2019-2020学年高中数学 第三章 概率 几何概型提高训练 新人教A版必修3.doc

2019-2020学年高中数学 第三章 概率 几何概型提高训练 新人教A

版必修3

1.某人午觉醒来,发觉表停了,他打开收音机,想听电台报时,假定电台每小时报时一次，则他等待的时间短于10 min 的概率为___________.

答案: 61

解析:因为电台每小时报时一次,我们自然认为这个人打开收音机时处于两次报时之间,例如(13:00,14:00),而且取各点的可能性一样,要遇到等待时间短于10 min,只有当他打开收音

机的时间正好处于13:50至14:00之间才有可能,相应的概率是

6010=6

1. 2.如图，在直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，则射线落在∠xOT 内的概率是________.

答案：61

解析：记事件A 为“射线OA 落在∠xOT 内”，因为∠xOT =60°，周角为360°，故P （A ）=

6136060=︒︒. 3.如图在半径为1的半圆内，放置一个边长为2

1的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率为_________. 答案：π2

1

解析：S 正=（21）2=41，S 半圆=21π×12=2π，由几何概型的计算公式得P =π

212

π41==半圆正

S S . 4.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.

答案:0.87934

解析:这是一个几何概率问题.设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，A 为“两船都需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24,要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上,即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ={(x ,y ):y －x ≥1或x －y ≥2,x ∈[0,24],y ∈[0,24]}.

x A Ω为边长是24的正方形.由几何概率定义，

P (A )=的面积的面积ΩA =2222421)224(211)(24⨯-+⨯－=576

5.506=0.87934. 5.在线段[0,a ]上随机地取三个点，试求由点O 至三个点的线段能够成一个三角形的概率. 答案：0.5

解析:令A =“三线段能构成一个三角形”.

设三线段各长为x ,y ,z ,则每一个试验结果可表示为:(x ,y ,z ),0≤x ,y ,z ≤a ,所有可能的结果组成集合Ω={(x ,y ,z )|0≤x ,y ,z ≤a

}.

x y z

C

:x +y >z,x +z >y ,y +z >x ;

构成={(x ,y ,z )|x +y >z ,x +z >y ,y +z >x ,0≤x ,y ,z ≤a }，表示一个以O 、A 、B 、C 、D 为顶点的六面体，其体积等于a 3－3·31·22a ·a =2

1a 3. 从而P (A )=的体积的体积ΩA =321a

a =0.5. 6.将长为l 的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.

答案：41

解析:设A =“3段构成三角形”，x ,y 分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l －x －y .

则试验的全部结果可构成集合Ω={(x ,y )|0

要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即

x +y >l －x －y ⇒x +y >2

1, x +l －x －y >y ⇒y <2

1, y +l －x －y >x ⇒x <2

1.

故所求结果构成集合A ={(x ,y )|x +y >21,y <21,x <21}.

x

P (A )=的面积Ω=2)2(222l l =4

1.