01x <<，∴ ()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃，C 对；对于D ，当0x <时，由()()1x f x ex =+得()()2x f x e x '=+， 由()()20x f x e x '=+<得2x <-，由()()20x f x e x '=+≥得20x -≤<，∴ 函数()f x 在(],2-∞-上单调递减，在[)2,0-上单调递增，∴函数在(),0-∞上有最小值()22f e --=-，且()()()01011x f x e x e =+<+=， 又∵ 当0x <时，()()10x f x e x =+=时1x =-，函数在(),0-∞上只有一个零点，∴当0x <时，函数()f x 的值域为)2,1e ⎡-⎣，由奇函数的图象关于原点对称得函数()f x 在R 的值域为()()221,,11,1e e --⎤⎡-⋃-=-⎦⎣， ∴ 对12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<，D 对；故选：BCD ．【点睛】本题考查导数在函数求值域中的应用，考查函数的性质，考查函数的表示方法，属于中档题． 13．【分析】设BC 的中点为D ，连结AD ，过点P 作PO ⊥平面ABC ，角AD 于点O ，则A0=PO=R=2，AD=3，AB=BC=.【详解】由题意，某中螺帽是由一个半径为R=2的半球体挖去一个正三棱锥P-ABC 构成的几何体， 该正三棱锥P-ABC 的底面三角形ABC 内接于半球底面的大圆，顶点P 在半球面上， 设BC 的中点为D ，连结AD ，过点P 作PO ⊥平面ABC ，交AD 于点O ，则AO=PO=R=2，AD=3，AB=BC=所以132ABC S ∆=⨯=，所以挖去的正三棱锥的体积为11233ABC V S PO ∆==⨯=.【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及三棱锥的体积的计算，以及空间中线线、线面、面面位置关系等基础题知识，其中解答中根据组合体的结构特征，求得正三棱锥的底面边长和三棱锥的高，利用体积公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.14．3e e,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：由题意得e 0xy mx =-=，得xe m x =，设()()22(1)x x x x e e x e e xf x f x x x x⋅--=='=⇒，可得()f x 在区间(1,3)上单调递增；在区间(0,1)上单调递减，所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，同时也是最小值()1f e =，因为当0x →时，()f x →+∞，当3x =时，()333e f =，所以要使得函数e x y mx =-在区间(0,3]上有两个零点，所以实数m 的取值范围是3e e 3m <<．考点：利用导数研究函数的单调性及极值（最值）．15．2a > 【分析】当a ≤0时，函数f (x )在R 上单调递增，F (x )至多两个零点，不满足题意．当a ＞0时，根据图像可知：当f≥0时，所以F (x ) 至多两个零点；当f＜0，即2a >=时，列式f (23)＜0或者20323f ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎪<，可解得结果. 【详解】易得f'(x )＝3x 2－a ．当a ≤0时，()0f x '≥，函数f (x )在R 上单调递增，F (x )至多两个零点，不满足题意． 当a ＞0时，令f'(x )＝3x 2－a ＝0，解得x ＝由()0f x '>，得x <x >()0f x '<，得x << 所以函数f (x )在(－∞，∞)上单调递增，在(上单调递减，在同一坐标系中，分别作出函数f (x )，g (x )的图像，根据图像可知：当f≥0时，所以F (x ) 至多两个零点；当f＜0，即310a -<，又20a -=，10<1>，所以2a >=时， 要使得F (x )有三个不同的零点，则f (23)＜0或者20323f ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎪<， 即322()1033a -+<或322103323a ⎧⎛⎫-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭>，即3518a >或435318a <≤，解得a ＞43．又2a >423>，所以2a >.故答案为：2a >或【点睛】本题考查了数形结合思想，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的零点，属于中档题.16．5【分析】根据同角三角函数中的商数关系式，结合正弦和角公式化简， 并由正弦定理将角化为边，代入余弦定理即可表示出cos A ，再由基本不等式即可求得cos A 的取值范围，进而结合同角三角函数关系式求得sin A 的取值范围，即可求得sin A 的最大值.【详解】在ABC ∆中，tan tan 3tan tan A A B C+=， 则sin cos sin cos 3cos sin cos sin A B A C A B A C+=， 通分化简可得()sin cos sin cos sin 3cos sin sin A B C C B A B C+=， 由正弦和角公式可得()sin sin 3cos sin sin A C B A B C+=， 所以2sin 3cos sin sin A A B C=，由正弦定理代入可得23cos a bc A=，即23cos a bc A =， 又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入可得223cos 2cos bc A b c bc A =+-， 所以2222cos 555b c bc A bc bc +=≥=，当且仅当b c =时取等号， 则24cos 25A ≥，所以241sin 25A -≥，即221sin 25A ≤，所以sin A ≤则sin A .. 