向量中的“奔驰定理”与“等和线定理”

（一）向量中的“奔驰定理” 引例1、设O 在ABC ∆内，3,0==++∆ABC S OC OB OA ，则_______=∆AOB S . 引例2、设O 在ABC ∆内，,032=++OC OB OA 则ABC ∆与AOC ∆的面积之比为

（ ） A.2:1 B.3:2 C.3:1 D.5:3

“奔驰定理“：在ABC ∆中，任取一点O ，如图，

则：O OC S OB S OA S C B A =++

.

例1:设P 是ABC ∆内一点，且AC AB AP 5152+=

, 则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为_____________。

结论：三角形的“四心”的向量表达式：

（1）重心G ：0=++GC GB GA ；

（2）外心O ：02sin 2sin 2sin =++OC C OB B OA A ；

（3）内心I ：0=++IC c IB b IA a 或0sin sin sin =++IC C IB B IA A ；

（4）垂心H ：0tan tan tan =++IC C IB B IA A 。

练习1:设G 是ABC ∆的重心，且0sin sin sin =++GC C GB B GA A ，则_______=∠B 。

练习2:已知P 是ABC ∆的外心，且 120,0=∠=++

C PC PB PA λ,则实数λ的值为

____。

（二）平面向量中的“等和线定理”

一、等和线：

平面内一组基底OB OA ,及任意一向量OP ，),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，

若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则k =+μλ（定值）；反之也成立，我们把直线AB 以及直线AB 平行的直线叫等和线。

性质：（1）当等和线恰为直线AB 时，1=k ；

（2）当等和线在O 点和直线AB 之间时，)1,

0(∈k ； （3）当直线AB 在O 点和等和线之间时，),

1(+∞∈k ； （4）当等和线过点O 时，0=k ；

(5)当两等和线关于O 对称，则定值k 互为相反数；

（6）定值k 的变化与等和线到O 的距离成正比。

例1:如图，BCD ∆与ABC ∆的面积之比为2，点P 是区域ABCD 内的任一点（含边界0， 且AC AB AP μλ+=则μλ+的取值范围为（ ）

A.[0,1]

B.[0,2]

C.[0,3]

D.[0,4]

変式：设长方形ABCD 的边长分别是AD=1,AB=2,点P 是BCD ∆（含边界）内的动点，设AD y AB x AP +=，则y x 2+的取值范围为（ ）

A.[1，2]

B.[1,3]

C.[2,3]

D.[0,2]

例2:（2017年全国3卷12题）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且 与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）

A ．3

B ．22

C ．5

D ．2

例3:已知在扇形OAB 中，点C 在弧AB （包括端点）上,600=∠AOB . OB y OA x OC OB OA +===,1。

求：

（1）y x +的取值范围；

（2）y x 2-的取值范围。