全国初中数学竞赛辅导(初3)第17讲平面几何中的定值问题(20200614140122)

第十七讲平面几何中的定值问题

定值问题的证明或计算，一般是通过图形的定量，如线段和定角来讨论的．如果问题中已明确给出定值，那么一般通过线段和角的和、差、倍、分的推导或计算来解决；如果问题中未给出定值，可以利用特殊的方法推测出定值，然后再加以一般化的证明．下面举几个例题，说明上述思考方法．

例1 如图3－80．已知△ABC中，AB=AC，P是其底边BC上任一点，设AP交△ABC的外接圆于Q点，求证：AP·AQ为定值．

分析欲证AP·AQ为定值，我们先用特殊化方法找出这个定值是什么，

然后再给以一般化的证明．为此，我们取P与B(或C)重合，则Q点也必与B(或C)重合，则AP·AQ应等于AB2(定值)，以下证明这个推测．证连

结BQ．因为AB=AC，所以

∠ABC=∠ACB．

又因为∠ACB=∠AQB，所以

∠ABC=∠AQB．

又因为∠BAQ=∠PAB，所以

所以 AP·AQ=AB2(定值)．

注意如果连结QC，将怎样证明？请读者思考．

例2 如图3－81．已知△ABC中，AB=AC，如果直线EF，MN都垂直于BC，试证明：不论MN，EF怎样平行移动，只要MN，EF之间的距离不变，五边形AMNFE的周长是一个定值．

分析从图3－81中可以发现，如果引AD⊥BC于D，由已知条件可知AB(或AC)，AD，NF，BD(或CD)都为定值，因此，若五边形AMNFE的周长转化为以上各线段的表达式，则可判定其为定值．

证作AD⊥BC于D，则

所以

所以

又因为

所以

所以

所以

由于△ABC为确定的等腰(AB=AC)三角形，所以AD，BD，CD，AB为定值，又因为EF，MN之间距离为定长，所以NF为定值．所以五边形AMNFE的周长为定值．

例3 设OA，OB是已知圆O的任意两条半径，过B引BE⊥OA于E，过E作EP⊥AB于P．求证：OP2+EP2为定值(图3－82)．

分析由已知A，B为⊙O上任意两点，如果固定A，让B在圆上移动，当B点移动到半圆中点时，BE变成了半径r，E与O重合，

证延长OP交⊙O于C，D(图3－82)．因为在直角三角形AEB中，∠AEB=90°，EP⊥AB于P，所以

EP2=AP·PB=CP·PD

＝(OC-OP)·(OD+OP)

＝r2-OP2，

所以EP2+OP2=r2(定值)．

例4 若P为圆O内一定点，过P任作一弦AC，分别过A，C引圆的切线，再过P分别作两切线的垂线，垂足为Q，R(如图3－84)，分析根据已知，AC为过圆O内定点P的任意一弦，为了找定值，使

AC特殊化，令AC为直径，则P是直径AC上的一个定点，这时由于PC，

PQ同时垂直于切线，所以Q，C两点重合．同理A，R也重合(图3－85)．于是，

下面证明这个推测结论．

证在图3－84中，作直径AB，连BC，并过OP作直径EF．由于∠ACB=90°，于是

△ABC∽△APR．

又因为△ABC∽△PCQ，所以

因此

例5 设d1，d2，d3是单位圆O的三条直径，且两两交角为60°，在圆周上任一点P向d1，d2，d3作垂线，垂足分别为A，B，C．证明：△ABC为定三角形(图3－86)．

分析因为P为圆O上的动点，所以当P点移动到d1的一个端点D时(P与D重合，见图3-86)，因为DF⊥d3于F，DE⊥d2于E，而∠FOD=∠EOD=60°，所以∠

EDF=60

证连OP，作BM⊥OA于M．因为∠PAO=∠PBO=90°，所以，A，P，B，O四点共圆，且OP=1．因此，在△ABM与△OPB中，

°，

∠MAB=∠BPO，∠BMA=OBP=90

所以△AMB∽△PBO，

所以

例6 相交的两圆的交点为A，B，经过B点所作的任意直线与两圆的

交点分别是C，D，那么AC∶AD是定值(图3－87)．

分析因CD是过B点的任意直线，为确定AC∶AD，使CD特殊化，令其垂直于AB，这时因为∠ABC=∠CAD=90°，那么AC，AD必定是两圆直径．若设d1，d2为两圆直径，则AC∶AD=d1∶d2(定值)．

下面对以上推测做一般性证明．

证在图3－88中，设CD是过B点交两圆于C，D的任一直线，过B 作C′D′交两圆于C′，D′，且使AB⊥C′D′于B，连AD′，D′D，AC′，CC′，易知∠ADD′=∠ACC′=90°．又

∠AD′D=∠ABD

=∠AC′C，

所以△ADD′∽△ACC′，

所以

AC∶AD=AC′∶AD′=d1∶d2(定值)．

练习十七

1．如图3－89．直线l1∥l2∥l3，A，B是l2上两定点，P，Q分别为l1和l3上的动点．求证：四边形PAQB的面积为定值．

2．如图3－90．△ABC是正三角形，由其中任一点P，向三边引垂线，设垂足分别为M，N，Q，求证：PM+PN+PQ为定值．

3．已知正方形ABCD，以A为圆心，AB为半径在正方形内作圆

别交BC，CD于E，F．求证：∠EAF为定值．

4．若M，N为△ABC的边AB，AC的中点，P为MN上的任意

5．两平行线l1，l2分别与已知圆O相切于A，B，作圆O的任意切线l3与l1，l2分别交于C，D．求证：AC·BD为定值．