【点睛】 本题考查了同角三角函数关系式的综合应用，正弦和角公式化简三角函数关系式，正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，基本不等式求最值，综合性强，属于难题.17．（1）2()43f x x x =++；（2）1-. 【分析】（1）根据题意可得()f x 的对称轴为2x =-，零点为13x =-，21x =-，设()(3)(1)(0)f x a x x a =++≠，由(0)3f =即可求解.（2）利用基本不等式即可求解.【详解】（1）()(4)f x f x =--，1x ，2x 是()f x 的两个零点，且122x x -=.()f x 的对称轴为：2x =-，可得13x =-，21x =-.设()(3)(1)(0)f x a x x a =++≠由(0)33f a ==，得1a =，所以2()43f x x x =++（2）∵21()13()4324x x g x f x x x x x===≤=-++++， 当且仅当3x x '=，x ∴()g x的最大值是12-. 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.18．（1）2a =或2a =-；（2）()3312log 2,2log 21--.【分析】（1）作出函数()f x 的图象，函数()g x 恰有三个不相同的零点，即直线y a =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，由图象可得实数a 的值；（2）由()f x 的图象可知，当11a -<<时，()g x 有6个不同的零点，利用函数的奇偶性结合对称性得出()h a ，进而可得()h a 的取值范围．【详解】（1）作出函数()f x 的图象，如图，由图象可知，当且仅当2a =或2a =-时，直线y a =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，∴当且仅当2a =或2a =-时，函数()g x 恰有三个不相同的零点.（2）由()f x 的图象可知，当11a -<<时，()g x 有6个不同的零点，设这6个零点从左到右依次为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，则1210x x +=-，5610x x +=，3x 是方程370x a -+-=的解，4x 是方程370x a ---=的解. ∴3337()10log (7)log (7)10log 7a h a a a a+=---+++=- 当11a -<<时，714341,7743a a a +⎛⎫=-∈ ⎪--⎝⎭，∵()33()12log 2,2log 21h a ∈-- ∴当时11a -<<，()h a 的取值范围为()3312log 2,2log 21--.【点睛】本题考查函数与方程思想，考查考查函数的奇偶性和对称性，考查指对函数的性质，属于中档题．19．（1）29140；（2）①分布列见解析，()238.6E X =；②小张应选择甲公司应聘. 【分析】（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，可得P （A ）的值．（2）①设乙公司送餐员送餐单数为a ，可得当38a =时，386X =⨯，以此类推可得：当39a =时，当40a =时，X 的值．当41a =时，X 的值，同理可得：当42a =时，X ．X 的所有可能取值．可得X 的分布列及其数学期望．②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．【详解】解：（1）由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，则()33035029140C P A C ==． （2）①设乙公司送餐员的送餐单数为n ，日工资为X 元，则当38n =时，386228X =⨯=；当39n =时，396234X =⨯=；当40n =时，406240X =⨯=；当41n =时，4067247X =⨯+=；当42n =时，40614254X =⨯+=．所以X 的分布列为13111()228234240247254238.65105510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为380.2390.2400.3410.2420.139.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以甲公司送餐员的日平均工资为80439.8239.2+⨯=元， 因为238.6239.2<，所以小张应选择甲公司应聘．【点睛】本题考查了随机变量的分布列与数学期望、古典概率计算公式、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．(1)证明见解析.. 【分析】（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，由菱形的性质可得AC BD ⊥，由等腰三角形的性质可得AC FO ⊥，利用线面垂直的判定定理可得结果；(2)先证明FO ⊥平面ABCD . 可得OA ，OB ，OF 两两垂直，以OA ，OB ，OF 建立空间直角坐标系O xyz -，求出()1,0AD =--，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面ABF 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点，∵FA FC =，∴AC FO ⊥，又FO BD O ⋂=，∴AC ⊥平面BDEF .（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD .∵OA ，OB ，OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，∴2BD =，AC =∵DBF ∆为等边三角形，∴OF =∴)A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，(F ， ∴()1,0AD =--，(AF =-，()AB =-. 设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =，则·30·30AF n x AB n x y ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩， 取1x =，得()1,3,1n =.设直线AD 与平面ABF 所成角为θ， 则·15sin cos ,·AD nAD n AD n θ===.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21．（1）单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞；（2）[1,)+∞；（3）证明见解析.【分析】（1）代入2k =，求出'()f x ，再令'()0f x >求出其单调递增区间，令'()0f x <求出其单调递减区间；（2）求出'()f x ，再分类讨论k 的取值，验证其正确性，进而求出k 的取值范围；（3）利用（2）中得出的结论，取1k =，得到不等式ln 1x x x -≤，再令x =21n*()n N ∈，对不等式变形得到ln 1n n +≤12n -，进而证明原不等式. 【详解】 解：（1）当2k =时，()2ln f x x x x =-，'()1ln f x x =-，由'()0f x >，解得0x e <<；由'()0f x <，解得x e >， 因此函数()f x 单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞．（2）()ln f x kx x x =-，故'()1ln f x k x --＝．当1k 时，因为01x <≤，所以10ln k x -≥≥，因此'()0f x ≥恒成立，即()f x 在(]0,1上单调递增，所以()(1)f x f k ≤=恒成立．当1k <时，令'()0f x =，解得1(0,1)k x e -=∈．当1(0,)k x e -∈，'()0f x >，()f x 单调递增；当1(,1)k x e -∈，'()0f x <，()f x 单调递减；于是1(1))(k f e f k -=＞，与()f x k ≤恒成立相矛盾．综上，k 的取值范围为[1,)+∞．（3）由（2）知，当01x <≤时，ln 1x x x -≤． 令x =21n *()n N ∈，则21n +22nln 1n ≤，即22ln 1n n -≤， 因此ln 1n n +≤12n -． 所以ln1ln 2ln 011(1) (2312224)n n n n n --+++≤+++=+. 【点睛】本题主要考查函数的单调性与最值，以及不等式的证明相关问题，考查运算求解能力，属于中等题型.。
【数学】南通如皋2021届高三期初数学试题与解析
数学试题
一．选择题（共 8 小题）
1．记全集 U＝R，集合 A＝{x|x2≥16}，集合 B＝{x|2x≥2}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．[4，+∞）
B．（1，4]
C．[1，4）
D．（1，4）
【解析】∵全集 U＝R，集合 A＝{x|x2≥16}＝{x|x≥4 或 x≤﹣4}，集合 B＝{x|2x≥2}＝{x|x≥1}，
学满意，女生中有 15 名表示对线上教学不满意．
（1）完成 2×2 列联表，并回答能否有 99%的把握认为对线上教学是否满意与性别有关”；
态度
满意
不满意
合计
性别
男生
女生
合计
120
（2）从被调查的对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取 8 名学生，再在这 8 名学生中抽取 3 名学生，作
线上学习的经验介绍，其中抽取男生的人数为ξ，求出ξ的分布列及数学期望．
7．设 F1、F2 分别为双曲线
（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与圆 O：x2+y2＝a2 相切，
l 与 C 的渐近线在第一象限内的交点是 P，若 PF2⊥x 轴，则双曲线的离心率等于（ ）
A．
B．2
C．2
D．4
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【解析】双曲线的渐近线方程：ax﹣by＝0，因为 PF2⊥x 轴，可得 P（c， ），直线 PF1：的斜率为：k＝ ＝ ，
C．向左平移
D．向右平移
6．《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由 三根线组成（─表示一根阳线，﹣﹣表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有 2 根阳线和 1 根阴线的概率为（ ）
江苏省如皋中学2021 2021学年第一学期高三第二次阶段测试12月数
江苏省如皋中学2021 2021学年第一学期高三第二次阶段测试12月数----1db3487e-6eb6-11ec-b128-7cb59b590d7d江苏省如皋中学2021-2021学年第一学期高三第二次阶段测试12月数江苏如皋中学2022-2022学年第一学期第二阶段考试高三数学一、填空：这个大问题有14个小问题，每个都有5分，总共70分。
请在答题纸的相应位置填写答案。
1.如果你知道全集u={1,2,3,4,5,6}，M={2,3,4}，n={4,5}，那么？U（m）∪ n）=▲. 2.单位现有职工800人，其中高级职称160人，中级职称320人，初级职称320人级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中具有初级职称的职工为10人，则样本容量为▲．3．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点也是双曲线x2－y2＝8的一个焦点，则p＝▲．4．已知正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1，在正方体内随机取一点m，则四棱锥m-abcd一的体积小于的概率为▲．六1＋ai5.给出一个∈ R、如果是实数，那么a=▲2－i一6．设向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，则“a∥b”是“tanθ＝”的▲条件．2（填写“必要”、“充分”、“不必要”、“必要”、“既不充分也不必要”）。
十、≥ 1.7．已知点p(x，y)的坐标满足条件?y≥x－1，?? x＋3y－5≤0，的最小值为▲．x2y28．椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是f1，f2，过f2作倾斜角为120°的直线与椭ab圆的一个交点为m，若mf1垂直于mf2，则椭圆的离心率为▲．9．若实数a?0，b?1，且a?b?2，则那么从点P到直线3x-4y-13的距离=012b的最小值为▲．?2ab?110．如图，半径为1的扇形aob的圆心角为120°，点c在弧ab上，???????????? 和∠ cob＝30°。
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2020—2021学年度第一学期阶段检测试卷数 学一、选择题：（共8小题，每题5分，共40分）1. i 为虚数单位， 512iz i=+， 则的共轭复数为 （ ）A. 2i - B ．2i + C. 2i -- D ．2i -+2．函数2()ln 1f x x x=-+的零点所在的大致区间是（ ）A ．(2,)eB ． (1,2)C ．(,3)eD ．(3,)+∞3.已知集合A ＝{x ｜lg （x －2）＜1}，集合B ＝{x ｜x 2－2x －3＜0}，则A∪B 等于（ ） A ．（2，12） B ．（一1，3） C ．（一1，12） D ．（2，3）4. 指数函数（，且）在上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（ ）A ．单调递增B ．单调递减C ．在上递增，在上递减 D ．在上递减，在上递增5. 已知函数f (x )＝若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 6..设函数f(x)=xIn,则函数的图像可能为( )7.对于给定的复数z ，若满足42z i -=的复数对应的点的轨迹是椭圆，则1z -的取值范围是（ ）A ．2⎤-+⎦B ．1⎤+⎦C.2⎤+⎦ D ．1⎤+⎦8.平面向量 a = ( 2 , 1 ) ,| b | = 2 , a ·b =4,则向量 a , b 夹角的余弦值为 A.255 B.45 C.55 D.15 二、多项选择题（共4小题，每题5分，选对不全得3分） 9. 下列函数中，在其定义域内是偶函数的有( ) A. y =xcosx , B. y =e x +x 2 C. y =lg √x 2−2 D. y =xsinx10. 给出四个选项能推出1a <1b 的有( )A. b>0>aB. 0>a >bC. a >0>bD. a >b>011.如图所示,在长方体ABCD−A 1B 1C 1D 1,若AB=BC,E,F 分别是A B 1,B C 1的中点,则下列结论中不成立的是( )A. EF 与BB 1垂直B. EF ⊥平面BDD 1B 1C. EF 与C 1D 所成的角为450D. EF ∥平面A 1B 1C 1D 112. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x <0时,f (x )=e x (x +1),则下列命题正确的是( )A. 当x >0时,f (x )=−e −x (x −1)B. 函数f (x )有3个零点C. f (x )<0的解集为(−∞,−1)∪(0,1)D. ∀x 1,x 2∈R,都有|f (x 1)−f (x 2)|<2三、填空题：（共4小题，每题5分，计20分）13.如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．14. 函数e x y mx =-在区间(]0,3上有两个零点，则m 的取值范围是_________15. 已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )，有三个零点，则实数a 的取值范围是 ．16. 在ABC ∆中，若tan tan 3tan tan A AB C+=，则sin A 的最大值为_____. 四、计算题：17.已知二次函数f (x )满足f (x )= f (-4-x ),f (0)=3，若x 1 x 2是f (x )的两个零点,且|x 1− x 2|=2.(I)求f (x )的解析式; .(I)若x >0,求g(x )=xf(x)的最大值。
18.已知f (x )是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x >0时, f (x )={3x −7,0<x ≤2|x −5|−1,x >2 g(x )=f (x )-a .(1)若函数g(x )恰有三个不相同的零点,求实数a 的值;(2)记h (a )为函数g(x )的所有零点之和.当-1<a <1时,求h(a )的取值范围.19.有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元．现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单送餐单数 38 39 40 41 42 甲公司天数 10 10 15 10 5 乙公司天数1015 10 105 (1)从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；(2)假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：(ⅰ)求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；(∪)小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由．20. 如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=︒． （1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求直线AD 与平面AEF 所成角的正弦值．21.已知函数f (x )=kx -xInx ,k ∪R.(1)当k =2时,求函数f (x )的单调区间;(2)当0<x ≤l 时,f (x )≤k 恒成立,求k 的取值范围; (3)设n ∪N + ,求证:ln12+ln23+⋯…lnnn+1 ≤n （n−1）42020——2021学年度第一学期阶段检测数学参考答案1.A2.B3.C4.C5.D6.B7.A8.A9. CD 10.ABD 11.ABD 12.CD13. 2 3 14. 3e e,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ 15. a ＞3518 16.17.解(I):f(x)=f(-4-x), x 1 x 2是f(x) 的两个零点,且|x 1 x 2|= 2. f(x)的对称轴为: x=-2,可得x 1=-3, x 2=-1 设f(x)= a(x+3)(x+1) (a≠0) 由f(0)=3a=3得a=1,.f(x)=x 2+4x+3 (II)∪g(x)=xf(x) =xx 2+4x+3 =1x+3x+4 ≤4+2√3 =1-√32当且仅当x=3x ,即x=√3时等号成立。
∪g(x)的最大值是1-√3218. (1)作出函数f(x)的图象,如图,由图象可知,当且仅当a=2或a=-2时,直线y=a 与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,∪当且仅当a=2或a=-2时，函数g(x)恰有三个不相同的零点.(2)由f(x)的图象可知，当-1<a<1时,g(x)有6个不同的零点设这6个零点从左到右依次为x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6,则x 1+ x 2=-10, x 5+ x 6=10, x 3是方程−3x +7-a=0的解, x 4是方程−3x -7-a=0的解.∪h(a)= -10-log 3(7-a) +log 3 (7+a)+ 10=log 3 7+a7−a当-1<a<1时，7+a 7−a =147−a −1∪(34 ,43)∪h(a)∪(1-2l log 32,2log 32-1)∪当-1<a<1时,h(a)的取值范围为( 1-2log 32,2log 32-1).19(1)由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，则P (A )＝C 330C 350＝29140(2)(ⅰ)设乙公司送餐员的送餐单数为n ，日工资为X 元，则当n ＝38时，X ＝38×6＝228；当n ＝39时，X ＝39×6＝234；当n ＝40时，X ＝40×6＝240；当n ＝41时，X ＝40×6＋7＝247；当n ＝42时，X ＝40×6＋14＝254.所以X 的分布列为E ()X ＝228×15＋234×310＋240×15＋247×15＋254×110＝238.6. (ⅱ)依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.2＋40×0.3＋41×0.2＋42×0.1＝39.8， 所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.8＝239.2元， 因为238.6<239.2，所以小张应选择甲公司应聘．（意对即可）20. （1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥,又FO BD O =，∴AC ⊥平面BDEF（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD . ∵,,OA OB OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示， ∴()()()3,0,0,0,1,0,0,1,0,A B D F -,DB EF DB EF =(0,2,3)E -∴(()(),3,0,3,0,2,0AF AD EF =-=-=.(),,n x y z =320AF n x EF n y ⎧⋅=-+⎪⎨⋅==⎪⎩，得()1,0,1n =.设直线AD 与平面6,4AD n AD n AD n⋅==⋅21.解: (1)当k=2时，f(x)-2x-xlnx, f[x)-1-Inx, 由(x)>0，解得0<x<e; 由f(x)<0, 解得x>e,因此函数f(x)单调递增区间为(0,e), 单调递减区间为(e ，+∞) (2) f(x)=kx-xinx, 故f(x)=k-1-lnx.当k≥1时，因为0<x≤l,所以k-1≥0≥Inx,因此/(x)≥0恒成立，即f(x)在(0，1]上单调递增，所以f(x)≤f(1)=k恒成立.当k<1时，令f(x)=0, 解得x=e x−1∪(0，1). .当x∪(0，e x−1), f(x)>0, f(x)单调递增;当x∪(e x−1, 1), (x)<0, f(x)单调递减;于是f(e x−1)>f(1)=k，与f(x)≤k 恒成立相矛盾.综上，k的取值范围为[1，+∞).(3)由(2)知，当0<x≤1时，x-xlnx≤1.令x=1n2(n∪N+)，则1n2+2n2lnn≤1 即2lnn≤n2-I, .因此lnnn+1≤n−12所以ln12+ ln22+ ……+ lnnn+1≤ 02+ 12… +n−12= n(n−1)4。